费米狄拉克分布函数解析、图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、TE fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．，E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
的能级都空着。
因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
费米分布函数变化曲线T 3>T 2>T 1>T 0第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K 前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导
费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布最为基础和重要的模型。
它们都具有广泛的应用，可用于描述大量自然现象和事件的情况。
费米—狄拉克分布是早期的数学研究的结果，它是由俄国科学家费米和狄拉克合著的。
它表示大量自然现象和事件的分布是以不断变化的指数函数形式发生的，这就是“指数定律”。
当事件发生的频率并不经常发生，而其几率却很大时，便可以用费米—狄拉克分布来进行描述。
例如，地震的最大震级分布可以用费米—狄拉克分布来描述。
而玻色-爱因斯坦分布可以用来描述大量不断变化的量子物理现象，它定义为量子间的相对不确定性，它的形态是以正态分布的形式发生的。
玻色-爱因斯坦分布可以用来描述多种量子现象，例如，电子的空间分布或几率分布可以用玻色-爱因斯坦分布来表示。
总体而言，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布中最为重要的模型，它们各自具有不同的特点，可以用来描述大量自然现象和量子现象。
狄拉克函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) ( x)dx f (0)
这个积分应理解为
f ( x) ( x)dx lim f ( x) ( x)dx
0
1 1 lim f ( x)dx lim f ( x)dx 0 0 2 2 1 要求:f 连续 由积分中值定理，得 lim f ( )2 f (0) 0 2 ( , )
10
记 n ( x)
sin nx lim n ( x) lim ( x) n n x
这可看作是 函数的另一种定义方式。
sin nx 上式可写为 x
事实上，凡是具有
性质的函数序列 n ( x) ，它们的极限都是 函数.如：
n
lim
狄拉克函数基础
本节介绍一种新的“函数”, 函数.
函数是从某些物理现象中抽象出来的数学模型，例如：力
学中瞬间作用的冲击力，原子弹、氢弹的爆炸等。 这些物理现象有个共同特点， 即作用时间极短，但作用 强度极大。(冲激函数)
函数是由物理学家狄拉克首先引进的，可用于描写物理学
中的一切点量，如：点质量、点电荷、脉冲等，在近代物理 学中有着广泛的应用. 在数学上， 函数可以当做普通函数一样进行运算，并且可以 为处理数学物理问题带来极大的便利.
F[ ( x)] 1
同理可得
狄拉克函数基础
9
利用
F[ ( x a)] eia
F[ ( x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
ia ia 1 e e cos a F [ ( x a) ( x a)] 2 2 ia ia 1 e e F [ ( x a) ( x a)] sin a 2i 2i 1 从而有公式 F 1[cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2 1 1 F [sin a ] [ ( x a) ( x a)] 2i
玻尔兹曼分布与费米狄拉克分布的统一
p 2 c2
+
m
2 e
c4.
为了简化,
把所有的能量以
m e c2
为单位, 动量以 m e c为单位, 上式化为
ne = 8KP3e Q]1
1+
E E2 - 1 exp [ (E - Le - 1)
/kT ]
dE,
( 7)
Ke = h /m e c为电子的 Com pton波长.
如果要计算电子处在 E 1和 E 2之间的几率 f2, 则需要
0. 3109 0. 1230 2. 5286 0. 5722 0. 0347 16. 4914
0. 3109 0. 1707 1. 8217 0. 5722 0. 0483 11. 8537
2
0. 3109 0. 2353 1. 3215 0. 5722 0. 0716 7. 9958
1
0. 3109 0. 2829 1. 0991 0. 5722 0. 0983 5. 8221
后左右调一点但是值不变就是它合理的上限.
3 数值结果和分析 [ 4- 8]
表 1给出了在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和 费米 ) 狄拉克分布的比较. 其中左列为温度 kT= 0. 5M eV, 电子动能 0. 5- 1M eV的几率; 右列为 kT = 0. 05M eV, 电子 动能 0. 05- 0. 5M eV 的几率. f1 和 f2 分别代表玻尔兹曼分 布和费米 ) 狄拉克分布的结果. 由于玻尔兹曼分布不受化 学势的影响, 故化学势变化保持恒值; 费米 ) 狄拉克分布 的值随化学势减小而变大. 当温度较高, 如左列, 在化学势 很小时, 它们的分布几率是相差不大的. 但随温度降低, 如 右列, 它们偏离会增加. 随着 kT 值的增大, 物态越接近于 理想气体, 故两种分布几率越接近.
