希尔伯特的23个问题

合集下载

希尔伯特23个问题及解决情况

希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。

在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。

正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。

” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。

”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。

同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。

就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。

即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。

数学的相容性问题至今未解决。

3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。

4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。

希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。

1900年希尔伯特提出的23个问题

1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了一个震撼全球的问题清单，其中包括23个数学问题，这个清单被称为希尔伯特的23个问题。

这些问题使数学家们探索了整个20世纪，直到今天，这些问题仍然是数学家研究的热点问题，对数学的发展影响深远。

1.安德烈·韦伊定理：韦伊在1924年证明了，任何一个数都可以用四种平方数的和表示（顺序可以不同）。

这个定理改变了我们对于整数的理解，使我们看到了整数之间的微妙关系。

2.多项式方程组的求解：通过解决多项式方程组的求解问题，数学家得以研究出代数几何、拓扑学、数论等领域的问题。

3.梅尔斯定理：梅尔斯定理是数论中一条著名的定理，它对于我们研究素数产生了深远的影响。

梅尔斯定理的核心是：素数分布呈现出一定的规律性。

4.黎曼假设：黎曼假设是数学中著名的一条定理，它对数论的发展产生了重大影响。

它研究的是素数的分布规律，尽管至今没有得到证明，但数学家们一直在致力于研究。

5.黑格尔猜想：黑格尔猜想是一个普遍存在的问题，涉及到对于整数的理解和分解的问题。

它被认为是一条重要的代数学关于整数的猜想。

6.二十四问题中的第六个问题：从广义空间的角度出发，探究可能存在的最小的黎曼曲面。

7.有多少种平面上的几何形状可以拼成一个正方形：这个问题通过广义多面体的角度进行探究。

8.三次方程的求解：即$x^3+nx=m$，求解这个方程对于代数学中之后的发展产生了至关重要的作用。

9.每两个整数之间，是否都存在一个素数：这个问题涉及到数论中经典的问题，对素数的研究提供了更深层次的思考。

10.背包问题：这个问题涉及到了优化、操作科学、组合学等领域，是计算理论中著名的问题之一，它是物品对背包的选择问题，需要使得物品价值总和最大。

11.第五个问题：在数学中，研究高维空间的性质是一项极其困难的任务，希尔伯特提出了这个问题，想要探究高维空间的各个性质。

12.稳定性问题：在一些实际问题中，如果输入数据有一些错误，模型的结果是否会受到很大影响？这个问题问得正是这个。

数学素材：希尔伯特的23个数学问题

希尔伯特的23个数学问题湖南黄爱民希尔伯特（Hilbert D ，1862．1．23~1943．2．14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一．1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了二十世纪数学的发展．下面介绍部分问题给同学们．1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设．1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛———弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科亨证明连续统假设和策梅洛———弗伦克尔集合论公理是彼此独立的．因此，连续统假设不能在策梅洛———弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否．希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决．2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明．1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法．1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性．1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决．3．两个等底等高四面体的体积相等问题问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等．M ．W ．德恩1900年即对此问题给出了肯定解答．4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般．满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件．1973年，前苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决．5．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学．1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功．但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑．6．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a b c ，，，即()x x a b c ，，．这个函数能否用二元函数表示出来？前苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）．但如果要求是解析函数，则问题尚未解决．7．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法．希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础．现在已有了一些可计算的方法，但严格的基础迄今仍未确立．8．半正定形式的平方和表示一个实系数n 元多项式对一切数组12()n x x x L ，，，都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的．9．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决．。

希尔伯特的23个问题

有很多重要的结果 1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2 的方程具有至少3个成串极限环的实例。 1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。 1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
15.舒伯特计数演算的严格基础

一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
16.代数曲线和曲面的拓扑研究
3.两等底等高四面体体积之相等

只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思1900 年已解决。
4直线为两点间的最短距离

此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
7.某些数的无理性和超越性

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数。苏联的盖尔封特1929年、德国的施奈德及西格尔1935 年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
8.素数问题

素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。

希尔伯特23个数学问题

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢干公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
希尔伯特(Hilbert，David，1862～1943)德国数学家，生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。
中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授，1895年，转入格廷根大学任教授，此后一直在格廷根生活和工作，于是930年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格－莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。

