矩形截面杆、薄壁杆的扭转

4G
13s2
A2 1
2
3
s1
A2 2
12s3 (
A1
A2
)2
(2-14) (2-15) (2-16)
例2 两个截面完全相同的变厚度薄壁杆如图8所示，其
中（a）为闭口，（b）为开口，试分析两杆件在抗扭转 刚度和最大剪应力方面的特点。
解（1）开口薄壁杆
由式(2-6),得单位长度扭转角：
G
3T
ai
(2n 1)5
]
(2-20)
将式(1-19)和式(1-20)分别写成
T ab3G
(2-21)
max
T
ab2
(2-22)
其中 和 都是仅与比值 有a关/ b的参数，这两个因子通过计
算可以表示如下：
图2
由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆， a / b 很大，
则 和 都趋近于1/3,这时式(2-21)和(2-22)分别简化为
(2-12)
再分别对两根中心闭合线ACBA和ABDA求应力环量，有
ACB1ds
BA
3ds
2G
A1
BDA
2
ds
AB
3ds
2G
A2
(2-13)
若 1、 2 为常数，则式（2-13）可变为
1s1 2s2
3s3 3 s3
2G A1 2G A2
求得
1
2
T[3s2 A1 2s3 ( A1 A2 )]
矩形截面杆、薄壁杆的扭转
矩形截面杆的扭转
柱形杆截面的扭转应力函数F(x,y)要满足的条件 ：
1、泊松方程：2F 2 (在柱形杆横截面所组成区域R内)。
2、边界条件：F(x, y) k（在横截面的周界C上）。
对于矩形截面杆件的扭转问题，能否像椭圆截面杆件扭 转问题一样假设扭转应力函数为其横截面的周界方程 ？
13s2
A2 1
2
3
s1
A2 2
12s3 ( A1
A2 )2
2
T[3s1A2 1s3 ( A1 A2 )]
2
13s2
A2 1
2
3
s1
A2 2
12s3 ( A1
A2
)2
3
2
1
3
s2
A2 1
T[1s2 A1 2s1A2 ]
2
3
s1
A2 2
12s3 ( A1
A2 )2
T (s1s23 s1s32 s2s31)
F
F dF
0,
a
x
y dy
则
2 F 2
b
o
x
y
变为常微分方程
d 2F dy 2
2
图1
而边界条件为 此时,方程的解为 代入
F(y b) 0 2
F ( y2 b2 ) 4
D 2 Fdxdy
得 于是
D 2
Fdxdy
R
2
a
2 a
2
b
2 b
(
y
2
2
b2 4
)dy
dx
ab3 3
T 3T
式(1-3)和(1-5)。
薄壁杆的扭转
一 开口薄壁杆件的扭转
实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工
字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组
成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形
具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪
应力没有多大差别。
1
a1
a1
a1
a1
2
F1(x, y) Achx cos y
由边界条件(1-9)的第二式得 Ach x cos b 0
2
由此
n
(2n 1)π b
(n 0,1, 2,3,...)
(1-14) (1-15)
代入式(1-15),并作如下级数
F1(x, y) Anchn x cos n y n0
由边界条件(1-9)的第一式,确定其中的系数An
T 4 A2G
截面扭转刚度：
GD T 4A2G /
剪切力：
T 2 A
最大剪切力：
max
T
2 Amin
最大剪切力发生在宽度最小处。
（3）闭口截面与开口截面的扭杆的刚度比为
GD闭口 =(12A2 ) / 3ds
GD开口
12 A2
2s2
1
此式表明，闭口截面扭杆的刚度远远大于开口截面扭 杆的刚度。
答：不能。假设扭转应力函数为
F (x, y) B(x2 a2 )( y2 b2 )
显然这个应力函数虽然满足边界条件，但不 满足泊松方程。由于根据边界条件难以直接确定 满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭 转问题的基本方程。
一 狭长矩形截面杆的扭转
设矩形截面的边长为a和b。若a/b的值很大 (图1示)， 则称为狭长矩形。由薄膜比拟法可以推断，应力函数F 在横截面的绝大部分上几乎与坐标x无关，于是有
XY
其中， 为任意常数。
由此得方程
X 2 X 0
Y 2Y 0
(1-9) (1-10) (1-11)
(1-12) (1-13)
解之得方程(1-12)和(1-13)的通解 X (x) B1ch x B2sh x
Y ( y) C1cos y C2sin y
根据薄膜比拟法，应力函数为坐标x和y的偶函数。所以
n0
Anch
(2n 1)πa 2b
cos
(2n 1)π b
y
y2
b2 4
(1-16)
等式两边同时乘以cos (2m 1)π ydy，并在区间(-b/2,b/2)积分,得
b
An
π3 (2n
(1)n18b2 1)3ch (2n
1) a
2b
代入式(1-16),得
F1 ( x,
y)
8b2 π3
n0
(1)n1chn x cos n y (2n 1)3ch (2n 1) a
1
