第十章 两变量之间的关系的分析相关与回归
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变量间的相关关系与回归分析PPT课件
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（6）用相关指数R2来刻画拟合效果 :
n
（yi
y
）2
i
R2
1
i=1 n
, R2取值越大,意味着残差平
（yi y）2
i 1
方和越小, 则模型的拟合效果越好.
如果对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析,
也可以比较几个R2 , 选择R2较大的模型作为这组数
据的模型.
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(3)回归方程：一般地，设 x 和 y 是具有相关关系的两个
变量，且对应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在一条直线的
附近，若所求的直线方程为 y∧＝a＋bx，则
注 :回归直线一定过样本点的中心(x, y)
n
n
b=
i=1(xi - x)(yi -
n i=1(xi
-
x
)2
y
相关系数r=
n
（xi x）（yi y）
i=1
n
n
（xi x）2 （yi y）2
i=1
i 1
r>0时,表明两个变量正相关;
r<0时,表明两个变量负相关.
若r [0.75,1],则正相关很强;
若r [1, 0.75],则负相关很强;
若r (0.75, 0.30]或r [0.30, 0.75),则相关性一般;
注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散 状,则这两个变量之间不具有相关关系.
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题型1. 相关关系的判断
• 1(2009·海南高考题)对变量x，y有观测数据(x1，y1)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；
对变量u，v
有观测数据(u1，v1)(i＝1,2，…，10)，得
双变量回归和相关
3.60
3.40
3.20
尿
3.00
酐肌
2.80
2.60
2.40
4
6
8
10
12
14
年龄
图9-1 8名儿童的年龄与其尿肌酐含量散点图
研究的两个指标之间存在依存关系，对指标进 行观测，观测结果作散点图，若绘出的点在一条直 线附近，则表示这两个指标之间可能存在着线性依 从关系。
两个指标之间的线性依从关系可以通过直线回 归方程来表示。
b=0.1392，Sb=0.0304，t0.05/2,6=2.447
b t / 2 , S b 0 . 1 3 9 2 2 . 4 4 7 0 . 0 3 0 4 ( 0 . 0 6 4 8 , 0 . 2 1 3 6 )
所以，总体回归系数β的95%可信区间为： （0.0648，0.2136）
例9-2 检验例9-1数据得到的直线回归方程是否成立？
① 建立假设并确定检验水准
H0：β=0 H1：β≠0
α=0.05
② 计算统计量F
S S 回 归 lX 2 YlX X 5 .8 4 5 24 2 0 .8 1 3 4 1
S S 残 差 S S 总 S S 回 归 1 . 0 4 6 2 0 . 8 1 3 4 0 . 2 3 2 8 n 2 8 2 6
在直线回归中对回归系数进行假设检验，t检验 和F检验等价，t2=F
（二）总体回归系数β的可信区间
总体回归系数β的可信度为1-α的可信区间：
b t /2, Sb
Sb
SY X lXX
SYX
MS残差
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
统计学10 双变量相关与回归课件
关系，≠没有相关关系）
2. 相关系数的意义及其计算
♦ 直线相关系数又称Pearson积矩相关系数：是说明具有直线关 系的两变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标。
♦ 样本相关系数r，其计算公式为：
r = ∑(x − x )( y − y) = lxy ∑(x − x )2 ∑( y − y )2 lxxlyy
量y的总变异中，可以用回归解释的那部分变异。其公
式为：
r 2 = lx2y = lx2y / lxx = SS回
lxx l yy
l yy
SS总
r2 的取值范围：0～1，且无单位； 反映回归模型拟合效果的指标； 是描述回归方程预测非常有用的一项指标。
5. 注意事项
