小世界网络特征路径长度计算方法研究

科技情报开发与经济
ＳＣＩ－ ＴＥＣＨ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ＤＥＶＥＬＯＰＭＥＮＴ ＆ ＥＣＯＮＯＭＹ
２００８ 年 第 １８ 卷 第 １９ 期
文章编号： １００５－ ６０３３（ ２００８） １９－ ０１２５－ ０３
收稿日期： ２００８－ ０５－ ０４
小世界网络特征路径长度计算方法研究
李华云
（ 盐城工学院图书馆， 江苏盐城， ２２４０５１）
而解。
根据 ｐ 值变化对 Ｌ 的影响， 我们可知当 ｐ 值不断增加且趋向于 １
时， Ｌ 随网络规模 Ｎ 的增加呈对数增长， 小世界模型逐渐接近并最终演
变成随机图； 相反， 若 ｐ 或 Ｎ 都很小， Ｌ 随 Ｎ 线性增长。由于是模型的唯
一特征长度单位， 因此在满足 Ｎ ＝! 的条件下， Ｆ（ ｘ） 有如下形式：
随 后 ， 我 们 在 原 句 中 追 加 另 一 例 句 ：“ 中 国 贸 促 会 会 长 俞 晓 松 ： 中 国 获 胜 ， 世 界 共 赢 ”以 观 测 小 世 界 网 络 构 造 的 另 一 方 法— ——“ 添 加 长 键 ”的 形成过程。同样， 经过系统的词语切分和筛选， 两例句的关键词集合扩大 为： 俞晓松 中国 申博 成功 举国上下 共同努力 结果 中国贸促会会长 俞
晓松 中 国 获 胜 世 界 共 赢 。 由 于“ 中 国 ”和“ 俞 晓 松 ”在 两 例 句 中 重 复 出 现， 因此， 他们在第二句中与新加入网络的分词间所建立起来的联系可 用长键表示， 在图 ２ 的右图中显示为长键（ 粗线） 。可见， 词语共现网络的 形 成 同 时 包 括 了“ 断 键 重 连 ”和“ 添 加 长 键 ”两 个 过 程 。
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李华云 小世界网络特征路径长度计算方法研究
本刊 Ｅ－ ｍａｉｌ：ｂｊｂ＠ｍａｉｌ．ｓｘｉｎｆｏ．ｎｅｔ 科技研讨
是无序的随机图结构， 表现在捷径数量的增加已无法进一步改善网络节 点间平均的距离， 因此它的下降加速度也逐渐趋缓， 接近一个固定的值。 例如， 用公式（ ４） 测得， 当网络中捷径数为 ３．５ 条时， 网络平均距离可比原 来缩短一半， 而当捷径数上升到 ４４ 条时， 平均距离却变化不大。这说明 捷径数并非越多越好， 冗余的捷径非但不会降低节点间的平均距离， 还 会使节点各自分散， 无法凝聚成一个个小集团， 破坏网络的结构。我们在 构建词汇共现网络时， 也充分考虑了这点， 只在距离每个关键词 １ 步到 ２ 步的邻居间添加边， 从而避免了冗余的捷径破坏词图的小世界特性。
１０
ｘ
１００ １ ０００ １０ ０００
注： 实线是预测数据， 空心点是实测数据。在 ｘ＝１ 处， 实测数据和预
测数据不相符合。右上角的小图是断键重连概率 ｐ 对 Ｌ 的影响。
图 １ 捷径数 ｘ 对网络节点间平均距离 Ｆ（ ｘ） 的影响
