可逆矩阵

2 2 1 3
= −4, A13 = (−1)
1+ 3
2 1 1 3
= 5,
A 21 = ( −1)
2 3 3 3
= 3, A 22 = (−1)
2+ 2
1 3 1 3
= 0, A 23 = (−1)
2+3
1 2 1 3
= −1,
A 31 = (−1)3+1
2 3 1 2
= 1 , A 32 = (−1)3+ 2
1 0 1 0 1 0 AB = −1 1 = 0 1 = I , 1 1
1 0 1 0 1 BA = 1 1 = 0 −1 1 0 = I. 1
矩阵A,B互为可逆矩阵
高 等 代 数
高 等 代 数
矩阵求逆运算规律
性质1 性质 可逆， 若A可逆，则 可逆
−1
A
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
高 等 代 数
性质2 性质
两个n阶可逆矩阵 、 的乘积 的乘积AB可逆且 两个 阶可逆矩阵A、B的乘积 可逆且 阶可逆矩阵
( AB )
证明 由于
−1 −1 −1
−1
=B A .
−1 −1
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
高 等 代 数
a11 a 21 L an1
a11 a21 A= M an1
a12 a22 L an 2
a12 a22 M an 2
L L L L
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 = L L L ann xn bn
( = (I
−1 l −1
−1 1
(A I )
A −1
)
)
施行初等行变换， 即对 n × 2 n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 I 时，原来的 I 就变成 A −1 .
高 等 代 数
1 1 −1 2 1 0 求 A−1 例 A 设 = 1 −1 0 1 1 − 1 1 0 0 0 0 1 0 解 [A I ] = 2 1 1 − 1 0 0 0 1 1 1 − 1 1 0 0 r2 − 2r1 2r r3 −→ 0 − 1 2 − 2 1 0 r1 0 − 2 1 − 1 0 1
∴ (A′) = (A )′.
−1 −1
性质4 性质
1 −1 (kA) = A ; k
−1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | = 性质 |A|
−1
可逆矩阵与初等矩阵的关系 由初等矩阵的定义可以看出， 由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
−1 i, j
E
=
都是可逆的， 都是可逆的，且： 1 −1 E i , j E i (k ) = E i ( ) k
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
试判断A是否可逆， 试判断 是否可逆，若可逆求 是否可逆
A−1
0 1 2 1 0 0 r3−r2 1 1 4 0 1 0 r [A I] =1 1 4 0 1 01↔r2→0 1 2 1 0 0 解 0 −2 −4 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1
A （2）若作 2n × n 阶分块矩阵 I ）
1 1 3 3 可逆， 1 2 所以 A 可逆，且 − 3 3 2 1 − 3 3
A
−1
0 = 0 − 1
1 3 1 3 2 3
高 等 代 数
1 3 2 − 3 1 − 3
例
0 设 A = 1 1
2 1 4 −1 0 1
伴随矩阵
a12 a22 M an2
L a1n L a2n M L ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵 的代数余子式，
A 11 A * A = 12 M A 1n
A L A1 21 n A L A2 22 n M M An L A 2 nn
1 0 1 − 1 1 0 0 1 − 2 2 − 1 0 → 0 0 − 3 3 − 2 1
r1 +r2 r3 −2r2 ( −1)r2
高 等 代 数
1 0 0 0 →0 1 0 0 0 0 1 − 1
1 r1 + r3 3 2 r2 − r3 3 1 ( − ) r3 3
−1
−1
( AB)(B A ) = A(BB ) A = ( AI ) A = AA = I , (B A )( AB) = B ( A A)B = B (IB) = B B = I ,
故AB可逆，且 ( A B ) AB可逆， 可逆
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
−1
= B
−1
−1
A
−1
.