相关分析要求双变量服从正态分布； 相关分析之前，应先绘制散点图； 对于同一资料，回归系数b和相关系数r
的正负号一致，假设检验等价。
直线回归与相关的区别和联系
区别：
♦ 资料要求不同
☻ 相关：双变量正态分布资料 ☻ 回归：因变量y服从正态分布
♦ 应用情况不同
☻ 回归：说明两变量间的依存关系 ☻ 相关：说明两变量间的相关关系
♦ 意义不同（r、b） ♦ 计算不同 ♦ 取值范围不同 ♦ 单位不同
直线回归与相关的区别和联系
(1-α)可信区间为:
yˆ ± tα /2,(n−2)Syˆ
其中，
S yˆ = S yx
1 + (x0 − x )2 n ∑(x − x )2
请思考： 该值什么时候最小？
（3）个体y值的容许区间估计
个体y值的容许区间：是指总体中x为某定值x0时，个体y 值的波动范围。
yˆ ± tα /2,(n−2)Sy
z 步骤1：绘制散点图 z 步骤2：计算回归系数b和截距b0 z 步骤3：建立直线回归方程
2. 相关系数的意义及其计算
♦ 直线相关系数又称Pearson积矩相关系数：是说明具有直线关 系的两变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标。
♦ 样本相关系数r，其计算公式为：
r = ∑(x − x )( y − y) = lxy ∑(x − x )2 ∑( y − y )2 lxxlyy
量y的总变异中，可以用回归解释的那部分变异。其公
式为：
r 2 = lx2y = lx2y / lxx = SS回
lxx l yy
l yy
SS总
r2 的取值范围：0～1，且无单位； 反映回归模型拟合效果的指标； 是描述回归方程预测非常有用的一项指标。
5. 注意事项
相关分析要求双变量服从正态分布； 相关分析之前，应先绘制散点图； 对于同一资料，回归系数b和相关系数r
的正负号一致，假设检验等价。
直线回归与相关的区别和联系
区别：
♦ 资料要求不同
☻ 相关：双变量正态分布资料 ☻ 回归：因变量y服从正态分布
♦ 应用情况不同
☻ 回归：说明两变量间的依存关系 ☻ 相关：说明两变量间的相关关系
♦ 意义不同（r、b） ♦ 计算不同 ♦ 取值范围不同 ♦ 单位不同
直线回归与相关的区别和联系
(1-α)可信区间为:
yˆ ± tα /2,(n−2)Syˆ
其中，
S yˆ = S yx
1 + (x0 − x )2 n ∑(x − x )2
请思考： 该值什么时候最小？
（3）个体y值的容许区间估计
个体y值的容许区间：是指总体中x为某定值x0时，个体y 值的波动范围。
yˆ ± tα /2,(n−2)Sy
z 步骤1：绘制散点图 z 步骤2：计算回归系数b和截距b0 z 步骤3：建立直线回归方程
双变量回归与相关
双变量回归与相关两变量间的关系1、确定性关系：函数2、不确定性关系：回归关系或相关关系现实生活中，许多现象之间有相互联系，然而并不像函数那样是确定性关系。
例如：身高与体重、体温与脉搏、年龄与医疗费用等。
在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也各不相同。
有些变量间关系密切，有些不密切；有些是因果关系，有的只是伴随关系。
直线（线性）回归(Linear regression)“regression”一词的来源F Galton的研究为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊测量了1078对父子的身高。
把1078对数字表示在坐标上，如图。
用水平轴X上的数代表父亲身高，垂直轴Y上的数代表儿子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点图。
它的形状象一块橄榄状的云，中间的点密集，边沿的点稀少，其主要部分是一个椭圆。
＊为了描述两变量之间的关系，首先在直角坐标系上描述这些点，这一组点集称为散点图（scatter diagram ）图1078对父子身高间的关系直线回归分析就是用来描述一个变量（Y)如何依赖于另一个变量(X)的统计方法。
dependent variable(应变量,Y) independent variable(自变量,X)回归方程直线回归的任务就是要找出因变量(Y)随自变量(X)变化的直线方程，该方程叫做直线回归方程。
式中的是由自变量X 推算应变量Y 的估计值。
a 是回归直线在Y 轴上的截距，称为常数项(constant),即X=0时的Y 值；b 为回归直线的斜率，称为回归系数(reg. Coeff.)，即表示当X 每改变一个单位时，Y 平均变动b 个单位。
