定积分的定义性质和几何意义

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《定积分的定义》课件

总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分，函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
THANKS
感谢观看

微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种函数的定积分，从而解决诸如面积、体积、长度、平均值、极值等问题。此外，它也是微分方程求解的重要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积

定积分的概念课件

a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积．性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立．性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．

定积分的概念、性质

*
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限解定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和曲边梯形面积曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值则
例4 试证:
证明设则在上, 有即故即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立这是因为, 由性质6 ——积分中值公式由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使两端乘以ba即得积分中值公式.

定积分的概念分析

定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。

它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。

一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。

那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。

定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。

二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。

具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。

三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。

2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。

3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。

5.1 定积分的定义

的一个矩形的面积。
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,

f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }

一元函数积分学(定积分概念性质)

无穷区间上的定积分
定义与性质
无穷区间上的定积分定义为在无穷区间上对有界函数的积分，其性质与普通定积分相似，但需要考虑积分收敛的条件。
应用场景
无穷区间上的定积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学中的某些模型、无穷级数求和等。
无界函数的定积分
定义与性质
无界函数的定积分定义为在有界区间上对无界函数的积分，其性质与普通定积分有所不同，需要考虑函数无界的条件。
定积分的几何意义
几何解释
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积。
实例
如计算曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所夹的面积。
定积分的物理意义
物理应用
定积分在物理中常用于计算变力做功、引力、压力等。
实例
变力做功的计算，如物体在变力F(x)的作用下，沿直线运动从a到b所做的功W 可以表示为W=∫F(x)dx。
详细描述
如果c是a和b之间的任意值，则 ∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,b)f(x)dx。
03 定积分的计算方法
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是计算定积分的核心方法，它建立了积分与微分之间的联系，通过求导数的逆运算来计算积分。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，可以表示为 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。这个公式将定积分与不定积分（求原函数的过程）联系起来，通过求不定积分得到原函数，再利用原函数计算定积分。
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。

定积分的概念性质

o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
xo
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
(1) 已知矩形面积＝高×底
将[a, b]分成 n 个小区间,
y
y = f ( x)
称为子区间.
记分点为 a x0 x1 x2 xn1 xn b 长度过每个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分
1 2
令xi xi xi 1是[ xi 1 , xi ]的 x0 a x1
0
xi 1 xi
i
xn 1 b xn
n
1 i n
于是:
S lim V ( i ) ti
0
i 1
n
二、定积分定义
1. 定义: 设函数f (x)在[a, b]上有界, 将[a, b]任意分成 n个子区间, 分点为
a x0 x1 x2 xn1 xn b
在每个子区间[xi-1, xi ]上任取一点i, i [xi-1, xi ],
T1 t0 t1 t 2 t n 1 t n T2
[T1, T2]分成 n 个小段 [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ]
每小段时间长 ti ti ti 1
(2)在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点i
由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为Si
x

定积分概念、性质ppt课件

上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m，于是，由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)）在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示）引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间作和
取近似值取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。

它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。

在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。

一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。

这里我们主要探讨二维平面内的定积分。

在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。

$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。

$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。

最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。

二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。

其中$c$称为积分中值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。

三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。

定积分的概念,几何意义及其运算

三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S

3.4 定积分的概念和性质

间 [a, b]上连续，那么在区间 [a, b] 上至少存在一点 x ，使下面等式成立：

的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数）性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值，即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n

5-1 定积分的概念与性质

性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
证
m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论：（ 2）
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
证
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，在区间 [a,b]内插入若干
个分点， a x0 x1 x 2 xn1 xn b,
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 确定的极限在区间[a , b] 上的定积分，记为
积分上限
积分和
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1

