可逆矩阵
§2.3 可逆矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
可 逆 矩 阵
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
证明矩阵可逆的9种方法是
证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
可逆矩阵
A I 行初等变换 I
A
1
11（24）
例3 设
1 A 2 3
2 2 4
2 2 4 3 1 3
3 1 1 , 求 A . 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
矩阵的对角化
解
1 A E 2 3
1 0 0 2 2 0 1 0 0
1 r2 ( 2 ) 0 r3 ( 1 ) 0
3 5 1
1 2 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 2 3 3 2 0 3 6 5 2 0 1 1 Nhomakorabea1 1
6（24）
矩阵的对角化
1 0 这组数字构成的矩阵为： Y 0 2 1
汉字 十 七 时 进 攻
编码 1200 0210 0112 2101 1021
2 2 1 1 0
0 1 1 0 2
0 0 2 1 1
7（24）
矩阵的对角化
借助于一个加密矩阵 A，用 A 右乘 Y 得矩阵
1 0 0 1 2 3 r2 2 r1 r3 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3 r1 0 2 6 3 0 1
1 0 0
2 2
3 5
1 2
0 1 1
0 1 0 1 1 0
12（24）
矩阵的对角化
1 0 YA 0 2 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 0 2 A 1 4 1 2 5 4 2 4 1 2 4 3 1 4 0 1 5 T 2 4
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
可逆矩阵的概念
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆 且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
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Dr. Zhi hui Li
0 3 3 练习 已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B． 求矩阵 ． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0
§1.5 可逆矩阵
A −1 = O
O −1 B
第 一 章 矩 阵
A1 H 推广 ： =
− A1 1 则 H −1 =
A2 其中 Ai 为 ni 阶可逆矩阵 O At
−1 A2 O At−1
证明： Q AT ( A−1 )T =( A−1 A)T = E
( 3) 如果矩阵 A 可逆，则对于非零常数 k ，kA 也可逆 ，并且 可逆， 1 ( kA) −1 = A−1 k 1 (4) 如果矩阵 A 可逆，则 det A−1 = 可逆， det A
A C ，其中 A，B 分别为 s 阶与 r 阶可逆 例 5 设有分块矩阵 H = O B 矩阵 ，C 为 s × r 矩阵 ，O 为 r × s 零矩阵 ，试证 ：H 可逆 ，并求 H −1
(1) 如果 A, B 均为 n 阶可逆矩阵 ，则 AB 也可逆 ，并且
第 一 章 矩 阵
( AB )−1 = B −1 A−1 证明： Q ( AB ) ⋅ ( B −1 A−1 ) = A( BB −1 ) A−1 = AA−1 = E
( 2) 如果矩阵 A 可逆，则其转置矩阵 AT 也可逆 ，并且 ( AT )−1 = ( A−1 )T 可逆，
Z A C XA XC + ZB E s = E 即 = Y O B WA WC + YB O
O Er
XA = E s WA = O 即 XC + ZB = O WC + YB = E r −1 −1 A ∴ H = O
1
则 AB = BA = E
∴ B = BE = B( AB1 ) = ( BA) B1 = EB1 = B1 ( 3) 若 B 是 A 的逆矩阵 ，则 A 也是 B 的逆矩阵
矩阵 可逆矩阵
9I , 或 ( A − = 2I ) A 9I
1 1 A (A - 2 I) = I, 或 (A - 2 I) A = I 9 9
故 (2)
1 A = ( A − 2 I ). 9
−1
A2 − 2 A = 9I
⇒
A2 − 2 A − 8 I= I
( A − 4 I ) −1 = A + 2I.