ˆY a bX=+ˆY求偏导数得正规方程组22ˆ()i Q e Y y ==-∑∑2[()]Y a bX =-+∑min →00Q aQ b∂=∂∂=∂最小二乘法(least square method, LS)：使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。
第十章 两变量相关性分析
求出 X、Y 、 X 2 、 Y 2 、 XY 。
X 85.01 Y 20.89
X 2 363.33
Y 2 23.12 XY 87.82
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求出相关系数值：
r lXY 3.26 0.486 lXXlYY 19.20 2.34
四、简单相关系数的假设检验
r≠0的原因：① 由于抽样误差引起，ρ=0 ② 存在相关关系， ρ≠0
常用的相关系数假设检验方法有两种： 1. 查表法 (n<50)
序号 （1）
分期 X （2）
秩次 Pi （3）
甲胎蛋白 Y （4）
秩次 Qi （5）
1
IV
9.0
9402.0
8.0
2
III
6.0
2134.8
5.0
3
IV
9.0
12905.0
9.0
4
IV
9.0
45354.0
10.0
5
I
1.5
11.2
2.0
6
II
3.5
2.6
1.0
7
II
3.5
313.0
4.0
8
I
1.5
173.1
第一节 简单线性相关
简 单 线 性 相 关 ： 又 称 为 直 线 相 关 (linear correlation)，用于描述双变量正态分布资料。
X 85.01 Y 20.89
X 2 363.33
Y 2 23.12 XY 87.82
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求出相关系数值：
r lXY 3.26 0.486 lXXlYY 19.20 2.34
四、简单相关系数的假设检验
r≠0的原因：① 由于抽样误差引起，ρ=0 ② 存在相关关系， ρ≠0
常用的相关系数假设检验方法有两种： 1. 查表法 (n<50)
序号 （1）
分期 X （2）
秩次 Pi （3）
甲胎蛋白 Y （4）
秩次 Qi （5）
1
IV
9.0
9402.0
8.0
2
III
6.0
2134.8
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9.0
12905.0
9.0
4
IV
9.0
45354.0
10.0
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1.5
11.2
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6
II
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II
3.5
313.0
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1.5
173.1
第一节 简单线性相关
简 单 线 性 相 关 ： 又 称 为 直 线 相 关 (linear correlation)，用于描述双变量正态分布资料。
双变量相关与回归优质文档
学
少；β=0，表明Y与X无线性回归关系。 α为回归直线在轴上的截距（intercept），其统计
学意义为X取值为0时，方程所估计值Y的平均水平
。截距的解释一定要符合专业实际 。
一、简单线性回归
医 设线a和性b回是归α和方β程的估计值，则可拟合得到样本 但身高相同者未必有相同的体重，说明体重除了受身高的影响之外，还可能受到一些未知的，诸如营养、生活方式、遗传等因素的影
6、如何由身高预测该地15岁男童的体重？
一、简单线性回归
医
散点图 在做回归或者相关分析以前，对数据必
学
须要做散点图！
• 为了确定相关变量之间的关系，首先
统
应该收集一些数据，这些数据应该是
计
成对的。例如，每人的身高和体重。 然后在直角坐标系上描述这些点，这
学
一组点集称为散点图。
医 学 统 计 学
一、简单线性回归
计
后果，乙肝病毒和乙肝之间是因果关系；但是，有 的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如丈夫的
学
身高和妻子的身高之间，就不能说有因果关系。
相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相
互关系的。
一、简单线性回归
医
回归分析是研究一个变量（Y）和另外一个或一些 变量（X）间线性依存关系的统计分析方法。
学
如在青少年生长发育研究中体重随着身高的增长而
(YYˆ)2
医学统计学
计 为最小；② ；③回归直线必然通过 多重线性回归（multiple linear regression） 多个X
