理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
理论力学基本概念地总结大全
想学好理论力学局必须总结好好总结，学习静力学基础静力学是研究物体平衡一般规律的科学。
这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体的静止状态是物体运动的特殊形式。
根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。
本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。
这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。
一、力学模型在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。
理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。
质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。
例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。
当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。
二、 基本定义力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。
外效应：力使物体的运动状态发生改变。
内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。
对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。
约束-自由度
第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
理论力学第5章分析力学
式中 q1 , q2 ,qs 叫拉格朗日广义坐标。
▪ 广义坐标不一定是长度，可以是其它物理
量。如角度、面积、体积、电磁场强度等。
▪ 在几何约束的情况下，广义坐标的数目和
自由度的数目相等。 s 个广义坐标就足以确
§5.1 约束与广义坐标
1 约束的概念和分类
▪在一个力学体系中，常存在着一些限制各质
点自由运动的条件，这些条件就叫约束。这
样有着 3n 个坐标的力学体系，只要有约束，
这些坐标之间就不互相独立。
▪ 约束对各质点位臵限制的条件通常可以表 为力学体系中质点的坐标、速度和时间的 方程。 ▪ 如果 n 个质点所形成的力学体系中受有 k 个 限制其位臵的约束，那就有 那么 面 个坐标中就只有 3n 个约束方程， k 个是独立的。 3n k
▪ 当一质点被一柔软绳连在一个定点 O 上而 作任意运动时，所受的约束是可解约束。 若取定点 O 为原点，则约束方程为
x y z l
2 2 2
2
▪ 但如果质点是用刚性杆和定点 O 相连，则 质点所受的约束是不可解约束，约束方程 将是
x y z l
2 2 2
2
几何约束和运动约束
▪ 几何约束或称完整约束，只限制质点在空
2 2 2
2
可解约束和不可解约束
▪ 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约
束。如质点被约束在
f ( x, y, z ) 0
曲面上。
▪ 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在
某一方向可以脱离，这种就叫可解约束。
如 f ( x, y, z) c 质点可以在曲面上，也可以
理论力学第六章-
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
理论力学chapt
仍有显含时间的可能，此时，一般 T1 0 T0 0
因而
H T V
广义能量守恒并非一般意义下的机械能守恒。部分 原因是由于约束不稳定，约束力作为非保守力要作功。 此时的广义能量积分将与某非惯性系“机械能守恒”相对应 只有当变换方程不显含时间时，
这时
T1 T0 0
T T2
H T2 V T V E
Q 0 ( 1,2,, s)
通过求解 s 个由广义坐标表达的体系的平衡方程，得
到体系的平衡位形
注：1、广义力属于整个主动力系，但与某广义坐标相关 2、Qq 具有功的量纲
3、由于约束的作用已经在虚功原理中消除，只能求得 平衡位形，而不能求得约束力。这既是优点也是缺点。 约束力可以通过用解除约束的方法求得，但操作也因此 繁琐。
第五章 分析力学(analytical mechanics )
5.1 约束(constraint)与广义坐标(generalized coordinate )
（1）约束的概念和分类 1、力学体系
有相互作用，运动彼此关联的物体系统。 2、约束
约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。 约束往往可以用约束方程来表示。 3、约束的种类
T
1 2
n
mi vi2
i 1
1 2
n i 1
mi
s 1
ri q
q
ri t
s 1
ri q
ri t
T2
T1 T0
上式中
T2
1 2
s ,
a
1
q
q
s
T1 a q 1
a
n
mi
i1
ri q
ri q
a
n
理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
xB OAcos AB cos; yB OAsin ABsin; x&C r&; yC H r; H OA ABsin 2r; 结论:8个约束方程
4.广义坐标 广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数n=3
约束方程数 s 8;
5.自由度计算
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数
空间质点: k 3n s,
平面质点: k 2n s,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 一般地：n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 ,q2 qk
