第4课时 绝对值的代数意义
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义以“绝对值的代数意义和几何意义”为标题，写一篇3000字的中文文章绝对值是数学中比较常见而又重要的概念，在代数和几何中都有其重要的应用。
绝对值的代数意义和几何意义是本文的主要讨论，本文首先介绍两者的基本定义以及它们之间的关系，然后介绍绝对值的代数意义，以及它在几何学中的应用。
首先，说明绝对值的基本定义。
绝对值定义为实数的绝对大小，又称绝对量或绝对数。
绝对值通常表示为符号|x|，其中x是实数。
绝对值表达式可以理解为“实数x的绝对值”，也可以理解为“绝对值x”。
例如：|-5| = 5， |7| = 7。
不同于绝对值，绝对值的表达式可以使用复数的形式，例如：|2+3i|=√13。
它是组合形式的复数的模，表示为|z|=√a2+b2，其中z=a+bi，其中a,b均为实数。
绝对值的代数意义可以用来衡量一个数的大小，也可以用来判断它是否为零。
当一个数字的绝对值大于等于零时，该数字不是负数；反之，如果一个数字的绝对值小于零，则该数字是负数。
绝对值可以用来计算一个数字的绝对值差，它表明两个数字的大小之间的距离。
例如：|4-2|= |4|-|2|= 2，表示4和2之间的绝对值差是2。
绝对值在几何学中也有着重要的应用。
在几何中，绝对值可以用来衡量一个点到直线的距离，也可以用来衡量一个点到坐标原点的距离。
绝对值也可以用来求解一元一次方程，它表示从两边相减后的绝对值，即|a-b|= |a|-|b|。
此外，绝对值也可以用来计算多边形内角和外角之差，表示为|θ1-θ2|= |θ1|-|θ2|。
总之，绝对值在代数和几何中都具有重要的应用。
它可以在代数中用来衡量一个数字的大小或求解绝对值差，在几何中可以用来衡量一个点到直线或者坐标原点的距离，也可以用来求解一元一次方程或计算多边形内角和外角之差。
绝对值的理解和使用对数学中的许多问题都有着重要的意义。
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。
求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a （a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0） a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。
若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。
由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。
3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。
三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。
解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（；（3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。
七年级数学上《绝对值》知识解析
《绝对值》知识解析
课标要求
理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值，理解绝对值的几何定义和代数定义。
知识结构
1．绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，它是一个数的几何特征，利用一个数的绝对值的几何意义可以直观地将数和点联系起来．更有利于研究它的性质．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．任给一个有理数，求它的绝对值．
内容解析
教材首先通过实例提出决定一个数不仅是符号，还有它到原点的距离---绝对值，然后利用数轴提出绝对值的几何意义——数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，在数轴上研究不同类别的数的绝对值，归纳总结出绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．从而使学生学会求一个数的绝对值，了解有理数的绝对值的特征．
重点难点
本节的重点是正确理解绝对值的定义，能求一个数的绝对值．难点是正确理解一个数的绝对值的几何定义和代数定义．
教法导引
利用数轴引导学生观察绝对值的几何意义，总结绝对值的代数意义，通过数形结合，启发、诱导、讨论的方法学会找一个数的绝对值．
学法建议
联系生活实际，利用类推，归纳，相互讨论的方式来学习绝对值．。
绝对值的几何意义和代数意义
绝对值的几何意义和代数意义1. 嘿，你知道绝对值的几何意义吗？就像数轴上的距离一样！比如说，5 和-5 到 0 的距离都是 5，这就是绝对值的奇妙之处啊！它可不管你是正数还是负数，只看距离有多远。
2. 绝对值的代数意义也很有趣哦！想想看，不管这个数是正是负，它的绝对值都是非负的呀。
就好比不管你今天心情好坏，你都有自己独特的价值一样！比如|-3|等于 3 呢。
3. 哇塞，绝对值的几何意义就像是给数穿上了一层保护衣，只显示出它的“绝对地位”。
就像两个人比身高，只看实际的高度差，而不管谁高谁矮，多有意思呀！像|8-3|就是 5 呀。
4. 你说绝对值的代数意义是不是很神奇呀？它让负数也能变得“阳光”起来呢！就像在黑暗中找到了一束光。
比如|(-2)*3|等于 6 呢。
5. 嘿呀，想想绝对值的几何意义，不就是在数轴这个大舞台上，每个数都有自己的“专属位置”嘛！不管正数负数，都有它的一席之地，多棒啊！像|-7|就是 7 呢。
6. 绝对值的代数意义简直就是一种“魔法”呀，能把负数也变得有“魅力”呢！就像灰姑娘变成公主一样。
比如说|(-5)+2|等于 3 呀。
7. 哎呀呀，绝对值的几何意义就像是给数画了一个“安全圈”，在这个圈里只看距离，不管方向。
这多特别呀！像|10-15|等于 5 呢。
8. 你想想看，绝对值的代数意义不就是一种“公平法则”嘛，对所有数都一视同仁。
就像比赛规则一样，人人平等。
