高中数学二次函数(1)新人教A版必修1

学案8 二次函数（1）

一、课前准备： 【自主梳理】

1、二次函数解析式的三种形式：一般式：

顶点式： 交点式： ．

3、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系：

【自我检测】

1、已知函数y =x 2

+bx +c 是偶函数，则函数y =cx +b -1必过定点 .

2、已知0322

≤-x x ，那么函数1)(2

++=x x x f 的最大值是 .

3、如果函数2

()(0)f x ax bx c a =++>对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么f （2），

f （1），f （4）的大小关系是 .

4、已知函数()f x =ax 2

+(1-3a )x +a 在区间[1，+∞)上递增，则a 的取值范围是 .

5、若函数()322

++=x x x f 在区间]0,[m 上的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范

围是 .

6、设0>b ，二次函数12

2

-++=a bx ax y 的图象为下列图象之一：

则a 的值为 . 二、课堂活动： 【例1】填空题：

(1) 已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一、二、四象限，则直线

y ＝ax ＋b 不经过

第________象限． (2) 函数f (x 的值域为 ．

(3) 已知函数b ax x x f 2)(2

++=，设0)(=x f 的两根为x 1 、x 2，且x 1∈(0，1)， x 2∈(1，2)，则

1

2

--a b 的取值范围是 ． (4) 二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ．

【例2】 设f (x )＝x 2

＋ax ＋3－a ，若f (x )在闭区间[－2,2]上恒为非负数，求实数a 的取值范围．

【例3】设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0，

(1)若a ＝1，求f (2)的值；

(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5．

三、课后作业

1、函数f (x )= f (x )=(x -1) 2

-1，x ∈[0,2]的值域为________．

2、f (x )=x 2

+(m +2)x +1是偶函数，则m =________.

3、f (x )=x 2

-2ax +3的增区间为[4，+∞)，则a =________.

4、二次函数f (x )的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0)，则f (x )=________________.

5、若不等式x 2

+bx +c ＜0的解集是(-1,2)，则b +c =________.

6、已知函数f(x)=x 2

－2x ＋2，那么f(1)，f(－1)，f(3)之间的大小关系为 .

7、若函数x x x f 2)12(2

-=+，则)3(f =

8、已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，

有下列四个结论：① 0

>-ac b

③024>+-c b a ④ 0a b c -+<， 其中正确结论的序号有__________ (写出所有正确结论的序号) 9、求函数2

43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．

10、已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值

学案8 二次函数（1）

【自我检测】

1、（0，-1）

2、419

3、f （2）

4、[0，1]

5、[-2，-1]

6、1-

二、课堂活动：

【例1】：（1）二 （2）[0，2] (3) (

4

1

，1) (4) [2,4] 【例2】解：f (x )＝x 2

＋ax ＋3－a ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24.

f (x )≥0在x ∈[－2,2]上恒成立，即f (x )在[－2,2]上的最小值非负．

(1)当－a 2

<－2，即a >4时，y min ＝f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤7

3

，这与a >4矛盾，

此时a 不存在；

(2)当－2≤－a

2≤2，即－4≤a ≤4时，y min ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 2

4≥0，得－

6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2；

(3)当－a

2

>2，即a <－4时，y min ＝f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7，此时－7≤a <－4. 综上，所求a 的范围是[－7,2]． 【例3】解：(1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1，

∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：首先说明a ≠0，

∵f (1)·f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0， 若a ＝0，则f (1)·f (3)＝－b 2

＜0与已知矛盾， ∴a ≠0，

其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，

∴若a ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)＜0， ∴若a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)＞0. 故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点， ∴ 二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，

(或利用Δ＝b 2

－4ac ＝b 2

＋4a (6a ＋2b )＝b 2

＋8ab ＋24a 2

＝(b ＋4a )2

＋8a 2

＞0来说明)

∵a ≠0，

∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0两边同除以－a 2

得 (b a ＋3)(b a ＋5)＜0，∴－5＜b a ＜－3.∴3＜x 1＋x 2＝－b a

＜5.

三、课后作业

1、[-1,0]

2、-2

3、4

4、f (x)=—4x 2

+16x —12 5、—3 6、.f(1)＜f(3)＜f(－

1)