沪教版(上海)数学高一上册-2.4.1 最大容积问题 课件 精品课件PPT
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沪教版(上海)数学高一上册-2.4 基本不等式及其应用(1) 课件
问题引入
为了保证教室的采光量，需在墙 壁上修建面积为4平方米的矩形窗 户，请问：如何设计才能使窗框 所需的材料最少？
b a
基本不等式1
对任意实数 a 和 b，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当 a=b 时等号成立。
基本不等式2
a+b
对任意正数 a、b，有 2 ≥ ab ， 当且仅当 a=b 时等号成立。
在墙壁上修建矩形窗户，窗框的总 长度为8米，请问：如何设计才能 使窗户的采光量最大？
几何解
释
D
H
G
C
A
Ea
F
b
a2 b2
B
大正方形的面积 不小于 4个直角三角形的面积
a2 + b2 ³ 2ab
几何解
释
D
A
B aO C b
半弦不大于半径 a + b ³ 2 ab
作业
1、课本P43练习2.4（1） 2、练习册2.4A组
证明：由基本不等式 1，得
( a )2+( b )2≥2 a · b ，即 a&43; 2
b
≥
ab ，当且仅当
a=
b ，即 a=b 时，
等号成立。▋
小试牛刀
例 1、
已知
a
>
0
，证明
a
+
1 a
³
2
。
小试牛刀
口答：求下列各式的最小值
（1）
已知
x
>
0
，求 4x +
1 x
的最小值。
（2） 已知 x, y > 0 且 xy = 2 ，求 x + y 的
3、探究：
为了保证教室的采光量，需在墙 壁上修建面积为4平方米的矩形窗 户，请问：如何设计才能使窗框 所需的材料最少？
b a
基本不等式1
对任意实数 a 和 b，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当 a=b 时等号成立。
基本不等式2
a+b
对任意正数 a、b，有 2 ≥ ab ， 当且仅当 a=b 时等号成立。
在墙壁上修建矩形窗户，窗框的总 长度为8米，请问：如何设计才能 使窗户的采光量最大？
几何解
释
D
H
G
C
A
Ea
F
b
a2 b2
B
大正方形的面积 不小于 4个直角三角形的面积
a2 + b2 ³ 2ab
几何解
释
D
A
B aO C b
半弦不大于半径 a + b ³ 2 ab
作业
1、课本P43练习2.4（1） 2、练习册2.4A组
证明：由基本不等式 1，得
( a )2+( b )2≥2 a · b ，即 a&43; 2
b
≥
ab ，当且仅当
a=
b ，即 a=b 时，
等号成立。▋
小试牛刀
例 1、
已知
a
>
0
，证明
a
+
1 a
³
2
。
小试牛刀
口答：求下列各式的最小值
（1）
已知
x
>
0
，求 4x +
1 x
的最小值。
（2） 已知 x, y > 0 且 xy = 2 ，求 x + y 的
3、探究：
沪教版教材《容积》优质PPT1
•
4.联 系 实 际 ， 挖掘 材料的 闪光点 。生活 中有些 事情看 似平淡 无奇， 但它却 是整个 社会的 基础， 对这些 生活素 材进行 多方面 的思考 ，深入 的开掘 ，就能 够从具 体的人 事景物 概括出 人类普 遍的感 情和抽 象的道 理。
•
5． 重 视 细 节 描写， 于细微 处见大 。这是 很重要 的一个 环节， 因为要 于细微 处见事 物的大 ，往往 是通过 其细部 特征传 达出来 的，写 得越细 致，越 深入， 给读者 留下的 印象就 越深， 所体现 出的道 理就越 深。
一瓶农夫果园的容积是600（ mL ）。
一块橡皮的体积约是8（ cm3 ）。
体积约是40（ m3 ）。
3. 看图选一选。 在A、B、C这三种物体中，（ A ）占的空
间最大，（ C ）占的空间最小。
4. 比一比谁的体积大。
<
<
=
=
5. 解决问题。 淘气和笑笑各有一瓶同样多的饮料，淘气倒
是（ ① ）的容积。
①杯子
②饮料
（4）一个长方体的玻璃缸，它的容积（ ③ ）它 的体积。
①大于
②等于
③小于
（5）油桶的体积是指它（ ② ） ，容积是指它 （ ① ）油的体积 。
①所能容纳
②所占空间的大小
（6）在括号里填上适当的单位名称。
一瓶钢笔水的容积是60（ mL ）。
摩托车油箱的容积是8（ L ）。
•
