初中数学：圆的切线的证明

中国最大的教育门户网站 圆的切线的证明

一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．AB 是O 的直径，AB AC ⊥，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP

是⊙O 的切线．

分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接OP ，证明OP PQ ⊥即可．

证明：连接OP ，PA ，

AB 是⊙O 的直径，90APB ∠=︒∴． 在Rt APC △中，Q 是AC 的中点，

PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴．

又OP OA =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴．

AB AC ⊥，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线．

二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径

例2．直角梯形ABCD 中，以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．

分析：要证明以腰AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知，CD 如果与⊙2O 相切，则2O 到CD 的距离应等于半径1

2

AB ，

所以过2O 作2O E CD ⊥，证明21

2

O E AB =

即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E CD ⊥于E ，

AB 与⊙1O 相切，121O O O D =∴．

211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠，∴△≌△，

2O E DF =∴．

B

C

Q P

O

A B C

D

E F

1O

O

中国最大的教育门户网站 2DF O A =，21

2

O E AB =

∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．