图 １ 反映了捷径数与网络节点间平均距离的关系： 当捷径数小于 １ 时， 网络结构处于有序的规则状态， 网络节点间的平均距离很长， 基本保 持在 １／４ 值附近稳定； 而当第一条捷径加入网络开始， 节点间的平均距离 就迅速缩短， 此时网络结构发生了重大变化， 从规则网络逐渐向小世界 模型过渡； 随着捷径数的逐渐增大， 网络的小世界特征消失， 取而代之的
Ｎ≤Ｎ＊ 时， 则只具有大世界特征。
４ 实例介绍
虽然各国学者作了多方努力， 在计算小世界模型特征路径长度方面 取得了长足的进步， 然而现实生活中人们构建小世界网络的方法远不仅 仅 局 限 于 单 一 的“ 断 键 重 连 ”或“ 添 加 长 键 ”这 么 简 单 。本 文 选 取 中 国 新 闻 网上一篇题为《中国贸促会会长俞晓松： 中国获胜 世界共赢》的新闻报 道作为实例进行分析。就本例而言， 文献在经过中文自然语言的词语切 分、过滤后， 生成一个有意义的关键词集合， 在此基础上重新考虑各分词 之 间 的 关 系 ， 添 加 连 接 的 过 程 类 似 于 小 世 界 网 络“ 断 键 重 连 ”的 构 造 方 法； 当然， 概念的展开和深入必定会有承上启下的过程， 因此重要关键词 语在各个句子中反复出现无疑是在该关键词和另一个分词间添加了长 键。
摘 要： 探讨了小世界网络中特征路径长度的两种计算方法， 通过举例在中文文献环 境下验证了这两种方法的实际效果。 关键词： 小世界网络； 关键词； 特征路径 中图分类号： Ｇ３５０．７ 文献标识码： Ａ
１ 问题的提出
小世界网络是对现实世界大量真实复杂系统的高度抽象， 虽然人们 可以很容易地从全局变量和局部变量两个方面对其特征进行概括， 然而 至今还没有一种简单的方法能够精确计算其网络特征， 尤其是对于特征 路径长度 Ｌ， 无论是其计算还是分布推导都相当困难复杂。长期以来， 以 Ｎｅｗｍａｎ 为首的著名小世界理论研究专家一直致力于寻找合适的方法计 算特征路径长度 Ｌ 的值， 根据小世界构造原理， 他们分别讨论了添加长 键 的 转 化 小 世 界 网 络（ ＮＷ 模 型） 和 断 键 重 连 的 标 准 小 世 界 网 络（ ＷＳ 模 型） 中的特征路径长度。
３ 断键重连模型中的特征路径长度
一般来说， 计算 ＷＳ 模型的特征路径长度要比 ＮＷ 模型复 杂 得 多 ，
因为若以 ｐ 的概率重新连接一键（ 边） 至任一随机选取的目标节点上， 很
难保证网络中不会有重复的键（ 边） 或孤立的点出现。稍不留神就会造成
断键而不重连， 从而使整个网络的结构崩溃。然而， 断键重连现象在现实
关联矩阵｛ ａｉｊ｝ 和邻接距离矩阵｛ ｌｉｊ｝（ ｌｉｊ 是点 ｉ 到点 ｊ 的实际距离） ， 并定义：
# # １ 节点 ｉ 与节点 ｊ 有边相连
１ 节点 ｉ 与节点 ｊ 有边相连
ａｉｊ
０
节点
ｉ
与节点
ｊ
； 无边相连
ｌｉｊ
＝
∞ 节点 ｉ 与节点 ｊ 无边相连
；
则有：
%&０ １ １ ０
&
&&１ ０ ０ １
，
因为
ｔａｎｈ－ １ｙ＝
１ ２
ｌｏｇ
１＋ｙ １－ ｙ
，
’ ) 所以有： ｔａｎｈ－１ ｘ &ｘ２＋２ｘ
＝
１ ２
ｌｏｇ
１＋ｘ／ &ｘ２＋２ｘ １－ ｘ／ &ｘ２＋２ｘ
。
+ ) 当
ｘ→∞ 时， ｌｏｇ 里的分子
１＋ ｘ &ｘ２＋２ｘ
→２，