2这篇文章用河神见海神的寓言故事说 明哲理 ，通篇 都是设 喻而这 些比喻 又是通 过奔放 新奇的 想象和 浓厚的 浪漫主 义情调 抒写出 来的。 庄子把 一切自 然事物 、神话 传说都 具体化 、人格 化。
•
3.河伯这一神话传说中的神便被庄子 任意驱 使为其 观点服 务，先 让河伯 因受环 境和习 见习闻 的限制 而自傲 ，然后 让河伯 从小圈 子里跳 出来， 看到了 大海而 对自己 以前的 自满羞 愧不已 。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.4.2基本不等式的应用精品课件
第二部分:积是定值,和有最小值
例3、已知x 1,求x 1 的最小值. x 1
变式1：已知x 1,求2x 1 的最大值. x 1
第二部分:积是定值,和有最小值
变式1：已知x 1,求2x 1 的最大值. x 1
注意符号。解：因为x 1 0, 所以
注：配凑积为定值，求出和的最值，
第一部分:和是定值,积有最大值
xy xy
xy
当且仅当y 2x, x 2 2 , y 2 1时等号成立. 2
第三部分:“1”的妙用
思考：已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
小结
1、和为定值，积有最大值： a,b R , a ( a b)2,当且仅当a b时等号成立； 2
2、积为定值，和有最小值： a,b R , a b 2 ab,当且仅当a b时等号成立；
x 1
2
第二部分:积是定值,和有最小值
例3、已知x 1,求x 1 的最小值. x 1
变式1：已知x 1,求2x 1 的最大值. x 1
变式2：已知x - 1，求x 1 的取值范围.
2
2x 1
第二部分:积是定值,和有最小值
变式2：已知x - 1，求x 1 的取值范围.
2
2x 1
解：x
基本不等式的应用
问题：上一节我们学习哪两个基本不等式？
基本不等式1：任意a，b R，有a2 b2 2ab， 当且仅当a b时等号成立. 基本不等式2：任意a,b R，有a b 2 ab， 当且仅当a b时等号成立.
任意a, b R，有a b 2 ab， 当且仅当a b时等号成立.
第一部分:和是定值,积有最大值
例1、若a,b R ,且a b 1,求证：ab 1 4
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分析：设 RtAFD的两条直角边分别为：
AF a, DF b，则 AD a2 b2 ，
S1
a2
b2 ， S2
1 2
ab
4
2ab
由图知： S1 S2 故a2 b2 2ab.
当直角三角形为等腰直角三角形即a b时， 正方形 EFGH 变为一点，此时a2 b2 2ab a2 b2 2ab，当且仅当a b时，等号成立.
基本不等式 2：a,b R , a b 2
ab ，当且仅当a b时，等号成立.
a b 称为算术平均数， 2
ab 称为几何平均数
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应用一
1.已知a 0,b 0,若a b 2，则a b有最 大 值，为 1
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总结(学生)
基本不等式 1：a,b R,a2 b2 2ab，当且仅当a b时，等号成立. 基本不等式 2：a,b R , a b ab ，当且仅当a b时，等号成立.
2
1. 不等式的左边为正 2. 和为定值可求得积的最大值，积为定值可求得和的最小值 3. 当且仅当不能漏
证明：a2 b2 2ab (a b)2 0，
当且仅当a b时，等号成立. 即a,b R, a2 b2 2ab， 当且仅当a b时，等号成立.
基本不等式 1： a,b R a2 b2 2ab ，当且仅当a b时，等号
成立.
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沪教版数学高一上册-函数的最大值、最小值PPT全文课件
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问题5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2 成立吗? f(x)的最大值是2吗?为什么?