a11 x11 + a12 x12 + L a1n x1n b1 a x + a x + L a x b 22 22 2n 2n 21 21 = 2 LLLLLLLLL L an1 xn1 + an 2 xn 2 + L ann xnn bn
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
E i , j (k ) −1 = E i , j (−k )
高 等 代 数
定理2.4.4 n阶方阵 是可逆矩阵的充要条件是 可以 阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是 定理 阶方阵 是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵 是可逆矩阵的充要条件是 可 阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是 定理 阶方阵 是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
高 等 代 数
求逆矩阵方法二： 求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A ≠ 0时，由 A = P1 P2 L Pl，有
Pl −1 Pl −1 L P1−1 A = I , 及 −1
Pl −1 Pl −1 L P1−1 I = A−1 , −1
∴
Pl P L P
−1
= Pl −1 Pl −1 L P1−1 A Pl −1 Pl −1 L P1−1 I −1 −1
⇔ AX = B.
b1 b2 . B= M bn
L a1n L a2 n , M L ann
x1 x2 , X= M xn
高 等 代 数
问题的提出： 问题的提出：
n×n
的线性方程组 AX = B 是否可以象一元一次代
3 1 3 − 4 1 −3 3 4 4 1 1 = −1 −1 ∴ A = ⋅ A* = −4 0 4 0 1 . |A| 4 5 −1 −3 5 1 3 − − 4 4 4
高 等 代 数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 定理 若矩阵可逆， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的
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1 0 2 −1 1 0 0 1 2 1 0 0 从而知，A不可逆。 从而知， 不可逆 不可逆。 → 0 0 0 2 −1 1
r1−r2 r3+2r2
高 等 代 数
是否可逆， ）判断矩阵A是否可逆 注意： （1）判断矩阵 是否可逆，可直接对 [A I ] 作初等行变换，若变换过程中， 作初等行变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有 等价的矩阵中有 一行为0，就能判断 不与 等价，从而知A不可逆 不与I 不可逆。 一行为 ，就能判断A不与 等价，从而知 不可逆。
(2)
B = 0.故B不可逆
高 等 代 数
1 例2 求矩阵A的逆矩阵，其中 A = 2 1
解 Q
1+1
2 1 3
3 2 . 3
1 | A |= 2 1
1 2 3 3
2 +1
2 1 3
3 2 = 4 ≠ 0, ∴ A 可 逆 . 3
1+ 2
A11 = (−1)
= −3, A12 = (−1)
1 3 2 2
= 4, A 33 = (−1)3+3
1 2 2 1
= −3.
高 等 代 数
A11 ∴ A* = A12 A13
A 21 A 22 A 23
A 31 −3 3 1 A 32 = −4 0 4 . A 33 5 −1 −3
−1
A
*
称为 A 的伴随矩阵.
证明: "⇒": 若A可逆,有
AA−1 = A−1 A = E
| A || A−1 |=| A−1 A |= E = 1
两边取行列式,得 从而
| A≠0 |
高 等 代 数
" ⇐ ": Q AA* = A* A =| A | I .
又 | A |≠ 0,
所以,A可逆,且
−1 −1 2 1
一般地， ( A1 A2 L As )
= A A LA A
−1 s
−1 s −1
高 等 代 数
性质3 性质3
可逆矩阵A的转置矩阵可逆， 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A ) = (A )
证
−1
' −1
−1 '
A′(A −1 )′ = (AA −1 )′ = I ′ = I ,
′A′ = (A −1A)′ = I ′ = I , (A )
A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A -1 那么称
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 非退化矩阵 非奇异矩阵或非退化矩阵 非奇异矩阵 注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
P
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高 等 代 数
例如
1 0 1 0 A= , B = −1 1 , 1 1
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 可逆矩阵的判定、 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高 等 代 数
回忆
a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n x n = b1 , a x + a x + ...a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 ........................................ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ...a nn x n = bn ,
矩阵可逆的条件
现在的问题是： 现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 可逆， 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念. 矩阵的概念
高 等 代 数
求逆矩阵方法一： 求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方阵A可逆的充要条件是 | A |≠ 0 , 且可逆矩阵A的逆矩阵为
1 * A = A A