’ ) 而此时分母 １－ ｘ &ｘ２＋２ｘ
＝１－
１ &１＋２／ｘ
≈１－
Ｂａｒｔｈｅｌｅｍｙ
和
Ａｍａｒａｌ
得
出
τ＝
２ ３
（
τ： 集团化系数） 。他们的结果立刻遭到
Ｂａｒｒａ（ｔ １９９９） 的反对， Ｂａｒｒａｔ 指出 τ不可能小于 １， 并进一步用数值证明 τ
只能等于 １。
１９９９ 年 ， Ｎｅｗｍａｎ 和 Ｗａｔｔｓ 分 别 讨 论 了 在 不 同 维 度 下 的 公 式 计 算 的
字模拟和级数展开 可 得 到 与 Ｂａｒｔｈｅｌｅｍｙ 和 Ａｍａｒａｌ 公 式 相 同 的 结 果 。 值
得注意的是， 式（ ２） 只有在 !≥１ 的情况下才严格成立。虽然公式中含有 ３
个参数— ——ｐ， ｋ， Ｎ， 但事实上 Ｌ 的数值可能只由一个含有单个变量的函
数决定。如果我们能求出这个函数的具体公式， 则所有的问题都将迎刃
（ ６）
公式（ ６） 也可简化成下列形式：
# ｄｉｊ＝
ｌｉｊ 节点 ｉ 与节点 ｊ 有边相连 Ｎ 否则为网络中的节点数
生 活 中 又 不 可 避 免 。中 文 自 然 语 言 的 词 法 分 析 好 比 打 断 原 有 文 献 的 网 络
结构， 以 ｐ 的概率过滤掉某些词汇并重新连接词汇间的联系边。因此， 不
能 忽 视 对“ 断 键 重 连 ”网 络 结 构 的 特 征 分 析 。
２０００ 年 Ａ．Ｂａｒｒａｔ 和 Ｍ．Ｗｅｉｇｔ 提 出 ＷＳ 模 型 的 特 征 路 径 长 度 计 算 公
注： 粗线表示两关键词之间存在长键联系 图 ２ “断键重连”和“添加长键”形成词汇共现网络的过程示例图
鉴于目前没有很好的方法计量网络特征路径长度， 作者引入图论中 关于最短路径的计算方法， 利用图的关联矩阵和邻接距离矩阵计算网络 平均最短路径。其原理见图 ３。
图 ３ 普通网络图
已知图 ３ 是一各边边长均为 １ 的无向无权稀疏网络 Ｇ， 分 别 构 筑 其
举例说明， 抽取原文中：“俞晓松说， 中国申博成功， 是举国上下共同 努力的结果。”一句为例， 首先经过 ＩＣＴＣＬＡＳ 词 法 分 析 系 统 语 词 切 分 得 到若干分词如下： 俞晓松 说 中国 申博 成功 是 举国上下 共同努力 的 结 果。
再根据 Ｃａｎｃｈｏ 与 Ｓｏｌｅ 发现的规则定义分词与其间隔 １ 步和 ２ 步的 邻居产生联系添加边， 形成单句的词汇共现网络， 见如图 ２ 中左图。不难 看出， 该句最初的词汇共现网络结构类似于一个平均度为 ４ 的一维点阵 模型， 为方便计算起见， 我们通常用循环边界条件使之形成一个简单的 规则圆环。然后， 根据句法， 我们过滤掉：“说， 是， 的”三个无用的动词与 连词。并重新分析分词间的关系后添加边， 完成“断键重连”过程。
"１
$
Ｆ（
ｘ）
＝
$$４
#
ｘ＜１
（ ３）
%$$$ｌｏ４ｇｘ２ｘ ｘ≥１
随后， Ｎｅｗｍａｎ 等进一步定位了 ｄ＝１ 时 Ｆ（ ｘ） 的精确计算公式：
Ｆ（ ｘ） ＝ １
ｔａｎｈ－１ ｘ
（ ４）
２ &ｘ２＋２ｘ
&ｘ２＋２ｘ
事实上， 公式（ ４） 只是对公式（ ３） 的变形， 可用下列几步进行推导：
’ ( 设 ｙ＝ ｘ &ｘ２＋２ｘ
１ １＋１／ｘ