2012考研数学一数学二数三真题及答案)word版
2012考研数一真题及解析
数学一试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）
【答案】： C
【解析】：
lim
x1
x2 x2
x 1
，所以
x
1 为垂直的
lim
x
x2 x x2 1
故 f (x) ex
（10）
【答案】： 2
2
【解析】：令 t x 1得 x
2x x2 dx
1
(t 1)
1 t2 dt
1
1 t2 dt
0
1
1
2
（11）
【答案】：1,1,1
【解析】：
grad
xy
z y
( 2,1,1)
y,
x
z y2
,
1
y
( 2,1,1)
1,1,1
（12）【答案】： 3 12
【 解 析 】： 由 曲 面 积 分 的 计 算 公 式 可 知 y2ds y2 1 (1)2 (1)2 dxdy 3 y2dxdy ， 其 中
D
D
D ( x, y) | x 0, y 0,x y1。故原式
3
1
dy
1 y y2dx
3
1 y2 (1 y)dy
3
0
0
0
12
（13）
2
4
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）
【解析】：令 f x x ln 1 x cos x 1 x2 ，可得
2012年考研数学试题详解及评分参考
P{X < Y} =
(A)
1 5
(B)
1 3
(C)
2 3
(D)
4 5
【答】 应选 (A) .
【解】 由题设，知 X 与Y 的概率密度分别为
f
X
(
x)
=
ìe- x
í î
0,
,
x > 0, x£0
fY
(
y)
=
ì4e-4
í î
0,
y
,
又 X 与Y 相互独立，所以 X 与 Y 的联合密度函数为
y >0， y£0
æ1 0 0ö
(A)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
æ1 0 0ö
(B)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(C)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(D)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
【答】 应选 (B) .
【解法一】 显然 Q 是将 P 的第 2 列加到第 1 列得到的，所以有 Q = PE(1)+(2) ，因而
(A) a1,a2 ,a3
(B) a1,a2 ,a4
(C) a1,a3,a4
(D) a2 ,a3,a4
【答】 应选 (C) .
【解】 由 a1,a2 ,a3 = - c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a3 线性无关，故排除(A)；
同理，由 a1,a2 ,a4 = c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a4 线性无关，故排除(B)；
2012年考研数学一真题及参考答案
的通解为 f (x) = C1e x + C2e−2x .再由 f ' (x) + f (x) = 2ex 得 2C1ex − C2e−2x = 2ex ，可知 C1 = 1, C2 = 0 。
故 f (x) = ex
∫ （10）
2
x
2x − x2 dx
________。
0
【答案】： π 2
∫ ∫ ∫ 2
=
⎧e−x−4 y , x > ⎨⎩0，其它
0,
y
>
0
∫∫ ∫ ∫ ∫ 则 P{X < Y} =
f (x, y)dxdy =
+∞
dx
y e−x−4 ydx =
+∞ e−5 ydy = 1
x< y
0
0
0
5
（ 8 ） 将 长 度 为 1m 的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 ， 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 （ ）
【解析】： lim x→1
x2 x2
+x −1
=
∞
，所以
x
= 1 为垂直的
lim
x→∞
x2 + x x2 −1
= 1，所以
y
= 1为水平的，没有斜渐近线
故两条选 C
（2）设函数 f (x) = (ex −1)(e2x − 2)L (enx − n) ，其中 n 为正整数，则 f ' (0) =
（A） (−1)n−1(n −1)!
