数理逻辑2.1
(完整版)数理逻辑简介
(4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？
(8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。 判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈
述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r, 表示。
原语句化为 p (q r) s 。
第二节 命题公式及分类
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。 重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。
(2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项，
联结词，括号等组成的字符串。
是否重言式 。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (1) A ( p q)，B p q
解：作真值表如下：
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (2) A p q ，B ( p q) (q p)
解：作真值表如下：
二、重要等值式。
1、交换律 A B B A ，A B B A
(1) ( p q) ( p q)
(2) ( p q) p q q p
(3) ( p q) q
(4) ( p p) q (5) p ( p q)
例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式， 哪些是矛盾式，哪些是可满足式？
(6) p q p p
(7) ( p q) ( p q)
设 p ：我上街， q ：我去书店看看，
r ：我很累。
原语句化为 r ( p q)(或 (r p) q)。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年， 她是三好生。 设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。
数理逻辑
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
命题逻辑_ls第2章_2.1
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
第一章 数理逻辑-命题逻辑
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q
1 1 0 1
与自然语言中的“如果… 则 …”， “如果… 那么 …”， “只要…就…”等类似
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例
(a) P: 天不下雨, Q: 草木枯黄。 P→Q: 如果天不下雨, 那么草木枯黄。 (b) R: G是正方形, S: G的四边相等。 R→S: 如果G是正方形, 那么G的四边相等。 (c) W: 桔子是紫色的, V: 大地是不平的。 W→V: 如果桔子是紫色的, 那么大地是不平的。
由简单陈述句表示的判断 命题逻辑规定：原子命题是不可再分的
命题的表示
常用大写英文字母（或带下标）表示
P表示“雪是白的” Q表示“北京是中国的首都”
命题变元（命题词）
P表示任一命题时，P就称为命题变元（命题词） 命题词不是命题 命题指具体的陈述句，是有确定的真值 命题变元的真值不定，只当将某个具体命题代入命题
第二章 命题逻辑
2.1 命题的概念与表示 2.2 逻辑联结词 2.3 命题演算的合式公式 2.4 等价与蕴涵 2.5 功能完备集及其他联
接词
2.6 对偶与范式 2.7 命题演算的推理理论
第三章 谓词逻辑
3.1 谓词的概念与表示 3.2 命题函数与量词 3.3 谓词演算的合式公式 3.4 变元的约束 3.5 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论 3.8 自动推理证明
26
命题演算的合式公式 ( 命题公式，wff ，well
formed formulas)
定义2.3.1：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
数理逻辑讲义
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
812 数理逻辑-概述说明以及解释
812 数理逻辑-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数理逻辑是一门关于推理和推断的学科，它涉及到数学和哲学的交叉领域。
通过使用形式化的语言和符号，数理逻辑致力于研究逻辑原理和推理过程，以达到强化我们的思维能力和理解世界的目的。