费米-狄拉克分布实验讲义
实验六 费米—狄拉克分布实验讲义一、实验目的：（１）通过实验验证费米——狄拉克分布。
（２）学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。
二、理论分析：近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为[]1/)(exp 1)(+-=kT g f εεε （1）金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级相互靠得很近，形成能带。
当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。
此时金属中的电子将能量从零到能量为εf (εf 称费米能级, εf 的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。
而高于费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。
如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的加剧,其能量超过εf值,因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。
我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。
对（1）式求导可得[][]2}1/)({exp /)(exp )()(+---==kT kT kT d dg g f f εεεεεεε （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。
由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。
由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，εf =0，不要忘记电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε 减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能εｋεf =ε-A （3）此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逃出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士,Я.И符伦克尔和И.E 塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf 。
3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布(雨课堂课件)
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e
E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E
4.53978
10
当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m
dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F
k
T
0
1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很
费米狄拉克分布的物理意义
费米狄拉克分布的物理意义嘿，咱今儿来聊聊费米狄拉克分布，这玩意儿可有意思啦！
你看啊，这费米狄拉克分布就好像是一个超级大管家，专门管着微观世界里那些粒子的行为呢！它能告诉我们在不同的能量状态下，粒子出现的概率是多少。
就好比是一场盛大的派对，每个粒子都想找个最舒服的位置待着。
能量低的地方就像是舒适的沙发，大家都想抢着坐；而能量高的地方呢，就像是高难度的杂技舞台，只有少数勇敢的粒子才会去尝试。
费米狄拉克分布就决定了哪些粒子能坐在沙发上，哪些粒子会去挑战杂技舞台。
这多神奇呀！
而且你想想，这世界要是没有这个分布，那粒子们不就乱套啦？就像没有交通规则的马路，大家横冲直撞，那可不行！
它就像是给粒子们设定了一个规则手册，让它们知道该怎么行动才合适。
比如说电子吧，它们就得按照费米狄拉克分布来安排自己的位置。
如果不这样，那电子们可能就会到处乱跑，我们的世界不就乱了套啦？
再想想，如果没有这个分布，那些半导体器件还能正常工作吗？那肯定不行呀！
这费米狄拉克分布就像是一个幕后英雄，默默地维持着微观世界的秩序，让一切都能有条不紊地进行。
它虽然看不见摸不着，但却对我们的生活有着巨大的影响。
从电子设备到量子力学的研究，都离不开它呢！
你说这费米狄拉克分布是不是超级厉害？它就像一个神秘而又强大的魔法，掌控着微观世界的奥秘。
我们虽然不能直接看到它，但却能感受到它的力量。
所以啊，可别小看了这费米狄拉克分布，它可是微观世界里至关重要的存在呢！。
(精编资料推荐)费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)exp[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