希尔伯特23个数学问题

希尔伯特23个数学问题希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G.Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M.Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论) 这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A.O.Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T.Schneieder)及西格尔(C.L.Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E.Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H.Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L.Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V.Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学) 由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论)1929年，德国数学家伯恩斯坦(L.Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P.Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．。

希尔伯特的23个问题

在空间中给以最紧密排列的问题至今尚未完全解决。
19.正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这问题在下述意义上已获解
决,1904年,C.Bерн mтейн[前苏联]证明了一个两个变元的、解析的非线性椭圆方
程,其解必定是解析的。这个结果后来又被Bернтейн本人和и.г.п eтров
18.由全等多面体构成空间结晶体群理论问题的第一部分(欧氏空间中仅有有限个不同
类的带基本区域的运动群)于1910年由L.Bieberbarch肯定解决;问题的第二部分(是否存
在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体)已由Reinhardt(1928年)
和Heesch(1935年)分别给出三维和二维情形的例子;至于将无限个相等的给定形式的立体
决,即证明了存在群г,其不变式所构成的环不具有有限个整基。
15.Schubert计数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力,Schubert演算基
础的纯代数处理已有可能,但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础,已
由B.L.Vander Waerden(1938年 -1940年)与A.Weil(1950年)建立。
无理数β≠0证明了α攩β攪的超越性,1966年这一结果又被A.Baker等人大大推广和发展
了。
8.素数问题数论一般情形下的Riemann猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
问题至今也未解决。中国数学家在这方面做出了一系列出色的工作。
9.任意数域中最一般的互反律证明类域论已由高木贞治[日,1921年]和E.Artin[美192
,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需探讨的问题。至于概率论的公理化,已由

希尔伯特的二十三个问题

希尔伯特的二十三个问题1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果及发展趋势而提出的23个问题。

①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。

②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。

数学相容性问题尚未解决。

③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造及探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。

⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。

至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。

⑦某些数的无理性及超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。

⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。

一般情况下的黎曼猜想仍待解决。

哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。

⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。

⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。

11系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。

12阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。

13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。

希尔伯特23个数学难题

希尔伯特23个数学难题1. 哥德巴赫猜想：任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

2. 佩尔方程：找出满足 x² - ny² = 1 的自然数解，其中 n 是一个给定的正整数。

3. 费尔马小定理：如果 p 是一个质数，那么对于任意整数 a，a^p - a 都是 p 的倍数。

4. 黎曼猜想：所有非平凡的自然数零点都位于复平面上的某一直线上，即 "黎曼 Zeta 函数的非平凡零点的实部等于 1/2"。

5. 庞加莱猜想：任何大于1的整数都可以表示成至多四个自然数的平方和。

6. 费马大定理：对于任意大于2的整数 n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

7. 罗宾逊算术：是否存在一个算术表达式，可表示为解 x^n + y^n = z^n，其中 n、x、y、z 都是多项式函数？8. 连续平面切片问题：一个单位区间上的无限个单位半径圆，是否一定能够被切割为有限个片，从而使得每个片的周长之和无上限？9. 康托对角线证明了无穷的数量比可数的数量更多，这一论断是否成立？10. 佛馬定理：给定一个序列 a0, a1, a2, ...，是否存在一个多项式 P(x) ，使得对于所有 n，P(n)和 a(n) 在整数环上取得相等的值？11. 黑洞信息悖论：如果一个物体掉入黑洞的话，它的信息会丢失吗？12. 度量空间完备性：对于一个给定的度量空间，是否所有的柯西序列都收敛于该空间的内点？13. 矩阵剖析：对于一个给定的方块矩阵，是否可以逐步剖析为若干个小方块，而每个小方块都可以分解为若干个更小的方块？14. 程序终止：是否存在一个通用的算法，可以判断任意给定程序是否会在有限的步骤内终止？15. 旅行推销员问题：对于给定的城市和距离，是否存在一个最短的闭合路径，使得旅行推销员途经每个城市一次，然后返回起点？16. 负二次定理：是否存在一个实数 a，满足 a * a = -1 ？17. 确定性因素分解：是否存在一个确定性的多项式时间算法，用于将大整数因式分解？18. 最短超球面问题：给定一组点，是否可以找到一个最小的超球面，将这些点全部覆盖？19. 生物学中的形态发生：如何解释、理解和预测生物体的形态发生过程？20. 难以判定的问题：是否存在一个问题，无法通过任何算法，以有限步骤确定其答案的正确性？21. 最大连续子序列和问题：给定一个整数序列，找出具有最大和的连续子序列。