(YYˆ)0
医学上，许多现象之间也都有相互联系，例如：身高与体重、体温与脉搏、产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。
相关与回归分析课件
直线回归
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
4
11
16
121
44
3
6
11
36
121
66
4
8
14
64
196
112
5
10
22
100
484
220
6
12
23
144
529
276
7
14
32
196
1024
448
8
16
29
256
841
464
9
18
32
324
1024
576
10
20
34
400
1156
680
11
22
33
484
1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
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1089
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合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
医学统计学 两变量间相关与回归分析
散点图
图11-1 两变量相关关系示意图
二、相关系数的定义与计算
相关系数（correlation coefficient）又称为积差 相关系数（coefficient of product moment correlation）、皮尔逊相关系数（Pearson’s correlation coefficient）、简单相关系数 （simple correlation coefficient ）等,以符号r表 示样本相关系数，ρ 表示总体相关系数。它说明具有 直线关系的两个变量，相关关系的密切程度与相关方 向的指标。其值为－１≤r≤１。
统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要 求因变量Y在一定范围内波动，可以通过控制 自变量X的取值来实现。
例12-4 某市环境监测站在某交通点连续测定3天, 测得大气中二氧化氮(NO2) 3 浓度Y(mg/m )与当时汽车流量X(辆/小时), 共9对数据,求得回归方程
ˆ ＝-0.064866+0.000133X Y
剩余标准差SY.X=0.032522, 若NO2的最大容许浓度为0.15mg/m , 如何控制?(设α =0.05)
3
则汽车流量应
本例, n=9,查t界值表, 得单侧t0.05,(9-2)＝1.895, 按(公式10-8),单侧95%的
ˆ L＝ Y ˆ + tα ,(n-2)SY.X，则 上限为: Y ˆ L ＝(-0.064866＋0.000133X)＋1.895×0.032522 Y
计算公式
r
X x Y y X x Y y
2
2
lXY lXX lYY
2
lXX = X－x =
2
X X－
医学统计学第十章线性相关
3 选择合适的方法
根据变量的类型和相关性 的形态选择合适的相关系 数计算方法。
偏相关系数的计算方法
控制其他变量
偏相关系数可以通过计算两个变 量在控制其他变量影响下的相关 性得出。
计算公式
偏相关系数的计算需要考虑各个 变量的相关系数和协方差。
解读结果
偏相关系数的值可以告诉我们， 在控制其他变量的情况下，感兴 趣变量之间的纯粹相学统计学中的重要概念之一，它描述了变量之间的关系。本章 将介绍线性相关的定义、分析方法和计算公式，并探讨相关系数的性质和显 著性检验。
散点图的分析方法
Visualizing Relationships
使用散点图可以直观地展示变 量之间的关系，通过观察点的 分布和走势，可以初步判断是 否存在线性相关。
用于衡量线性相关的强度和方向，取值范围为-1到1，绝对值越接近1，相关性越强。
Spearman 相关系数
用于衡量变量之间的单调关系，不受线性假设的限制，适用于有序和无序数据。
偏相关系数
用于控制一个或多个变量的影响，测量剩余变量与感兴趣变量之间的相关性。
相关系数的性质
1
正相关
当变量之间存在正相关时，它们的值会同时增加或减少。
Identifying Outliers Exploring Patterns
散点图还可以帮助我们识别异 常值，即偏离正常关系的数据 点，这对于后续的分析和处理 非常重要。
通过散点图，我们可以发现各 种有趣的模式和趋势，这有助 于深入了解变量之间的关系。
相关系数的计算公式
Pearso n 相关系数
2
负相关
当变量之间存在负相关时，一个变量的增加会导致另一个变量的减少。
3
线性回归分析
著性差异).