x x
2 2
gx
−
sin
x
≥
0，
故 f ' ( x) ≥ 0 ，而 f (0) = 0 ，即得 x ln 1+ x + cos x −1− x2 ≥ 0
2012全国研究生考试数学(一)(二)(三)真题合集及答案解析-免积分
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxx xnxx xnxf x e e en e een e enen =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)lim x y f x y x y→→+存在【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y→→+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==这样，2200(,)limx y f x y x y→→+就可以写成2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知00lim0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
4- x 222012 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. x 2 + x（1） 曲线 y =（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3【答案】： C【解析】： lim x →1x 2-1x 2 + xx 2 -1渐近线的条数为（）=∞ ，所以 x = 1为垂直的lim x 2+ x = 1，所以 y = 1为水平的，没有斜渐近线 故两条选C x →∞ x 2 -1（2） 设函数 f (x ) = (e x -1)(e 2x - 2) (e nx - n )，其中n 为正整数，则 f ' (0) =（A ） (-1)n -1(n -1)!（B ） (-1)n (n -1)!（C ） (-1)n -1n !（D ） (-1)n n ! 【答案】：A【解析】： f ' (x ) = ex (e 2x - 2)所以 f '(0) = (-1)n -1(n -1)!π2（3） 设函数 f (t ) 连续，则二次积分⎰2 d θ ⎰ f (r 2 )rdr =（）24- x222 2 22 cos θ（A ） ⎰0 dx⎰2 x - x2x （B ） ⎰0 dx⎰2 x - x2f (x + y f (x + y 2 + y 2 )dy)dy24- y 22222（C ） ⎰0dy⎰1+ 1- y 2x + y f (x + y )dx(e nx - n ) + (e x -1)(2e 2x - 2) (e nx - n ) + (e x -1)(e 2x - 2) (ne nx - n )4- y 2 x 2 + y 2 2x - x 2 2n n2n（D ） ⎰0dy⎰1+f (x 2 + y 2 )dx【答案】：（B ）【解析】：由 x ≤ 解得 y 的下界为 ，由≤ 2 解得 y 的上界为.故排除答案（C ）（D ）. 将极坐标系下的二重积分化为 X -型区域的二重积分得到被积函数为 f (x 2 + y 2 ) ，故选（B ）.∞n1 ∞ (-1) n（4）已知级数∑(-1)n =1 1 n sin α 绝对收敛， ∑ 2-α 条件收敛，则α 范围为（ ）i =1 （A ） 0 < α ≤21（B ） 2< α ≤ 13（C ）1 < α ≤2 3（D ） 2< α < 2【答案】：（D ）∞n1 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的 p 级数的收敛性结论.∑(-1)i =1sinnα3∞ (-1) n绝对收敛可知α > ；∑ 2-α条件收敛可知α ≤ 2 ，故答案为（D ）i =1⎛ 0 ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ -1⎫ （5）设α = 0 ⎪,α = 1 ⎪,α = -1⎪, α = 1 ⎪ 其中c , c , c , c 为任意常数，则下列向量组线性相关1 ⎪2 ⎪3 ⎪4 ⎪ 1 2 3 4c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 4 ⎭的是（）（A ）α1,α2,α3（C ）α1,α3,α4 【答案】：（C ）【解析】：由于 (α ,α ,α （B ）α1,α2,α4（D ）α2,α3,α40 1 -1 )= 0 -1 1 = c 1 -1= 0 ，可知α ,α ,α 线性相关。
数1--12真题答案
2012年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（9）e x（10）π2（11）++i j k （12）312（13）2 （14）34三、解答题 （15）略.（16）(1,0)为极大值点,极大值为12e−.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）222111ln ,(1,0)(0,1),()(1)10.x xx S x x x xx ⎧+++∈−⎪=−−⎨⎪ 3 , = ⎩（18）()ln(sec tan )sin f t t t t =+−,面积π4S =. （19）π42−. （20）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）T T1,(1,1,1,1)(0,1,0,0)a k =−=+−x ,k 为任意常数.（21）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+. （22）（Ⅰ）14.（Ⅱ）23−.（23）（Ⅰ）22261(;)e 6πz f z σσσ−=.（Ⅱ）22113n i i Z n σ==∑.（Ⅲ）略.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线;又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2，所以选C.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )'(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−===−−,所以选A.（3）【答案】B. 【解答】设22(,)(0,0)(,)limx y f x y k x y →=+,由于(,)f x y 在(0,0)处连续,则(0,0)0f =,故2000(,0)(0,0)(,0)lim lim lim 0x x x f x f f x kx x x x →→→−===,同理0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→−=, 故2222(,)(0,0)(,)(0,0)(,)000limlim0x y x y f x y x yk x y x y →→−−⋅−⋅=+=+，则(,)f x y 在点(0,0)处可微，所以答案选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)00e sin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.