比如|4/(-2)|等于 2 呢。
9. 哇哦，绝对值的几何意义真的是让数变得“立体”起来了呢！不再只是简单的正负之分。
就像一幅画变得有层次感了。
像|(-3)*(-2)|等于 6 呢。
10. 总之，绝对值的几何意义和代数意义真的是数学世界里非常重要且有趣的部分呀！它们让数学变得更加丰富多彩，就像生活中的各种惊喜一样！让我们能更好地理解和探索数学的奥秘呢！。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
数与式热点问题(三)绝对值问题(学生版)
数与式热点问题（三）---绝对值问题一、知识要点：（一）绝对值的代数意义及性质：1.绝对值的代数意义：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的性质：①非负性：0a ≥②双解性：(0)ab b =≥⇒a b=±③a a =⇔0a ≥，a a =-⇔0a ≤④ab a b=⑤(0)a a b b b=≠⑥222a a a ==⑦ab a b a b -≤+≤+，左边等号当且仅当0ab ≤时取到，右边等号当且仅当0ab ≥时取到。
⑧a b a b a b -≤-≤+，左边等号当且仅当0ab ≥时取到，右边等号当且仅当0ab ≤时取到。
（二）绝对值的几何意义及基本结论：1.绝对值的几何意义①x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点的距离；②x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；③||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和．2.基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ①当n 为奇数时，当12nx a +=时取最小值；②当n 为偶数时，当122n n a x a +≤≤时取最小值．方法：直接套用几何意义画数轴．（三）零点及零点分段法：1.零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．2.零点分段法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．二、题型：（一）利用绝对值的性质进行化简1.已知223x y -=，化简21x y x y-----2.已知实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2b c c a a b -++--．3.已知一次函数(3)2y m x n =-+-（,m n 为常数）的图象如图所示，则化简21n m n m -----的结果为（）A、23n -+B、23m -+C、3m -D、1-4.化简：（1）|5||23|x x ++-（2）||1|3|x +-（二）根据绝对值的性质求值1.已知：13a -=，||5b =，且||a b b a -=-，求ab 的值．2.已知1a =，2b =，3c =，且a b c >>，则a b c -+=3.若,,a b c 为整数，且202320231a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.4.如果,,a b c 是非零实数，且0a b c ++=,那么abcabca b c abc +++的所有可能值为()A.0B.1或1-C.2或2-D.0或2-5.阅读下列材料：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当0x <时，1||x x x x ==--．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a 、b 是实数，当0ab >时，求||||a b a b +的值；（2）已知a 、b 、c 是实数，当0abc >时，求||||||a b c a b c ++的值；（3）已知a 、b 、c 是实数，0a b c ++=，0abc <，求||||||b c a c a b a b c +++++的值．6.对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如：(]2.62=，(]34-=-．（1）填空：(]10=．(]2022-=，17⎛⎤= ⎥⎝⎦；（2）若,a b 都是整数，且(]a 和(]b 互为相反数，求代数式()3a a b b -+⨯+的值；（3）若(](]26x x +-=，求x 的取值范围．（三）解含绝对值的方程1.解下列方程（1）213x -=（2）211x -=2.方程236x x -++=的解是（四）解绝对值不等式1.解下列不等式(1)232x -≤(2)134x x -+->．2.阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程4x =.容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的4x =±；例2：解方程125x x ++-=.由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的x 的值.在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的x 对应的点在2的右边或在-1的左边.若x 对应的点在2的右边，如图1可以看出3x =；同理，若x 对应点在-1的左边，可得2x =-.所以原方程的解是3x =或2x =-.图1例3：解不等式13x ->.在数轴上找出13x ->的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图2，在-2的左边或在4的右边的值就满足13x ->，所以13x ->的解为2x <-或4x >.图2参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程35x +=的解为________；（2）方程201712020x x -++=的解为________；（3）若4311x x ++-≥，求x 的取值范围.