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十章第三节变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验
i1
，其中 (yi yi )2 是残差平
(yi y)2
i1
i1
方和，R2 越大，残差平方和_越__小__，模型的拟合效果_越__好__．R2 越小，残差平方和
_越___大__，模型的拟合效果__越__差___．
5．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：
【解析】选 C.因为 χ2＝5，根据临界值表知 P(χ2≥3.841) ＝0.05，P(χ2≥6.635) ＝0.01，
故有 95%以上的把握认为“X 和 Y 有关系”．
4．(回归方程的性质)(多选题)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为 ＝ x＋ ，，那么下列说法 正确的是( ) A．样本相关系数 r 不可能等于 1
X YY=0Y=1合计 X=0 a b a+b X=1 c d c+d
合计a+c b+dn=a+b+c+d
n（ad－bc）2
计算随机变量 χ2＝
，利用 χ2 的取值推断
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
分类变量 X 和 Y_是__否__独__立__的方法称为 χ2 独立性检验．
(2)独立性检验【3】 基于小概率值 α 的检验规则： 当 χ2≥xa 时，推断 H0 不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 α； 当 χ2<xa 时，没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立． 利用 χ2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验，简称独立 性检验．
x0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
第十章双变量回归与相关
2 SS回 l XY l XX 5.8452 / 42 0.8134
SS 残 SS总 SS回 1.0462 0.8134 0.2328
41
列出方差分析表如表9-2。
表9-2 方差分析表
变异来源 总 变 异 回 残 归 差 自由度 7 1 6
SS
1.0462 0.8134 0.2328
H 0 、 H1
SY
X
0.2328 0.1970 0.1970 ， S b 0.0304 82 42
0.1392 t 4.579 0.0304
6 ， 查 t 界 值 表 ， 得 0.002 P 0.005 。 按 0.05 水准，拒绝H 0 ，接受 H 1 ，结论同上。
Y |X X
(9 2 )
15
102
16
二、直线回归方程的求法
残 差 (residual) 或 剩 余 值 ， 即实测值 Y 与假定回归线上 ˆ 的纵向距 的 估 计 值Y 离 Y Yˆ 。 求解 a、 b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表 数据点分布趋势的直线。
23
4．求回归系数 b 和截距 a
l XY 5.8450 b 0.1392 l XX 42
a Y bX 2.9838 (0.1392)(9.5) 1.6617
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
ˆ 1.6617 0.1392 X Y
24
此直线必然通过点( X , Y )且与纵坐标轴
2 ˆ (Y Y )
数理统计可证明：
ˆ ( Y å - Y )(Y - Yˆ ) = 0
33
上式用符号表示为
SS 残 SS总 SS回 1.0462 0.8134 0.2328
41
列出方差分析表如表9-2。
表9-2 方差分析表
变异来源 总 变 异 回 残 归 差 自由度 7 1 6
SS
1.0462 0.8134 0.2328
H 0 、 H1
SY
X
0.2328 0.1970 0.1970 ， S b 0.0304 82 42
0.1392 t 4.579 0.0304
6 ， 查 t 界 值 表 ， 得 0.002 P 0.005 。 按 0.05 水准，拒绝H 0 ，接受 H 1 ，结论同上。
Y |X X
(9 2 )
15
102
16
二、直线回归方程的求法
残 差 (residual) 或 剩 余 值 ， 即实测值 Y 与假定回归线上 ˆ 的纵向距 的 估 计 值Y 离 Y Yˆ 。 求解 a、 b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表 数据点分布趋势的直线。
23
4．求回归系数 b 和截距 a
l XY 5.8450 b 0.1392 l XX 42
a Y bX 2.9838 (0.1392)(9.5) 1.6617
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
ˆ 1.6617 0.1392 X Y
24
此直线必然通过点( X , Y )且与纵坐标轴
2 ˆ (Y Y )
数理统计可证明：
ˆ ( Y å - Y )(Y - Yˆ ) = 0
33
上式用符号表示为
双变量回归与相关分析
方法
Graphs→Interactives→ Scatterplot
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免 疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形 成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表所 示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)，身 高、肺活量(r=0.588**)正相关。
先作散点图观察
实例-绘制散点图
步骤一： Graphs
Interactive Scatterplot
