2011线代期末复习

）
1 2 n a11 a22 ann
12 n A .
特征向量的性质：
1 若1,...r是A 的对应于的特征向量则 k11 ..... krr ( 0)也是A对应于的特征向量。
2 矩阵 A 不同特征值对应的特征向量线性无关 . 3 实对称矩阵 A 不同特征值对应的特征向量相互正交。
(B) 双曲线
(C ) 椭圆柱面 ( D) 双曲柱面
答案：（A）.
二次型2
x
2
+
2
y
2
-
2
xy的矩阵为
2 1
1
2
是一个正定矩阵
选择题:
C 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）.
1 2 3
1 2 3
（A）
2
7
5
（B）
2
4
5
；
3 5 0
3 5 7
5 2 0
5 2 0
（C） 2 6 2；（D） 2 6 3
5、维数小于个数的向量组必线性相关。
1, 2, …, n线性无关
若x11+ x22+ …+ xmm =0，则
有 x1= x2= …= xm=0
R(1, 2, …, n)=n;
R（A） n , A=(1, 2, …, n)
AX = 0 只有零解.
线性方程组解的存在性：
设A =(1, 2, …, n), 1、AX = 0 有非零解 A的列向量组 1, 2, …, n线性相关
P
0n2
0nr
4、设二次型 （注意：此题没要求求正交变换！）
f x12 x22 x32 2 x1 x2 2x1 x3 2 x2 x3
经正交变换X=CY化为f y22 2 y32 ,其中X ( x1, x2 , x3 )T ,Y ( y1, y2 , y3 )T ,
C是3阶正交矩阵，求常数， .
4、求平面与直线的方程及位置关系。
5、用正交变换化实二次型为标准形。 或化二次方程为标准方程 或(用正交矩阵将实对称)矩阵对角化(方阵的k次幂）。 或已知实对称阵A的特征值、特征向量，求A。 或判定实二次型的正定性。
证明题：
1、向量组的线性相关性. 2、矩阵的可逆性. 3、矩阵的特征值与特征向量. 4、其它。
0 2 4
0 3 1
设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵， 则必有（ A）。
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
线性代数期末复习
题型分析： 填空题、选择题 基本计算题
证明题
15-30% 75-50% 10-20%
务必掌握的计算：
1、三、四阶行列式、 n 阶行列式、 箭形行列式、 范德蒙行列式的计算。
2、解非齐次线性方程组（含参数）。 或向量组的线性表出问题。
3、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组） 、 求矩阵的逆（如 解矩阵方程）。
设A，B为n阶实对称矩阵，则 A与B合同
的充要条件为（ D）。
(A) A与B有相同的特征值； (B) A与B有相同的秩； (C) A与B有相同的行列式； (D) A与B有相同的正,负惯性指数；
七.设A为n阶矩阵,1,2 ,...n为n唯列向量,n 0, A1 2 , A2 3 , ...An-1 n , An 0,求证 :
向量组的线性相关性：
1、若1, 2, …, s线性无关， ,1, 2, …, s线性相关， 则 可由1, 2, …, s线性表出，且表达式唯一。
2、若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 R(Ⅰ）≤R(Ⅱ)
3、若向量个数“多”的向量组可由个数“少”的线性表 则“多”的向量组必线性相关。
4、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。
A不能对角化.
第六章习题解答
P244
1、证明：秩为r的对称矩阵可以表示成r个秩等于1
的对称矩阵之和
证明： 设对称矩阵A的秩为r，则有可逆矩阵P使得：
d1
A PT
dr
PT
d1
0
0n1
P
P
T
(见P213定理1）
P
其中di 0
0
i 1, , r
0
0r1
d2
P
P
T
dr
解：
xn1
xn
1 6
xn
2 5
(
yn
1 6
xn
)
9 10
xn
2 5
yn
yn1
3 5
(
yn
1 6
xn
)
1 10
xn
3 5
yn
xn1
9 10
xn
2 5
yn
yn1
1 10
xn
3 5
yn
9 2
9 2
xn1 yn1
10 1 10
5 3 5
xn yn
令A
10
1 10
5
3 5
空间解析几何：
1、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。
2、平面及直线的方程及位置关系。 3、三类二次曲面的标准方程及图形, 柱面方程与
旋转面方程及图形.
实对称矩阵的相似对角化 .
定理:对任一实对称矩阵 A , 都存在正交矩阵C ,使
1
CT
AC
C 1 AC
2
n
其中 , 1, 2 , , n 是矩阵 A的特征值 .
