贝塞尔函数详细介绍(全面)

R
0
J 0 ( x) cos xdx = xJ 0 ( x) cos x | − ∫ xdJ 0 ( x) cos x
Γ(1) = 1
Γ( p ) = ∫ e − x x p −1 dx
Γ( p + 1) = pΓ( p )
Γ(1 / 2) = π
当p为正整数时 Γ( p + 1) = p!
a2 m (−1) m = n+2m 2 m !Γ(n + m + 1)
∞
当p为负整数或零时 Γ( p) → ∞
n≥0
n+2m
T (t ) = Ae ∇ 2V + λV = 0
− a 2 λt
ρ 2 Ρ ′′ + ρΡ ′ + (λρ 2 − µ )Ρ = 0
Θ′′ + µΘ = 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
Θ′′ + µΘ = 0
ρ 2 Ρ ′′ + ρΡ ′ + (λρ 2 − µ )Ρ = 0
n = 0,1,2,3,L
′ xJ n ( x) + nJ n ( x) = xJ n −1 ( x)
′ xJ n ( x) − nJ n ( x) = − xJ n +1 ( x) ′ J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x)
J n −1 ( x) + J n +1 ( x) =
2n J n ( x) x
]
[(c + k )
2
− n 2 ) ak + ak − 2 = 0
]
c=n
a1 = 0
a1 = a3 = a5 .... = 0
ak =
−ak − 2 k (2n + k )
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
ak =
−ak − 2 k (2n + k )
∞ 0
令： a 0 =
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1 2 n Γ( n + 1)
∞
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
性质3 递推性
∞ (−1) m ( 2n + 2m ) x 2 n + 2 m −1 d n d ∞ (−1) m x 2 n + 2 m x J n ( x) = ∑ n + 2 m =∑ dx dx 2 m !Γ(n + m + 1) m=0 2n + 2 m m !Γ(n + m + 1) m =0
n = 0,1, 2,L (−1) x m !Γ(−n + m + 1) 2 m =0
∞ m − n+2m
c = −n 时
J − n ( x) = ∑
n ≠ 1, 2,L
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
n+ 2m
(−1) m x J n ( x) = ∑ m = 0 m !Γ ( n + m + 1) 2
]
k =0
}
(c − n )a 0 x + (c + 1) − n a1 x
2 c 2 2
[
]
c +1
+ ∑ (c + k ) 2 − n 2 ) a k + a k − 2 x c + k = 0
k =0
∞
{[
]
}
( c 2 − n 2 ) a0 = 0
c = ±n
[(c + 1)
2
− n 2 a1 = 0
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
2 n为整数时，贝塞尔方程的通解
1 n为整数时 Γ(−n + m + 1) = 0
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
m = 0,1, 2L ( N − 1)
J − n ( x) = (−1) n J n ( x)
(−1) m x J n ( x) = ∑ m !Γ(n + m + 1) 2 m=0
n≥0
n阶第一类贝塞尔函数
当n为正整数时 Γ(n + m + 1) = (n + m)!