实例-绘制散点图
步骤二： 确定横、纵
座标
输出散点图
相关分析
作用:
用相关系数(r)体现两个变量间的线性关系程度。
r SXY SXXSYY
r:[-1,+1]；r=1:完全正相关； r=-1:完全负相关； r=0:无线性相关。
双变量回归与相关分析
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相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系 相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的 强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。 回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变 量）的变化对另一个变量（应变量）的影响 程度，并通过一定的数学表达式来描述这种 关系。具方向性，通常包含因果关系。
Graphs→Interactives→ Scatterplot
实例
用已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭免 疫电泳，由于抗体抗原反应受扩散浓度梯度影响，形 成的反应带呈火箭状。测得火箭高度Y(mm)如下表所 示，试分析抗体浓度与火箭高度的相互关系。
X(μg/ml) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Y(mm) 7.6 12.3 15.7 18.2 18.7 21.4 22.6 23.8
若分别作身高、体重和肺活量两两相关，结果如下
身高、体重正相关(r=0.719**)，体重、肺活量正相关(r=0.613**)，身 高、肺活量(r=0.588**)正相关。
先作散点图观察
实例-绘制散点图
步骤一： Graphs
Interactive Scatterplot
实例-绘制散点图
步骤二： 确定横、纵
座标
输出散点图
相关分析
作用:
用相关系数(r)体现两个变量间的线性关系程度。
r SXY SXXSYY
r:[-1,+1]；r=1:完全正相关； r=-1:完全负相关； r=0:无线性相关。
双变量回归与相关分析
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相关和回归分析
相关分析和回归分析的任务
研究对象：统计关系 相关分析旨在反映变量相互之间线性关系的 强弱程度，无方向性，不考虑因果关系。 回归分析侧重于考察一个或几个变量（自变 量）的变化对另一个变量（应变量）的影响 程度，并通过一定的数学表达式来描述这种 关系。具方向性，通常包含因果关系。
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三、注意事项
第四节 相关与回归的区别与联系
一、区别
1. 在资料要求上,回归分析要求应变量(Y 变量) 服从正态分布的随机变量,自变量(X 变量)可以 是固定的非随机变量,一般称为Ⅰ型回归模型。
当两个变量X、Y 为服从双变量正态分布的随 机变量时,这种资料若要进行回归分析,一般称为 Ⅱ型回归模型。两个回归方程的计算式如下:
第十章 两变量之间关系的分析--相关与回归123
学习目标
1. 能够掌握简单线性相关和回归的基本概念和分 析步骤。
2. 能够掌握秩相关基本概念和分析步骤。 3. 能够了解相关与回归的区别和联系。 4. 能够利用SPSS统计软件进行两变量相关与回
归的运算。
学习内容
第一节 第二节Leabharlann 第三节 第四节 第五节线性相关用于双变量正态资料。它的性质可由散点图 直观地说明。散点图中点的分布即线性相关的性质和相关 之间的密切程度，可分为以下几种情况：
1.正相关 2.负相关 3.无相关
相关系数的计算
在分析两个变量X与Y之间关系时，常常要了解X与Y之 间 有无相关关系，相关是否密切，是呈正相关还是负相 关。相关系数就是说明具有直线关系的两个变量间相关 密切程度和相关方向的统计量。 r 皮尔森(Pearson)相关系数的计算公式为：
简单线性相关 简单线性回归 秩相关 相关与回归的区别与联系 案例讨论（自学）
概念
单变量统计(univariatestatistics)：用于比较某 一定量变量(平均值)在两组或多组之间的差别
如：t检验、方差分析
双变量关系的统计(bivariatestatistics）：在医 学科研中,人们经常要研究两个变量之间的相 互联系和相互依存关系。
结果见表10.2合计。 (3)计算lXX 、lYY 及lXY : (4)求出相关系数r 值
二、相关系数的假设检验
肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油的样本相 关系数r=0.487,描述了肝癌患者三酰甘油随 着血清胆固醇的增加而升高,研究者必须回 答二者的相关关系是否确实存在,样本相关 系数所对应的总体相关系数ρ 是否等于0,即r 与0的差别有无统计学意义,则需进行假设检 验回答这一问题。相关系数的检验有t检验 和相关系数查表法。
(一) 方差分析
(一) 方差分析
(一) 方差分析
(一) 方差分析
(二) t检验
(二) t检验
三、总体回归系数β 的区间估计
三、总体回归系数β 的区间估计
三、总体回归系数β 的区间估计
三、SPSS软件实现
五、注意事项
1. 作为回归分析要有实际意义,不能把毫不关 联的两种现象勉强作回归分析,参加回归分析 的两变量之间必须存在某种内在联系。
二、联系
如:糖尿病患者的血糖与胰岛素水平、年 龄与高血压。
概念
两变量之间的关系包括线性关系和曲线关系( 非线性关系)。
常用X 代表自变量(independentvariable),Y 代 表因(应)变量(dependentvariable),一般而言,X 变量代表原因,Y 变量代表结果;或X 变量发生 在前,Y 变量发生在后。
r rXY
( X X )(Y Y ) LXY
( Xi X )2 (Yi Y )2
LXX .LYY
相关系数r没有测量单位，其数值为-1≤r≤+1
相关系数的计算
(1)绘制散点图,散点图显示两变量为直线 趋势.