xi xi (q1, q2 qk ,t) yi yi (q1, q2...... qk , t) zi zi (q1, q2 qk , t)
O z
x
y
l
A
z M
y x
y
C
vC
x
定常几何约束
单摆: x2 y2 z2 l 2
非定常几何约束
x2 y2 z2 l0 vt 2
O z
x
y
l
A
v
双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y2 z2 l2
单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。
ri ri (q1, q2 qk , t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
广义坐标自由度自由度
非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。
v
x2 y 2 z 2 l0 vt
2
1, y 1, z n , y n , z 1,x n , t ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上一点被固定 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1
三、广义坐标、自由度
1、基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
理论力学课件3 动力学-三大定理
LO 'i
z
rO'i
O'
mi v i
y
x
注意：“某点”有可能是动点。 对任意点O’ 的动量矩: LO 'i M O ' (mi vi ) rO 'i mi vi Lx i Ly j Lz k
对某z 轴的动量矩：
二、质点系的动量矩
Lz M z ( mi v i ) ( mi vi ' ) d
`
P2
Fy P P2 1
2 P P2 1 a 2g
20
例 电动机重Q1，外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长l， 重Q2，一端连一重Q3的小球。电机以匀角速度 w 转动，试求 螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
y
解： 1、[电动机] 受力分析如图
l
aC 2
Q1
aC 3
Q3
2、运动分析
d n mi vi Fj d t i 1 j
投影式
dp Fj dt j
dp x F jx j dt dp y F jy j dt dp z F jz dt j
15
动量定理的微分形式
动量定理的积分形式
dp Fj dt j
i 1
n
刚体的动量矩
运动刚体的动量矩 区分不同运动形式
（1）平移刚体的动量对O’点之矩
LO' rO'C mv
z
mi
v
v
相当于质量集中于质心的单质点问题
O'
rOi rO'C
y
27
x
m 例：已知： B , mE , h, u, v r ，求滑块、质点对Z轴的动量矩。
运动学-约束自由度广义坐标-分析运动学
非定常的非完整约束
7
广义坐标与自由度
•自由度数（degree of freedom)： 自由度数（ ： 自由度数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 独立坐标的个数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 问题： 问题： M 一个自由质点的自由度是多少？ 一个自由质点的自由度是多少？ 3 一个自由平面运动刚体的自由度是多少？ 一个自由平面运动刚体的自由度是多少？3 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？6 一个自由空间运动刚体的自由度是多少？ 的自由度数。 例：求图示受约束质点M的自由度数。 求图示受约束质点 的自由度数 自由度： 自由度： k
ψ
(θ , ϕ ) ; (θ ,ψ ) ; (ϕ ,ψ )
对于完整、双面约束的质系，自由度为 ， 对于完整、双面约束的质系，自由度为k，则: 完整 的质系 •若选k个广义坐标 q1 , q2 , L, qk ，则各质点的位置矢径： 则各质点的位置矢径： 若选
ri = ri (q1 , q2 , L, qk , t )
z
L
y
x x 2 + y 2 + z 2 = L2
= 3 −1 = 2
• 若有 个质点构成的质点系，存在 个约束方程，则自由度数为： 若有n个质点构成的质点系 存在r个约束方程 则自由度数为： 个质点构成的质点系， 个约束方程， 问题：若是存在r个约束的 个刚体呢？ 个约束的n个刚体呢 k = 3 n − r 问题：若是存在 个约束的 个刚体呢？
8
•自由度数（degree of freedom)： 自由度数（ 自由度数 ： 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 独立坐标的个数 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。 问题：若是存在 个约束的 个刚体呢？ 个约束的n个刚体呢 问题：若是存在r个约束的 个刚体呢？ 问题：静定结构的自由度是多少？ 问题：静定结构的自由度是多少？
理论力学第五章分析力学
实位移和虚位移的区别: 在任意的t时刻，虚位移可能不止 一个，在稳定约束条件下，实位移 是虚位移中的一个，当对于不稳定 约束，它们并不一致。
2.虚功 作用在质点上的力在任意虚位移上做的功称为虚功。 3.理想约束 如果质点上的所有约束反作用力的虚功之和为零, n R r i 0 这样的约束称为理想约束.
i 1
4.虚功原理
受理想约束的体系处于平衡状态时,其所有主动力的虚功之和等于零。
N W (q, t ) Fi r (Fixxi Fiyyi Fizz i ) 0
N i
推论:
r 广义力 Q Fi i 0 q i
n
i
(虚功应为广义坐标的函数)
xc
c ex y c ey z c ez x
x1 x 2 2
yc
y1 y 2 2
zc
z1)e y ( z 2 z1 )ez ]
解2.