J n ( x) = ∑ (−1) x m !(n + m)! 2 m=0
∞ m n+2m
∞
n阶第一类贝塞尔函数
1 n不为整数时，贝塞尔方程的通解
J n ( x) 和 J − n ( x) 线性无关
y = AJ n ( x) + BJ − n ( x)
A = cot nπ
B = − csc nπ
Yn ( x) =
J n ( x) cos nπ − J − n ( x) sin nπ
n阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）
c
∞
x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0
2 k
令： y = x (a0 + a1 x + a 2 x + L + a k x + L) = ∑ a k x c + k
∞
∑ {[(c + k )(c + k − 1) + (c + k ) + ( x
k =0 2
2
+k − n 2 ) a k x c +k = 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) x ′ J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x)
∫ xJ 2 ( x)dx =
x 2 x −1 J 2 ( x)dx = − ∫ x 2 dx −1 J1 ( x) ∫
[
]
[
]
(6)
∫
R
′ = RJ 0 ( R ) cos R − ∫ x[J 0 ( x) cos x − J 0 ( x) sin x ]dx 0 R ′ = RJ 0 ( R) cos R + ∫ xJ1 ( x) cos x + [xJ1 ( x)] sin x dx 0 R ′ = RJ 0 ( R) cos R + ∫ [xJ1 ( x) sin x ] dx = RJ 0 ( R) cos R + RJ1 ( R) sin R
)
Ρ ′′ = λy ′′
x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0, x < λ R y ( λ R) = 0, y (0) < ∞
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
假设 n ≥ 0
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
′ x n J n ( x) + nx n −1 J n ( x) = x n J n −1 ( x) ′ x − n J n ( x) − nx − n −1 J n ( x) = − x − n J n +1 ( x)
d [ xJ1 ( x)] = xJ 0 ( x) dx d J 0 ( x ) = − J1 ( x ) dx
µ = n2
Θ n = An cos nθ + Bn sin nθ
ρ 2 Ρ ′′ + ρΡ ′ + λρ 2 − n 2 Ρ = 0, ρ < R Ρ( R) = 0, Ρ(0) < ∞
x = λρ
(
)
ρ = x/ λ
dΡ ( x
dΡ( ρ ) ′= = Ρ dρ
λ d x dy ( x ) λ = λ y′ = dx dρ dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
x 2 y′′ + xy′ + x 2 − n 2 y = 0
(−1) m x J n ( x) = ∑ m !Γ(n + m + 1) 2 m=0
∞ n+2 m
(
)
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim (x α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
例1 求下列微积分
(1)
d n x Yn ( x) = x nYn −1 ( x) dx d −n x Yn ( x) = − x − nYn +1 ( x) dx 2n Yn −1 ( x) + Yn +1 ( x) = Yn ( x) x Yn −1 ( x) − Yn +1 ( x) = 2Yn′( x)
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第5章贝塞尔函数
第五章
贝塞尔函数(bessel) 贝塞尔函数(bessel)
一 贝塞尔函数的引出
∂u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2u 2 2 2 , ρ < R,0 ≤ θ ≤ 2π , t > 0 + 2 =a ∇ u=a 2 + 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂t ρ < R,0 ≤ θ ≤ 2π u ( ρ ,θ ,0) = ϕ ( ρ , θ ), u ( R,θ , t ) = 0, 0 ≤ θ ≤ 2π , t > 0 令：u ( ρ , θ , t ) = V ( ρ , θ )T (t ) 令： V ( ρ ,θ ) = Ρ( ρ )Θ(θ ) 1 1 VT ′ = a 2 ∇ 2V ⋅ T Ρ ′′Θ + Ρ ′Θ + 2 ΡΘ′′ + λΡΘ = 0 ρ ρ ∇ 2V T′ = 2 = −λ (λ > 0) Θ′′ ρ 2 Ρ′′ + ρΡ′ + λρ 2 Ρ V aT =µ − = Θ Ρ T '+ λ a 2T = 0
[
]
[
]
d ′ J 0 (α x ) = αJ 0 (αx) = −αJ1 (αx ) dx 1 1 ′′( x) − J 0 ( x) = − J1′( x) + J1 ( x) ′ (2) J 0 x x 1 1 1 1 = − J 0 ( x) + J 2 ( x) + J 0 ( x) + J 2 ( x) = J 2 ( x ) 2 2 2 2 ′ ′′′ ′ ′ (3) 3J 0 ( x) + 4 J 0 ( x) = − 3J1 ( x) − 4 J1′′( x) = −3J1 ( x) − 2 J 0 ( x) + 2 J 2 ( x)
性质1 有界性
J n (x) < +∞
Yn (0) = −∞
x≠0
Yn (x) < +∞
性质2 奇偶性
J n (− x) = (−1) n J n ( x) 当n为正整数时 Yn (− x) = (−1) n Yn ( x)
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第5章贝塞尔函数
n+2m
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2