(2)计算基础数据,并列成相关系数计算表, 求出ΣX 、ΣY 、ΣX2 、ΣY2 、ΣXY 。
（二）直线回归方程的计算
（二）直线回归方程的计算
（二）直线回归方程的计算
二、直线回归中的统计推断
建立样本直线回归方程,只是完成了对两变 量间回归关系的统计描述,但总体的直线回 归方程是否确实存在,即是否有β≠0还需进 行假设检验。样本回归系数b 是总体回归系 数β 的估计,如b 与β(β=0)相差有统计学意义 ,即认为两变量间总体回归关系存在。假设 检验可用方差图10.3 平方和分解示意图分 析或t检验来处理,方差分析和t检验结果是 等价的。
五、注意事项
3. 直线回归方程的适用范围一般为自变量的 取值范围。在医学实践中,由于受多种因素 的影响,随机现象在不同范围的取值出现的 规律性可能不同,该现象与其他某种现象的 回归关系在不同范围内也会有所不同,因此 两变量之间的某种直线回归关系也应在一定 范围内存在。若无充分理由证明超过自变量 取值范围外还是直线,应避免外延。
三、SPSS软件实现
结果
表10.3列出两变量Pearson相关系数矩阵,第 一行为相关系数,本例r=0.485,第二行为对
总体相关系数ρ=0进行假设检验的P 值,本例 为0.026,说明两变量存在简单相关关系。第 三行为进行相关系数计算的样本例数。
第二节 简单线性回归
相关是分析两个正态变量X与Y之间的互相关系。 在相关分析中，分不清X与Y何者为自变量，何 者为因变量。现在假设两个变量X 、Y 中，当 一个变量X 改变时，另一个变量 Y 也相应地
如果观测值是等级资料，则可以用等级相关来 表达两事物之间的关系。
等级相关是分析X、Y 两变量等级间是否相关的一种
非参数方法。 常用的等级相关方法是Spearman等级相关。
与线性相关系数r 一样，等级相关系数 rs的数值亦
在 -1与 +1之间，数值为正表示正相关，数值为负表 示负相关。
(二) 等级相关系数的计算
简单线性回归分析的类型有两类:一是其 中一变量为选定变量,另一变量为随机变 量,要求选定变量在取值范围内取某值时, 另一变量的取值是随机的,并且呈正态分 布,如年龄和身高,当年龄取某一特定值时 ,身高的取值是随机的,这类回归称为Ⅰ型 回归;
二是两个变量都是随机变量,要求两变量 中任一变量在某一取值时,另一变量的取 值是随机的,并且呈正态分布,称双随机变 量正态分布,如身高和体重,身高取某一特 定值时,体重的取值是随机的,若体重取某 特定值时,身高的取值是随机的,这类回归 称为Ⅱ型回归。
在统计方法中常用简单线性相关与简单线性回 归的方法来研究两变量之间的相互依存和互
为消长的线性关系。
例子
一、基本概念与计算
为直观地判断两个变量之间的关系，可在 直角坐标系中把每对（Xi,Yi）值所代表的 点绘出来，形成散点图。例如21名肝癌患 者血清胆固醇与三酰甘油关系的散点图如 下图所示：
例10.6 为了研究肝癌病人分期与血清甲 胎蛋白水平(AFP)之间的相关关系,某研 究人员收集了10例肝癌病人的数据,结果 见表10.9(数据集:例10 06.save)。问:肝癌 病人分期与血清AFP是否有相关关系?
