2.随机过程的基本概念

CX (t1, t2 ) = E{[X(t1 ) − mX (t1 )][X(t2 ) − mX (t2 )]}
• • x(t, e j ) • mtk mt2 • • mtn EX(t ) mt1 mth x(t, ek ) • • • • • t o t1 t2 th tk tn m X ( t ) 是随机过程的所有样本 函数在时刻 t 的函数值的 平均值 , 称为 集平均 或 统计平均. 均值函数 m X ( t ) 表示了随机过程 X ( t ) 在各个时刻的摆 动中心 .
通常称这样的随机变量 族为 随机过程.
2.1.1 随机过程的定义 是概率空间， 设 (Ω , F , P ) 是概率空间， T 是一无限实数集 . 依赖于参数 t ∈ T 的一族随机变量 { X(t, e), t ∈T }
称为 (Ω , F , P ) 上的 随机过程.
简记 X(t ) 或 Xt
T 称为 参数集. 若 T 为时间集 , 则称 X ( t ) 为 t 时刻过程的 状态. 对于一切 t ∈ T , X ( t ) 所有可能的状态所构成 的集合 称为随机过程的 状态空间 或 相空间，记为 I .
Ft1 ,t2 ,⋯,t n ( x1 , x 2 ,⋯ , x n )
= P { X ( t1 ) ≤ x1 , X ( t 2 ) ≤ x2 ,⋯, X ( t 2 ) ≤ x2 }.
随机过程{ X(t ), t ∈T}的有限维分布函数族 { Ft1 ,t2 ,⋯,t n ( x1 , x2 ,⋯, xn ), t1 , t 2 ,⋯, t n ∈ T , n ≥ 1 }
热噪声电压在任一确定 时刻 t 0 的值是一随机变量 ,
记为Vt0 (e ) , 其中， e 是某种可能的热骚动， e ∈ Ω . 其中， 是某种可能的热骚动，
对任意的时刻 t，热噪声电压需用一族 随机变量 描述， 描述，记为 { V ( t , e ) , t ≥ 0, e ∈ Ω } , 简记为 { X ( t ), t ≥ 0} .
2.1.3 随机过程研究的基本问 题
人们认识随机过程的基 本依据是样本函数 .
关键： 关键：样本函数的值域特性. 随机性
动态性
状态空间I 状态空间 的概率特性的动态变化 规律? 问题一： 状态的概率分布 ？ 问题一：各个时刻过程 不同时刻过程状态的概 率分布之间的联系 ？ 有限维概率分布 数字特征 问题二： 认识过程的特性（建模 ？ ） 问题二：由样本函数来 认识过程的特性（ 滤波、 滤波、时间序列分析 估值理论
小结 随机过程的数字特征 均值函数
mX (t ) = EX(t )
2 σ X (t ) = E[ X(t ) − mX (t )]2
2 均方值函数 ΨX (t ) = EX 2(t )
方差函数
标准差函数 σ X (t ) = E[ X(t ) − mX (t )]2 相关函数 协方差函数
RX (t1, t2 ) = E[ X(t1 )X(t2 )]
x1(t , 0)
o
3π x2(t, ) 2
t
2.1.2 随机过程概念的五个要 素
f (x)
= {e}
x(t )
f Xt (x)
kFra Baidu bibliotek
ei X(tk , e)
•
x(t, ei )
o
tk
t
实现” 样本函数空间 X 过程的所有可能的动态 “实现”. 过程的“支撑” 参数空间 T 过程的“支撑”集 ，样本函数定义域 . 过程的“表现” 状态空间 I 过程的“表现”集 ，样本函数值域 . 样本函数的“种子” 样本函数的“种子”集 . 样本空间 种子” (分布 概率 分布) P “种子”的动态发生规 律 .