（5）【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,所以选D. （6）【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，111100100110110001001−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP100100100100110010110010001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以答案选B. （7）【答案】A.【解答】由条件可知,X Y 的概率密度函数,又二者独立所以其联合密度函数为(4)4e ,0,0(,)()()x y X Y x y f x y f x f y −+⎧>>==⎨ 0 ,⎩其他,从而{}(4)(4)0014ed d d 4e d 5x y x y x x yP X Y x y x y +∞+∞−+−+<<<===⎰⎰⎰⎰,所以选A.（8）【答案】D.【解答】设,X Y 分别为所截成的两段的长度,则由题意得{}11P X Y +==,由此可知二者绝对负相关，所以选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】e x.【解答】由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,故由方程的解的结构可知其通解为212e e xxy C C −=+，将其带入方程''()()2e f x f x +=，可得121,0C C ==.（10）【答案】π2. 【解答】222d x x x x −⎰()π2222π02111d (1)1d(1)t x x x xt t t −=−=−−+−+⎰⎰ππ2222ππ22ππ1d 1d 022t t t t t −−=−+−=+=⎰⎰. （11）【答案】++i j k . 【解答】令,zu xy y=+则2(2,1,1)(2,1,1)(2,1,1)(2,1,1)11;1;1⎛⎫∂∂∂===−=== ⎪∂∂∂⎝⎭u u z u y x x y y z y .（12）【答案】312. 【解答】由1=−−z x y 得1,1,x y z z ''=−=−曲面在xoy 面上的投影为 (){}:,01,01D x y x y x ≤−，则()()2222''23d 1d d 3d d 12x y DDy s y z z x y y x y ∑=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （13） 【答案】2.【解答】矩阵Tαα的特征值为1,0,0,则Tαα−E 的特征值为0,1,1.又因为Tαα−E 为实对称矩阵,必可相似对角化,故其秩等于非零特征值的个数，为2. （14）【答案】34. 【解答】,A C 互不相容,()0P ABC =,()()()3(|)1()4()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C −===−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（16）（本题满分10分）解:()()2222222e10,e0,xy x y ff x xy xy ++−−∂∂=−==−=∂∂ 可解得11,00x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e ,x y x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂所以当1,0x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分10分） 解：因为21()lim()n n n u x x u x +→∞=，所以当21x <时收敛.当1x =±时，222004434432121n n n n n n n x n n ∞∞==++++=++∑∑发散，所以收敛域为(1,1)−. 设()222220002124432()(21)212121n n nn n n n n n S x x x n x n n n ∞∞∞===++++⎡⎤===++⎢⎥+++⎣⎦∑∑∑， 令()2212002()21,(),21nnn n S x n xS x x n ∞∞===+=+∑∑因为，()22112()d 21d ,1xxnn n n x S t t n t t x x ∞∞+===+==−∑∑⎰⎰ 所以，()21221()(11)1x S x x x +=−<<−.又因为，21202(),21n n xS x x n ∞+==+∑ 则[]22202()2(11),1n n xS x x x x ∞='==−<<−∑ 所以，[]220021()d d ln (11)11xx x tS t t t x t x +'==−<<−−⎰⎰，故21()ln (11)1x xS x x x +=−<<−. 因此，当0x ≠时，211()ln 1x S x x x+=−. 当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==，则(0)3S =.所以222111ln ,(1,0)(0,1)()(1)10x xx S x x x x x ⎧+++∈−⎪=−−⎨⎪ 3 , = ⎩.（18）（本题满分10分）解：设切点坐标为((),cos )f t t ,则切线方程为sin cos (())'()ty t x f t f t −=−− 当0y =时可得()cos ()sin f t tx f t t'=+,则22()cos cos 1sin f t t t t '⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2sin π(),0cos 2t f t t t '=<， 从而可得2sin ()d ln(sec tan )sin cos tf t t t t t C t==+−+⎰,再由(0)0=f 得0=C ,因此()ln(sec tan )sin f t t t t =+−,再计算面积2π()d ()4S y t x t π==⎰.（19）（本题满分10分）解：补充曲线1L ：沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),则D 为由曲线L 与1L 围成的封闭区域. 由格林公式可得，1123233d (2)d 3d (2)d L L L I x y x x x y y x y x x x y y +=++−−++−⎰⎰222(313)d d (2)d Dx x x y y y =+−−−⎰⎰⎰2ππd d 2d π4422Dx y y y =−=−−=−⎰⎰⎰.