数理逻辑通过建立严密的逻辑系统，包括命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑等各种形式，来对我们日常的推理和论证进行规范化和精确化。
它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论，可以帮助我们发现和理解事物之间的关系，从而增强我们的思考能力和分析能力。
数理逻辑在数学、计算机科学、哲学、语言学等领域都有广泛的应用。
在数学领域，数理逻辑被广泛应用于证明理论和形式化推理的研究中，它帮助数学家们发现和证明数学定理，并且为数学家们提供了一种形式化的推理工具。
在计算机科学领域，数理逻辑是计算机科学的基础之一，它用于形式化描述计算机程序的行为和性质。
在哲学和语言学领域，数理逻辑为探索语言和推理规则的本质提供了一种强有力的分析工具。
数理逻辑的重要性不仅体现在理论研究上，也体现在实际应用中。
在人工智能、自动推理、软件工程等领域，数理逻辑的应用已经成为不可或缺的一部分。
通过运用数理逻辑的方法，我们能够更加严谨地进行推理和论证，提高系统的可靠性和准确性。
未来，随着科学技术的不断发展，数理逻辑的应用领域将会进一步扩展。
例如，在量子计算、机器学习、智能化系统等领域，数理逻辑的研究将为我们提供更高层次的推理和决策能力。
同时，数理逻辑也将与其他学科融合，形成新的交叉学科，推动知识的创新和发展。
总而言之，数理逻辑作为一门重要的学科，不仅为我们提供了一种精确推理和思维的方法，也对于其他学科的研究和应用起到了重要的推动作用。
通过学习和应用数理逻辑，我们能够提升思维能力和解决问题的能力，深入理解事物之间的联系，为科学的发展和人类的进步做出贡献。
文章结构部分的内容可以参考以下内容：1.2 文章结构为了清晰地展示文章内容和逻辑关系，本文将按照以下结构进行阐述：第一部分为引言，主要介绍本文的主题和重要性。
数理逻辑2.1
数理逻辑2.11.4 将自然语言转化为命题公式*要把自然语言转化为命题公式, 按以下步骤进行.1.首先判定这个句子是否命题逻辑中所研究的命题, 排除一些不是陈述句的句子,以及一些不具有真假值的句子. 2.其次,找出这个句子中所包含的原子命题.通常只有一个主语和一个谓语的句子就是一个原子命题.3.再次,将句子中的原子命题用命题变量表示,在整个句子中,若相同的原子命题出现多次,则用相同的命题变量表示同一原子命题.4.然后,分析句子中连词的逻辑含义,确定句子的整体结构,以及各支命题之间的逻辑关系.5.最后,使用合适的命题联结词将各支命题符号化,最后写出整个句子的命题公式.例1.12:1.我们在学好逻辑学的同时,还应学好其它学科.2.我虽人到中年, 但求知欲并未减弱.3.液体沸腾的原因是温度增高,或是压力下降.4.李晓霞是湖南人或江西人.5.逆水行舟,不进则退.解:1.设p: 我们要学好逻辑, q: 我们要学好其它学科.公式: p∧q .2.设p: 我人到中年, q: 我求知欲减弱.公式: p∧┐q .3.设p: 液体沸腾的原因是温度增高.q: 液体沸腾的原因是压力下降.公式: p∨q .4.设p: 李晓霞是江西人.q: 李晓霞是湖南人.公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .5.设p: 逆水行舟会进, q: 逆水行舟会退.公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .例1.13:1.如果看不到事物的否定方面, 就不能科学地预见事物的发展方向.2.只有懂了事物的对立统一规律, 才能懂得事物的发展.3.只要你努力, 就会取得成果.4.会休息的人, 才会工作.5.不会休息的人, 就不会工作.6.哪里有他, 哪里就有歌声.7.若要人不知, 除非己莫为.8.除非他真心悔改, 才能得到群众的谅解.9.除非整数x是奇数, 否则x会被2整除.10.整数x能被2整除, 除非x是奇数.11.没有共产党就没有新中国.解: 1. 设p: (你)看不到事物的否定方面,q: (你)不能科学地预见事物的发展方向.公式: p→q .2. 设p: (你)懂了事物的对立统一规律,q: (你)懂得事物的发展.公式: q→p .3. 设p: 你努力; q: (你)会取得成果.公式: p→q .4. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.公式: q→p .5. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.公式: ┐p→┐q .6.设p: 哪里有他, q: 哪里有歌声.公式: p→q .7.设p: 人不知, q: 己莫为.相当于: 只有己莫为, 才能人不知.公式: p→q .8.设p: 他真心悔改; q: (他)得到群众的谅解.相当于: 只有他真心悔改, 才能得到群众的谅解. 公式: q→p .9.设p: 整数x是奇数, q: x会被2整除.相当于: 只有整数x是奇数, x才不会被2整除.公式: ┐q→p .10.设p: 整数x能被2整除, q: x是奇数.相当于: 只有x是奇数, x才不会被2整除.公式: ┐p→q .11.