第2章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的例子和定义 2.2 随机过程的有限维分布族与数字特征 2.3 二维随机过程和复随机过程 2.4 随机过程的几种重要的分布特征 课后作业
2.1 随机过程的例子和定义
对运动和变化过程中的随机现象进行数学描述， 对运动和变化过程中的随机现象进行数学描述，往 往需要一族随机变量 引例1 热噪声电压） 引例1（热噪声电压） 电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的随机 电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子) 热骚动所引起的端电压称为热噪声电压. 热骚动所引起的端电压称为热噪声电压. 热噪声电压
例1（热噪声电压） 热噪声电压） 某无线电接收设备的热 噪声电压的变化过程 {V ( t ) , t ≥ 0} 是一个随机过程 . 状态空间 I = ( −∞ , + ∞ ) . 对该无线电接收设备的热噪声电压在相同条件下进行 测量.得到如下的电压 时间曲线： 测量.得到如下的电压—时间曲线 电压 时间曲线： 样本函数
X (t ) 的二阶原点矩和二阶中 心矩分别记为
2 ΨX (t ) = EX 2 (t ) , 2 σ X (t ) = DX (t ) = VarX(t ) = E[ X(t ) − mX (t )]2 ,
分别称为随机过程的均方值函数和方差函数. 分别称为随机过程的均方值函数和方差函数. 均方值函数 方差函数的算术平方根称为随机过程的标准差函数, 方差函数的算术平方根称为随机过程的标准差函数, 标准差函数 表示随机过程在某时刻对于均值的平均偏离程度. 表示随机过程在某时刻对于均值的平均偏离程度. 对任意 t1 , t 2 ∈ T , 随机变量 X ( t1 ) , X ( t 2 ) 的二阶原点 混合矩记为
引例 2（运动目标距离的测量误差） 运动目标距离的测量误差） 测量运动目标的距离，测量的结果存在随机误差. 测量运动目标的距离，测量的结果存在随机误差. 以 ε t0 (e ) 表示在时刻 t 0 的测量误差 , 它是一个随机 基本事件， 变量 ，其中 e是导致测量误差的某个 基本事件， e ∈ Ω . 当目标随时间 t 按一定规律运动时 , 测量误差随时间 t 而变化 , 是依赖于时间 t 的一族随机变量 , 记为 {ε ( t , e ), t ≥ 0, e ∈ Ω } , 简记为 {ε ( t ), t ≥ 0} . 引例 3（120急救电话台接收呼叫次数） 120急救电话台接收呼叫次数 急救电话台接收呼叫次数） 用 X ( t ) 表示在时间间隔 (0, t ] 内接收到的呼叫次数 . 显然， 显然， X ( t ) 随时间 t 的变化而变化构成一个 随机变量族 ， 记为 { X ( t ), t ≥ 0} .
个状态的联合概率分布 : 任意有限个时刻过程各 给定随机过程 { X ( t ), t ∈ T }.
对任意 n ( ≥ 1) 个不同的时刻 t1 ,⋯, t n ∈ T , 相应的状态
可由 n 维随机变量 X ( t1 ), X ( t 2 ),⋯ , X ( t n ) 描述 .
n维联合分布函数 ∀x1 , x 2 ,⋯ , x n ∈ R , 有 维联合分布函数
柯尔莫哥洛夫定理 随机过程{X(t ), t ∈T}的存在性 ⇔ 分布函数族 F满足对称性和相容性 . 有限维分布函数族完全确定了随机过程的统计特性. 有限维分布函数族完全确定了随机过程的统计特性.
2.2.2 随机过程的 数字特征
给定随机过程 { X ( t ), t ∈ T } . 对固定的 t ∈ T , 随机变量 X ( t ) 的均值一般与 t 有关 , 记为 mX (t ) = EX(t ) , 称为随机过程 { X ( t ), t ∈ T }的 均值函数. X(th ) X(tk ) X(tn ) x(t, ei ) X(t1 ) X(t2 )
RX (t1, t2 ) = E[ X(t1 )X(t2 )] ,
称为随机过程的自相关函数, 简称相关函数. 称为随机过程的自相关函数, 简称相关函数. 自相关函数 相关函数
随机变量 X ( t1 ), X ( t 2 )的二阶混合中心矩记为
CX (t1, t2 ) = Cov[ X(t1 ), X(t2 )] = E{[X(t1 ) − mX (t1 )][X(t2 ) − mX (t2 )]}, 将它称为随机过程的自协方差函数 简称协方差函数 自协方差函数, 协方差函数. 将它称为随机过程的自协方差函数,简称协方差函数.
n n 当 t = t1 , t 2 ,⋯ , t n） T 时, 称随机过程 { X ( t )，t ∈ T } （ ∈
是一个 随机场 .