费米狄拉克分布
〔E E 〕 E〔 EE 〕 费米-狄拉克分布的实验验证鲁从勖 程向明 李 正( 西安交通大学理学院实验物理中心 710049)摘 要 通过理论推导, 用理想二极管外加磁场的方法, 验证了真空中热电子发射的电子动能分布也符合费米-狄拉克分布. 使量子统计学中的费米-狄拉克分布得到了推广. 经过适当的数据处理, 使复杂的微观量较容易地通过宏观量得以测量.关键词 费米-狄拉克分布 费米能级 理想二极管1 理论分析在金属内部电子的能量遵从费米-狄拉克分布, 费米分布函数为E k = E - A ( 3)另外, 电子脱离金属之后, 不再受到金属内部其他带电粒子的影响, E f 应该为零, 但由于真空与金属表面接触处, 存在有电子气形成的偶电层, g ( E ) = 1 exp ( - f ) / kT + 1 ( 1)而该偶电层所产生的电位降的值为 E f / e . 也就 是说这个偶电层的势垒值, 等于该温度下的费式中E 是电子的能量, E f 是费米能级, k 是玻尔兹曼常量, T 是K 氏温度. 对 g ( E ) 求导得米能级 Ef 〔1〕. g ′( E ) = d g ( E ) d - exp 〔( E - E f ) / kT 〕 kT { e x p 〔( E - E f ) / kT 〕+ 1} 2 ( 2)g ( E ) , g ′( E ) 的理论曲线如图 1 和图 2 所示.图 2考虑到这两个因素之后, 我们可得出: 真空中热电子发射的电子在刚脱离金属表面后的动 能分布应该遵从修正后的费米分布函数, 即 图 1由于无法直接测量金属内部电子能量的分 g ( E k ) = 1 ex p ( k -f ) / kT +1 ( 4)布, 我们对真空中热电子发射的电子动能分布进行了测量. 电子在金属内部的运动与电子刚 对( 4) 式求导得 d g ( E k )- ex p 〔( E k - E f ) / kT 〕脱离金属发射到真空中的运动条件是完全不相同的. 由于电子逸出金属表面时, 要消耗一部分 g ′( E k ) =d E k= kT { ex p 〔( E k - E f ) / kT 〕+ 1} 2( 5)能量用作逸出功, 因此从金属内部电子的能量 E 减去其逸出功 A , 即可得到真空中热电子发射的动能 E k从( 4) , ( 5) 两式看出, 真空中热电子发射的电子动能分布规律, 与金属内部电子按能量分布的规律完全相同, 都遵从费米-狄拉克分布.X 创刊 20 周年征文X=2 实验方法及数据处理用螺线管套在理想二极管的外面, 通以直流电流, 在理想二极管不加阳极电压的情况下, ( 8) 式中 L 0 是真空中的磁导率, N 是螺线管的总匝数, L 和 D 分别是螺线管的长度和直径, I B 是通过螺线管的电流强度. 将( 7) , ( 8) 式代入( 6) 式得真空中电子的动能为直接测量阳极电流的变化情况. 其电路如图 3 所示.E k = mv 2 2 = m L 2N 22( L 2 + D 2) R e 2 mI B 2 ( 9)由于理想二极管的特殊结构, 从灯丝发射出的电子沿半径方向飞向二极管的阳极. 因为阳极电压等于零, 所以电子不受外电场力的作用, 而保持着从金属表面逸出时的初动能, 飞向阳极形成饱和阳极电流. 因为电子从金属表面逸出时的初动能各不相同, 如何将它们按相等的动能间隔区分开来, 并且求出电子数目的相对值, 便成为该实验的关键.由图 4 可看出, 若 R 大于 d / 4( d 是圆柱面 阳极的直径) , 电子就能到达阳极, 形成阳极电流. 若 R 小于 d / 4, 电子就不能到达阳极, 这一部分电子对阳极电流无贡献. 可见电子作匀速圆周运动的半径( 决定于 I B ) 直接影响阳极电流的大小. 将 R = d / 4 代入( 9) 式得E k = K I B 2 ( 10)其中K = 为一常量.e 2m图 3由图 3 可知, 从理想二极管发射出的电子,沿半径方向飞向二极管的阳极, 在螺线管所产生的磁感应强度 B 的作用下, 电子将受到洛伦兹力 F = ev ×B , 而作匀速圆周运动, 洛伦兹力是向心力. 由于 v ⊥B , 洛伦兹力可用标积表示f L = Bev = mv 2/ R ( 6)式中 v 是电子在二极管的半径方向的速度, 或者电子的速度在半径方向上的分量为图 4可见真空中热电子发射的电子动能与螺线管中的电流强度的平方成正比, 而洛伦兹力不改变电子的动能, 它只影响电子作匀速圆周运动的半径大小. 对于动能一定的电子, 向心力越大匀速圆周运动的半径越小. 当动能增加 $ E k 时,将有相应数量的电子, 因其圆周运动的半径v = BeR m( 7) 小于 d / 4 而不能到达阳极, 所以阳极电流将减小$ I P . 又因为 E k 与 I B 2 成正比, 所以可以用 I B 2( 7) 式中 R 是电子作匀速圆周运动的半径, m是电子的质量, B 是螺线管中间部分的磁感应强度, 其表达式为L 0N I B代替变量 E k 进行实验及数据处理. 