二、SPSS软件实现
三、注意事项
1. 在判断两变量之间是否有线性相关关系时, 按照理论要求,当资料满足双变量正态分布时, 用Pearson相关系数r 表示两变量相关的方向 和密切程度。但在实际应用的过程中,资料满 足的要求有所降低,只要X 和Y 分别满足正态 分布,也可求Pearson相关系数。否则就用 Spearman等级相关系数进行分析,但后者是非 参统计,对数据信息有一定的损失。
改变，当这样的两个变量之间存在着直线关系
时，不仅可以用相关系数 r 表示变量Y与X线
性关系的密切程度，也可以用一个直线方程来
表示 Y 与 X 的线性关系。
根据大量实测数据，寻找出其规律性， 寻求一个直线方程来描述两个变量间依 存变化的近似的线性数量关系，即线性 回归关系，这样得出的直线方程叫做线 性回归方程。
2. 在进行直线回归分析前,应绘制散点图。当 观察点的分布有直线趋势时,才适宜作直线回 归分析。如散点图呈现明显的曲线趋势,应进 行变量变换后,使之直线化再分析。
五、注意事项
散点图还可提示资料有无异常点,即有无 残差绝对值特大的观察数据。异常点往 往对回归方程中的系数a、b 的估计产生 较大的影响。因此,需复查此异常点后,应 予以修改或删除。
一、区别
二、联系
1. 对一组数据若同时计算r 和b,它们的正负号 是一致的,r 为正,说明两变量间的相互关系是 同向变化的。b 为正,说明X 增加一个单位,Y 平均增加b 个单位。
2.r 和b 的假设检验是等价的,即对同一样本,二 者的t值相等。由于r 的假设检验既可直接查 表,计算又比较方便,而b 的假设检验计算较繁, 故在实际应用中常以r 的假设检验代替对II 型 回归模型中b 的假设检验。
第三节 秩 相 关
一、基本概念与计算 (一) 基本概念 两变量间的线性相关分析一般要求两变
量满足双变量正态分布。但实际资料有 时不能满足这些条件,如两变量:①不服从 双变量正态分布;
②总体分布类型未知,例如限于仪器测量精 度个别样品的具体数值无法读出而出现“ 超限值”时(如X<0.001);③原始数据是等级 资料时,可以采用非参数统计的方法—秩相 关来分析两变量之间的相关关系。等级相 关分析的方法有多种,最常用的是Spearman 等级相关,它是用等级相关系数rs 来说明两 个变量间相关关系的密切程度与相关方向 。
②受限条件少,参数检验对总体分布等有特 别限定,而非参数检验的假定条件少,也不受 总体分布的限制,更适合一般的情况。
③具有稳健性,参数检验是建立在严格的假 设条件基础之上的,一旦不符合假设条件,其 推断的正确性将受到怀疑;而非参数检验都 是带有最弱的假定,所受的限制很少,稳健性 好。
④方法简便,易于理解和掌握。
1. 建立检验假设,确定检验水准 H0:ρ=0,肝癌患者血清胆固醇与三酰甘油间
无线性相关关系 H1:ρ≠0,肝癌患者即血清胆固醇与三酰甘油
间有线性相关关系
α=0.05 2. 计算检验统计量tr 值
2. 计算检验统计量T 值
(1)先求各对数据差值,并按差值绝对值从小到 大编秩,再根据差值的符号在序次前冠以符号, 以示标记,编秩时遇差值等于零舍去,并从观察 单位数中减去零的个数。遇有差值的绝对值 相等,符号相同,仍按顺序编秩;符号不同,取其 平均秩次。