( A + 2 I )( A − 4 I ) = I ( A − 4 I )( A + 2 I ) = I
2 1 1 −1 A= , B= − 1 0 −1 1 且 AX = B ，求矩阵X ．
解 在
• 例 设
AX = B
X=A B
−1
等式两端同左乘 A−1 ，得
1 , 求A的逆矩阵 . 0 b 是 A 的逆矩阵, d
则
2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
0 −1 1 −1 = −1 1 1 2
1 −1 = −1 1
2 1 1 −1 A= , B= − 1 0 −1 1 且 XA = B ，求矩阵X ．
解 在 XA = B 等式两端同右乘 A−1 ，得
Ax = b . A：x → b .
A-1
回顾：y=f(x)的反函数y=f -1(x)满足
f◦f -1 =1, f -1◦ f=1 (1为恒等映射)
定义(可逆矩阵) 方阵 B ,使得
对于 n 阶方阵 A ,若有一个 n 阶
1.5可逆矩阵
二. 判别定理 1. 定义 :
(1) 伴随矩阵 : 设 n 阶矩阵 A = (a ij ) , Aij 是 A 中元 a ij 的代数 余子式 ( i , j = 1,2,L , n) . 矩阵 A11 A 12 L A 1n A21 L An1 A22 L An 2 L L L A2n L Ann
例6.
2 1 0 0
1 1 0 0
1 0 5 4
0 1 9 7
−1
2 1 5 9 解: 令 A= , B = 1 1 4 7 则 A
−1
1 − 1 = , −1 2
B
−1
− 7 9 = 4 − 5
称为矩阵 A 的伴随矩阵 , 记作 A∗
注 : 方阵 A 的伴随矩阵 A∗ 满足 : AA∗ = A∗ A = A E
(2) 若 n 阶矩阵 A 的行列式 A ≠ 0, 则称 A 是非奇异的 (非退化的 ). 否则称 A 为奇异矩阵 ( 退化矩阵 ).
2. 定理 : (1)
A 可逆 ⇔ A 非奇异即 A ≠ 0 1 ∗ A A
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵
1. 关于逆矩阵
(1) A−1 可逆, 且 ( A−1 )−1 = A;
1 −1 ( 2) k ≠ 0 时 kA 可逆, 且 ( kA) = A ; k ( 3) AB 可逆, 且 ( AB )−1 = B −1 A−1 ;
−1
( 4) AT 可逆, 且 ( AT )−1 = ( A−1 )T ;
a b 例1. 设 A = , 问 a,b,c,d 满足什么条件时 A 可逆 , 并求 A −1 c d
可逆矩阵的性质
可逆矩阵的性质可逆矩阵（invertible matrix）是在线性代数和数学分析中极为重要的概念，它的性质不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍可逆矩阵的性质，并讨论可逆矩阵的应用。
一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是一种复数矩阵，它的定义为：满足其逆矩阵存在的矩阵称为可逆矩阵，记作A，其逆矩阵记作A^(-1)，则A^(-1)A=I，其中I为单位矩阵。
二、可逆矩阵的性质1、矩阵的乘法由于可逆矩阵的定义，因此可逆矩阵的乘法也具有一定的特性，即A^(-1)A=I，A*A^(-1)=I。
这表明，可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，这个特性对于解决复杂的线性方程组非常有用。
2、矩阵的逆可逆矩阵的逆也是一个重要的性质，它表明A^(-1)可以由A求得，也就是说，如果A是可逆矩阵，则存在一个可以由A求得的矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I。
3、矩阵的行列式另外，可逆矩阵的行列式也是一个重要的性质。
如果A是可逆矩阵，则它的行列式必须不为0，反之，如果行列式不为0，则矩阵A也是可逆矩阵。
此外，可逆矩阵的行列式也可以用来计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=|A|^(-1)A^(-1)，其中|A|表示矩阵A的行列式。
三、可逆矩阵的应用1、解决线性方程组由于可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，因此可以用可逆矩阵来解决复杂的线性方程组，这是由于可逆矩阵的乘法可以将一个复杂的线性方程组转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性方程组。
2、求解微分方程由于可逆矩阵具有一定的性质，可以用可逆矩阵来求解微分方程，这是由于可逆矩阵的逆可以用来求解微分方程的积分式。
3、解决线性最优化问题可逆矩阵还可以用于解决线性最优化问题，这是由于可逆矩阵的乘积可以将一个复杂的线性最优化问题转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性最优化问题。
四、结论可逆矩阵是一种重要的数学概念，它不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
第4节 可逆矩阵
广 东 金 融 学 院
定义 1 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个 n 阶 矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 为可逆矩阵, 简称 A 可逆,并称 B 为 A 的逆矩阵.记作 A1 ,即 A1 = B .