设p: 有共产党, q: 有新中国.公式: ┐p→┐q .例1.14:1. 如果小张在孩子落水的现场但没有参加营救, 那么,或者他看到了孩子落水却假装没看见, 或者他确实不会游泳. 解: 设p: 小张在孩子落水的现场; q: (小张)没有参加营救; r: (小张)看到了孩子落水; s: (小张)假装没看见(孩子落水); t: (小张)确实不会游泳.公式: (p∧q)→((r∧s)∨t) .2. 如果光强调团结,不强调斗争, 或者光强调斗争,不强调团结, 就不能达到既统一思想又团结同志的目的.解: 设p: (我们)强调团结; q: (我们)强调斗争;r: (我们)达到统一思想的目的;s: (我们)达到团结同志的目的.公式: ((p∧┐q)∨(┐p∧q))→┐(r∧s)3. 如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足, 则全体人质就能获释, 否则, 恐怖分子就要杀害人质, 除非特种部队能实施有效的营救.解: 设p: 恐怖分子的要求能在规定期限内满足;q: 全体人质获释;r: 恐怖分子杀害人质;s: 特种部队能实施有效的营救.公式: (p→q)∧(┐p→(┐r→s))第二章命题逻辑的等值演算2.1 重言式与等值式定义2.1: 设A, B是两个命题公式. 若A, B构成的等价式A?B为重言式, 则称A与B是等值的, 记作A?B.*设A与B共含有n个命题变项, A与B等值即在所有2n个赋值下, A与B的真值都相同.例2.1: 判断下面两个公式是否等价┐(p∨q)与┐p∧┐qp q ┐p ┐q p∨q ┐(p∨q) ┐p∧┐q 左式?右式0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 11 1 0 0 1 0 0 1例2.2: 判断下列各组公式是否等值.(1) p→(q→r)与(p∧q)→r ;(2) (p→q)→r与(p∧q)→r ;p q r p→(q→r) (p∧q)→r (p→q)→r0 0 0 1 1 00 0 1 1 1 10 1 0 1 1 00 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1所以p→(q→r)?(p∧q)→r ;而(p→q)→r与(p∧q)→r真值表不同, 因而它们不等值.代入规则: 设A是一命题公式, 含有命题变项p1, p2, …, p n, 又设B1, B2, …, B n是任意命题公式. 对于每个i(i=1, 2, …, n), 把p i在A中的所有出现都换成B i, 所得的新命题公式记作B. 那么, 如果A是重言式, 则B也是重言式.例2.3: A: (p→(q→r))?((p∧q)→r)是重言式.令p 替换为B1: p∨qq 替换为B2: r→sr 替换为B3: q∧s则以上公式代入后, 得公式B: ((p∨q)→((r→s)→(q∧s)))?(((p∨q)∧(r→s))→(q∧s))则B仍为重言式.这因为对于B中p, q, r, s的任一赋值, B1, B2, B3分别有一个真值, 把B1的真值代入A中的p, B2的真值代入A中的q, B3的真值代入A 中的r, 则A的真值恒为1. 故B为重言式. *几个重要的重言式:1.双重否定律: A?┐┐A (2.1)2.幂等律: A?A∨A, A?A∧A (2.2)3.交换律: A∨B?B∨AA∧B?B∧A (2.3)4.结合律: (A∨B)∨C?A∨(B∨C)(A∧B)∧C?A∧(B∧C) (2.4)5.分配律: A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C) (2.5)6.德?摩根律: ┐(A∨B)?┐A∧┐B┐(A∧B)?┐A∨┐B (2.6)7.吸收律: A∨(A∧B)?AA∧(A∨B)?A (2.7)8. 零律: A∨1?1, A∧0?0 (2.8)9. 同一律: A∨0?A, A∧1?A (2.9)10. 排中律: A∨┐A?1 (2.10)11. 矛盾律: A∧┐A?0 (2.11)12. 蕴涵等值式: A→B?┐A∨B (2.12)13. 等价等值式: A?B?(A→B)∧(B→A) (2.13)14. 假言易位: A→B?┐B→┐A (2.14)15. 等值否定等值式: A?B?┐A?┐B (2.15)16. 归谬论: (A→B)∧(A→┐B)?┐A (2.16) *上式中的A, B, C可以是命题变项, 也可以是任一公式. *解释这些公式的含义.*用真值表法证明上述等值式:例2.4. 1. A?┐┐A 2. A∨B?B∨AA ┐A ┐┐A AB A∨B B∨A0 1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 11 0 1 11 1 1 13. A∨(A∧B)?AA B A∧B A∨(A∧B) A∨(A∧B)?A0 0 0 0 10 1 0 0 11 0 0 1 11 1 1 1 14. A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)A B C B∧C A∨(B∧C) A∨B A∨C (A∨B)∧(A∨C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 15. A→B?