空气动力学CH3

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空气动力学 Aerodynamics
举例：龙卷风的风眼是有旋的，该区域速度很大，产生很大 的负压，是造成破坏的根本原因。风眼外是无旋的。
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空气动力学 Aerodynamics
点涡位于（
, ）时：
0 y arctan 2 x 2 2 0 ln x y 2
流函数
( x, y ) V r


a2 sin r
a2 a2 速度分布 u V 2 sin 2 V (1 2 cos 2 ) v y r r x
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空气动力学 Aerodynamics
0
0
u
y x y2
2
cos 2 M r2 x sin 2 v M y r2
V u2 v2
M r2
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8
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空气动力学 Aerodynamics
x x2 y2 y M 2 x y2
M
等位线： 经过原点与y轴相切的圆。 流线： 经过原点与x轴相切的圆。 偶极子是有轴线的，原来的源、汇 放置的那条直线就是偶极子的轴线。 图中偶极子轴线为x轴。源在汇的左侧， 流体从原点左侧流出，从右侧流回原 点，正向指向x轴负方向，与流函数表 达式符号一致。
3
是存在某函数Φ的充要条件， Φ的梯度等于速度，Φ称为速度位函数。
空气动力学 Aerodynamics
则：
u x
v y
d udx vdy
在流场中速度位函数等于不同常数时作出的一系列线称为等位线。 位流： 存在速度位函数的流动。 位函数存在的条件： 流动无旋。 位函数与速度之间的关系： 位函数满足的方程： 位函数与速度之间的 关系代入连续方程：
0
2
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空气动力学 Aerodynamics
压强系数：无量纲压强
p p V2 1 2 1 4 sin 2 Cp 1 V V2 2
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空气动力学 Aerodynamics
均匀流+点源+点汇 均匀流绕过椭圆（兰金椭圆） 型物体的流动 （第一次作业第4题） 注意：点源、点汇强度相等
u V ,
v0
V x
V y
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空气动力学 Aerodynamics
2
点源/汇－source/sink
源在坐标原点 设点源的流量 Q 为常数，则半径为r处的流速 流速
Vr
Q 2r
V 0
流函数 位函数

Q y Q 或 arctan x 2 2
Q ln r 2
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空气动力学 Aerodynamics
2
直匀流+偶极子+点涡——均匀流绕圆柱体的有环量流动
位函数
a2 ( x, y ) V 1 2 x 2 r
M a2 V
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空气动力学 Aerodynamics
流函数
( x, y ) V (1
v
0 y x
0 s
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2）壁面边界条件：壁面法向速度等于0 流体与壁面相切（壁面型线为流线）
0, n
空气动力学 Aerodynamics
极坐标系下，流函数、位函数与速度之间的关系：
Vr
r
V
r
Vr
V r r

r x2 y2
等位线： 以原点为中心的同心圆族。 流线：从原点出发的射线族。
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空气动力学 Aerodynamics
源不在坐标原点
Q ln ( x ) 2 ( y ) 2 2 Q y arctan 2 x

u
x Q x 2 x 2 y 2
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3.3 简单流动的叠加举例
1
直匀流加偶极子——均匀流绕圆柱体的无环量流动
位函数
( x, y ) V x M
( x, y ) V x

x r2
M a2 V
a2 x a2 V r cos r2 r
V 2V sin 2
p 2 V p
2
V
2
p p

2
V2 (1 4sin 2 )
dF pad
a
圆柱表面所受合力：
d
达朗陪尔疑题——流体绕过一 封闭物体不会遇到阻力？
ds ad
Fx dF cos 0
0
2
Fy L dF sin 0 无环量绕流升力等于0。
v
y Q y 2 x 2 y 2
点汇与点源的区别在于流速方向不同，在以上公式中Q前加一 “－”号，即为点汇对应的各种量的表达式。
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空气动力学 Aerodynamics
3
偶极子－doublet
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇的叠加。 相距h的源和汇的叠加，汇在原 点，源在汇的左侧 位函数
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空气动力学 Aerodynamics
根据速度分布
V
0 1 r 2 r
V 1 0 2 2 r r
可见，r越小，速度变化率越大，此时粘性力必然要起作用，结果在 点涡处有一涡核，核内流体速度与r成正比，流动有旋（强制涡）； 核外由点涡诱导产生的速度与r成反比，流动无旋（自由涡）。

Q [ln 2
x h
2
y2
ln x 2 y 2 ]
或
Q ln 2
x h 2 y 2
x2 y2
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空气动力学 Aerodynamics
流函数

Q [1 2 ] 2
1 为流场内点P与源的连线和正x轴的夹角。
2
为流场内点P与汇的连线和正x轴的夹角。
可见在θ＝0 和θ＝π 两点上速度为0， 所以有前后两个驻点A和A'，流动可以 看作均匀流绕过一半径为a的圆柱体， 且在圆柱表面上只有切向速度。
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空气动力学 Aerodynamics
速度环量： V ds V rd 0 故称该绕流为无环量绕流！
0



