量子力学周世勋习题解答第五章范文

第五章习题解

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知

)()(ˆ0

r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r

ze r U 02

4πε-

=）（

)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，

r

Ze r U 02

4)(πε-=

在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞

-=r Edr e r U )(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102

00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε

⎰⎰∞

--=0

)(r r r

Edr e Edr e r U

⎰⎰

∞

-

-

=00

20

2

3

002

144r r r

dr r Ze rdr r Ze πεπε

)3(84)(82

203

020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤

⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ00022

2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z

e a Z 02/130

3)

0(1)(-=πψ）

⎰∞

'=τψψd H E 1

11 ⎰

-+--=0

00

2

2022203

023

3

4]4)3(8[r r a Z

dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故10

2≈-r a Z

e 。

∴ ⎰

⎰

+--=0

3

02

40

4

2

20

3

3002

4)1(1

)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E

πεπε

20

30024505

030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2

30

02410r a e Z πε= 2

03

2452r a e Z s = #

5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε

中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

解：取ε

的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为

θεεcos ˆ212ˆˆ22D L I

D I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H

-='=，则 H H H

'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，又把H

'ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。 )0(ˆH 的本征值为2(()))1(21

+=I

E 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =

)0(ˆH

的基态能量为000

=）（E ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 ∑-''= )

0()0(02

)

2(0

H E E E ⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m sin )cos (ˆ00*)

0(0)0*(0 ⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθπ

π

εd d Y Y D m sin 413

4

10*

⎰-=ϕθθd d Y Y sin 3

10*0

13

δε

D -=

I D I

D E E E 2

22

2

1

2

22'

)

0()0(02

')2(0

31)1(32 H

εδε

-

=+⋅-=-'=∑

∑ #

5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H

'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112

，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得

nn

n H E '=)

1( ∑-'=m

m

n mn

n

E E H E )

0()0(2

')

2(

得 b H E b H E ='=='=22

)

1(0211)1(01 02012

0012

1'

)

2(01

E E a E E H E

m

m

m -=-'=∑

01

022

0022

1'

)2(02

E E a E E H E

m

m

m

-=-'=∑

∴ 能量的二级修正值为

02

012

011E E a b E E -++=

01

022

022E E a b E E -++=

#

5.4设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε，ε及 ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。

解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为

24

1min min 2

s e E E hv μω=-==∞

h

e v s 24min 2 μ=34

191062.6106.16.13--⨯⨯⨯=Hz 15

103.3⨯=