┐A∨BA B ┐A ┐A∨B A→B0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 1 0 1 16. A?B?(A→B)∧(B→A)A B A→B B→A (A→B)∧(B→A) A?B0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1置换规则: 设φ(A)是含公式A的命题公式, φ(B)是用公式B置换φ(A)中的A所得到的命题公式. 若B?A, 则φ(A)?φ(B).*如果B?A, 那么在任意真值赋值下, B和A的真值相同, 把它们代入φ(?)得到的结果当然也相同. 从而φ(A)?φ(B). 例如:(p→q)→r(┐p∨q)→r ┐p∨q?p→q,置换规则┐(┐p∨q)∨r s→r?┐s∨r, 用┐p∨q代入s(┐┐p∧┐q)∨r 德?摩根律, 置换规则(p∧┐q)∨r 双重否定律, 置换规则(p∨r)∧(┐q∨r) 分配律, 用┐q代入.例2.5: 用等值演算证明等值式:(p∨q)→r?(p→r)∧(q→r)证明:(p→r)∧(q→r)(┐p∨r)∧(┐q∨r) 蕴涵等值式(┐p∧┐q)∨r 分配律, 交换律┐(p∨q)∨r 德?摩根律(p∨q)→r 蕴涵等值式例2.6: 证明以下等值式不成立:(p→q)→r?p→(q→r)证: 方法1: 真值表法, 读者自己证明.方法2: 观察法. 找出一个赋值, 使得这两个命题公式真值不同即可. 例如: (p, q, r)的赋值(0,1,0)使得(p→q)→r为假, 而p→(q→r)为真.方法3: 通过等值演算,将两个公式化为容易观察真值的形式, 再进行判断.A = (p→q)→r(┐p∨q)→r 蕴涵等值式┐(┐p∨q)∨r 蕴涵等值式(┐┐p∧┐q)∨r 德?摩根律(p∧┐q)∨r 双重否定律B = p→(q→r)p→(┐q∨r) 蕴涵等值式┐p∨(┐q∨r) 蕴涵等值式┐p∨┐q∨r 结合律容易观察到, (p, q, r)取(0, 0, 0)或(0, 1, 0)时, A为假而B为真. 例2.7: 用等值演算判断下列公式的类型.(1) (p→q)∧p→q(2) ┐(p→(p∨q))∧r(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q)解: (1)(p→q)∧p→q(┐p∨q)∧p→q┐((┐p∨q)∧p)∨q(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q((┐┐p∧┐q)∨┐p)∨q ?((p∧┐q)∨┐p)∨q((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q ?(1∧(┐q∨┐p))∨q┐q∨┐p∨q(┐q∨q)∨┐p1∨┐p1故公式(1)是重言式.(2)┐(p→(p∨q))∧r┐(┐p∨(p∨q))∧r(┐┐p∧┐(p∨q))∧r(p∧(┐p∧┐q))∧r((p∧┐p)∧┐q)∧r(0∧┐q)∧r0∧r故公式(2)是矛盾式.(3)p∧(((p∨q)∧┐p)→q)p∧(((p∧┐p)∨(q∧┐p))→q)p∧((0∨(q∧┐p))→q)p∧((q∧┐p)→q)p∧(┐(q∧┐p)∨q)p∧((┐q∨┐┐p)∨q)p∧((┐q∨q)∨p)p∧(1∨p)p∧1p故(3)式不是重言式, (p, q)取(0, 0)或(0, 1)时, (3)式为假;(3)式也不是矛盾式, (p, q)取(1, 0)或(1, 1)时, (3)式为真. 作业:1. 将下列自然语言的句子转化为命题公式:(1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 小张数学学得好, 但物理学得不好.(3) 老王是山东人或河北人.(4) 王欢和李乐组成一个小组.(5) 他一面吃饭,一面听音乐.(6) 2或4是素数, 这是不对的.(7) 只有天下大雨, 他才乘车上班.(8) 除非天下大雨, 否则他不乘车上班.(9) 下雪路滑, 他迟到了.(10) 2+2 = 4当且仅当3+3 = 6.(11) 2+2 = 4仅当3+3 = 6.(12) 若厂方拒绝增加工资, 则罢工不会停止, 除非罢工超过一年并且工厂经理辞职.2. 用真值表证明以下等值式:(1) A∧(A∨B)?A(2) A∨┐A?13. 用等值演算法判断下列公式的类型:(1) ┐((p∧q)→q)(2) (p→(p∨q))∨(p→r)(3) (p∨q)→(p∧r)4. 用等值演算证明下面等值式:(1) ((p→q)∧(p→r))?(p→(q∧r))(2) p?(p∧q)∨(p∧┐q)。
数学符号那些事数理逻辑
数学符号那些事数理逻辑1 前言半年多没更新了。
最近想到了点轻松的话题----数学符号，感觉可以来水几篇短文。
毕竟，现代的数学符号几乎是一门人造文字，它不能由任何一个国家或者文明的文字来书写。
现代的数学符号最早起源于15世纪。
在最早的一批发明数学符号的数学家中，最知名的那位就是法国数学家韦达。