希尔伯特的23个问题

04 问题四：物理学的公理基础
问题的表述
希尔伯特提出的问题四，主要关注物理学的基础公理。他希望找到一组基本的公理，能够作为物理学理论的基石，并使得整个物理学理论体系严密、一致和完备。
这个问题涉及到物理学的基本概念和原理，如空间、时间、物质、力等，以及它们之间的关系和推导。
希尔伯特希望通过公理化方法，将物理学理论建立在坚实的逻辑基础上，避免理论内部的矛盾和冲突，并使得理论具有更好的预测和解释能力。
对于一般的域F，克罗内克假设仍然是一个开放的问题。目前的研究主要集中在代数几何和代数数论领域，通过研究代数曲线、代数曲面和高维代数簇的几何结构和性质，来探讨克罗内克假设的可能性。
尽管克罗内克假设尚未得到完全解决，但它的研究对于代数几何和代数数论的发展有着重要的意义，有助于深入理解代数的结构和性质。
问题的研究历史
自希尔伯特提出这个问题以来，许多数学家和物理学家都致力于研究这个问题，尝试建立物理学的基本公理体系。
20世纪初，德国数学家赫尔曼·外尔和埃米·诺特等人在这方面做出了重要贡献，他们尝试将相对论和量子力学等现代物理学理论建立在公理基础上。
然而，尽管取得了一些进展，但至今仍未能够完全解决这个问题。许多物理学家认为，完全公理化整个物理学理论体系可能是不现实的，因为物理学理论的发展和变化是不断进行的。
总结词
希尔伯特问题五至今仍未得到完全解决，尽管已有一些进展和新的观点。
详细描述
近年来，数学界对希尔伯特问题五的关注度有所提高，新的数学工具和技术为解决这个问题提供了新的可能性。然而，尽管取得了一些进展，但该问题仍未得到完全解决。
06 问题六：数学分析中的形式主义系统
问题的表述
01
希尔伯特的第六问题询问的是：是否存在一种形式化的、有效的证明方法，能够确定数学分析中的所有命题的真伪？

希尔伯特数学23个世界难题

希尔伯特数学23个世界难题1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。

内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。

该23个问题的简介如下：1.连续统假设。

2.算术公理体系的兼容性。

3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。

即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。

4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。

5.拓扑群成为李群的条件。

6.物理学各分支的公理化。

7.某些数的无理性与超越性。

8.素数问题。

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。

9.一般互反律的证明。

10.丢番图方程可解性的判别。

11.一般代数数域的二次型论。

12.类域的构成问题。

具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理域。

13.不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。

14.证明某类完全函数系的有限性。

15.舒伯特计数演算的严格基础。

16.代数曲线与曲面的拓扑研究。

17.正定形式的平方表示式。

18.由全等多面体构造空间。

19.正则变分问题的解是否一定解析。

20.一般边值问题。

21.具有给定单值群的线性微分方程的存在性。

22.用自守函数将解析关系单值化。

23.发展变分学的方法。

20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题

在20世纪初期，数学家大卫·希尔伯特提出了23个他认为是最重要的数学问题，这些问题被称为希尔伯特的23个问题。

这些问题包含了许多不同领域的数学，如代数、几何、分析等，被认为是当时数学界最棘手和最有挑战性的问题。

数学家们纷纷投入研究，但许多问题至今仍未得到圆满解决。

在本文中，我们将深入探讨希尔伯特的23个问题，并从不同角度展开阐述，帮助您更加全面地了解这些数学难题。

1. 斐波那契猜想希尔伯特的第5个问题是关于斐波那契数列的猜想。

斐波那契数列是指每个数字等于前两个数字之和的数列，如1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21等。

