三个数的均值不等式

平均值不等式导学案2

☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;

2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;

3.初步掌握不等式证明和应用

一、课前准备（请在上课之前自主完成）

1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥.

当且仅当a b =时, 等号成立.

2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 .

当且仅当 时, 等号成立.

利用基本不等式求最值的三个条件

推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ，

从小到大的排列是:

☆课前热身：

(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*

∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

(2) 在算式“4130⨯∆+⨯O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12

22

=+y x ，求21y x +的最大值.

二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：

如果+

∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.

☻建构新知：

问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-=

定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3

a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数

推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的

即 当且仅当a b c ==时, 等号成立.

语言表述：n 个数的 平均数不小于它们的 平均数

☆案例学习：

例1已知,,x y z R +

∈, 求证：

(1)3()27x y z xyz ++≥; (2)()()9x y z y z x y z x x y z ++++≥; (3)222()()9x y z x y z xyz ++++≥．

例2用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？

例3 求函数)0(,322>+

=x x x y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. 解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=x

x x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222

=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:

例4、已知0

三、当堂检测

1、已知a 、b 、c 都是正数，求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc

2、已知a 、b 、c 都是正数，且abc=1.求证：a ³+b ³+c ³≥3

3、已知x>0，当x 取什么值时？2

12x x +的值最小？最小值是多少？

四、课堂小结

2个数的均值不等式 等号成立的条件

3个数的均值不等式 等号成立的条件 n 个数的均值不等式 等号成立的条件

五课后作业 基本不等式2 姓名 日期 年 月 日

1.若1,0,0=+>>b a b a ，则)11)(11(22--b

a 的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

2.若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（ ）

A ．3-1

B ．

3+1 C ． 23+2 D ． 23-2 3.若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）

A.2∈M ，0∈M ；

B.2∉M ，0∉M ；

C.2∈M ，0∉M ；

D.2∉M ，0∈M

4. 若14<<-x ，则2

2222-+-x x x 的最小值为（ ）

7 C.1- D.1

.5 函数)(,422+∈+=R x x

x y 的最小值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

.6已知1273,023++=-+y

x y x 则的最小值是 （ ） A. 393 B. 221+ C. 6 D. 7

7. 求下列函数的最值

1︒、0>x 时, 求x x y 362+=

的最小值．

2︒、设]27,91[∈x ，求)3(log 27

log 33

x x y ⋅=的最大值．

3︒、若10<

4︒、若0>>b a ，求)(1b a b a -+

的最小值为.

8某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面

的长 度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶 和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

9制作一个容积为316m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最 省？（不计加工时的损耗及接缝用料）