没错，就是证明初中学习的韦达定理的那位。
现代常用的数学符号大约有200多个，其实每一个符号都是一段历史故事。
但是限于篇幅，我就简单介绍一些主要的符号啦。
2 辅助符号所谓的辅助符号，就是为了便于公式的书写和阅读的产生的符号，作用相当于普通文章中书写的标点符号的作用。
2.1 “()”圆括号(parenthess)也是常见的数学符号。
自打我们小学二年级开始（这不是梗，这是真的），我们就已经学到了这个符号。
圆括号最早出自德国数学家克拉维斯（C.Clavius,1537-1612）于1608年的作品在大多数情况下，它表示运算的优先顺序，例如2\times(3+1) \\有时候，它可以用来表示最大公约数(6,10)=2、区间(1,+\infty)、坐标(3,4)甚至内积(\vec{a},\vec{b})等等。
圆括号、方括号、花括号以及尖括号等各种括号的使用相对其他数学符号来说更加混乱，因此等我们遇到之后再一一解释。
2.2 “,”和“.”与普通语文中的标点符号一样，数学符号的逗号和点号也可以表示语句的分割。
逗号表示公式的一般性的停顿，点号表示一个公式的结束。
例如，令无数大学生头痛不已的\epsilon-\delta语句\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},n>N\to |x_n-a|<\epsilon. \\当然，逗号和点号的作用还不止这些。
在某些环境下，逗号可以表示数字的分节，甚至是小数点。
例如，\pi=3.141,592,6\cdots。
点号的作用就更多了。
02-面向计算机的数理逻辑(ch2-1)
2022/3/22
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定义：“→”如果……则…… （条件） 利用真值联结词→将原子命题a，b组成复合命题“如果a
则b”记作a→b，它们的真假值之间的关系 定义如下：
a→b 假 当且仅当 a真且b假 即：a b a→b
TT T
TF F
FT T
FF T 其中a→b称为a与b蕴涵式，a称为该蕴涵式的前件，b 称为该蕴涵式的后件。（也可以称a为前提，b为结论） 基本逻辑关系：b是a的必要条件，或a是b的充分条件。 Note：从逻辑学角度讲，与自然语言的“如果a则b”， “只要a就b”，“a仅当b”， “只有b才a” 等词汇相当。
即： a b a∨b TT T
TF T
FT T
FF F a∨b称为a与b的析取式，a，b为析取项。
2022/3/22
若 有来生╰只为你动心回忆丶回忆里的微笑。轻描丶淡写的幸福。爱琴海边的独唱，只属于你一切不再遥远。如果还囿下辈子心
、似命顾惜- 遥望法国浪漫都市≈谁惊艳了岁月俄为迩暖手“〕、╰聆听世界每个角度寻找、那份专属的幸福┛墨尔本街道旳第三 道阳光ヾ█我们会思念很久很久∞巴黎铁塔下の那抹阳光零纪年〃微蓝一抹淡笑那一抹笑.释怀了所有最美的痕迹叫回忆那年樱花赏 那 抹斜阳.我们的记忆今世、我陪你白发苍苍那一年、我们一起爱过谁把阳光剪成窗纸贴在心口你是我沿途最美的风景﹌你的温柔 颠覆我的灵魂︶ㄣ巴黎铁塔下的仰望、一抹夏凉、卡农的旋律ろ我们一起背靠背看星星-七月丶我在繁花中想你飘落的黄叶、柠檬 树 下的阳光。记住、你永远是我的唯一下一站思念还想念那年你的温柔ミ小世界里存在你的身影▲尽一生思念、想你从今、以后 浅怀感伤。流年乱了浮生穿过眼瞳的那明媚阳光ゝ路灯下↘你清澈的眼眸~樱花树下那属于我们的回忆想你//只因为你是我的全部朝 朝暮暮、只记得你的暖戒不掉丶对你的依赖没有你的世界/我不要眼泪告诉我你很幸福、你是我左心房的风景。゜漠颜╮你，我从
数理逻辑
(5) 分配律 A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C); A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (6) 德摩根律 ¬(A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B; ¬(A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B
(7) 吸收律 A ∧ (A ∨ B) = A; A ∨ (A ∧ B) = A
而 (P → ), (P ∨ ¬ )) 都不 是命 题公式 .
为了简化命题公式中的括号, 作如下规定:
(1) 公 式 (¬ G)的 括号 可省略 , 写 作 ¬ G.
(2) 整个命题公式 外层括号可省略.
(3) 五种逻辑联结词的优先级按如下次序递增 : ↔ , → , ∨ , ∧ , ¬.
则上述命题公式
¬(¬p ) ∧ ¬q
命题变元与命题公式
约定: 约定 (1) 在命题演算中, 我们只注意命题的真假值, 而不再 去注意命题的汉语意义; (2) 对命题联结词, 我们只注意其真值表的定义, 而不 注意它日常生活中的含义. 命题常元: 命题常元 T, F 命题变元(命题变量 命题变元 命题变量): 一个取真值为T或F的变量, 常 命题变量 用大写英文字母A,…, Z表示.