注意: 注意
由可逆矩阵定义可知:
(1) A 与 B 互为逆矩阵.即有 A1 = B , B1 = A .
1
1
1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
23
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例 现有甲,乙两种产品销往 A , A2 两地,已知销售 1 量(单位:吨) ,总价值(单位:万元)与总利润 (单位:万元)如下表所示,求甲,乙两种产品的 单位价格与单位利润.
证 :由 2 A 2E = 0, 明 A
得 ( A E) = 2E A
A E A =1 2
1
A E A =E 2
A ≠ 0,
A E . 故 可 , A = A 逆 2
15
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又 A2 A 2E = 0, 由
( A+ 2E)( A 3E) + 4E = 0
1 ( A+ 2E) ( A3E) = E 4 1 A+ 2E 可 逆 . A+ 2E ( A3E) =1, 故 4
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第四节 可逆矩阵
一,可逆矩阵 二,矩阵可逆的条件 三,可逆矩阵的运算性质
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§4 可逆矩阵
一,可逆矩阵的概念
问题的提出:在数的运算中,当数 a ≠ 0 ,总 b = a1 ,使得 ab = ba =1, b 称为 存在唯一的一个数 a 的倒数或逆.
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
可逆矩阵
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
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矩阵求逆运算规律
性质1 性质 可逆， 若A可逆，则 可逆
−1
A
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
高 等 代 数
性质2 性质
两个n阶可逆矩阵 、 的乘积 的乘积AB可逆且 两个 阶可逆矩阵A、B的乘积 可逆且 阶可逆矩阵
( AB )
证明 由于
−1 −1 −1
−1
=B A .
−1 −1
−1
A
*
称为 A 的伴随矩阵.
证明: "⇒": 若A可逆,有
AA−1 = A−1 A = E
| A || A−1 |=| A−1 A |= E = 1
两边取行列式,得 从而
| A≠0 |
高 等 代 数
" ⇐ ": Q AA* = A* A =| A | I .
又 | A |≠ 0,
所以,A可逆,且
1 1 3 3 可逆， 1 2 所以 A 可逆，且 − 3 3 2 1 − 3 3
A
−1
0 = 0 − 1
1 3 1 3 2 3
高 等 代 数
1 3 2 − 3 1 − 3
例
0 设 A = 1 1
2 1 4 −1 0 1
∴ (A′) = (A )′.
−1 −1
性质4 性质
1 −1 (kA) = A ; k
−1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | = 性质 |A|
−1
可逆矩阵与初等矩阵的关系 由初等矩阵的定义可以看出， 由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
−1 i, j
E
=
都是可逆的， 都是可逆的，且： 1 −1 E i , j E i (k ) = E i ( ) k
(2)
B = 0.故B不可逆
高 等 代 数
1 例2 求矩阵A的逆矩阵，其中 A = 2 1
解 Q
1+1
2 1 3
3 2 . 3
1 | A |= 2 1
1 2 3 3
2 +1
2 1 3
3 2 = 4 ≠ 0, ∴ A 可 逆 . 3
1+ 2
A11 = (−1)
= −3, A12 = (−1)
A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A -1 那么称
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 非退化矩阵 非奇异矩阵或非退化矩阵 非奇异矩阵 注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
P
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高 等 代 数
例如
1 0 1 0 A= , B = −1 1 , 1 1
−1
−1
( AB)(B A ) = A(BB ) A = ( AI ) A = AA = I , (B A )( AB) = B ( A A)B = B (IB) = B B = I ,
故AB可逆，且 ( A B ) AB可逆， 可逆
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
−1
= B
−1
−1
A
−1
.
