高考数学等比数列

第3节等比数列

【选题明细表】

基础对点练(时间:30分钟)

1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2a n-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( B )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:当a n=0时,满足a n=2a n-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为2的等比数列时,有错误!未找到引用源。=2,n=2,3,4,…,即a n=2a n-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立,故选B.

2.(2016·湖北华师一附中3月联考)在等比数列{a n} 中,a2a3a4=8,

a7=8,则a1等于( A )

(A)1 (B)±1

(C)2 (D)±2

解析:因为数列{a n}是等比数列,所以a2a3a4=错误!未找到引用源。=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=错误!未找到引用源。=1,故选A.

3.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比q=2,且2a4, a6,48成等差数列,则{a n}的前8项和为( B )

(A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023

解析:因为2a4,a6,48成等差数列,

所以2a6=2a4+48,

所以2a1q5=2a1q3+48,又因为q=2,

所以a1=1,

所以S8=错误!未找到引用源。=255.故选B.

4.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( B )

(A)错误!未找到引用源。 (B)9错误!未找到引用源。

(C)±9错误!未找到引用源。(D)35

解析:因为{a n}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1·a49=错误!未找到引用源。=3.而a n>0,

所以a25=错误!未找到引用源。.

所以a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9错误!未找到引用源。.故选B.

5.(2016·河南开封一模)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=5,S m=-11,S m+1=21,则m等于( C )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:由已知得,S m-S m-1=a m=-16,S m+1-S m=a m+1=32,故公比q=错误!未找到引用源。=-2,又S m=错误!未找到引用源。=-11,故a1=-1,又

a m=a1·q m-1=-16,故(-1)×(-2)m-1=-16,求得m=5.故选C.

6.(2016·山西吕梁一模)已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n 项和,且S1,S2,S4成等比数列,则错误!未找到引用源。等于( C ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

解析:设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,

因为S1,S2,S4成等比数列,

所以错误!未找到引用源。=S1S4,即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,

所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=8.故选C.

7.(2016·河南商丘一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1, a8=a6+2a4,则a6= .

解析:设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.

答案:4

8.等比数列{a n}的首项a1=-1,前n项和为S n,若错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则{a n}的通项公式a n= .

解析:因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,

因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,

所以q5=-错误!未找到引用源。,q=-错误!未找到引用源。,

则a n=-1×(-错误!未找到引用源。)n-1=-(-错误!未找到引用源。)n-1. 答案:-(-错误!未找到引用源。)n-1

{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{b n}的相邻三项.若b2=5,则b n= .

解析:因为{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列的相邻三项,

所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),

所以a5=错误!未找到引用源。d,

所以q=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

因为b2=5,q=错误!未找到引用源。,

所以b1=错误!未找到引用源。=3,

所以b n=b1q n-1=3×(错误!未找到引用源。)n-1.

答案:3×(错误!未找到引用源。)n-1

{a n}的前n项和为S n,满足S n=4a n-p,其中p为非零常数.

(1)求证:数列{a n}为等比数列;

(2)若a2=错误!未找到引用源。,求{a n}的通项公式.

(1)证明:当n=1时,S1=4a1-p,得a1=错误!未找到引用源。≠0,

当n≥2时,a n=S n-S n-1=(4a n-p)-(4a n-1-p)=4a n-4a n-1,

得3a n=4a n-1,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

因而数列{a n}为公比为错误!未找到引用源。的等比数列.

(2)解:由(1)知,数列{a n}的通项公式为

a n=错误!未找到引用源。×(错误!未找到引用源。)n-1,

又a2=错误!未找到引用源。,可知p=3,于是a n=(错误!未找到引用源。)n-1.

{a n}的前n项和,且公比q≠1,

n是无穷等比数列

已知1是错误!未找到引用源。S2和错误!未找到引用源。S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.

(1)求S2和S3;

(2)求此数列{a n}的前n项和.

解:(1)根据已知条件错误!未找到引用源。

整理得错误!未找到引用源。

解得3S2=2S3=6,即错误!未找到引用源。

(2)因为q≠1,则错误!未找到引用源。

可解得q=-错误!未找到引用源。,a1=4.

所以S n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(-错误!未找到引用源。)n.

能力提升练(时间:15分钟)