问题6:函数 y 2x 1, x (1, )有最大
值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？ 由此你发现了什么值得注意的地方？
数的最小值？
一般地，设函数y=f(x)在x0处的函数值 是f(x0)，如果对于定义域内任意x，都 有 f(x)≥ f(x0)，那么f(x0)是函数的最 小值，记作f(x)min=f(x0)。
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知识探究（三）
问题1:如果在函数 f (x) 定义域内存在x1和x2， 对定义域内任意x都有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，由此你能得到什么结论？
图3
x0 o
x
图4
问题1:这两个函数图像各有一个最低点，函
数图像上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数图像最低点的纵坐标即为函数最小值。
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y
y
A（ x0, f(x0) )
B（ x0, f(x0) )
o
x0
x
x0 o
x
图3
图4
问题2:仿照函数最大值的定义，你能定义函
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谢谢
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研究函数的最大值，要坚持定义域优先的原 则；函数图像有最高点时，这个函数才存在 最大值，最高点必须是函数图像上的点。
沪教版数学《容积》精品课件1
回顾复习
物体所占空间的大小叫做物体的( 体)积。 长方体的体积＝（ 长×宽）×高
V＝a b h
正方体的体积＝（ 棱长×棱长）×棱长
V＝a3
例题解读
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫 做它们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积， 如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成 L 和 mL 。
400 mm＝4 dm 225 mm＝2.25 dm 300 mm＝3 dm 4×2.25×3＝27(dm3) 27 dm3＝27 L 答:这个微波炉的容积是27 L。
课后作业
1.从课后习题中选取
•
1.花 朝，是成都花会开幕的日子地点在南门外十二桥边的青羊宫花会期有一个月这是一个成都青年男女解放的时期花会与上海的浴佛节有点相像，不过成都的是以卖花为主，再辅助着各种游艺与各地的出产。
小结
长方体或正方体容器的容积计算方法 长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法 相同，但要从容器里面量长、宽、高。
容积单位与体积单位的关系 1 L=1 dm3 1 mL=1 cm3
随堂小测
1.选择题。
（1）一个水壶能装水 2 L，“2 L”指的是这个水壶的（ ）CLeabharlann A.表面积 B.体积 C.容积
长方体和正方体
第4课时 容积和容积单位
学习目标
1.理解容积的意义，认识常用的容积单位升和毫升。 2.掌握容积和体积的联系与区别，知道容积单位和体积单位之 间的关系。 3.能应用所学知识解决生活中的简单问题。
重点
掌握容积的单位和计算方法。
难点
理解升和毫升之间的进率以及它们和体积之间的联系和区别。
•
4.联 系实际，挖掘材料的闪光点。生活中有些事情看似平淡无奇，但它却是整个社会的基础，对这些生活素材进行多方面的思考，深入的开掘，就能够从具体的人事景物概括出人类普遍的感情和抽象的道理。
沪教版(上海)数学高一上册-2.4基本不等式应用(1)课件
例：已知正数x、y满足， x 3y 1
求
1 x
1 y
的最小值。
x 0, y 0
解1 x 3y 2 3xy
解2 x 0, y 0
xy 1 12
112 1 x y xy
1 1 2 1 2 12
xy
xy
当 且 仅 当1 1 时 xy
当 且 仅 当1 1 时 ， xy
即x y 1 时，等式成立 4
即x y 1 时 等 式 成 立 4
1 1 的 最 小 值 为2 12 xy
1 1 的 最 小 值 为1
xy
2
例：已知正数x、y满足， x 3y 1
求
11 xy
的最小值。
解3： x 0, y 0
1 1 x 3y x 3y
xy x
y
3y x 4 2 3y • x 4
（x<0）,
当且仅当 时取“＝”号
例：已知正数x、y满足，
时取“＝” 时取“＝”号
求 的最小值。
b a （1）如果积xy是定值P,那么当x=y时， 当且仅当a＝b时取“＝”号；
≥2（ab＞0）， a b 1、 （x>0）,
当且仅当
2． 2、已知x>1，求
时取“＝”号 的最小值。
（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，
A、最小值1 B、最大值1
x2 2x有 2 （ ） 2x - 2
C、最小值-1 D、最大值-1
3、0
a
1 ，0
x
y
1
且
log
x a
•
log
y a
1
，
则 x•y（ ）
A、无最大值，也无最小值 B、无最大值而有最小值 C、有最大值而无最小值 D、有最大值也有最小值
沪教版(上海)数学高一上册-2.4.1 最大容积问题 教案
课题授课人地点时间最大容积问题——探究与实践高一教学目标（1）学会利用拓广后的基本不等式求最值，初步学会解决实际问题.（2）体会类比,联想,发散等数学方法，培养空间想象能力,归纳能力,探究能力.（3）通过师生之间的互动，培养学生的探索精神，勇于专研的科学态度，提高学习兴趣.教学重点利用拓广后基本不等式求最值，探究最大容积. 教学难点利用拓广后基本不等式求最值及解决实际问题. 教学方法互动探究式.媒体选择运用几何画板制作的课件辅助教学，使学生更容易从直观上理解空间位置关系，提高学生解决问题能力.教学内容教师活动学生活动复习公式探究途径1、复习：若a、b、c均为正数，则有a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时取等号;a+b+c≥33abc.当且仅当a=b=c时取等号.复习拓广后基本不等式.思考如何利用拓广后基本不等式，求最值及注意什么.问题提出探究分析问题：如图，有一块边长为6厘米的正方形硬纸板，在它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子。