（五）求最值1.式子36m -+的值随着m 的变化而变化，当m =时，36m -+有最小值，最小值是．2.已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)33.同学们都知道，5(2)--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求5(2)--=；（2）同样道理10081005x x +=-表示数轴上有理数x 所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x =（3）类似的52x x ++-表示数轴上有理数x 所对点到5-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得527x x ++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．4.阅读下面材料：如图，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可以表示为a b -．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：（1）数轴上表示4与3-的两点之间的距离是；（2）数轴上有理数x 与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为；（3）代数式5x +可以表示数轴上有理数x 与有理数所对应的两点之间的距离：若53x +=，则x =；（4）求代数式10085041007x x x ++++-的最小值．并直接写出这时x 的值为．5.在式子1234x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是()A.1 B.2 C.3 D.46.求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．7.求111|1||2||3|234x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．8.在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.材料一：我们知道a 的几何意义是：数轴上表示数a 的点到原点的距离；a b -的几何意义是：数轴上表示数a ，b 的两点之间的距离；a b +的几何意义是：数轴上表示数a ，b -的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.（1）34x -=解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x 表示的点到3的距离等于4，∴7x =或1x =-（2）25x +=解：∵2(2)x x +=--，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x 表示的点到2-的距离等于5.∴3x =或7x =-材料二：如何求12x x -++的最小值.由12x x -++的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数1和2-两点的距离的和，要使和最小，则表示数x 的这点必在2-和1之间（包括这两个端点）取值.∴12x x -++的最小值是3；由此可求解方程124x x -++=，把数轴上表示x 的点记为点P ，由绝对值的几何意义知：当21x -≤≤时，12x x -++恒有最小值3，所以要使124x x -++=成立，则点P 必在2-的左边或1的右边，且到表示数2-或1的点的距离均为0.5个单位.故方程124x x -++=的解为： 2.5x =-或 1.5x =.阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：32x x -++的最小值为________；（2）已知有理数x 满足：31015x x ++-=，有理数y 使得325y y y -+++-的值最小，求x y -的值.（3）试找到符合条件的x ，使12x x x n -+-+⋅⋅⋅+-的值最小，并求出此时的最小值及x 的取值范围.9.若(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，则23x y z ++的最大值是，最小值是.10.求|1||5|y x x =--+的最大值和最小值．11.已知759x -≤≤，求x 取何值时|1||3|x x --+取最大值与最小值．12.阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离,即x x =-，也就是说，表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为1x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程2=．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的2x =±；例2：解不等式1->．如图，在数轴上找出12-=的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则12->的解为1x <-或3x >；例3：解方程125x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边．若x 对应点在1的右边，如图可以看出2x =；同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-．故原方程的解是2x =或3x =-．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程34+=的解为______；（2）解不等式349x -++≥；（3）若34x a --+≤对任意的都成立，求a 的取值范围．。
人教七上数学.4绝对值——绝对值的定义及性质课件
所以 x－4 =0，y＋2 =0，所以x=4，y=－2. 所以x 的相反数为－4，y 的相反数为2.