实验中, 设灯丝电流稳定不变, 阳极电压等于零, 理想二极管的阳极饱和电流为 B = 2 L 2 ( 8) + DI P 0 = n 0e ( 11) P 2× 10- 14N 2d 2m 2( L + D )2 221 2 1 2式中的n0 以及下面的n1, n2 , n3 , 均为单位时方程组( 13) 中各式除( 11) 式得间内到达阳极的电子数目. 当I B2 以相等的改$ I P / I P = $ n1 / n01 0变量依次增加下去, 将得到一组方程$ I P / I P= $ n2 / n0 ( 15)2 0I P1= n1 eI P2= n2 e ( 12) 由( 11) , ( 12)为了适应理论上的要求, 在操作上我们事先选好I B2 的值, 使其等间隔的增加, 然后以其平方根的值, 作为实际测量时的电流值, 进行实$ I P $ I P = I P= I P1-I P-I P= ( n0 - n1 ) e = $ n1e= ( n1 - n2 ) e = $ n2e ( 13)验测量.3实验结果与讨论实验数据见表1. 以I P / I P 为Y 轴, I B2 的方程组( 12) 中各式除( 11) 式得i0I P1/I P= n1/ n0 值为X轴,作图可得到费米分布函数g(E k)～E k的曲线, 如图 5 所示. 以$I P / I P 为Y 轴, 相应i0I P2/I P=n2/n0(14)的IB2的值为X轴,作图可得到g′(E k)～E k的曲线图和直方图, 如图6 所示.表 1 一组实验数据I B 20. 0000. 0400. 0800. 1200. 1600. 2000. 2400. 2800. 320I B0. 0000. 2000. 2830. 3460. 4000. 4470. 4900. 5290. 566I Pi92. 692. 191. 389. 183. 872. 054. 336. 020. 3I Pi/ I P1. 0000. 9950. 9860. 9620. 9050. 7780. 5860. 3890. 219I Pi- I Pi + 10. 50. 8 2. 2 5. 311. 817. 718. 315. 79. 6$ I P / I Pi00. 005400. 008640. 02380. 05720. 1270. 1910. 1980. 1690. 104I B 2 0. 3600. 4000. 4400. 4800. 5200. 5600. 6000. 6400. 680I B0. 6000. 6320. 6630. 6930. 7210. 7480. 7740. 8000. 825I P i10. 7 6. 0 3. 5 2. 4 1. 8 1. 3 1. 1 1. 00. 9I Pi/ I P0. 1160. 06480. 03780. 02590. 01940. 01400. 01190. 01080. 00972I Pi- I Pi + 14. 7 2. 5 1. 10. 60. 50. 20. 10. 10. 1$ I P / I Pi00. 05080. 02700. 01190. 006480. 005400. 002160. 001080. 001080. 00108I B 2 0. 7200. 7600. 8000. 8400. 8800. 9200. 960 1. 000I B0. 8480. 8720. 8940. 9160. 9380. 9590. 980 1. 000I Pi0. 80. 50. 50. 40. 30. 30. 30. 2I Pi/ I P0. 008640. 005400. 005400. 004320. 003240. 003240. 003240. 00216I Pi- I Pi + 10. 30. 00. 10. 00. 00. 1$ I P / I Pi00. 003240. 000. 001080. 000. 000. 00108经多次测量重复性较好. 从实验得到的两条费米统计分布曲线与理论曲线相一致. 归一化的程度也较高, 实验值为0. 996, 误差只有0. 4%. 从两条实验曲线上都可看出: 热电子发射的电子能量的最可几值在1/ 2 附近, 且与理论相符. 而且在g ( E k) = 1/ 2 处所对应的E k应该是该材料在实验温度下的费米能级. 本实验所测钨的费米能级E f=2.06e V.(下转12 页)未修正前的测量值计算出的E′随间距d 的增加而增加. 说明当平行板的实际电容量较大而分布电容又较小时, 分布电容的影响较小. 随平行板实际电容量的减少, 分布电容的影响则越显突出.图2其次, 可以看出, 由平行板电容修正后的测量值计算的电容率E0, 在d 小于2mm ( 或D / d大于50) 时基本上为一常量. 当d 大于2mm ( 或D / d 小于50) 时, 由于边缘效应的影响, E0渐渐远离公认值, 这既符合电磁学理论, 也与上面提到的数据取值范围是一致的. 以上分析还证实, 在保持接线分布不变的情况下, 测量过程中, 只改变平行板电容器的间距d, 可近似认为分布电容为一常量.为保证测量数据准确, 实验中还应注意接线长度应尽可能短, 并在测量过程中保持布线位置不变, 以减小分布电容的变化所带来的影响. 在用交流电桥测量电容的过程中, 手不能接触电容的任何部位, 人体也应尽量远离电容, 以减少人体感应所引起的误差. 图1 的实验装置与交流电桥配合还可以用来测量固体电介质的介电系数〔2〕.4参考文献1T y ler F. A labo rato ry manual o f phy sics. Edw ardA rno ld L imit ed, 1977. 107～1082王良才等. 介电系数的测量. 物理实验, 1988, 8 ( 3) ∶110( 2000-01-31 收稿, 2000-07-14 收修改稿)( 上接9 页)4 参考文献图5 图62黄昆, 谢希德. 半导体物理学. 北京: 科学出版社,19583梅逸J 等. 统计力学. 北京: 高等教育出版社,1 基泰尔. 固体物理学导论. 北京: 科学出版社,19791957( 2000-07-03 收稿)。