4
T
图4
(2-6)
T
T
(2-6)
T
(2-6) T
(2-6) T
二 闭口薄壁杆件的扭转
对于闭口薄壁杆件的扭转问题，可以通过薄膜比拟
法求得近似解答。如图5所示，假想在薄杆横截面的外边
界上张一张膜，保证薄膜外边界的垂度为零，内边界处
的垂度为常量。由于杆壁厚度很小，所以沿壁的厚度方
向薄膜的斜率可视为常量。于是，在杆壁的厚度 处，剪
应力的大小应等于薄膜的斜率，即
h
(2-7)
其中，h为杆壁厚度 薄膜的垂度。
设外边界所包围面积的平均值 （即薄壁杆件截面中线所包围的面 积）为A，于是有
T 2Ah (2-8)
图5
由此得 代入式（2-7）得
h T 2A
T 2 A
(2-9)
可见，剪应力与杆壁的厚度成反比，最大的剪应力 发生在杆壁最薄处。
64 π5
a b
T
n0
th (2n 1)πa 2b
(2n 1)5
]
(1-17) (1-18) (1-19)
由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中 点,其值为
T [1
5 π2
n0
1 (2n 1)2 th (2n 1)πa
]
max
2b
ab2[1
3
64 π5
a b
n0
th (2n 1)πa 2b
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
F( a , y) 0, F(x, b) 0
2
2
(1-8)
所以，修正函数F1的边界条件为
F1 (
a 2
,
y)
y2
b2 4
F1 (
x,
b 2
)
0
设
F1(x, y) X (x)Y ( y)
将(1-10)代入(1-7)中，有 X Y 2
3 i
3T
G 3ds
(a)
图8
(b)
截面扭转刚度：
GD T G
ai
3 i
G
3ds
3
3
剪应力：
i
3Ti aii3
3Ti 3ds
最大剪应力：
max
(i )max
3Tmax
ai
3 i
3Tmax 3ds
最大剪切力发生在宽度最大处。
（2）闭口薄壁杆
由式(2-10),得单位长度扭转角：
2b
得到应力函数
F ( x,
y)
b2 4
y2
8b2 π3
n0
(1)n1chn x cos n y (2n 1)3ch (2n 1) a
2b
由式(1-2),可求得
D 2
Fdxdy ab3[1 64 a
th (2n 1)πa 2b ]
R
3 π5 b n0 (2n 1)5
由此得
T GD
ab3G[1 3
为了求出单位长度扭转角，先求出杆横截面中心线 上的应力环量，以A表示中心线所包围的面积，于是有
T
2G A
2A
得
T 4 A2G
如果杆壁为等厚度的，则 Ts 4 A2G
其中，s为杆截面中心线的长度。
若闭口的薄壁杆有凹 角在凹角处有可能发生 高度的应力集中现象。 比值 max / 和 / 之间 的关系，如图6所示。其
中 为圆角半径。
图6
(2-10)
对于薄壁杆的横截面有两个孔的多连通域情况，如图 7所示，由于杆壁厚都很小，于是有
1
h1
1
2
h2
2
3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
h1 h2
3
11
1 3
2
(2-11)
其中，h1和h2表示薄膜内边 界s1和s2的高度。
图7
求得扭矩 也可以表示为
T 2( A1h1 A2h2 )
T 2( A111 A22 2 )
3 a2
a2
a3
a3
图3
设 ai 及 i分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度，
Ti表示该矩形截面上承受的扭矩，T表示整个横截面上的扭矩， i代表该矩形长边中点附近的剪应力， 为单 位长度扭转角。则
由狭长矩形的结果，得
3Ti
Gai
3 i
(2-1)
由式(2-1)得
i
3Ti
ai i 2
(2-2)
GD Gab3
(1-1) (1-2)
(1-3)
由式(1-1)求得应力分量
zx
aG
F y
6T ab3
y
zy
aG
F x
0
(1-4)
这个应力表达式除在狭长矩形截面的短边附近外,对截面 的大部分区域都是正确的。由薄膜比拟法可知，最大剪应力 发生在矩形截面的长边上，即 y ， 其b大小为
2
max |
zx
yb 2
|
3T ab2
(1-5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转
在狭长矩形截面扭杆应力函数(1-1)的基础上，加上修正 项F1，即
F ( x,
y)
b2 4
y2
F1 ( x,
y)
(1-6)
函数F应满足方程 2F 2，将式(1-6)代入，得到F1满足方程
2F1 2F1 0 x2 y2
(1-7)
Ti
G
ai
3 i
3
这个横截面上的扭转为
T
Ti
G
3
ai
3 i
(2-3) (2-4)
由式(2-3)和式(2-4)消去 ,得
Ti
aii3 T aii3
代回式(2-3)和式(2-4),我们得到
G
3T
ai
3 i
(2-5)
i
3T i
ai
3 i
(2-6)
值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应 力已相当精确，然而，由于应力集中的存在，两个狭矩形 的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。