从泛函的观点来看， 从泛函的观点来看，随 机过程 { X ( t , e ), t ∈ T }是定义 在笛卡尔积 T × 上的二元函数 . 对每一个取定的参数 t ∈ T , X ( t , e ) 是一随机变量 . 对每一个取定的基本事 件 e ∈ Ω , X ( t , e ) 是定义在 T 上 的实变量函数 . 称为过程的一个 样本函数 . 记为 x ( t ) , t ∈ T . 对随机过程 { X ( t ) , t ∈ T } 在一次试验中 进行全程观测的结果 . 轨道 实现 样本函数空间 所有不同的试验结果构 成一族样本函数 . 随机过程 总 体 样本函数 个 体
x(t ) = cosπ t
t
例 3 (随机相位正弦波) 随机相位正弦波) 定义函数 X ( t ) = a cos (ω t + Θ ) , t ∈ ( −∞ ,+∞ ), 其中 a 和 ω 是正常数 , Θ ~ U ( 0, 2 π ) . 随机相位正弦波 { X(t ), t ∈(−∞, + ∞) } 是一个随机过程 . 状态空间 I = [ − a , a ] . 样本函数空间 X = { xi ( t ) = a cos(ω t + θ i ), θ i ∈ (0, 2 π ) } . x(t )
x(t )
o
t
例 2 (抛掷一枚硬币的试验 ) 样本空间 ={ H, T }. 定义 cos π t , H 发生 X (t ) = T 发生 t , 其中 t ∈ ( −∞ ,+∞ ) , P ( H ) = P (T ) = 1 2 . { X ( t ) , t ∈ ( −∞ ,+∞ ) } 是一随机过程 . 状态空间 I = ( −∞ ,+∞ ) . 样本函数空间 X = { cos πt , t } . x(t ) = t x(t ) x(t2 ,T) H 发生 x(t1 ,T) x(t2 ) x(t1 ) • x(t2 , H) • o t2 t1 T 发生 x(t1 , H)
} 一维分布函数族 {Ftk ( x), tk ∈T, k = 1,2,⋯ .
th和tk时刻过程的状态Xth和Xtk的联合概率分布 :
联合分布函数 Fth ,tk ( xh , xk ) = P{ Xth ≤ xh , Xtk ≤ xk }, ∀xh , xk ∈ R . 二维分布函数族 {Fth ,tk ( xh , xk ), ∀th , tk ∈T} .
x(t )
Xt1 Xt2
•
统计依赖关系
t t1 t2 自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程自身在 两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征. 两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征. 反映过程（系统） 惯性或记忆性. 反映过程（系统）的惯性或记忆性.
o
•
RXX (t1, t2 ) CXX (t1, t2 )
有限维分布函数族的两个重要性质
(1) 对称性 对 1,2,⋯ , n 的任意排列 i1 , i2 ,⋯ , in , 有 Ft1 ,t2 ,⋯,t n ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = Ft i ,t i ,⋯,t i ( xi1 , xi2 ,⋯, xin )
1 2 n
(2) 相容性 ∀m ≤ n , 有 Ft1 ,t2 ,⋯,t m ( x1 , x 2 ,⋯ , x m ) = Ft1 ,⋯,t m ,⋯,tn ( x1 ,⋯ , x m , ∞ ,⋯ , ∞ )
2.2 随机过程的有限维分布族与数字特征
2.2.1 随机过程的 有限维分布函数 x(t ) f (x) ftk fth ft1
Xt1
ftn Xtn
Xth
•
Xtk
•
o• t1
•
th
tk
tn
t
tk时刻过程的状态 Xtk的概率分布 :
分布函数 Ftk ( x) = P{ Xtk ≤ x}, x ∈ R .