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪− ⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β， ()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ， 可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得TA A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T 111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由表格数字可知1{2}{0,0}{2,1}4P X Y P X Y P X Y ====+=== （Ⅱ）X 的概率分布为X 0 1 2 P121316故23EX =.XY 的概率分布为XY 0 1 2 4P712 13112故23EXY =.Y 的概率分布为Y 0 1 2 P131313故1EY =,可得252,33EY DY ==,而 2(,)3Cov X Y Y EXY EXEY DY −=−−=−.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,X Y 相互独立且分别服从正态分布,所以Z 服从正态分布;又2()0,3EZ E X Y DZ DX DY σ=−==+=,所以Z 的概率密度函数为2261()e 6πz f z σσ−=.（Ⅱ）设似然函数为22261211(,;)e (1,2,...,)2π3i z nn i L z z z i n σσσ−=⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭∏ 取对数222211ln ()ln(6π)ln 226nii n n L zσσσ==−−−∑，并求导2222221d ln ()1d()26()nii L n zσσσσ==−+∑，令22d ln ()0d L σσ=，得22113n i i z n σ==∑,所以2σ的最大似然估计量22113n i i Z n σ==∑； （Ⅲ）因为()22222111130333n ii E EZ nEZ n n σσσ====+=∑， 所以2σ为2σ的无偏估计量.。
2012研究生入学考试数三真题答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）【答案】：C 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+--- 所以'(0)f =1(1)!n n -- （3）【答案】：（B ） 【解析】：由22yxx +≤解得y 的下界为22xx -，由222≤+y x 解得y 的上界为24x -.故排除答案（C ）（D ）. 将极坐标系下的二重积分化为-X 型区域的二重积分得到被积函数为)(22y x f +，故选（B ）. （4）【答案】：（D ）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p 级数的收敛性结论.∑∞=-11sin)1(i nnn α绝对收敛可知23>α；∑∞=--12)1(i nnα条件收敛可知2≤α，故答案为（D ）（5）【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。
故选（C ）（6）【答案】：（B ） 【解析】：100110001Q P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11100110001Q P --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故111001001001100111011011011101001001012012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选（B ）。
2012年考研数学三真题(完整版)
曲 线 L 在 任 一 处 ( x, y) 的 切 线 斜 率 为 dy = − sin t ， 过 该 点 ( x, y) 处 的 切 线 为 dx f ′(t)
5
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学
Y − cos t = −sin t ( X − f (t )) 。令Y = 0 得 X = f ′(t) cot t + f ( t) 。由于曲线 L 与 x 轴和 y 轴的交点到切点的距 f ′(t)
∑ ∑ ∑ （Ⅱ）设 S(x) =
∞
4n2 + 4n + 3x2n =
∞
(2n +1)2 + 2x2n =
∞
[(2n+ 1) x2n +
2 x2n ]( x < 1)
n =0 2n +1
n =0 2n +1
n =0
2n +1
∑ ∑ 令
S1 ( x)
=
∞ n−0
(2n +1) x2n
，
S2
(x)
=
∞ n−0
4n2 + 4n + 3
= lim
⋅
2(n +1) +1
⋅x2 = x2 令
n→∞ an−1( x) n→∞ 4(n + 1)2 + 4(n + 1)+ 3⋅ x2 n+1 n→∞ 2n +1 4(n +1)2 + 4(n + 1) + 3
2(n + 1) + 1
x2 <1 ，得 −1 < x < 1，当 x = ±1 时，技术发散。所以，收敛域为 (−1,1)
2012年研究生入学考试数学一二三试题及解答(合并整理)
A. (−1)n−1(n −1)! B. (−1)n (n −1)! C. (−1)n−1n! D. (−1)n n!
【解析】 f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim (ex −1)(e2x − 2)"(enx − n) = lim(e2x − 2)"(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
X1
− X2 2σ
~
N (0,1);
又 X3 + X 4 − 2 ~ N (0, 2σ 2 )
⇒ X3 + X 4 − 2 ~ N (0,1) 2σ
⇒
⎛ ⎜⎝
X3
+
X4 2σ
−
2
⎞2 ⎟⎠
~
χ 2 (1),
所以，
2012 硕士研究生入学考试数学一二三试题及解答（合并整理） 第 3 页 共 11 页
北京理工大学珠海学院 数理学院
A. 若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在 (0,0) 处可微 x→0 | x | + | y |
y→0
B.
若极限
lim
x→0 y→0
f( x2
x, +
y) y2
存在，则
f (x, y) 在 (0,0) 处可微
C. 若 f (x, y) 在 (0,0) 处可微, 则极限 lim f (x, y) 存在
【解析】由于{Sn}单增，所以当{Sn}有界时，必有{Sn} 收敛，从而
lim
n→∞
an
=
lni→m∞(Sn
−
Sn−1 )
=
0,
即{an} 收敛；
但当{Sn}不收敛，{an} 仍可以收敛，如
2012年考研数学一真题
c1
c2
c3
c4
意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）
（A）α1, α2, α3 （B）α1, α2, α 4（C）α1, α3, α4 （D）α2, α3, α4
解析：C
0
3
4
0
,
c3 c4
3 4 与1 成比例.