感悟新知
总结
知3－讲
本题运用了巧用非负性技能，考查了非负数的性质， 该性质可巧记为“0+0=0”，可以推广为：如果几个非 负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中当m＝ －1时，m＋1 ＝0，不符合题意；选项D中－(－m) ＝m显然不符合题意；选项C中，因为 m 0， 所以 m ＋1 1，符合题意．
感悟新知
知3－练
例4 已知 x－4 ＋ y＋2 =0 ，求x与y的相反数.
解析：任何一个数的绝对值都是非负数，所以 x －4 0 ， y＋2 0.由题意知x－4=0，y＋2=0. 解方程求出
感悟新知
知识点 1 绝对值的意义
知1－讲
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶
10 km，到达A，B两处(下图).它们的行驶路线相同吗？
它们的行驶路程相等吗？说说你的想法.
感悟新知
视察下图，回答问题：
知1－讲
大象距原点几 个单位长度?
两只小狗分别距原点 几个单位长度？
-3-2 -1 0 1 2 3 4
课堂小结
有理数
(1)正数、负数的绝对值是正数； (2)0的绝对值是0，0是绝对值最小的数； (3)若一个数的绝对值是正数，则这样的数有两个，
它们互为相反数．
课后作业
作业 必做: 请完成教材课后习题
导引：因为 4 ＝4，－4 ＝4，所以绝对值等于4的数有 两个．
感悟新知
总结
知2－讲
绝对值
绝对值一、绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
二、绝对值的几何意义：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|①、绝对值表示距离，由于距离不可能是负数，所以任何数的绝对值总是正数或0，即|a|≥0②、在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等，即|－a |＝|a| ③、在数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称。
三、绝对值的代数意义正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；即：①、任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，那么这几个数都为0；②、0的绝对值既是它本身又是它的相反数，因此，若|a|＝a ，则a≥0；若|a|＝－a ，则a≤0；四、在数轴上两点之间的距离的几何定义：1、一般地，如果 a(x1)，b(x2) ，则这两点的距离公式为:d(a,b)＝|x2－x1|即数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值；“数轴”是数型结合的重要工具（通过两点之间的距离公式可以理解） 加深理解，如：① 、|3＋1|表示数轴上数3到数-1的距离(等于对应两数之差的绝对值)，即：|3－(－1)|＝4② 、|x |表示数轴上某一个点到原点的距离；即：|x －0|＝|x |当数x 在数轴上原点的左边时（x ＜0），|x|＝－x(诠注：根据绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反数)当数x 在数轴上原点的右边时（x ＞0），|x |＝|x －0|＝x(诠注：根据绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身)③ 、|－5|＝|－5－0|表示数轴上－5到原点的距离；④ 、|x －a |表示数轴上某一个点到a 的距离；⑤ 、|x ＋a |＝|x －(－a)|表示数轴上某一个点到－a 的距离；⑥ 、|2x ＋3|＝2|x －(－23)|表示数轴上某一个点到－23的距离的2倍；2、真正理解绝对值的几何意义？（1）、|1－x |＝1＋|x |分析：由该式的已知条件应立即可知：x ≤0由|1－x |＝1＋|x | 可化为：|1－x |＝|1－0|＋| x －0|即：线段a 与b 的距离之和为：a ＋b ＝c ，即1至0的距离（等于a ）与0至x的距离（等于b）之和；。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。
绝对值的意义 谢
一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y由题意得：y x 3=，0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x1)1(+=--xx201020081861641421⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx-=-20082008的解的个数是（ D ）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．（非负性）已知|a b－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b++++++++++分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
绝对值专题 讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
初一数学第4讲：绝对值(学生版)
第四讲绝对值2.求绝对值的方法要求a的绝对值，则先判断a的符号（1）a＞0→|a|=（2）a＜0→|a|=（3）a=0→|a|=3.有理数大小的比较（1）两个负数的比较比较两个负数的大小，绝对值大的负数反而 .（2）比较有理数大小要比较两个有理数的大小，可以按照如下规则比较①正数 0 负数②两个负数，绝对值大的数绝对值小的数③数轴上右边的数总比左边的数1.掌握求绝对值的方法2.通过对绝对值的理解比较有理数的大小例1．﹣7的绝对值是（）A.-7B.7C.－17D.17例2．|﹣|=（）A.-7B.7C.－17D.17例3．若|2x|=﹣2x，则x一定是（）A．正数B．负数C．正数或0 D．负数或0例4.计算：|3.14﹣π|+|3.15﹣π|=．例5．填空：（1）绝对值是7的数是；（2）绝对值小于3.9的整数；（3）当a＞0时，|2a|= ；（4）当a＞1时，|a﹣1|= ；（5）当a＜1时，|a﹣1|= ；（6）如果a＞3，则|3﹣a|= ．例6．有理数a，b，c满足|a+b+c|=a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣b+c+1|﹣|b﹣2|的值为．例7．在﹣5，0，﹣3，6这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．