费米狄拉克统计
费米–狄拉克统计[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计）费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。
这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
不过费米在数据定义比狄拉克稍早。
[1][2]费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。
除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。
不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。
费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。
由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。
费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。
目录[隐藏]• 1 概述• 2 历史• 3 费米–狄拉克分布o 3.1 粒子的能量分布• 4 量子范畴和经典范畴• 5 参考文献• 6 相关条目概述[编辑]函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。
因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。
费米-狄拉克统计
费米-狄拉克统计在统计力学中，费米-狄拉克统计是一种由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克发展起来的特殊粒子统计用来确定费米子在一个热平衡系统中各能量状态上的统计分布。
换句话说，就是在给定能级上一个费米子出现的几率。
费米子是不可分辨的并且服从泡利不相容定律，即，不会有超过一个的粒子在同时处以同一量子态。
统计热力学用来描述大量粒子的行为。
无相互作用的费米子的集合称为费米气体。
F-D 统计在1926年由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克提出，并在1926年由拉尔夫⋅富勒用于描述恒星到白矮星的塌缩，在1927年由Arnold Sommerfeld 用于金属中的电子。
对于F-D 统计，处于一种能量状态i 的粒子数的期望值是1/)(+=-kT i i i e g n με 这里：n i 为粒子在状态i 的数量εi 为第i 个状态的能量g i 状态i 的简并度μ 为化学势（作为一种低温近似，有时用费米能量E F 代替）k 为玻尔斯曼常数T 为绝对温度在μ为E F 而且g i =1时，这个方程称为费米方程：11)(/)(+=-kT E F i e E F ε对于四种不同的温度，作为ε/μ的函数的费米-狄拉克分布（⎺n为n i/g i即同一能级平均每个模式（状态）上分布的粒子数，它与被占据的状态数成正比）。
温度越高曲线越光滑作为温度的函数的费米-狄拉克分布。
温度越高被占据的状态越多。
作为ε的函数的费米-狄拉克分布。
高能态对应低概率，或低能态对应高概率。
这些统计的应用费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计在量子效应必须考虑以及粒子被认为是“不可分辨的”时起作用。
如果粒子的浓度(N/V)≥n q（这里n q是量子浓度）量子效应就会显现。
量子浓度是当粒子间距等于热德·布罗意波长也就是当粒子的波函数相互接触但还未重叠时的浓度。
量子浓度依赖于温度；高温会使大多数系统处在经典的限制中除非它们有非常大的密度例如白矮星。
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
费米狄拉克统计
费米狄拉克统计费米–狄拉克统计[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计）费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。
这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
不过费米在数据定义比狄拉克稍早。
[1][2]费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。