取杆在空间运动平面的直角坐标系. 杆的两端约束方程为
若n个质点的体系受k个几何约束
f x, y, z, t 0
1, 2,...k
此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为s=3n-k， 其位置可用s个独立参数表示:
xi xi q1 , q2 ,...qs , t yi zi
或
i
1
y q , q ,...q , t z q , q ,...q , t
( 1,2,, s)
(对保守系)
V 0 q
(体系平衡时各个广义力均为零)
( 1,2,, s)
(平衡时体系的势对各广义坐标的导数均为零)
16-1质点系的自由度约束与广义坐标
4. 约束与约束方程 • 某些预先规定的限制条件 • 限制条件的数学形式 5. 几何约束与运动约束 6. 定常约束与非定常约束
f(x,y,z)=0 f(x,y,z,t)=0
7. 双面约束与单面约束 曲柄连杆机构中的滑块 双面定常约束
二、广义坐标
1、两个质点自由度的变化 z M1(x1,y1,z1)
n个质点的质点系的自由度 没有受到约束：3n 受到l个约束：r=3n-l 工程问题：约束多，自由度数目较少。 r=3n-l 不方便。 工程的改进方法 适当选择独立变量描述质点系的位置 广义坐标：独立变量 独立变量
三、广义坐标应用
1、曲柄连杆机构 y M1(x1,y1)
o
ϕ
M2(x2,y2) x
x2 = R cos ϕ + l 2 − R 2 sin 2 ϕ y2=0 z2=0
o x
M2(x2,y2,z2) y
六个坐标x1，x2 ， y1，y2 ， z1，z2
用一杆限制： z M1(x1,y1,z1)
o x
M2(x2,y2,z2) y
(x1-x2)2+ (y1-y2)2+ (z1-z2)2=l2 六个坐标x1，x2 ， y1，y2 ， z1，z2 五个坐标自由 自由度为五
16-1质点系的自由度.约束与广义坐标
• 自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度与约束 • 广义坐标 • 应用
一、质点系的自由度与约束
1. 研究非自由质点系的平衡问题 • 用分析的方法 • 构成平衡问题的理论基础——虚位移原 理 2. 虚位移原理 • 可简洁处理非自由质点系的静力学问题 • 可与达朗伯原理结合，建立普遍形式的 动力学普遍方程 3. 与虚位移原理相关的基本概念 • 自由质点系 • 空间一点的坐标，三个自由度 • n个质点有多少自由度
约束、自由度与广义坐标
n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
理论力学基本概念 总结大全
想学好理论力学局必须总结好好总结，学习静力学基础静力学是研究物体平衡一般规律的科学。
这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体的静止状态是物体运动的特殊形式。
根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。
本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。
这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。
一、力学模型在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。
理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。
质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。
例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。
当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。
二、基本定义力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。
外效应：力使物体的运动状态发生改变。
内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。
对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。
理论力学(27)
N
r
Nr = 0
r
N
B
N
(3)连接两刚体的光滑铰链
设AB杆与BC杆在B点用光滑 铰链连接.由N = N 得
A
Nr + Nr = Nr - Nr = 0
C
25
(4)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重为二力杆.设质点M1和 M2的虚位移分别为 r1 与 r2 则有:
M2 2 r2
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
如左图圆周的半径随时间改变 , 约束方程 为x2 + y2 = (r + at)2
O
如果在约束方程中显含时间t , 既约束随 时间而改变 ,这种约束称为非定常约束.如上 面举例.
(4)完整约束与非完整约束
如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的 , 或包含坐标
对时间的导数但能积分成有限形式的 , 则这种约束称为完整
yB= 0
y
A(x1,y1)
r
l
O
k = 23 - 5 = 1
B(x2,0) x
9
例题18-5. 求右图所示双摆的自由度.
系统由3个质点组成 , 受4个约束
xO= 0 yO= 0 xA2 + yA2 =l12 (xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22
k = 23 - 4 = 2
O
1 2
y
x A(xA,yA) B(xB,yB)
20
2)解析法
利用广义坐标的概念,可以得到任意质点系中各质点 的虚位移表示为广义坐标的变分的关系式.即解析法.
