圆锥曲线知识点总结(基础)

圆锥曲线的方程与性质

1椭圆 (1)椭圆概念

x 0，得y b ，则BdO, b) , B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点。同理令 y 0得x

a ，即A( a,0),

A>(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为

a ；在Rt OB 2F 2中，|OB 2 |

b , |0F 2 |

c , | B 2F 2 | a ,

2

2

2

2

2

2

且 |0F 2 I 2

I B 2F 2

I 2

|0B 2 |2，即 c 2 a 2 b 2 ；

c

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率。••• a c 0 ,••• 0 e 1，且e 越接近1, c 就

a

越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于0 , c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时 椭圆越接近于圆。当且仅当 a b 时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为 x 2 y 2 a 2。

2•双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(

|| PF 1 | | PF 2 || 2a )。

注意：①式中是差的绝对值，在0 2a | F 1F 2 |条件下；|PF 1 | | PF 2 | 2a 时为双曲线的一支； |PF 2| |PF 1| 2a 时为双曲线的另一

支(含 F 1的一支)；②当2a 厅汀

2

丨时，|| PF 11 |PF 2〔| 2a 表示两条射 线；③当2a | F 1F 21时，||卩已| |PF 2|| 2a 不表示任何

图形；④两定点 斤丁2叫做双曲线的焦点，| F 1F 2 |叫做 焦距。

平面内与两个定点 F 1、 的焦点，两焦点的距离

椭圆的标准方程为: F 2的距离的和等于常数

2c 叫椭圆的焦距。若 M

2

x

a

2

y_ b 2

2a (大于IRF 2I )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 为椭圆上任意一点，则有

0)(焦点在

x 轴上)

| MF 1 | |MF 2 | 2a 。

2

y

~2

a

b 2

(焦点在

上)。

注：①以上方程中

2 2

②在务占

a b

母的大小。例如椭圆

a b 0,其中b 2

a,b 的大小 2 2

y x_ 一 b 2 y

n 1和2

a 2

x 1两个方程中都有a 0的条件，要分清焦点的位置，只要看 n )当m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆;

的分

m

表示焦点在y 轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质

2

y_

b 2

② 对称性：在曲线方程里，若以

2

x ①范围：由标准方程笃 a

1知|x| a , |y| b ，说明椭圆位于直线 x a , b 所围成的矩形里;

y 代替y 方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时， x 代替x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以

占

八

(x, y)也在曲线上， x 代替x , y 代替y

所以曲线关于x 轴对称，同理，以 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心； ③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与

x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

椭圆和双曲线比较:

2

X

①范围：从标准方程

2

1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 b 2 a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。

x a 的外侧。即

②对称性:

2

与 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴, b 2

2

是双曲线x _

a

x 2

双曲线笃

a 2

爲

1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 b 2 原点

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 X ~2 a 2 爲

1的方程里，对称轴是

b 2

x,y 轴，所 2 x 以令y 0得x a ，因此双曲线和x 轴有两个交点 A （ a,0）A 2（a,0），他们是双曲线 — a 2 y b 2

1的顶点。 令x 0，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。

1） 注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） 端点。

2） 实轴：线段 A A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B ?叫做双 曲线的虚轴，它的长等于 ，双曲线的顶点分别是实轴的两个 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 2 图上看，双曲线x

a ⑤等轴双曲线： 1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： a

b ；

2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ； （2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。 3） 注意到等轴双曲线的特征 0时焦点在y 轴上。 2 y 9 2 与

1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 b 2 2 2

b ，则等轴双曲线可以设为：x y （ 0），当 0时交点在x 轴, x 2 ⑥注意—

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轴也变了。 3.抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 抛物线的焦点，定直线 x 2 16 1的区别：三个量a,b, c 中a,b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标 F 和一条定直线 I 叫做抛物线的准线。

I 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 （定点F 不在定直线I 上）。定点F 叫做

方程y 2 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F （卫，0 ）,它的准线方程是 x 卫;

2 2