函数与方程不等式 专题

函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(3) 已知函数零点情况求参数的步骤①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．三、知识拓展1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号． 2．三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 四、题型分析(一) 函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 【例1】已知函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是 【分析】把函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =+有三个不同的根,再利用函数图象求解【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问题,()()f x g x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程()()f x g x =根的个数． 【小试牛刀】【优质试题届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,e【解析】由题设00(())f f y y =及函数的解析式可知11,0)(≤≤-≥y x f ，所以10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ，使得x a x e x =-+有解”，即a x x e x +-=2在]1,0[有解，令x x e x h x +-=2)(，则12)(/+-=x e x h x ，当0>x 时，函数x x e x h x +-=2)(是增函数；所以10≤≤x ，当)1()()0(h x h h ≤≤，即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ，故应填答案[]1,e . (二) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,x x ∈R ,都有12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为 .【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,将问题转化为maxmin ()()f x g x ≤.再由题中所给两函数的特征：函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =14；而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值min ()|1|,g x k =-,即可得到不等式1|1|4k -≥,则可求出k 的取值范围.【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【优质试题届江苏省南京市高三12月联考】若不等式()()2225ln ln 0y x y x x y ⎡⎤+--⋅-≤⎣⎦对任意的()0,y ∈+∞恒成立，则实数x 的取值集合为________．【答案】52⎧⎫⎨⎬⎩⎭(三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数e ()ln ,()exx f x mx a x m g x =--=,其中m ,a 均为实数． (1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求a 的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x ==成立,求m 的取值范围．【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式21()()f x f x -<2111()()g x g x -恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数1()g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x -1()f x <21()g x 11()g x -,整理为212111()()()()f x f x g x g x -<-,由此函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数,则21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3,4）上恒成立,要求a 的取值范围．采取分离参数法得11e ex x a x x---+≥恒成立,于是问题转化为求11e ()ex x v x x x--=-+在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为2m（20e m <<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2(0,)m上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.【解析】（1）e(1)()exx g x -'=,令()0g x '=,得x = 1． 列表如下：∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． （2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞．∵()0x a f x x -'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数．设1e ()()e x h x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立,∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-,即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x-'=--⋅≤在（3,4）上恒成立．∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()ex x v x x x --=-+,∵112e (1)()1ex x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x [3,4],∴1221133e [()]e 1244x x--+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 22e 3． ∴a ≥322e 3,∴a 的最小值为3 22e 3． （3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意．x（∞,1） 1 （1,∞）()g x '0 g (x )↗极大值↘当0m ≠时,2()()m x m f x x-'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调,所以20e m <<,即2em >．① 此时()f x 在2(0,)m上递减,在2(,e)m上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥．∵1(0,e]∈,∴2()(1)0f f m=≤成立．下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥,∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥,∴3e 1m -≥时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.【小试牛刀】已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-,若关于x 的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的实数根,则实数t 的取值集合是 ． 【答案】{}2,522-五、迁移运用1．【江苏省南通市优质试题届高三上学期第一次调研】已知函数()()221,0,{ ,0,x ax a x f x ln x x --+≥=-< ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()51,11,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭【解析】令()()0,f t t g x ==当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=- 所以函数()()y f g x =有5个零点，舍；当10a ->时，由于121a ->-所以24440a a ∆=+-> ，且2112a a a a +->- ，所以5-112a <<综上实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞⎪⎪⎝⎭2．