A( P , P2 , L , Pn )共有2 n 种解释. 1 成真解释. 使A(a1 , a2 ,L , an )为t的一组值, 称为A的 成真解释
成假解释. 使A(a1 , a2 ,L , an )为f的一组值, 称为A的 成假解释
例3. 构造下列公式的真值表
(1) ¬P ∨ Q
(2) ( P ∧ ¬P) ↔ (Q ∧ ¬Q) (3) ¬( P → Q) ∧ Q
定义1.2 命题公式 由命题变元、常元、联结词、括 命题公式: 定义 号, 以规定的格式联结起来的字符串.其递归定义如下: (1) 单个命题变元或命题常元是命题公式 (原子命题 公式);
高中数学 第一章 预备知识 2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第1课时 必要条件与充分条
必备知识基础练进阶训练第一层知识点一必要条件的判断1.(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：x＝1，q：x－1＝x－1；(4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；(5)p：a是自然数，q：a是正整数；知识点二充分条件的判断2.(1)若x2＝y2，则x＝y；(2)若内错角相等，则两直线平行；(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.知识点三必要条件与充分条件的应用3.A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<34．(多选题)下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件5．若集合A＝{1，m2}，B＝(2,4)，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充分”或“必要”)．6．已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，则a的取值X 围是________．关键能力综合练进阶训练第二层1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件5．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件6．(易错题)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( ) A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件7．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．8．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值X围为________．9．(探究题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．(1)a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充分条件是________．10．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)若x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A．1 B．2C．3 D．42．(学科素养－逻辑推理)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件3．(1)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，某某数a的取值X围．(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0<x<4，若p是q的充分条件但不是必要条件，求a的取值X围．§2常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第1课时必要条件与充分条件必备知识基础练1．解析：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p⇒q，所以q不是p的必要条件；(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此p⇒q，所以q不是p的必要条件．(3)当x＝1时，x－1＝x－1＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件；(4)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以p⇒q，所以q不是p 的必要条件；(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以p⇒q，所以q不是p的必要条件．2．解析：(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此p ⇒q ，所以p 不是q 的充分条件．(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．(3)若整数a 能被4整除，则a 是偶数，所以a 的个位数字为偶数；所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．(4)因为(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0，所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．3．解析：因为x >2⇒x >1，所以x >1是x >2的必要条件，故选A.答案：A4．解析：x 2>0⇒x >0或x <0，不能推出x >0，而x >0⇒x 2>0，故x 2>0是x >0的必要条件，故A 错误；xy ＝0⇒x ＝0或y ＝0，不能推出x ＝0，而x ＝0⇒xy ＝0，故xy ＝0是x ＝0的必要条件；故B 正确；|a |＝|b |⇒a ＝b 或a ＝－b ，不能推出a ＝b ，而a ＝b ⇒|a |＝|b |，故|a |＝|b |是a ＝b 的必要条件；故C 错误；|x |>1⇒x 2不小于1，而x 2不小于1不能推出|x |>1，故|x |>1是x 2不小于1的充分条件，故D 正确．故选B 、D.答案：BD5．解析：当m ＝2时，A ＝{1,4}，所以A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝4，则m 2＝4，所以m ＝±2.故m ＝2是A ∩B ＝{4}的充分条件．答案：充分6．解析：因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值X 围为[－2,7]．答案：[－2,7]关键能力综合练1．解析：当a ＝1时，|a |＝1成立，但当|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立，∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．故选A.答案：A2．解析：因为集合A ＝{x |0≤x ≤3}，集合B ＝{x |1≤x ≤3}，则由“m ∈A ”得不到“m ∈B ”，反之由“m ∈B ”可得到“m ∈A ”，故选B.答案：B3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．