0C．﹣5 D．6A档1．﹣3的绝对值等于（）A.3B.13C.13- D.-32． |﹣|的相反数是（）A.2B.12C.12- D.-23．﹣2015的绝对值是（）A.－2015B.2015C.12015D.12015-4．﹣6的绝对值是（）A.－6B. 16C.16- D.65．﹣9的绝对值是（）A.9B.-9C.±9D. 1 9B档6．﹣a的绝对值是（）A.aB.0C.1aD. a或a-7．已知|x|=3，则x的值是．8．若|a|=|-3|，则a= ．9. |﹣2014|= ．10．若x＜﹣3，则2+|3+x|的值是．C档11．下列数中最小的是（）A．3B．2C．﹣1 D．012．若|x|=4，|y|=3，且x＜y，求x、y的值．13．若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．14．若|a|=4，|b|=1，（1）求a+b的值．（2）若|a+b|=a+b，求a﹣b的值．15．已知：a，b，c是非零有理数，且a+b+c=0，求的值．1．23-的绝对值是（）A.32- B.23- C.23D.322．化简﹣|﹣1|可得（）A．﹣1 B．1C．±1D．不确定3．绝对值等于9的数是．4．若﹣3＜x＜﹣1，则化简|2﹣|1﹣x||等于．5．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：|a﹣1|= ．6．已知|a﹣b|=a﹣b，|a|=2012，|b|=2013，求a，b的值．7．x为何值时，|x﹣3|+|x+2|有最小值，求出这个最小值．8. a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（）A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a1． |﹣2+5|=（）A．﹣3 B．3C．﹣7 D．72．﹣2.5的相反数是；若|x|=4，x= ．3．绝对值不大于5的整数共有个．4．若|x+2013|=0，则x= ．5.若x=1，则|x﹣4|= ．6．已知|x﹣1|=3，求﹣3|1+x|﹣|x|+5的值．7．当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|有最小值．8．判断下列说法是否正确：（1）符号相反的数互为相反数；（2）符号相反且绝对值相等的数互为相反数；（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（4）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远．课程顾问签字： 教学主管签字：。
专题01 数与式的运算
专题1：数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ． 例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x +2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x －2|＜6； （3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9； （4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x =. 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8． （3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边． 若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5， ∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5， ∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5． （4）在数轴上找出|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x 的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在-2的左边或5的右边．若x 对应的点在5的右边，可得203x =；若x 对应的点在－2的左边，可得103x =-， ∴方程|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解是103x =-或203x =. 【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【答案】a-2b 【解析】解：由数轴知：a ＜0，b>0，|a|＞|b|， 所以b-a>0，a-b ＜0 原式=|a|-（b-a ）-(b-a) =-a-b+a-b+a =a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围； (2)化简：.【答案】(1) −1<a <3；(2). 【解析】 (1)①+②得：5x =15−5a ，即x =3−a ， 代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0， 解得−1<a <3； (2)∵−1<a <3， ∴当−1<a <3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +---【答案】（1）3 （2）4ab-8b 2 【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2 =3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2) =a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2 =4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+-- （2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【答案】（1）8 （2）－6x+13 【解析】(1)原式=1+16-9=8； (2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4) =x 2-6x+9-x 2+4 =-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b . 