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
A （2）若作 2n × n 阶分块矩阵 I ）
试判断A是否可逆， 试判断 是否可逆，若可逆求 是否可逆
A−1
0 1 2 1 0 0 r3−r2 1 1 4 0 1 0 r [A I] =1 1 4 0 1 01↔r2→0 1 2 1 0 0 解 0 −2 −4 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
1 0 1 0 1 0 AB = −1 1 = 0 1 = I , 1 1
1 0 1 0 1 BA = 1 1 = 0 −1 1 0 = I. 1
矩阵A,B互为可逆矩阵
高 等 代 数
3 1 3 − 4 1 −3 3 4 4 1 1 = −1 −1 ∴ A = ⋅ A* = −4 0 4 0 1 . |A| 4 5 −1 −3 5 1 3 − − 4 4 4
高 等 代 数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 定理 若矩阵可逆， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的
伴随矩阵
a12 a22 M an2
L a1n L a2n M L ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵 的代数余子式，
A 11 A * A = 12 M A 1n
A L A1 21 n A L A2 22 n M M An L A 2 nn
2 2 1 3
= −4, A13 = (−1)
1+ 3
2 1 1 3
= 5,
A 21 = ( −1)
2 3 3 3
= 3, A 22 = (−1)
2+ 2
1 3 1 3
= 0, A 23 = (−1)
2+3
1 2 1 3
= −1,
A 31 = (−1)3+1
2 3 1 2
= 1 , A 32 = (−1)3+ 2
⇔ AX = B.
b1 b2 . B= M bn
L a1n L a2 n , M L ann
x1 x2 , X= M xn
高 等 代 数
问题的提出： 问题的提出：
n×n
的线性方程组 AX = B 是否可以象一元一次代
1 3 2 2
= 4, A 33 = (−1)3+3
1 2 2 1
= −3.
高 等 代 数
A11 ∴ A* = A12 A13
A 21 A 22 A 23
A 31 −3 3 1 A 32 = −4 0 4 . A 33 5 −1 −3
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
( = (I
−1 l −1
−1 1
(A I )
A −1
)
)
施行初等行变换， 即对 n × 2 n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 I 时，原来的 I 就变成 A −1 .
高 等 代 数
1 1 −1 2 1 0 求 A−1 例 A 设 = 1 −1 0 1 1 − 1 1 0 0 0 0 1 0 解 [A I ] = 2 1 1 − 1 0 0 0 1 1 1 − 1 1 0 0 r2 − 2r1 2r r3 −→ 0 − 1 2 − 2 1 0 r1 0 − 2 1 − 1 0 1
高 等 代 数
a11 a 21 L an1
a11 a21 A= M an1
a12 a22 L an 2
a12 a22 M an 2
L L L L
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 = L L L ann xn bn
−1 −1 2 1
一般地， ( A1 A2 L As )
= A A LA A
−1 s
−1 s −1
高 等 代 数
性质3 性质3
可逆矩阵A的转置矩阵可逆， 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A ) = (A )
证−1ຫໍສະໝຸດ ' −1−1 '
A′(A −1 )′ = (AA −1 )′ = I ′ = I ,
′A′ = (A −1A)′ = I ′ = I , (A )
高 等 代 数
求逆矩阵方法二： 求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A ≠ 0时，由 A = P1 P2 L Pl，有
Pl −1 Pl −1 L P1−1 A = I , 及 −1
Pl −1 Pl −1 L P1−1 I = A−1 , −1
∴
Pl P L P
−1
= Pl −1 Pl −1 L P1−1 A Pl −1 Pl −1 L P1−1 I −1 −1