答案：A4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．解析：由|x|<1，得－1<x<1，所以－1<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出－1<x<1.所以“|x|<1”是“x3<1”的充分不必要条件．故选A.答案：A6．解析：当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q；当x＋y>2时，可以x＝－1，y ＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件．答案：A7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．故填“充分不必要”．答案：充分不必要8．解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以m≥4.答案：[4，＋∞)9．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b 互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.答案：(1)①②(2)③10．解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0⇒x－3＝0，故p是q 的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p 是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．(4)a>b⇒ac>bc，且ac>bc⇒a>b，故p是q的既不充分也不必要条件．学科素养升级练1．解析：由x 2－x －2<0，解得－1<x <2.又x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，∴(－1,2)(－2，a )，则a ≥2.∴实数a 的值可以是2,3,4.故选BCD.答案：BCD2．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A 3．解析：(1)因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.(2)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分条件但不是必要条件，∴MN ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.。
交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算
9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如：证明下列推理。 前提： P(QR)，S∨P, Q 结论： S R 证明：(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例：判断下面推理是否正确
（1）若天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3：主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中，如果北京队第三，那么如果上海队第 二，则天津队第四；沈阳队不是第一或北京队第三，上海队第 二。从而知：如果沈阳队第一，那么天津队第四。 解：设 (1) P (Q R) 前提 P：北京队第三 Q：上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R：天津队第四 (3) Q 前提 S：沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提：
P(QR)，S∨P, Q 结论： S R
高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
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1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式数理逻辑（mathematical logic）是研究形式逻辑（formal logic）的一个分支，它运用数学方法来研究逻辑的基本原理与推理规则。
在数理逻辑中，谓词函数和谓词公式是非常重要的概念。
本文将介绍谓词函数与谓词公式的概念、性质及其在数理逻辑中的应用。
一、谓词函数的定义与性质在数理逻辑中，谓词函数（Predicate Function）是一种将一组变量映射到真值的函数。
它通过变量的赋值将谓词的真值确定下来。
谓词函数的定义可以用集合和映射来描述。
1.1 谓词函数的定义设P是一个谓词，n是一个正整数，X1, X2, ..., Xn是n个变量，则称(P, n)为一个n元谓词，也称为谓词函数。
通常用P(x1, x2, ..., xn)来表示一个具体的n元谓词函数。
1.2 谓词函数的性质（1）真值集合：对于给定的变量赋值，谓词函数的结果是一个命题（proposition），即取值要么为真，要么为假。
谓词函数的真值集合可以用集合来表示。
（2）变元：谓词函数中的变量称为变元（arguments）。
变元的个数决定了谓词函数的元数（arity）。
（3）布尔函数：谓词函数可以看作是一种特殊的布尔函数，即输入是布尔值，输出也是布尔值的函数。
（4）值域：谓词函数的取值范围称为值域（range）。
值域通常是真值集合{真, 假}。
二、谓词公式的定义与性质谓词公式（Predicate Formula）是由谓词函数和逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含、等价等）通过逻辑运算得到的复合命题。
谓词公式可以描述系统中的关系、属性和规则等。
2.1 谓词公式的定义谓词公式由谓词及其变元，逻辑连接词和量词（如全称量词∀、存在量词∃等）组成。
谓词公式可以使用自由变量或约束变量形式来表示。
2.2 谓词公式的性质（1）合法公式：符合数理逻辑规则的谓词公式称为合法公式，也称为良构公式。
（2）可满足性：对于合法公式，如果存在一种变量赋值使该谓词公式成为真命题，则称该谓词公式是可满足的。
离散数学 第2章 命题逻辑
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程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
浅析逻辑代数、命题逻辑、一阶逻辑、高阶逻辑和数理逻辑
浅析逻辑代数、命题逻辑、⼀阶逻辑、⾼阶逻辑和数理逻辑1. 从逻辑代数开始逻辑代数是⼀种⽤于描述客观事物逻辑关系的数学⽅法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于 19 世纪中叶提出，因⽽⼜称布尔代数。
所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。
2. 从逻辑代数到命题逻辑同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进⾏符号化，产⽣原⼦命题。
与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、⾮( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、⾮( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进⼊了命题逻辑的研究领域。
