高次方程韦达定理学案

B. 是比
小的实数
2
C. 是有理数
D. 是虚数
（2017 年清华大学优秀中学生文科冬令营试题）
思路分析
规范解答
2-4
高次方程韦达定理
2017 年 11 月
例3 若实系数多项式 f x x3 ax2 bx c 有三个非负零点，求证： 2a3 9c 7ab .
⑹
（2014 年北京大学优秀中学生暑期体验营）
思路分析
规范解答
ຫໍສະໝຸດ Baidua1 a2 a3 b1 b2 b3
例4 设实数 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 满足 a1a2 a2a3 a3a1 b1b2 b2b3 b3b1
⑺
mina1, a2 , a3 min b1,b2 ,b3
求证： maxa1, a2, a3 maxb1,b2,b3 .
1-4
高次方程韦达定理
2017 年 11 月
特别地，设一元三次方程 ax3 bx2 cx d 0 a 0 的三个根分别为 x1, x2 , x3 ，则有：
b
x1 x2 x3 a ,
c
x1x2
x2 x3
x3 x1
a
,
⑷
d
x1x2 x3
a
,
a
b
c
d
e
f1
例1 设
⑸
k2 1 k2 2 k2 3 k2 4 k2 5 k2 6 k2
高次方程韦达定理
2017 年 11 月
高次方程韦达定理
学习目标 1. 掌握高次方程韦达定理的一般形式 2. 能应用韦达定理及其逆定理解题
引例 若实数 x, y 满足 试求 x y .
x
y
1
⑴
20173 20153 20173 20163
x
y
1
⑵
20143 20153 20143 20163
.
2
⑻ （全国高中数学联赛试题）
思路分析
规范解答
课后思考
1. 若两两不同的实数 x, y, z 满足 x3 3x2 y3 3y2 z3 3z2 ，则 x y z 等于（ ）
A. 1
B. 0
C. 1
D. 前三个都不对
（2016 年北京大学博雅计划试题）
1 2 35
2. 定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度. 若不等式
n
求证：
0
22 a2
23 a3
2n an
1
n
2
.
n
（亚太地区奥林匹克竞赛试题）
4-4
1i jn
an
⑶
x x x i1 i2
ik
1i1i2 ik n
1 k ank an
n
xi
i 1
1 n a0 an
韦达定理的逆定理也成立，即：若 xi 1 i n 满足（3）式，则 xi 1 i n 一定是关于 x 的 方程 an xn an1xn a1x a0 0an 0 的 n 个根.
对 k 1, 2, 3, 4, 5, 6 均成立，试求 a b c d e f .
思路分析
规范解答
2017
例2 已知方程 z2017 1 0 的所有复数根为 zi i 1, 2,, 2017 ，则下列关于
1
的判断中，
i1 2 zi
一定正确的有（
）.
2017
A. 是比
大的实数
2
2017
的解集是互不
x 1 x 2 x 3 4
相交的若干区间的并集，求这个解集的所有区间的长度之和.
（高中数学联赛湖北省预赛试题）
3. 若实数 a, b 使得方程 x3 ax2 bx a 0 有三个正实根，求 2a3 3ab 3a 的最小值. b 1
（第十届东南地区奥林匹克竞赛试题）
4. 设关于 x 的方程 xn a2 xn2 a3xn3 an1x an xn1 有 n 个非负实数根，
（2008 年北京大学自主招生试题）
思路分析
规范解答
3-4
高次方程韦达定理
2017 年 11 月
例5 实数 a, b, c 和正数 使得 x3 ax2 bx c 0 有三个实数根 x1, x2 , x3 ，且 x2 x1 ，
x3
x1 x2 2
.
2a3 27c 9ab
求证：
3
33
（2017 年清华大学中学生标准学术能力测试，原题是选择题）
思路分析
规范解答
一般地，在复数域内，设关于 x 的 n 次方程 an xn an1xn a1x a0 0 an 0 的 n 个根 是 xi 1 i n ，则有韦达定理（根与系数关系）如下：
n
i 1
xi
an1 an
xi x j an2