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）20x＝xx 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++，1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2) 【解析】（1））×3﹣＝＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】解：不正确，正确解答过程为：.【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+，其中，．【答案】2a a b -．【解析】 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+=()()()()()2a b a b b a b a ba b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a b a 2b-⋅--=2a a b-， 当3，-3时，原式22．高中必备知识点4：分式1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x---=-+210x x +﹣＝， 21x x ∴＝﹣， ∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）【答案】yx +21【解析】22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？【答案】43-.【解析】解：∵112 a b-=，∴a-b=-2ab，则2ab2ab44ab7ab3--=--+专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a2【答案】C【解析】A、a8÷a4＝a4，故此选项错误；B、a2•a＝a3，故此选项错误；C、﹣3a2+(﹣2a)2＝a2，故此选项正确；D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，故选C．2．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x3【答案】B【解析】A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、正确；C、故此选项错误；D、故此选项错误；故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a6【答案】B【解析】解：A、a3+a4，无法计算，故此选项错误；B、a4•a5＝a9，正确；C、4m•5m＝20m，故此选项错误；D、a3+a3＝2a3，故此选项错误．故选：B．5．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a3÷a﹣1＝a2②（2a3）2＝4a5③（12ab2）3＝16a3b6④2﹣5＝132⑤（a+b）2＝a2+b2A．2道B．3道C．4道D．5道【答案】C【解析】①a3÷a﹣1＝a4，故此选项错误；②（2a3）2＝4a6，故此选项错误；③（12ab2）3＝18a3b6，故此选项错误；④2﹣5＝132，正确；⑤（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，故此选项错误； 则错误的一共有4道． 故选：C ．6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B 【解析】设第n 次跳到的点为a n （n 为自然数），观察，发现规律：a 0=1，a 1=3，a 2=5，a 3=2，a 4=1，a 5=3，a 6=5，a 7=2，…， ∴a 4n =1，a 4n+1=3，a 4+2=5，a 4n+3=2． ∵2019=504×4+3， ∴经2019次跳后它停的点所对应的数为2． 故答案为：2．7．下列计算中，正确的是 A ．24±= B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=【答案】B 【解析】 解：A.42=，故A 错误；B. a a ≥，正确；C. 235a a a =，故C 错误；D. 211-=-，故D 错误； 故选：B ．8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ） A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a 【答案】C 【解析】 解：A 、11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭，单项式乘多项式；B 、2（x ﹣y ）＝2x ﹣2y ，单项式乘多项式；C 、0.11010.33x x --=，根据分式的性质； D 、a （b ﹣1）＝ab ﹣a ，单项式乘多项式； 则变形依据与其它三项不同的是C ， 故选：C ．9．下列运算正确的是（ ） A ．a 5﹣a 3＝a 2 B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C ．2212a2a-=D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3【答案】D 【解析】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确． 故选D ．10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ） ①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】解：①a 2•a 3＝a 5，错误； ②（a 3）2＝a 6，正确； ③（ab ）3＝a 3b 3，正确； ④a 5÷a 5＝1，错误． 故选：B ．11．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____． 【答案】﹣2． 【解析】∵a 与b 互为相反数， ∴a+b=0，∴a 2+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2. 故答案为：-2.12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________． 【答案】6 【解析】解：2222242816510165(2)162(21)(4)a a a a a a a a a a a =++++=++=+++++，∵a 2+2a=-2，∴原式=25(2)165(2)166a a ++=⨯-+=，故答案为：6.13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______． 