如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米？探究一、将剪去的硬纸板，经适当的裁剪后，均匀接到容积达到最大时无盖的盒子上，此时容积是多少？此时容积是否是硬纸板全部用上制成无盖长方体盒子的最大容积.引导学生观察并实践，当剪去的小正方形边长变化时，折成的无盖的长方体盒子的容积发生怎样的变化。
学生思考①，如何建立函数解析式思考②探究如何求容积的最大值.探究一、引导学生发现四个角各剪去一个小正方形后，折成的无盖的盒子容积达到最大后.将剪去硬纸教学过程一、复习公式探究途径复习：若a、b、c均为正数，则有a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时取等号；a+b+c≥33abc.当且仅当a=b=c时取等号.二、问题提出探究分析问题：如图，有一块边长为6厘米的正方形硬纸板，在它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子.如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米？解：设减去的小正方形的边长为x厘米，则制成的盒子的容积V=x(6-2x)2 (0<x<3)=4x(3-x)2=2(2x)(3-x)(3-x)≤2(2x3x3x3+-+-)3=16当且仅当x=1时V max=16cm3答：剪去的小正方形的边长应为1厘米时，制成的盒子的容积最大值为16cm3.探究一、将剪去的硬纸板，经适当的裁剪后（如图），均匀接到容积达到最大时无盖的盒子上，此时容积是多少？此时容积是否是按照这种裁剪方式制成的长方体盒子的最大容积.（引发学生思考）探究二、师生共同探究与实践，不按上述裁剪方式制成的盒子，还有其他裁剪方法吗？制成一个无盖的长方体的盒子，但要求硬纸板全用上且容积尽量大.探究与实践实例（硬纸板全用上且容积尽量大的无盖的长方体）V 1= 16cm 3 V 2=18 cm 3 V3=20.25 cm 3 V 4=20.25 cm 3V 5=2cm 3探究三、硬纸板全部用上制成一个无盖的长方体的盒子，最大容积是多少？什么样的长方体呢？设无盖的长方体的盒子的长、宽、高分别为a 、b 、c 如图由已知得 ab+2ac+2bc=36 cm 2.因为ab+2ac+2bc≥，即≤36.所以V=abc ≤a=b=2c=因此长、宽分别为且高为时，无盖的长方体的盒子容积最大，最大值为3小结——盒子底面为正方形，高为底面边长的一半，此时无盖盒子容积最大。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期最小值与最大值问题课件
max
8
3 当k 0时，f x k x 12 1 k，
f x f 1 1 k 4 k 3 max
综上所述，k 3 或k 3 8
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
变式3.已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0,1上有最大
y x2 2ax 1, x [2, 4]
y
若a 2时， 当x 2时，ymin 5 4a;
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
02
xa
4x
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
y
y x2 2ax 1, x [2, 4]
0
2
4
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
t
t2
t t 1 t 2
若t 1 1即t 0时， 当x t时，ymax t 2 2t 3.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
t t 1 t 2
t
t2
若t 1 1即t 0时， 当x t 2时，ymax t 2 2t 3.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
值2，求实数a的值.
-1或2
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高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 最小值与最大值问题 课件
含参数的二次函数的最大最小值问题： ※一类是定区间动轴 ※一类是定轴动区间 关键是讨论函数图像的对称轴和区间 的位置关系,正确的分类讨论,然后根据 函数的性质求出函数的最值.
相关主题
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（3）如果边长为20厘米的正方形纸的材料都用尽，盒子的最大
容积是多少？(精确到0.01)
a,b, c R , ab 2bc 2ac 20 20
400 ab 2bc 2ac 3 3 ab 2bc 2ac
400 3
3
4a2b2c2
abc
1 4
400
3
3
769.80
c b
当且仅当a b 2c 20 3 ,等号成立
1 4x(20 2x)(20 2x)
4
1 4
4x
(20
2x) 3
(20
2x)
3
16000 27
当且仅当4x 20 2x，即x 10 等号成立.
3
10 答：剪去的小正方形边长为 3 厘米时，盒子的容积最大.
问题解决
（2）有一张长为80厘米，宽为50厘米的长方形纸，在它的四个 角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子.如果要使制 成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘 米？
a1, a2 , a3,
,
an
R，a1
a2
a3 n
an n a1a2a3
an
当且仅当a1 a2 a3 an，等号成立.