4(1)定积分的概念与性质

第四章
一元函数积分
定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练,
而定积分则完整地体现了积分思想 — 一种认识问题、分析问题、解决问题的思想方法.
1
基本要求
理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.
三、定积分的基本性质
对定积分的补充规定
(1) 当a b时, (2) 当a b时,
a f ( x )dx 0
b
a f ( x )dx b
b
a
f ( x )dx
说明在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
18
定积分的概念与性质
性质1 设f (x)和g(x)在a, b上可积, 则f (x) g(x)也在a, b上可积.
性质5 设f ( x)在[a, b]上可积,且f ( x) 0, (保序性) 则
a f ( x )dx 0

n i 1
b
(a b)
证 f ( x) 0
f ( i ) 0
i 1,2,, n
xi 0
n
f ( i )xi 0
b
max{x1 , x2 ,, xn }
第五章
定积分
2
第一节
*
定积分的概念与性质
definite integral
定积分的定义可积函数类
*
定积分的性质小结思考题作业
定积分
3
定积分的概念与性质
一、定积分的定义
1. 实例
定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的, 现举两例. (1).曲边梯形的面积求由连续曲线y f ( x ) 0及

微积分第六章第一节定积分的概念与性质

b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.

定积分的概念

如果当
max{x
1 i n
i
}
0
时
总有 f ( i ) x i I , 那么称极限 I 为函数 f (x)
i 1
b
在[a, b]上的定积分，记为 f ( x)dx，即 a
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i 1
f ( i )xi
19
定积分的定义
积分上限
b a
f ( x)dx
8
引例：求面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
伯鹃讹辣霖囤肯府撬腹咳未剁胰然尖
引例：求面积
步骤
Step1 大化小(分割)
在 a, b 之间任意插入 n -1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
b
a
f
(
x
)
d
x
在几何上表示相应曲边梯形面
积的相反数，即
b
a
f
(x)dx
=
A
．
y f ( x)
a
b
定积分的几何意义
当 f (x) 在区间[a, b] 上有正有负时，
b
a
f
(x)dx
在几何上表示的
x
轴上方图形
面积减去 x 轴下方图形的面积．如图所
示，有
b f (x)dx A1 A2 A3 A4 ． a
b f (x)dx =
b f (u)du ，例如：
1 x 2dx

高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件

b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限被积函数
b
被积表达式
T2 T1
积分变量
积分和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点：背景不同
相同点：方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a