希尔伯特猜想，斐波那契数列中相邻两个数之间的最大公约数是1。

这个问题涉及到数字理论和算术的深入研究，目前仍待解决。

2. 黎曼猜想另一个备受关注的问题是黎曼猜想，这是希尔伯特的第8个问题。

黎曼猜想涉及到复变函数的性质，特别是与质数分布相关的复变函数。

许多数学家致力于试图证明或者反驳黎曼猜想，但至今尚未有定论。

3. 洛伦兹方程组和纳维-斯托克斯方程希尔伯特的第6个问题涉及到经典物理学中的流体力学方程，即洛伦兹方程组和纳维-斯托克斯方程。

这两个方程组描述了流体的运动规律，对理解大气、海洋、宇宙等流体运动具有重要意义。

然而，这两个方程组的数学性质至今仍未完全理解。

4. 黏性流体力学的数学理论希尔伯特的第16个问题涉及到黏性流体力学的数学理论，这是一个非常具有挑战性的问题。

黏性流体力学是描述流体运动的数学模型，对于工程、地质、气象等领域具有重要意义。

虽然在一些简化的情况下可以得到解析解，但在一般情况下仍是一个未解决的难题。

5. 素数假设我们提到希尔伯特的第7个问题，即素数假设。

素数在数论中具有重要地位，而素数假设涉及到素数分布的规律性。

虽然数学家们已经证明了一些关于素数分布的结论，但素数假设仍未得到圆满解决。

以上只是希尔伯特的23个问题中的几个代表性问题，这些问题涉及到数学的各个领域，对于数学家们来说是一场挑战，同时也是一次思想的盛宴。

1900年希尔伯特提出的23个问题

1900年希尔伯特提出的23个问题1900年，德国数学家大卫·希尔伯特在国际数学家大会上提出了二十三个数学难题，这些难题被称为希尔伯特的23个问题。

这些问题涉及了数学的各个领域，从代数到分析，从几何到数论，从数学逻辑到拓扑等等。

希尔伯特希望通过这些问题的研究，推动数学的发展，解决一些重要的数学难题，促进数学与其他科学的交叉研究。

希尔伯特提出的23个问题中，最著名的是他的第一问题：连续统一的函数。

在这个问题中，希尔伯特问道，是否存在一个连续函数，可以将所有的整数映射到实数上去。

这个问题牵涉到了数学的基础理论，深刻地影响了数学的发展。

后来，通过对这个问题的研究，数学家们逐渐发展出了拓扑学的基本概念和方法，使得这个问题得到了更加深入和完善的解答。

除了第一问题，希尔伯特的23个问题中还有很多其他具有重要意义的问题。

比如第二个问题：是否存在一个确定性的算法，可以判断任意给定的二次方程是否有整数解。

这个问题涉及了数论和算法的复杂性理论，对计算机科学的发展起到了重要的推动作用。

另一个著名的问题是第七个问题：黎曼猜想。

这个问题是关于黎曼ζ函数的性质的猜想，涉及了复变函数的研究，对数论的发展有着重要的影响。

至今，黎曼猜想仍然是数学界的一个重要未解问题，解决它将对数论和几何拓扑学有着深远的影响。

希尔伯特的23个问题不仅对于数学的发展具有重要的意义，也深刻地影响了20世纪整个数学界的研究方向和发展轨迹。

许多数学家为了解决这些问题，进行了深入的研究，取得了众多重要的成果。

这些问题激发了无数数学家的智慧和创造力，推动了数学的发展，并促进了数学与其他科学领域的交叉融合。

然而，虽然希尔伯特的23个问题引起了广泛的关注，但并不是所有的问题都得到了解决。

一些问题已经在之后的几十年中被证明是不可解的，比如第十五个问题：希尔伯特方程是否有一个通解。

而一些问题，如黎曼猜想，至今仍然没有得到最终的证明。

虽然希尔伯特的23个问题本身遗留下许多未解之谜，但它们对于数学的发展起到了重要的推动作用。

希尔伯特23个数学问题

Hilbert 23个数学问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。

他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。

他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

[01]康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。

1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。

1963年，美国数学家科恩（P·Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。

因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。

在这个意义下，问题已获解决。

[02]算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。

希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。

根茨（G·Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900年已解决。

[04]两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。

满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。

1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。