【答案】-2 【解析】解：（﹣2）2019×0.52018＝（﹣2×0.5）2018×（﹣2）＝﹣2 故答案为：﹣214．已知23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a2﹣b2＝_____．【答案】1 【解析】解：∵23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，∴232 233a bb a-=⎧⎨-=⎩①②，解得，①﹣②，得a﹣b＝15 -，①+②，得a+b＝﹣5，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣5）×（15-）＝1，故答案为：1．15．已知关于x、y的方程组31223x y ax y a+=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x•9y＝___．【答案】1 9 .【解析】解：将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，则32x•9y＝32x•32y＝32x+2y＝3﹣2＝19，故答案为：19．16．计算：（x﹣y）2•（y﹣x）3+（y﹣x）4•（x﹣y）＝_____．【答案】0【解析】原式＝﹣（x ﹣y ）5+（x ﹣y ）5＝0， 故答案为：017．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值． 小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．【答案】小亮说的对,理由见解析 【解析】2（x+1）2﹣（4x ﹣5） =2x 2+4x+2﹣4x+5， =2x 2+7，当x=时，原式=+7=7； 当x=﹣时，原式=+7=7． 故小亮说的对．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝3 【答案】x 2﹣3，9. 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)， ＝x 2﹣4+4x 2﹣4x +1﹣4x 2+4x ， ＝x 2﹣3，当23x =(2331239=-=-=．19．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值．【答案】5【解析】 解： ∵13a a+=（a ＞1）， ∴21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝9，化简得221a a+＝7， 两边平方，可得441a a+＝49﹣2＝47，∵21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝221a a +﹣2＝7﹣2＝5，且a ＞1，∴1a a-=， ∴242241111()()()()a a a a aa a a-⨯+⨯+⨯-7×47×5＝20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 【答案】3x 2﹣9x +4，7 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1)， ＝x 2﹣4+x 2﹣4x +x 2﹣5x +4， ＝3x 2﹣9x +4， 当x 2﹣3x ＝1时， 原式＝3x 2﹣9x +4， ＝3(x 2﹣3x )+4， ＝3×1+4， ＝7．21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明该等式成立．【答案】（1）第5个等式为：6666 55⨯=+；（2）第n个等式为：11(1)(1) n nn nn n++⨯+=++．【解析】解：（1）∵第1个等式为：222=11⨯+2，第2个等式为：333=22⨯+3，第3个等式为：444=33⨯+4，∴第4个等式为：54×5＝54+5，第5个等式为：65×6＝65+6；（2）第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．证明如下：∵n+1n×（n+1）＝2n+n+n+1n＝2n+nn+n+1n＝n+1n+（n+1），∴n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．化类，通过观察得出第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）是解题的关键．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义所谓“绝对值”是指一个代数式，在该式中，绝对值最大的因式称为该式的绝对值。
由于在整个数学领域中，绝对值就是被分析、研究最多的一种代数式，人们总是想方设法寻求绝对值的各种运算规律，有些结果当然不一定都能成立，但是大多数结果却是实实在在地存在的。
《几何》课上我们学习了“绝对值的概念”、“绝对值的几何意义”和“绝对值的计算公式”等内容。
其中“绝对值的代数意义”是讲函数的绝对值，而“绝对值的几何意义”则是讲两个函数绝对值的关系：当其中一个增大时，另一个也必定随之增大；当其中一个减小时，另一个也必定随之减小。
我认为这两者是密不可分的，你说呢？“绝对值的代数意义”，可以帮助我们理解那些比较复杂的数学问题，把握事物发展的变化过程及变化的性质，从而促使人们更好地掌握知识。
例如，“当x=1/2时， y=-5/6”中的“ 5/6”就表示这样一种含义，即当x越来越大时， y的绝对值越来越小，当x=1时， y=0；当x=1/2时， y=-5/6。
“绝对值的几何意义”又告诉我们，当一个数增大时，它与相邻的两个数的绝对值的差值总是越来越大；当一个数减少时，它与相邻的两个数的绝对值的差值总是越来越小。
从而使我们掌握住一个原理，进而举一反三，更加灵活地去解决更多的问题。
绝对值的几何意义则是“相反数”和“真数”。
正负数的绝对值是两个数的和，如果我们定义“ b+a=b+2a+a”(b+a表示符号)，那么， b+2a-b=0。
此时，“ b+a”就是b和a的绝对值。
《几何》课中，老师提到一道题目：一张纸条长是36厘米，宽是14厘米，将它的右边折起1厘米，左边折起3厘米，这时这张纸条的长和宽是多少？以前同学们认为，“用卷尺量一下，就可以得出答案了。
”这道题告诉我们：一张纸条的右边和左边合起来，等于这张纸条的全长。
在课堂上我提出了这样一个问题：假如“这张纸条”为36厘米，那么“宽是”“高是”多少厘米？班里响起一片回答声，有的回答：“宽应该是15厘米，高应该是20厘米。