2

根据伯努利方程，圆柱 表面上压强分布为：
d udy vdx
u
y
x
6
Ψ =C 代表一系列流线。
v
平面、不可压、无旋流动流函数满足的方程： 流函数与速度之间的关 系代入无旋流动旋转角 速度等于0的表达式：
2 2 0 x 2 y 2
6
3
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2 0 x 2 y 2
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空气动力学 Aerodynamics
若偶极子轴线与y轴重合，正向指向负y轴。
M
y , x y2
2
M
x x y2
2
若偶极子轴线和x轴成
角时：

M x cos y sin x y2
2
若偶极子位于（ , ） 轴线指向负x轴时：
M
x 2 2 x y
1 arctan
y y , 2 arctan xh x
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空气动力学 Aerodynamics
极限情况： h 0 , 令： M
Q
Qh 为一有限的常数，则 2
Q lim( ln h 0 2
x h 2 y 2
x2 y2
)M
x x y2
2
M
10源自文库
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空气动力学 Aerodynamics
3.2 几种简单的二维位流的特点
1
直匀流－uniform flow
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流。 位函数 流速 流函数
ax by
u a x
v
b y
bx ay
常用均匀流：来流方向与 x 轴平行， 从左面远方流来，流速 V，则：
5
v
Ψ＝C 的线上： d Ψ 0 ,
udy vdx 0 ,
所以 Ψ =C 代表一系列流线， 称为流函数（ Stream Function ）。
空气动力学 Aerodynamics
流函数： 平面不可压流中，描绘流线的函数。 流函数存在的条件： 平面不可压流动。 流函数与速度之间的关系： 流函数的物理意义

以速度环量来度量点涡强度

0 1 (2r ) 0 2 r
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空气动力学 Aerodynamics
说明：
在r＝0处，速度为无穷大，称为奇点。 r>0的其它各处的速度相当于一条强度为Γ0的、位于z轴的无限长 涡线所诱导出的速。 绕包围奇点的任何形状的封闭围线计算的环量值等于点涡强度。 绕不包括奇点的任意围线计算的环量值为零。说明除奇点外，流 动处处无旋。
8
4
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空气动力学 Aerodynamics
流场中过同一点的等速度位线（等位线）与流线正交，组成流网。

c

c
流网
注意：在速度为0的点（滞止点）上，流线和等位线不正交！
9
空气动力学 Aerodynamics
结论：
1. 要描写一平面不可压缩无旋流，有流函数和位函数一个就够 了，已知一个，理论上速度分布就可以求得，另一个函数也 就可以求得。所以求平面不可压缩无旋流流场，可以通过求 得流函数或位函数来达成。 2. 流函数和位函数都满足拉普拉斯方程，它们的解具有叠加性， 可以通过已知的简单流动的解的线性组合，得到流体绕某些 复杂形状物体流动的理论解。该方法为复杂物体绕流流场求 解提供捷径。不需求解拉普拉斯方程或连续性方程和欧拉方 程组成的方程组。
对应两条流线，一条是x轴（θ=0），另一条就是r=a的圆。
a2 x, y V sin 0 r r
在圆上，速度分布为：
u V 1 cos 2
v V sin 2
V u 2 v 2 2V sin V
2
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空气动力学 Aerodynamics
3.1 平面不可压缩无旋流动的位函数、流函数
平面位流——Two Dimensional Potential Flow 平面：二维，z方向速度为0， 各物理量在z方向不变
uz 0
0 z
平面无旋流动
z 0
v u x y
y 2 2 x y
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M
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空气动力学 Aerodynamics
4
点涡－vortex
等势线：从原点出发的射线族。 流线：以原点为中心的同心圆族。 位函数 流函数 流速
0 2 0 ln r 2 0 1 V r 2 r
2 2
空气动力学 Aerodynamics 2
具有叠加性。
都为拉普拉斯方程， 为调和函数，它的解
0 x 2 y 2
也就是说，拉普拉斯方程的任何一个解都代表一个无旋流动的速度 位函数或流函数。具体流动的特解取决于边界条件。 绕流问题边界条件： 1）无穷远边界条件： u
V , x y
2 2 0 x 2 y 2
4
2
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空气动力学 Aerodynamics
流函数： 平面不可压缩流的连续方程：
u v 0 x y
u v x y
是存在某函数Ψ 的充要条件，Ψ 满足：
d udy vdx
u
y
x
u v dx dy
2014/3/5
空气动力学 Aerodynamics
第3章 低速平面位流 重点回顾
武俊梅
空气动力学 Aerodynamics
学习路线及要点： 1. 什么是位流（势流）？位函数的存在条件、与速度之间的关 系，位函数满足的方程。 2. 什么是流函数？流函数的物理意义，存在条件、与速度之间 的关系，位函数满足的方程。 3. 几种简单平面位流的特点。 4. 均匀流偶极子叠加形成的流场特点。 5. 均匀流+偶极子+点涡形成的流场特点。 6. 库塔——儒科夫斯基定理 7. 驻点、压强系数等概念。