高等数学_第一章函数与极限习题课

m( x )
f (x ) 为复合函数 f ( x ) g(h( x ))
应用连续函数的 极限运算准则
应用极限的四则 运算法则求极限
g( x ), h( x )为无穷小, 且 g( x ) ~ g1 ( x ) h( x ) ~ h1 ( x )
应用等价无穷小代换
f ( x ) [1 m( x )]
f ( x) g( x )
也连续( g( x ) 0 时).
4．复合性质： 若 u g( x ) 在点 x x 0 连续; y f (u) 在
u g( x 0 )连续, 则 y f [ g( x )]在 x x 0连续.
三、闭区间上连续函数的性质
f ( x )在[a, b]连续
注意：下面的计算是错误的。
1 1 lim arctan x lim lim arctan x 0 x x x x x
因为 xlim arctan x xlim arctan x，故 lim arctan x 并不存在， x
所以不能应用极限四则运算法则。
四、两个重要极限
1. 2.
lim sin x 1 x 0 x
lim(1 x ) e
x 0 1 x
1 x lim(1 ) e 或 x x
五、解题方法及典型例题
数列极限解题 方法流程图
求 lim a n n
判别 a n的形式 an f ( n )
a n 为分式
恒等变形
1 arctan x x
1 1 0， 所以 是 x时的无穷小，而arctan x x x
为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知
1 lim arctan x 0 x x
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解法2：
1 1 arctan x lim lim arctan x 0 ( ) 0 x x x x x 2 lim
一、函数连续的基本概念
1．函数连续的定义
（1）f ( x )在 x 0点连续:
f （2） ( x )在 x 0点左连续:
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
lim f ( x ) f ( x 0 ) lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0 0
右连续:
比低阶
与同阶
与等价
2．无穷小的主要性质
(1) 若 | f ( x ) | M , g( x ) 0, 则 f ( x ) g( x ) 0
(2) 若～ 0( )
(3) 若～ ，～ ，且 lim 存在，则 lim lim
2．数列极限的运算法则
(1) lim(axn byn ) a lim x n b lim yn aA bB
n n n
( 2) lim( x n yn ) lim x n lim yn AB
n n n
xn lim xn A ( 3) lim n ( B 0时) n y lim yn B n
应用重要极限
lim g( h( x )) g(lim h( x ))
lim f ( x ) A
g( x ) g ( x) lim lim 1 h( x ) h1 ( x )
lim f ( x ) A
lim g( h( x )) g(lim h( x )) A
Ⅱ 函数的连续性
【例 5】*计算 lim
x0
2e 1 e
1 x 2 x
分析 本题含 e ，当 x 0 与(－0)时，有不同的结果， 需要用左右极限求之。 1
n
3．数列极限的主要性质
(1)有界性：若lim x n A, 则M 0, 使得 | x n | M
n
( 2)唯一性：若lim x n A, lim x n B，则A B
n n
4．数列极限的存在准则
(1)夹逼准则：若 n x n z n , lim yn A, lim z n A y
x x0 0
f （3） ( x )在区间上连续：在 (a , b)每一点都连续，叫做在 (a , b)
连续；如果同时在 a右连续，在 b左连续,则叫做在 [a , b]连续. 2. f ( x ) 在 x 0连续的充要条件:
x x0 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
分析
由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，