例题18-9.求图示机构A点和B点的虚位移.OA=l1 ;
约束、自由度与广义坐标共36页文档
18世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受约束 质点系的动力学问题。
今天大量工程实际问题作初步 分析时，一般都是受约束系统的建 模问题。首先要确定系统独立的运 动学变量。
研究约束质点系的力 学问题，必须阐明约束， 自由度与广义坐标的概念 。
二、约束
1. 约束概念
约束就是限制物体任意运动的条件。 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系,
(2)位形
对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个 独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。
(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之
间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
3. 约束的分类 （1）几何约束与运动约束
几何约束 如果限制运动的条件仅是
f r ( x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ; x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ; t ) 0
(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s 静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。
本教材研究：定常、双面、完整约束。
约束、自由度与广义坐 标
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
x 2 y 2 z2 l0 v2 t
5.1 约束与广义坐标
5.1 约束与广义坐标
5.1.1 约束的概念和分类
前面已经介绍过约束的概念：
约束是对物体运动的限制，表现为约束物， 约束力，约束方程。 以含n个质点的质点组为例，约束方程一般 形式为：
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5.1.2 广义坐标
广义坐标的概念
广义坐标可以是直角坐标(x,y,z)，可以是角度( )， 长度(r), 甚至可以是面积、体积、压强、能量等。
凡是能用来描述系统位形的参量都可以选择作 为广义坐标。
内 部 气 压 P
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5.1 约束与广义坐标
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ri ri (q1, q2 ,...,qs ; t )
yi yi (q1 , q2 ,...,qs ; t ) z z (q , q ,...,q ; t ) i 1 2 s i
iiΒιβλιοθήκη 12si 1,2,...,n
9
这s个独立的坐标 q1 , q2 ,..., qs 称为广义坐标。
竖直圆盘在水平 面上做纯滚动
是微分约束
5
5.1.1 约束的概念和分类 约束的分类 微分约束和几何约束
v
a x
微分约束 积分 几何约束 a x a C vx 这里的积分无需借 助任何物理规律。
沿直线纯滚动的轮子
6
5.1.1 约束的概念和分类
约束的分类
(4) 完整约束与不完整约束 利用约束方程，既可消减系统独立坐标变量 的数目，也可消减系统独立速度分量的数目， 这样的约束是完整约束。 所有几何约束，以及可化为几何约束微分约 束，都是完整约束。 利用约束方程，只能消减系统独立速度分量 的数目，这样的约束是不完整约束。 不能化为几何约束的微分约束是不完整约束。
理论力学考点总结(3)(1)(1)
第五章1.约束的分类稳定约束：约束方程中不显含时间不稳定约束：约束方程中显含时间可解约束：质点在某些方向可以脱离的约束，约束方程用不等式表示不可解约束：质点始终不能脱离的那种约束，约束方程用等式表示几何约束：约束方程里只含有几何量运动约束：约束方程除了含有几何量，还含有几何量的微分，又叫微分约束完整约束：不可解的几何约束叫做完整约束不完整约束：一种是不能积分的运动约束，另一种是可解约束完整系：只受完整约束的力学体系不完整系：还受不完整约束的力学体系2.自由度只有几何约束独立坐标数等于自由度对运动约束独立坐标数大于自由度3.广义坐标为了解决问题而需要的独立变量就叫广义坐标4.实位移：质点在一段时间内实际发生的位移，用表示5.虚位移：在不违反约束的条件下质点可能发生的位移，用表示稳定约束下实位移是许多虚位移里面的一个不稳定约束下实位移和虚位移并不一致6.理想约束：作用在力学体系中诸约束力在任意虚位移上的虚功之和等于0，这种约束就叫理想约束。
7.虚功原理：受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系所受诸主动力在任意虚位移上的元功之和等于0虚功原理也叫虚位移原理球坐标和直角坐标关系：22.冲击运动的拉格朗日方程23.小振动保守力系平衡的条件：势能具有稳定值势能表达式中的Cαβ叫做恢复系数或准弹性系数动能表达式中的aαβ叫做惯性系数νl叫做简正频率，它的数目共有s个，和自由度数相等坐标ξl叫做简正坐标24.勒让德变换：由一组独立变数变为另一组独立变数的变换25.勒让德变换基本法则：新的函数等于不要的变量乘以原来的函数对该变量的偏导数再减去原来的函数。
26.哈密顿函数27.哈密顿正则变换28.通常把pαqα叫做正则变量，并用它们代表由广义坐标和广义动量组成的2s 维相宇中的一个相点29.循环积分，H=h30.能量积分，对稳定约束，H=T+V对不稳定约束，H=T2-T0+V第三章1、刚体：质点组里任意两质点间的距离，不因为力的作用而发生改变，这样的质点组就叫刚体2、刚体运动的分类平动：3个自由度定轴转动：1个自由度平面平行运动：3个自由度定点转动：3个自由度一般运动：6个自由度3.有限转动不是一个矢量，因为它不遵守矢量加法的对易律4.通常把△n→叫做角位移5. 和定轴转动情形不同，定点转动时的某一时刻的转动轴，叫做转动瞬轴6.欧拉角各欧拉角的范围：0 ≤φ≤2π0 ≤θ≤π0 ≤ψ≤2π7.力的可传性原理：作用在刚体上的力产生的力学效果，之和力的量值和力的作用线位置及方向有关，和力的作用点在力的作用线上的位置无关。