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。
求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a -（a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0）a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。
若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。
由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。
3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：绝对值 绝对值的概念 绝对值的求法 比较两个数的大小（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。
三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。
解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（； （3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。
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第4课时绝对值的代数意义
【学习目标】1.借助数轴，初步理解绝对值的概念
2.能求一个数的绝对值
【学习重点】：理解绝对值的意义并能求一个数的绝对值
【侯课朗读】：有理数分类数轴概念相反数概念
【学习过程】：
一、学习准备
自主学习
1、你能画一条数轴并标出数-4和4，-3.5和3.5的点吗？观察数轴它们有怎样的位置关系？
2、数4和-4有什么相同点和不同点？-3.5和3.5呢？你还能说出两个具有这种特征的数吗？
3、归纳相反数的定义。
注意：0的相反数是0
预习自测：
（1）-2.5的相反数是________。
（2）_______的相反数是7。
（3）2／3的相反数是________。
（4）8是______的相反数。
解读教材
3.绝对值的概念
1、数轴上表示有理数5，2，1∕2的点到原点的距离各是多少？
2、数轴上表示有理数-5，-2，-1∕2的点到原点的距离各是多少？
3、数轴上表示0的点到原点的距离各是多少？
（1）绝对值的几何意义
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；－2的绝对值等于2，记作|－2|=2。
想一想：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系呢？
（2）绝对值的代数意义 ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
正书的绝对值是它本身；文字表示负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
数学符号表示 ||,(0);||0,(0);||,(0);a a a a a a a a =>⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪=-<⎩⎭
例1.求下列各数的绝对值（利用文字叙述和符号法）
（1）－21 （2）+94 （3）0 （4）－7.8
即时练习：（1）求下列各数的绝对值（用两种方法表示） －2 ， +2， －23
， 6 ， －3， 4
5 （2）填空 |－2|= |2|= |－0.5|= |－32
|= |0|=
三、挖掘教材：例1 求下列各数的绝对值：
-21， ＋4/9， 0， -7.8。
例2 比较下列每组数的大小：
(1) -1和-5； (2) -5/6和-2.7
即时练习
下列各式正确的是（ ）
A 、|－9|=－9
B 、|－7|<0
C 、|－26|>0
D 、|+10|>|－10|
5.|3|= |－3|=
一个数的绝对值是3，则这个数是
四、达标检测
1.|67|= |－29|= |+（－12）|= |－（+27）|=
|0.02|= |23|= |－7.2|= |－12
|= 2.|+515|= |－515|= 绝对值为515的数有
3.下列说法正确的是（ ）
A. a -一定是负数
B. ||a 一定是正数
C. ||a 一定不是负数
D. ||a 一定是负数
4.下列各数中，互为相反数的是（ ）
A.－(－5)和－|－5| ，
B.|－3|和|+3|，
C.－(－4)和|－4| ，
D.|a|和|－a
5如果一个数的绝对值是8，则这个数是
6计算：（1）|－3|×|6| (2) |－5|+|－2.5|
(3) |1611|－|83-| (4) |23|÷|14
3| 7. 已知||a a =下列说法正确的是（ ）
A 、0a >
B 、0a <
C 、0a ≥
D 、0a ≤
8．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．
9．一个数的绝对值是32
，那么这个数为______；绝对值等于4的数是______．
10．绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………（ ）
A ．负数
B ．正数
C ．负数或零
D ．正数或零
11．给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．
其中正确的有…………………………………………………（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【拓展延伸】1．如果
a a 22-=-，则a 的取值范围是 …………………………（ ） A ．a ＞O
B ．a ≥O
C ．a ≤O
D ．a ＜O 2．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ．
3．如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ．
4．绝对值不大于11.1的整数有……………………………………（ ）
A ．11个
B ．12个
C ．22个
D ．23个
4. 已知│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,求a+2b+3c 的值。
5. 如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式
x b a ++x 2+cd 的值。
6. 已知│a │=3，│b │=5，a 与b 异号，求│a －b │的值。