除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。
不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。
费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。
由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。
费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。
目录[隐藏]∙ 1 概述∙ 2 历史∙ 3 费米–狄拉克分布o 3.1 粒子的能量分布∙ 4 量子范畴和经典范畴∙ 5 参考文献∙ 6 相关条目概述[编辑]函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。
因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。
4-4 费米统计1
2 (
f )d
第一项积分为1，第二项由于被积函数为奇，对称区域积分为0。
f 1 1 2 2 ( )d e 1 e 1 d 20 e 1 e 1 d 2
2 2e (1 2e 3e 2 ....)d
关于二价金属的费米面
X射线发射谱
• 阴极射线打击原子内层电子产生激发空出内层能级，价电 子向内层跃迁发射光子，表现为X射线的连续谱，谱线强 度取决于能态密度和发射几率。
• T>0K时，随温度升高，靠近费米面 EF0（几个kBT范围）的电子部分跃 迁到费米面之上，EF略小于EF0。
N f ( E ) N ( E )dE f ( E )Q( E ) 0 Q( E )(
• 只有当温度大于绝对零度时，由于热激发，费米面附 近的电子才可能跃迁到费米海以上的空态，但是费米 海深处的电子由于泡利原理的限制，如果没有足够的 能量是不可能跃迁到费米海以上的。当然费米面附近 电子的激发可以是其它形式的能量。
四、电子热容量
电子总能量U Ef ( E ) N ( E )dE f ( E ) R ( E ) 0
1 ds V 4k 2 m V 2m E 2 CE K E 4 3 2 k 2 2 m • 以近自由电子为例，周期性势场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，在其它地方只对自由电子情况有较小的修正。因此，第一 布里渊区的等能面从原点向外，开始基本上保持为球面，在接近 布里渊区边界时，同样的 k，E(k)减小了，等能面将向边界凸出， 达到同样的E，需要更大的k。当E 超过在边界上的A 点的能量EA， 一直到 E接近于在顶角 C点的能量 EC，即第一能带顶时，等能面 将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。 N(EA)取极大值，而N(EC)将为零。
费米狄拉克分布函数的物理意义
费米狄拉克分布函数的物理意义我和朋友在一个午后的咖啡馆里闲聊，不知怎么就聊到了费米狄拉克分布函数。
朋友一脸疑惑地问我：“你老说这个费米狄拉克分布函数，它到底有啥物理意义啊？”我笑了笑，陷入了回忆。
我跟他说：“你想啊，我在研究微观物理现象的时候，就感觉自己像是在一个充满秘密的小世界里探索。
这个费米狄拉克分布函数就像是这个小世界的一把钥匙。
它描述的是费米子在不同能量状态下的分布概率。
”朋友还是不太明白，我就接着说：“我看到那些微观粒子的时候，就好像看到一群独特的小个体。
费米子啊，像电子这样的，它们遵循着这个分布函数。
在我的理解里，这个函数就像是一个规则，它告诉我们在一定的温度下，这些费米子是怎么在各个能量态上分布的。
”我喝了一口咖啡，接着说道：“当我在实验室里做那些关于电子行为的实验时，我心里就一直在想着这个函数。
我感觉每一个电子就像是一个有自己想法的小粒子，但是它们又得按照这个费米狄拉克分布函数的规则来。
这个函数反映了微观世界的一种秩序。
”朋友似乎有点开窍了，他说：“那这个和我们的宏观世界有啥联系呢？”我想了想，说：“其实我们宏观世界也是由这些微观粒子组成的啊。
这个函数所描述的微观状态的分布，在一定程度上影响着宏观物质的性质。
就像我在研究一些材料的电学性质时，这个函数就隐藏在背后。
我能感觉到它的存在，因为它决定了电子在材料中的分布情况，从而影响材料的导电性等性质。
”朋友点点头说：“原来是这样啊。
”我也感慨道：“是啊，这个费米狄拉克分布函数就像是微观世界里的一个密码，我一直在努力去理解它、解读它，每一次有新的发现，就好像自己又离这个微观世界的真相更近了一步，那种感觉很奇妙。
”。
相对论狄拉克费米子
相对论狄拉克费米子相对论狄拉克费米子是量子场论中的重要概念，对我们理解基本粒子的行为和相互作用很有指导意义。
本文将全面介绍相对论狄拉克费米子的概念、性质和应用。
首先，让我们先了解一些背景知识。
根据相对论理论，爱因斯坦提出了著名的相对论方程E=mc²，即能量与质量之间的等价关系。
相对论以光速不变原理为基础，给出了质量和能量之间的关系，这对于描述高速运动的基本粒子非常重要。
相对论狄拉克方程是描述自旋1/2的粒子（即费米子）的基本方程。
