函数与方程不等式 专题

函数与方程、不等式相结合问题

一、考情分析

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.

二、经验分享

(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．

(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；

③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．

(3) 已知函数零点情况求参数的步骤

①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．

(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．

(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．

三、知识拓展

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号． 2．三个等价关系

方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 四、题型分析

(一) 函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 【例1】已知函数2||

()2

x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是 【分析】把函数2||

()2

x f x kx x =

-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =

+有三个不同的根,再利用函数图象求解

【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问题,()()f x g x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程()()f x g x =根的个数． 【小试牛刀】【优质试题届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,e

【解析】由题设00(())f f y y =及函数的解析式可知11,0)(≤≤-≥y x f ，所以10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ，使得x a x e x =-+有解”，即a x x e x +-=2在]1,0[有解，令x x e x h x +-=2)(，则12)(/+-=x e x h x ，当0>x 时，函数x x e x h x +-=2)(是增函数；所以10≤≤x ，当)1()()0(h x h h ≤≤，即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ，故应填答案[]1,e . (二) 函数与不等式关系的应用

函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也

离不开解不等式的应用.

【例2】已知函数213,1

()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,x x ∈R ,都有

12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为 .

【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,将问题转化为

max

min ()()f x g x ≤.再由题中所给两函数的特征：函数213

,1

()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是一确定的分段函

数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =

1

4

；而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值min ()|1|,g x k =-,即可得到不等式

1

|1|4

k -≥

,则可求出k 的取值范围.

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对,a b ∈R 是恒成立