xn1 yn1
A
xn yn
(2)验证1
4 1
，2
11 是A的两个线性无关
的特征向量，并求出相应的特征值。
1
（3）当
x1 y1
2 1 2
时，求
xn1 yn1
9 2
A
10
5
1 10
3 5
解：（2）由
A1 A2
121，2，可求得1
1，2
1 2
（3）
xn1 yn1
1
解：A
1
1
1
,
1
k 1
kI A
1
k 1
1
k 1
(k 1)3 2 (k 1)(1 2 2 )
又0，1，2为其特征值，于是：
1 2 (1 2 2 ) 0 0 2 0 1 2 (1 2 2 ) 0
0
7、设A为n阶实对称矩阵，证明：A满秩的充要条件是 存在实矩阵B，使 AB+BTA为正定矩阵。
x 1
y5 2
z 2
解之，得： x 1, y 7, z 2
圆心到球面球心距离为：12＋7－52 ＋22＝3
于是圆半径为 52－32＝4
19、已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2 yz 4
x
可以经过正交变换
y
C
化为椭圆柱面方程
2＋4
2
4,
z
即: 实对称阵必可对角化！
实对称阵A与 diag(1, 2, , n ) 既相似又合同！
用正交变换化实二次型为标准形
定理: 对任实二次型f(X),都存在正交变换X=CY, 使
f(X) X T AX X = CY 1 y12 2 y22 n yn2
其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
线性代数单元检测题三
（2004年考研题一）
选择题： 设有三张不同平面的方程 ai1x ai2 y ai3z bi , (i 1, 2, 3)它们组成的 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩 为2，则这三平面可能的位置关系为（Ｂ ）。
(A) 三平面交于一点； (B) 三平面交于一条直线； (C) 两两相交（三条交线不同）；
R(A) n
2. AX = 0 只有零解 A的列向量组 1, 2, …, n线性无关
R(A) n
( n为A的列数！ n亦为方程未知量的个数！）
3、AX = b 有解 b可由1, 2, …, n线性表出
R(A) R(A) r
(此时当 rn 时，有无穷多个解；当 r n 时有唯一解）
(D) 两两相交于二条直线； （２００２年考研一）
P208，18、某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的 人数统计，然后将1/6熟练工支援其它部门，其缺额 由招收新的非熟练工补充。新老非熟练工经培训及
年终考核有2/5成为熟练工。设第n 年一月份百度文库计的
（熟1练）工求和xy非nn 熟 与练工 所xynn占11 百的分关比系分，别并为写xn成,y矩n,记阵为形式xynn。
证明：“ ”若A满秩，令B=A-1，
此时AB+BTA=2I 是正定矩阵
" " 若AB BT A正定，则x 0 xT ( AB BT A)x xT ABx xT BT Ax
( Ax)T Bx (Bx)T Ax 0, 即 (Bx)T Ax 0,
x 0,Ax 0, 即AX 0只有零解
）；
（2）kA的特征值为（
k
）；
（ 3）Ak的特征值为（
k
）；
特
征 向 量 为
（ 4）A可逆时，A-1的特征值为（
（5）A可逆时，A*的特征值为（
（6）设 f ( A) a0I a1 A
ak
1
Ak
A
）； ）；
则f(A)的特征值为（ f ( ) ）
例如：I 3A 2A1的特征值（
1 3 2 1
求a, b的值和正交矩阵C
1 b 1
解：该二次曲面对应二次型的矩阵为：A
b
a
1
由题意可知 A的特征值为0，1，4 1 1 1
2 a 01 4 det( A) 0 1 4
a b
3 1
1 1 1
此时A=
1
3
1 ,下面分别计算特征值0，1，4所对应的单位特征向量：
1 1 1
…………………….
的圆心和半径。
x 2 y 2z 19 0
解：x2 y2 z2 10 y表示以A(0, 5, 0)为球心，5为半径的球面。
过A点做一条直线和x 2 y 2z 19 0所表平面垂直，
此直线方程为：x 1
y5 2
z 2
联立此直线方程和平面方程可求得交点即为待求之圆心：
x 2 y 2z 19 0
n的阶,并计算H12和H
2;
2
(2)证明H
1 n
2n
Hn
（2010年期末考题10分）
谢谢大家！
填空题: (3分)
设A是秩为2的3阶实对称矩阵,且A2 5A 0,则A的特征
值为 0 ， 5， 5 (2002级期末考试题)
选择题:
2x2+2 y2-2xy 1在R2中表示的图形是( )
( A) 椭圆线
从而A是可逆的（即满秩）
9、设A、B是同阶正定矩阵，证明：det(A-B) 0的根都是正根。
证明： A正定，存在可逆阵P，使 PT AP I
由 A-B 0 PT A-B P 0 I-PTBP 0
B是正定，PTBP也是正定的
即 I-PTBP 0的根全为正数
15、求圆
x2 y2 z2 10 y
A
xn yn
An
x1 y1
1 10
8
（3
1 2
）n
2
3( 1 )n 2
设A是n阶方阵,1,2, n是一组n维向量,
满足A1
=
1,Ai
=
i
+
i
(i=2,3...n)，
1
其中i 0(i=1,2,3...n),
证明：1,2 ,
线性无关。
n
（2009年期末考题10分）
设H1
1 1
11 ,
H2
H1 H1
H1 H1
,
, Hn
Hn1
H
n1
Hn1
H
n1
(1)确定矩阵H
n 阶方阵A可逆的充要条件：
A可逆 AB I A 0 R（A） n A与I行等价；
A可表示为有限个初等矩阵的乘积；
AX 0只有零解或AX b只有唯一解；
A的列（行）向量组线性无关
A的特征值非零；
矩阵的特征值与特征向量：
设n阶方阵A满足： A 0, 则
（1）AT的特征值为（