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b
f ( x)dx
b g( x)dx 。
a
a
15
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解：∵ x2在[0, 1]上连续，∴ x2在[0, 1]上可积。
将[ 0,1]
n等分，分点为 xi
i ，(i 1,2, n
,n)
小区间
[ xi1 , xi ]
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x) 在区间[a,b]
上的定积分： A b f ( x)dx 。 a
变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数
v v(t) 在时间区间[a,b]上的定积分： s
b
v(t )dt
。
a
13
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2．定积分定义的剖析
b f ( x)dx 0 。 a
性质 5 若 f R[a,b]，则| f | R[a,b]，且
b
f ( x)dx
b f ( x) dx 。
a
a
26
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2 比较下列各对积分值的大小.
（1）
13 xdx 与
1 x3dx ；（2）
1 xdx 与
161n12n1,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上连续，∴ e x在[0, 1]上可积。
4
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（1）分割
在区间 [a,b]内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1y xn b,
把区间[a,b] 分成n
个小区间[xi1, xi ]，
长度为xi xi xi1;
Ai
o a x1
b xi1 x i xn1
x
直线 y xi ( i 1, 2, , n 1 ) ，把整个曲边梯形
取正号，在 x 轴下方的面积取负号。
A1
A 2 A 3 A 4
23
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条直线xa, xb之间的各部分面积数的和代．在x 轴上方的面积取正在x号轴；下方的面积取负号．
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
当 a b 时， a f ( x)dx 0 。 a 14
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3．三类可积函数（即定积分的存在性）
（1）若 f ( x)C[a,b]，则 f ( x) R[a,b]。反之未必。（2）若 f ( x) 在[a,b]上有界，且在[a,b]上除去有限个点
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
四、定积分的几何意义
1． f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 0 ，则 b f ( x)dx 表示 a 以 y f ( x) 为曲边的曲边梯形面积 A 。
y y f (x)
y
a
b
o
x
oa
bx
y f (x)
2．若 f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 0 ，则 b f ( x)dx A ， a
上物体所经过的路程 s。
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
8
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（1）分割
a t 0 t 1 t 2 t n 1 t n b
ti titi1
的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取 i
xi
i ，(i n
1,2,
, n)
n
i1
f (i )xi
n
i1
i 2xi
n i 1
x
2 i
x
i
n i1
i 2
n
1 n
16
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
n
i1
i n
2
1 n
1
n3
n
i2
i 1
n 13n(n1)62 (n1)
分成 n 个小曲边梯形，其中第 i 个小曲边梯形的
面积记为 Ai ( i 1, 2, , n ) 。
5
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（2）近似
y
在每个小[区 xi1,间 xi]
上任取一 i，点
第i个小曲边梯形 o a x 1
b xi1i x i xn1
x
的面积可[x用 i1,以 xi ]为底f， (i )为高的
n
作和式 S f (i )xi ，其中xi xi xi1，，
i 1
记 maxx1{,x2,,xn}，
11
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
如果不论[a,b]怎样分法及i 如何选取，当 0 时，
和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x) 在 [a, b]上的
定积分，记作 b f ( x)dx ，即 a
积分和
积分上限 a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i) x i
积分下限
被
积
函
数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表达式
变量
若定积分 b f ( x)dx 存在，则称 f ( x) 在[a,b] 上可积。
a
12
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
定积分的定义是构造性的，本质上是一种特殊结构的和式的极限。
10
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
二、定积分的定义 1、定义设函数 f ( x)在[a, b]上有界，任取一组分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2, , n) ，
在各小区间上任取一点i [ xi1, xi ] ，
或
A
b
a
f
( x)dx 。曲边梯形的面积的负值
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3．若 f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 有正有负时，则
b
f ( x)dx
a
等于由连续曲线 y f ( x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所
围成的几个曲边梯形面积的代数和，在 x 轴上方的面积
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
一、定积分问题举例
y y f (x)
1、实例1 （求曲边梯形的面积）
A?
曲边梯形由连续曲线 yf(x)(f(x)0)、
x轴与两条直线 xa、
xb所围成 .
oa
bx
y
y f (x)
A?
max{x1,x2, xn} 趋近于零 ( 0)时，
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
以上四个步骤可以概括为一句话：
“分割取近似，求和取极限。”
7
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2、实例2 （求变速直线运动的路程）设一物体作变速直线运动，已知速度 v v(t) 是时间 t 的连续函数，且 v(t) 0 ，求在时间间隔[a,b]
小矩形面积来近Ai似 f， (i即 )xi
（3）求和 A f ( ξ 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( ξ i ) x i f ( ξ n ) x n
n
即 A f (i )xi 。
i 1
6
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（4）取极限
当分割无限加,即细小区间的最大长度
任意常数，则函数 k1 f k2 g R[a, b] ，且
b
b
b
a (k1 f k2 g)dx k1
a fdx k2
gdx.
a
性质 3（对积分区间的可加性）
设函数 f 在某区间上可积，则 f 在该区间的任何子区间
上也可积，并且对该区间中的任意三个数 a, b, c 都有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
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3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 1．利用定积分表示图中的面积。
y f (x) 1
（1）解： A b dx b a 。 a
ao b x y y sin x
y
y x2
o
x
-1 o 1
x
x2 y2 2
（2）解： A
0
sin x dx
sin x dx 。
0
（3）解： A 1 2 x2 dx 1 x2 dx
把[0,
1]
n 等分，分点为
xo
0，
x1
1 n
， x2
2 n
，…，
xi
i n
，…，
xn
n n
1 ；每个子区间的长度都是
xi
1 n
，在每个子区间[ i