可变成 的形式。 解：lim x( x 2 1 x ) lim
x
x x2 1 x
x
lim
1 1 2 1 ( ) 1 x
x
思考
如果改为： x
1 2
结果如何？
【例4】计算 lim x 解法1: 因为 lim x
x( x 1) 2 lim x 2 x3 5
3x3 4x2 5x 6 【例2】计算 lim x 4 x 3 5 x 2 x 8
分析 对形如 lim
f ( x) 的极限，分子、分母可同除以 x g ( x ) 1 f ( x ), g( x )中x的最高次，再利用 lim k 0( k 0) x x
可找到数列 bn和 cn 满足 bn an cn
lim bn a
n n
an 1 g ( a n )
验证 a n单调有界
lim cn a
应用极限的四则 运算法则求极限
lim an a
n
应用单调 有界准则
a lim an1
n
应用夹逼准则
lim an a
f ( x ) lim f ( x ) A ( 3) lim ( B 0时) g( x ) lim g( x ) B
5．函数极限的主要性质
(1) 唯一性：若limf ( x ) A, lim f ( x ) B, 则A B
( 2) 局部有界性：若lim f ( x ) A，则M 0, 0
n
lim g(an ) g(a )
n
lim an a
n
函数极限解题 方法流程图
求 lim f ( x )
判别 f (x ) 的形式
f ( x ) g( x )h( x )
恒等变形
f ( x)
g( x ) h( x )
f (x ) 为未定式
f ( x) sin m( x ) 或 m( x ) 1
(a, b), 使f ( ) 0
函数极限典型例题
x3 3x2 2x lim 【例1】计算 x 2 x2 x 6
分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。
x3 3 x2 2 x x( x 1)( x 2) 解： lim lim 2 x 2 x 2 ( x 3)( x 2) x x6
第一章 函数与极限习题课
Ⅰ 数列与函数的极限
一、数列极限
1．数列极限的定义
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个 ) 落在其外.
x x0
使得0 | x x0 | 时， f ( x ) | M |
,则在 (3) 局部保号性：若 lim f ( x ) A （0或0）
U ( x , ) 内有
x x0
f ( x ) 0(或 0)
（4）夹逼准则：若 g( x ) f ( x ) h( x )
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
f ( x 0 0) A.
3．函数极限收敛的充要条件
(1) lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 0 x x0 0
x x0 0
3．函数连续与极限的关系
连续 极限存在
4．间断点的分类
第一类间断点 （左右极限都存在）
lim lim 可去间断点： x 0 f ( x ) x x 0 f ( x ) x
0 0
间断点
lim lim 跳跃间断点： x 0 f ( x ) x x 0 f ( x ) x
0 0
第二类间断点
（左右极限至少 有一个不存在）

无穷间断点： 左右极限至少有一个是
振荡间断点：
二、连续函数的运算法则
1．若 f ( x ), g( x ) 都连续; 则 af ( x ) bg( x ) 也连续. 2．若 f ( x ), g( x ) 都连续; 则 f ( x ) g( x )也连续. 3．若 f ( x ), g( x ) 都连续; 则
limg( x ) lim h( x ) A
则 limf ( x ) A
三、无穷小与无穷大
1．无穷小的基本概念 （1）无穷小的定义 （2）无穷小阶的比较
lim ( x ) 0
0, 0，比较它们的阶
lim A
A0
A＝
A＝ c 0
c1
比高阶
lim f ( x ) A
x
2．函数的左右极限
左极限: 0, 0, 使当x 0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A .
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
f ( x 0 0) A.
右极限: 0, 0, 使当x 0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
可求得最终结果。
4 3 3 x3 4 x2 5 x 6 x lim 解： lim x 4 x 3 5 x 2 x 8 x 5 4 x 5 6 3 2 x x 3 1 8 4 3 x2 x
2 【例3】计算 lim x( x 1 x ) x
( 2) lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x x
4．函数极限的运算法则
(1) lim[af ( x ) bg( x )] a lim f ( x ) b lim g( x ) aA bB
(2) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) AB
有界性定理
最值定理
介值定理
f (a ) A, f (b) B AC B
零点定理
f (a) f (b) 0
K 0, x [a , b] 有 | f ( x ) | K
最小值m , 最大值M x [ a , b ] 有m f ( x ) M
(a, b), 使f ( ) C
1 1 lim arctan x lim lim arctan x 0 0 x x x x x 2
1 1 lim arctan x lim arctan x 0 因为 x x x x
所以
1 lim arctan x 0 x x
n n
则 lim x n A
n
( 2)单调有界收敛原理
x n x n1 , x n M lim x n A
n
x n x n1 , x n M lim x n A
n
二、函数的极限
1．函数极限的定义
x x0
lim f ( x ) A