1 与3 +4 线性相关,1，3，4 线性相关，选 C
（D）若
f
(x,
y) 在（0，0）处可微，则极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在
x0
解析：(B)
lim
x0
f (x, y) x2 y2
k
y0
f (0,0) 0
z f (x, y) f (0,0) 0 x 0 y ()
f (x, y) 在(0,0)处可微.
（4）设 Ik
1，选项 D
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若函数 f(x)满足方程 f (x) f (x) 2 f (x) 0 及 f (x) f (x) 2ex ，则
f(x)=_________.
解析： 2 2 0 1 2, 2 1
）
f (x, y)
（A）若极限 lim
存在，则 f (x, y) 在（0，0）处可微
x0 x y
y0
（B）若极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在，则
f
(x,
y) 在（0，0）处可微
x0
（C）若
f (x, y) 在（0，0）处可微，则极限 lim
f
(x, y)
存在
2012-数一真题、标准答案及解析
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.x2 +x（1）曲线 y =（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：C 【解析】：limx→1x2 -1x2 +xx2 -1渐近线的条数为（）=∞，所以x = 1 为垂直的lim x2 +x = 1，所以y = 1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cx→∞x2 -1（2）设函数 f (x) = (e x -1)(e2 x - 2)L (e nx -n) ，其中n 为正整数，则 f ' (0) =（A）(-1)n-1 (n -1)!（B）(-1)n (n -1)!（C）(-1)n-1 n!（D）(-1)n n!【答案】：C【解析】：f ' (x) =e x (e2 x - 2)L (e nx -n) + (e x -1)(2e2 x - 2)L (e nx -n) +L (e x -1)(e2 x - 2)L (ne nx -n) 所以 f ' (0) = (-1)n-1 n!（3）如果f (x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限limx→0y→0f (x, y)f (x, y)存在，则f (x, y) 在(0, 0) 处可微（B）若极限limx→0y→02 +y2存在，则f (x, y) 在(0, 0) 处可微x +yxx +y→ ⎰（C ） 若 f (x , y ) 在(0, 0) 处可微，则极限limf (x , y ) 存在x →0 y →0f (x , y ) （D ） 若 f (x , y ) 在(0, 0) 处可微，则极限limx →0 y →02 + y 2存在【答案】：f (x , y ) 【解析】：由于 f (x , y ) 在(0, 0) 处连续，可知如果limx 0 y →02+ y存在，则必有 f (0, 0) = lim f (x , y ) = 02x →0y →0f (x , y ) f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)这样， limx →0 y →02 + y 就可以写成 lim⊗x →0 ⊗y →0⊗x 2 + ⊗y 2，也即极限 lim⊗x →0⊗y →0⊗x 2 + ⊗y 2存在，可知limf (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)= 0 ，也即 f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0) = 0⊗x + 0⊗y + o⊗x →0⊗y →0。
2012考研数学(一二三)真题(含答案)
f x
,
f y
,
f z
.