探究新知
能否证明你的猜想：a,b,c R，a b c 3 abc
3
x3 y3 z3 3xyz
x y 3 3x2 y 3xy2 z3 3xyz x y z [(x y)2 (x y)z z2 ] 3x2 y 3xy2 3xyz x y z [(x y)2 (x y)z z2 ] 3xy x y z x y z (x2 y2 z2 xy yz xz) 1 x y z [(x y)2 ( y z)2 (x z)2 ] 0
课题一 最大容积问题
问题提出
有一张边长为20厘米的正方形纸，在它的四个角各剪去一个小 正方形后，再折成一只无盖的盒子.请标出盒子的长宽高. (不妨设剪去的小正方形边长为x厘米.)
x x
问题提出
如果要使得制成 的盒子的容积最 大，那么剪去的 小正方形的边长 应为多少厘米？ (请用x来表示盒 子的容积V)
问题再探
（1）有没有其他方式裁剪边长为20厘米的正方形纸，折成一只 无盖的盒子，使得制成的盒子的容积最大？(精确到0.01)
问题再探
问题再探
问题再探
此时，无盖盒子的容积是多少？(精确到0.01)
C AB
V 5(20 5)(20 2 5) 750 16000 27
LK J
D EF
HG I
V x (20 2x)2, 0 x 10
问题提出
使用计算器，完 成以下表格，并 猜测x取何值时， 盒子的容积最大？
探究新知
基本不等式
三个正实数的结论
命题
等号 成立条件
文字叙述
a,b R，a b ab 2
a,b, c R，a b c 3 abc 3
ab
abc
两个正实数的算术平均数 三个正实数的算术平均数不小于它 不小于它们的几何平均数. 们的几何平均数.
福并不缥缈，在于心的感受。爱并不遥远，在于两心知的默契。人与人之间，尊重是相互的，心与心相交，尊重是必须的，尊重，是一个人教养，体现在做
人做事，尊重，是一个人的人品尊重，让人与人走近。人无所舍，必无所成。心无所依，必无所获。自己的路只有自己去走，自己的心还须自己去度。能抓
住希望的只有自己，能放弃自己的也只有自己。能怨恨嫉妒的是自己，能智慧温暖的还是自己。心中有岸，才会有渡口，心有所持，才能行之安然。每个人
x x
问题解决
解：设剪去的小正方形边长为x厘米.
0 x 25,V x(80 2x)(50 2x)
2 3x(40 x)(50 2x)
3 2 3
3x
40
x 3
50
2x
3
18000
当且仅当3x 40 x 50 2x，即x 10等号成立.
答：剪去的小正方形边长为 10厘米时，盒子的容积最大.
即 4 (a b c) 4 4 abc 4 a b c
3
3
即(a b c)4 abc ( a b c ) 3
即 a b c 3 abc，当且仅当a b c，等号成立. 3
问题解决
（1）解：设剪去的小正方形边长为x厘米. 0 x 10，V x (20 2x)2
和定积大 应
若a b S，则ab S 2
用
max 4
若a b c S，则abc S3
max 27
积定和小 若ab S，则a b 2 S 若abc S，则 a b c 33 S
min
min
注意事项
一正二定三相等
一正二定三相等
探究新知
如果是N元正实数的算术—几何平均数不等式，请猜测结论.
a
3
课堂小结
A
B
C
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每个人都会有自己的特长。一个人做某些事会比其他事做的更好。但许多人从未找到最适合自己的事情，其根本原因往往是他们没有进行足够的思考。如果
你对一切都随遇而安，那总是会有一天你会后悔莫及的。心，只有一颗，不要装的太多。人，只有一生，不要追逐的太累。心灵的愉悦，来自精神的富有；
简单的快乐，来自心态的知足。家，很平淡，只要每天都能看见亲人的笑脸，就是幸福的展现。爱，很简单，只要每天都会彼此挂念，就是踏实的温暖。幸
都会有自己的想法、做法、活法。理念不同，做法不同，活法就不同，我们没必要去干涉别人，影响别人，甚至攻击别人。他好，不会嫉妒，不会报复；他
不好，不去打击，不去鄙视。人人都有自尊，人人都有苦衷，生活中没有谁，不希望自己活得更好，走得更顺。学会理解、尊重与帮助。每一个优秀的人，
问题再探
（2）有没有其他方式裁剪边长为20厘米的正方形纸，折成一只 无盖的盒子，使得制成的盒子的容积最大？ (精确到0.01)
问题再探
问题再探
问题再探
此时，无盖盒子的容积是多少？ (精确到0.01)
V 10 20 10 2000 666.67
3
3
C AB
HG I
D EF
JK L
问题解决
2
探究新知
能否证明你的猜想：a,b,c R，a b c 3 abc
3
a,b,c, d R，a b c d 2 ab 2 cd 2 4 abcd =44 abcd
当且仅当 a b c d 时，等号成立.
a b c a b c 4 4 abc a b c
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