狄拉克方程是一个四分量方程，其中的四个分量描述了电子的自旋自由度和位置自由度。
它是通过将量子力学和相对论结合而得到的，因此可以准确地描述高速运动的电子。
狄拉克费米子的一个重要特征是其自旋1/2。
自旋是粒子的内禀性质，类似于旋转的角动量。
自旋1/2表示粒子具有两个可能的自旋状态，分别为自旋向上和自旋向下。
自旋的存在使得狄拉克费米子具有一些独特的性质，例如弱相互作用和磁性行为。
狄拉克方程的解被称为狄拉克费米子。
这些解描述了高速运动的电子在空间和时间的演化。
狄拉克费米子的一个重要应用是描述原子核的结构和性质。
在原子核中，质子和中子也被认为是狄拉克费米子，通过狄拉克方程可以理解它们在核内的行为。
除了在原子核物理中的应用，狄拉克费米子在粒子物理学中也起着重要作用。
它们描述了构成我们身体的基本粒子，如电子、夸克和轻子。
通过狄拉克方程，我们可以研究这些粒子之间的相互作用和性质。
这对于理解宇宙的本质，解释高能物理实验结果起着至关重要的作用。
相对论狄拉克费米子的发现和理解对于现代物理学的发展具有重要意义。
狄拉克方程的提出使得我们能够更好地理解基本粒子的行为，揭示了宇宙的奥秘。
通过进一步研究和实验验证，我们可以继续深入了解相对论狄拉克费米子的性质，并为解决更复杂的物理问题提供指导。
综上所述，相对论狄拉克费米子作为粒子物理学中的重要概念，不仅为我们探索宇宙的本质提供了指导，还有助于我们理解和解释多种现象。
费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)ex p[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数是一种特殊的概率密度函数，也称为δ函数或Dirac函数。
它在数学中的应用非常广泛，特别是在量子力学中。
狄拉克分布函数的定义为：
δ(x-a) = 0 (x ≠ a)
δ(x-a) = ∞ (x = a)
其中，a为一个常数，δ(x-a)表示在x=a时函数的取值。
在其他点上，函数的值为0。
狄拉克分布函数具有以下性质：
1. 积分区间内的面积为1；
2. 在积分区间外，函数值为0；
3. 在积分区间内，函数值为无穷大，但积分结果为有限值；
4. 狄拉克分布函数是一个偶函数。
由于狄拉克分布函数具有无穷大的尖峰，因此在实际应用中，可以将其看作是一个极限情况下的高斯分布函数。
它可以用来表示一个粒子在某个位置出现的概率，也可以用来描述量子力学中的波函数。
在信号处理中，狄拉克分布函数也常用于描述脉冲信号。
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各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】
第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)
第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。
对于本征半导体，E f 处于禁带E g 的中央，在绝对零度时，在导带E c 中E ＞E f ，f(E)=0；在价带E v 中E ＜E f ，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v 之中，因而此时
半导体是完全不导电的。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2
T 3 费米分布函数变化曲线
T 3 >T 2 >T 1 >T 0
在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范
围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占随着温度的升高，能量略低于E f 的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f
的量子态被电子占据的概率增大。
在一定温度下(温度不变)，费米能级附近的部分能量小于E f 的电子会被激发到E f 以上，温度越高，被激发的概率越大。
费米分布规律不适用于非平衡状态
第四，在T=0K处于绝对零度的前提下，若E＜E f， exp→0,则f(E)=1；当T=0K时，若E＞E f，则f(E)=0。
可见，在绝对零度时，能量比E f小的能级被电子占据的几率是100%，而能量比E f大的能级被电子占据的几率为零。
即所有低于E f的能级都被占满，而所有高于E f的能级都空着。
因而费米能级E f是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度)
可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是 99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f 这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
所以费米能级E f的位置，比较直观地标志了电子占据能态的情况，或者说E f标志了电子填充能级的水平，费米能级E f高说明在较高的能态上有电子(反映整体平均水平)。