数字图像的傅里叶变换

数字图像的傅里叶变换一. 课程设计目的（1）了解图像变换的意义和手段（2）熟悉傅里叶变换的基本性质（3）热练掌握FFT的方法反应用（4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换二.课程设计要求（1）熟悉并掌握傅立叶变换（2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用（3）通过实验了解二维频谱的分布特点（4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真三.设计思路1.相关知识原理（1）应用傅里叶变换进行数字图像处理数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。

20世纪20年代，图像处理首次得到应用。

20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。

60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。

利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。

数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。

随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。

傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。

傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。

因此，对涉及数字图像处理的工作者，深入研究和掌握傅里叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。

（2）关于傅里叶（Fourier）变换在信号处理中，傅里叶变换可以将时域信号变到频域中进行处理，因此傅里叶变换在信号处理中有着特殊重要的地位。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换属于谐波分析。

傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似；正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).（3）傅里叶（Fourier）变换基本性质a.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。

数学描述是：若函数f \left ( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha \ mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；b.频移性质若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。

式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；c.微分关系若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)]，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子--iω 。

更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,\mathcal[f^{ (k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。

d.卷积特性若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。

卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]= \mathcal^[F(\omega)] *\mathcal^ [G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。

(4)傅里叶变换的不同变种a..连续傅里叶变换一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

f(t)=\mathcal^[F(\omega)]=\frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或正弦转换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.b..傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。

对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：f(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ , 其中Fn 为复振幅。

对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a _n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],其中an 和bn 是实频率分量的振幅。

c..离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT ）的特例（有时作为后者的近似）。

DTFT 在时域上离散，在频域上则是周期的。

DTFT 可以被看作是傅里叶级数的逆。

d..离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1 其中Xk 是傅里叶振幅。

直接使用这个公式计算的计算复杂度为\mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT ）可以将复杂度改进为\mathcal(n \log n)。

计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT 成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。

这一问题属于调和分析的范畴。

在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。

此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。

傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。

e.时频分析变换小波变换，chirplet 转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。

同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

傅里叶变换是一种函数的正交变换，如果将信号以函数来描述，正交变换的含义就是将一个函数分解成一组正交函数的线性组合。

傅里叶正、逆变换的计算公式分别为：dt e t f j F t j ωω-+∞∞-⎰=)(）（逆变换： ωωπωd e j F t f t j •=⎰+∞∞-)(21)( 显然，对一个非周期信号，其频谱为连续谱。

对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：dxdy e y x f v u F vy ux j )(2),(,+-∞∞-∞∞-⎰⎰=π）（逆变换： dudv e v u F y x f vy ux j ⎰⎰∞∞-∞∞-+=)(2),(),(π 在数字图像处理领域中，f(x,y)可以用来表示一幅图像，而F(u,v)就表示该图像的频谱。

二维离散傅里叶变换为：∑∑-=-=-=1010)*(2),(1),(N i N k N k n N i m j e k i f Nn m F π逆变换： )*(21010),(1),(N k n N i m j N i N k en m F N k i f π∑∑-=-==快速傅里叶变换（FFT ）要达到的目的是，将前面所给出的傅里叶变换的计算公式，通过一定的整理之后，找到一个可以将复杂的连加运算转换为简单的两个数相加运算的重复的方法，已减小傅里叶变换的计算时间代价。

经过傅里叶变换之后，可以获得原图像信号的频域分布情况。

由于图像中不同特性的像素具有不同的频域特性，因此，可以在频域上设计相应的滤波器，以达到滤除某些信息，或者保留某些信息的目的。

另外，因为傅里叶变换后，时域与频域形成了对偶运算关系，因此通过傅里叶变换也可以达到某些运算的简化目的。

2.应用软件MATLAB 简介MATLAB Compiler 是一种编译工具，它能够将那些利用MATLAB 提供的编程语言——M 语言编写的函数文件编译生成标准的C/C++语言源文件，而生成的标准C/C++源代码可以被任何一种C/C++编译器编译生成函数库或者可执行文件，这样就可以扩展MATLAB 功能，使MATLAB 能够同其他高级编程语言(例如C/C++语言)进行混合应用，取长补短，以提高程序的运行效率，丰富程序开发的手段。