【江苏省如皋市优质试题--优质试题学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数()()212f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】()01，【解析】若0m ≥，则()212f x x mx =++在[]0,2上递增， ()212f x x mx =++有最小值12，不合题意， 0m ∴<，要使()f x 在[]0,2的最大值为12，如果22m-≥，即4m ≤-，则()91222f m =+≤，得522m -≤≤-矛盾，不合题意；如果22m-<，则2915222{ { 22112242m m m m m +≤-≤≤-⇒⇒=-≥--≤， 2m ∴=-， ()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有四个零点，则()y f x =与2y ax =有四个交点，只有2y ax =开口向上，即0a >，当2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根， 0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有三个不同的零点，要使函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点， 2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的开口要比2y x =的开口大，可得1a <， 01a ∴<<，即实数a 的取值范围为()0,1，故答案为()0,1.3．【南京市、盐城市优质试题届高三年级第一次模拟】设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时， ()f x =()3,03,{ 31,>3x x x x x-≤≤-+，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】91,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作图，由图可得实数m 的取值范围是91,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．【江苏省泰州中学优质试题届高三12月月考】若函数()21f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在()01，上不同的零点个数为__________． 【答案】3【解析】因为()14102{ 14312x lnx x g x x lnx x -+<≤=-+<<， ()0g x =可转化为： 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数41y x =-与ln y x =-以及1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数43y x =-与ln y x =-交点的个数；作出函数图象如图:由函数图象可知零点个数为3个.5．【江苏省常熟市优质试题届高三上学期期中】已知函数(),0{21,0lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点()(),A m f m ， ()(),B n f n ， ()(),C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是__________． 【答案】11,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】作出函数(),0{21,0lnx x f x x x >=+≤，的图象如图：设直线y=ax 与y=lnx 相切于（x 0，lnx 0），则001y | x x x '==， ∴曲线y=lnx 在切点处的切线方程为y ﹣lnx 0=1x （x ﹣x 0）， 把原点（0，0）代入可得：﹣lnx 0=﹣1，得x 0=e ．要使直线y=ax 与y=f （x ）交于三个不同的点，则n ∈（1，e ），联立1{ 21y x e y x ==+，解得x=12ee-． ∴m ∈（12e e -,12-），1m ∈（﹣2， 12e -+）， ∴12n m ++的取值范围是（1， 1e e+）．故答案为：（1， 1e e+）．．6．【江苏省徐州市第三中学优质试题～优质试题学年度高三第一学期月考】已知函数()22,0{313,0x x f x x x ≤=--+>，若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[]0,2 []3,8⋃7．【江苏省启东中学优质试题届高三上学期第一次月考】已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时， ()21,11{12,13x x f x x x --<≤=--<≤ 若函数()y f x m x ＝－ 恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为______.【答案】1,8156⎛- ⎝【解析】根据题意，得到()f x 的图象如下：由图可知， ()f x 是偶函数，又()y f x m x =-恰有10个不同零点，即()y f x =与y m x =的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在0x >的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况.红色直线：过()6,1，则16m =；蓝色直线：与区间()3,4处的曲线2815y x x =-+-相切， 所以2815=x x mx -+-只有一个解，解得8215m =-182156m ∴<<-8.【优质试题江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且22()(22)5af m f m m -->-+-,则m 的取值范围是 ． 【答案】1122m ≤<【解析】由题设可得032=+-a ,即5=a ,故)22()1(22-+->--m m f m f 可化为)22()1(22+->+m m f m f ,又3221,31122≤+-≤≤+≤m m m ,故2122122<⇒+-<+m m m m ,且21-≥m .故应填答案1122m ≤<. 9．已知a R ∈,函数()1,0{ ,0x a x f x xe x -+><,若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则a 的取值范围是__________．【答案】(,2e -∞-【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则方程()f x ex =-存在三个不相等的实根,当0x <时, ()x f x e ex -==-,令()(0)x g x e ex x -=+<,则()x g x e e --'=+,令()0g x '=,得1x =-,当1x <-时, ()0g x '<,即()g x 在(),1-∞-上为减函数,当10x -<<时, ()0g x '>,即()g x 在()1,0-上为增函数,∴()()min 10g x g e e =-=-=,则()f x ex =-在(),0-∞上存在一个实根,∴()f x ex =-在()0,+∞上存在两个不相等的实根,即1a ex x+=-, 210ex ax ++=有两个不相等的实根,∴20{240a ea e ->∆=->,∴2a e <-,故答案为(),2e -∞-10．已知函数()()()2,0{0,0k x x f x k lnx x +≤=<->,若函数()()1y f f x =-有3个零点,则实数k 的取值范围为 __________ . 【答案】k 1-＜11．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校优质试题届高三联考】已知函数()()ln ,,f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间()1,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()()[],1,H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取。