12、已知曲面 {(x, y, z) | x y z 1, x 0, y 0, z 0}，则 y2dS
。
【答案】 3 12
【解析】由曲面可得 z 1 x y zx ' zy ' 1，
向 xOy 面投影 Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0}，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P1
AP
1
，
P
1,
2
,3
，
2
Q 1 2,2,3 则 Q1AQ （ ）
1
（A）
2
1
【答案】（B）
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
ex2
sin
xdx
0
I2
I1 ；
又 I3 I1
3 ex2 sin xdx
2 ex2 sin xdx
3 ex2 sin xdx ，
2
其中
3
ex2
sin
t x
xdx
2 e(t )2 sin(t )d (t ) 2 e(t )2 sin tdt 2 e(x )2 sin xdx
x y ( x, y)(0,0) 2
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一、选择题 (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( C )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( C ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( B )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)222d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)2221d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11 (1)n nα∞=-∑绝对收敛，级数21(1)nan n∞-=-∑条件收敛，则( D )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤(D)3 22a <<（5）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (B) (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.（6）设2sin k xk I exdx π=⎰(k=1,2,3),则有 (D)（A ）123I I I <<(B)321I I I << (C)231I I I <<(D)213I I I <<（7）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y∂<∂，则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是(D)(A) 1212,x x y y ><(B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y <<(D) 1212,x x y y <>（8）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x (D)ππ--)(2)(2)()(D C B A3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ B ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
二、填空题：(9)()1cos sin 4lim tan x x x x π-→=e(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y ff x =，则x edydx== 4(11)设连续函数(,)z f x y =满足lim0x y →→=则()0,1d |z = 2dx dy -(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 4ln 2（9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则220x d ydx==__。
（10）计算22222111lim 12x n nn n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭…____4π____。
（11）设1ln z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂___0_____。
（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足初始条件|1x y =1=的解为__X=Y 2______。
（13）曲线2(0)y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是__(-1,0)______。
9、若函数()f x 满足方程"()'()2()0f x f x f x +-=及'()()2x f x f x e +=，则()f x = e x 。
10、20=⎰ 2π 。
11、(2,1,1)()|zgrad xy y+= (1,1,1) 。
12、已知曲面{(,,)|1,0,x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y d S ∑=⎰⎰。
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1)求极限222cos 4lim xx x ee x-→-解：(2)计算二重积分d d x e xy x y ⎰⎰，其中D 是以曲线y y==及y 轴为边界的无界区域.解：(3)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和y （件），且定两种产品的边际成本分别为202x+（万元/件）与6y +（万元/件）.(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）；(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.解：（I ）(,)=20+2xx C x y '，对x 积分得：()2(,)204xC x y xD y =++再对y 求导有，()(,)6yC x yD y y ''==+ 再对y 积分有，()262yD y y c =++所以22(,)20642x y C x y x y c =++++，又(0,0)10000C =，所以10000c = 所以22(,)2061000042xyC x y x y =++++（II ）x+y=50，把y=50-x 代入22(,)2061000042xyC x y x y =++++23()36115504x C x x =-+令23()361155004x C x x '⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，得x=24，y=50-24=26， 这时总成本最小C （24,26）=11118万元（III ）()24,26(,)32x C x y '=（万元/件） 经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。
(4)证明21lncos 1,(11)12x xx x x x++≥+-<<-证明：令()21lncos 112x xf x x x x+=+---，()212lnsin 11x x f x x xxx+'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111xxf x x xxx -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥= 即证得：()21lncos 11112x xx x x x++≥+-<<-（5）已知函数11()sin ,x f x xx +=-，记0lim ()x a f x →=（1）求a 的值（2）若当0x →时，()f x a -是k x 的同阶无穷小，求k【解析】：（1）2000011sin lim ()lim lim lim 1sin sin sin x x x x xx x x f x xxx x x→→→→-⎛⎫=-+=+=⎪⎝⎭，即1a = （2）,当0x →时，由11sin ()()1sin sin x x f x a f x xx x x--=-=-=又因为，当0x →时，sin x x -与316x 等价，故1()~6f x a x -，即1k =（6）求()222,x y f x y xe+-=的极值。
【解析】：()222,x y f x y xe +-=，先求函数的驻点：令()()()2222222,10,0x yx x y yf x y x ef x y xye +-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩， 解得驻点为()()1,0,1,0-.又()()()222222222222311x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x ye+-+-+-''=-''=--''=--对点()1,0，有()()()11221111,02,1,00,1,0xx xy yy A f eB fC f e--''''''==-====-所以，211110,0A C B A -><，故(),f x y 在点()1,0处取得极大值()121,0f e =. 对点()1,0-，有()()()11222221,02,1,00,1,0xx xy yy A f eB fC f e--''''''=-==-==-=所以，222220,0A C B A ->>，故(),f x y 在点()1,0处取得极小值()121,0f e -=-.（7）过点（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线A B 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
【解析】： 如图设切点坐标为()00,ln A x x ，斜率为1x ，所以设切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为该切线过(0,1)B ，所以2x e =，故切线方程为：211y x e=+切线与x 轴交点为()2,0B e - （1）22222201(1)()12y y A e e y dy e e y y e ⎡⎤⎡⎤=--=--=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰（2）()()()()22222222212211221122212ln 38ln 2ln 3842ln 238221233eee eeV e exdxe x x xdxe e x x dxe e e ππππππππππ⎡⎤=⋅⋅---⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=--=+⎰⎰⎰（8）计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 为曲线()πθθ≤≤+=0cos 1r 与极轴围成。