需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是⽤来讨论前者的，这⾥不再区分。
它与下⾯出现的⼀阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的⼦集（或称之为分⽀），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。
有⼈可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不⼤。
要谈数理逻辑，不可避免的下⼀个主题就是逻辑代数。
为什么这样说呢？因为数理逻辑⼀开始的诞⽣是没有意义的，它的创始⼈正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是⾼数中的那个⽜顿-莱布尼茨公式）。
莱布尼茨⼀开始是想要建⽴⼀套普遍的符号语⾔，从⽽将⼀些由⾃然语⾔的推理转换成⽤符号演算。
但可惜他的⼯作只是开了个头，⽽且没有太多的发表，因此影响不⼤。
⽽真正使数理逻辑这门学科迅速扩张的是开头所说的英国科学家——乔治·布尔，⽽他所做的正是将逻辑代数化。
2.1 数理逻辑与数学和逻辑学数理逻辑⼜称符号逻辑、理论逻辑，是⼀门⽤数学⽅法研究逻辑或形式逻辑的学科，这是百度词条给出的解释。
还有⼀句话⾮常拗⼝：它既是数学的⼀个分⽀，也是逻辑学的⼀个分⽀。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进⾏符号化以后的形式系统。
简单来讲，数理逻辑研究的并不是数学领域，⽽是计算机科学等领域。
第一二章数理逻辑
3、等价式的证明
1）真值表法 先分别列出A、B的真值表， 若A、B命题公式对应的真值
P
Q P →Q
1 0 1 0 1 0 1 0
┐P ∨Q
1 0 1 1
若要证明命题公式A、B等价， 1 1 0 0
表中的所有真值指派真值均
相同，即可证明 。
2）推导法 利用基本等值式，可以对命题公式中的某些子公式用与 其等价的命题公式进行等价代换，进而对原公式进行 变换，最终使两命题公式变换为相同的命题公式。
注：合取范式求法和析取范式求法相同。
例3 (┐P →R) ∨ (P ∧ ┐Q) (P ∨ R) ∨ (P ∧ ┐Q) (P ∨ R) ∨ (P ∧ ┐Q) ((P ∨ R) ∨ P) ∧((P ∨ R) ∨ ┐Q) (P ∨ R ∨ P) ∧(P ∨ R∨ ┐Q) (P ∨ R) ∧(P ∨ ┐Q ∨ R)
三、主析取范式
1、相关概念
1）小项（布尔合取）设命题公式为A(p1,p2…pn) ，n个命题变元不可 兼或其否定，并由合取联结词组成的符号串，即：每个命题变元 不能与其否定同时出现，但必须出现且仅出现一次。 2）小项（布尔合取）与合取式区别。 3）小项性质：所有小项的吸取为永真，任意不同两个小项的合取为 永假。 4）编码表示:m111 P ∧Q ∧R m101 P ∧ ┐ Q ∧R
4、应用
(1)等价式的证明，两个命题公式等价iff对于分量的任一组真值指派 对应的命题公式真值都相等。
(2)命题公式类型的判断
1）重言式（永真式）：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对命题公式A 的所有命题变元赋值（2 n次赋值），命题公式的真值都为1，则 称公式为重言式。 2）矛盾式（永假式）：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对命题公式A 的所有变元赋值（2 n次赋值），命题公式的真值都为0，则称公 式为矛盾式。 3）如果A(p1,p2…pn)不是矛盾式，则A称可满足式。 ⑶主范式的求取，推理证明等。
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1.4 将自然语言转化为命题公式*要把自然语言转化为命题公式, 按以下步骤进行.1.首先判定这个句子是否命题逻辑中所研究的命题, 排除一些不是陈述句的句子,以及一些不具有真假值的句子. 2.其次,找出这个句子中所包含的原子命题.通常只有一个主语和一个谓语的句子就是一个原子命题.3.再次,将句子中的原子命题用命题变量表示,在整个句子中,若相同的原子命题出现多次,则用相同的命题变量表示同一原子命题.4.然后,分析句子中连词的逻辑含义,确定句子的整体结构,以及各支命题之间的逻辑关系.5.最后,使用合适的命题联结词将各支命题符号化,最后写出整个句子的命题公式.例1.12:1.我们在学好逻辑学的同时,还应学好其它学科.2.我虽人到中年, 但求知欲并未减弱.3.液体沸腾的原因是温度增高,或是压力下降.4.李晓霞是湖南人或江西人.5.逆水行舟,不进则退.解:1.设p: 我们要学好逻辑, q: 我们要学好其它学科.公式: p∧q .2.设p: 我人到中年, q: 我求知欲减弱.公式: p∧┐q .3.设p: 液体沸腾的原因是温度增高.q: 液体沸腾的原因是压力下降.公式: p∨q .4.设p: 李晓霞是江西人.q: 李晓霞是湖南人.公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .5.设p: 逆水行舟会进, q: 逆水行舟会退.公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .例1.13:1.如果看不到事物的否定方面, 就不能科学地预见事物的发展方向.2.只有懂了事物的对立统一规律, 才能懂得事物的发展.3.只要你努力, 就会取得成果.4.会休息的人, 才会工作.5.不会休息的人, 就不会工作.6.哪里有他, 哪里就有歌声.7.若要人不知, 除非己莫为.8.除非他真心悔改, 才能得到群众的谅解.9.除非整数x是奇数, 否则x会被2整除.10.整数x能被2整除, 除非x是奇数.11.没有共产党就没有新中国.解: 1. 设p: (你)看不到事物的否定方面,q: (你)不能科学地预见事物的发展方向.公式: p→q .2. 设p: (你)懂了事物的对立统一规律,q: (你)懂得事物的发展.公式: q→p .3. 设p: 你努力; q: (你)会取得成果.公式: p→q .4. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.公式: q→p .5. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.公式: ┐p→┐q .6.设p: 哪里有他, q: 哪里有歌声.公式: p→q .7.设p: 人不知, q: 己莫为.相当于: 只有己莫为, 才能人不知.公式: p→q .8.设p: 他真心悔改; q: (他)得到群众的谅解.相当于: 只有他真心悔改, 才能得到群众的谅解. 公式: q→p .9.设p: 整数x是奇数, q: x会被2整除.相当于: 只有整数x是奇数, x才不会被2整除.公式: ┐q→p .10.设p: 整数x能被2整除, q: x是奇数.相当于: 只有x是奇数, x才不会被2整除.公式: ┐p→q .11.设p: 有共产党, q: 有新中国.公式: ┐p→┐q .例1.14:1. 如果小张在孩子落水的现场但没有参加营救, 那么,或者他看到了孩子落水却假装没看见, 或者他确实不会游泳. 解: 设p: 小张在孩子落水的现场; q: (小张)没有参加营救; r: (小张)看到了孩子落水; s: (小张)假装没看见(孩子落水); t: (小张)确实不会游泳.公式: (p∧q)→((r∧s)∨t) .2. 如果光强调团结,不强调斗争, 或者光强调斗争,不强调团结, 就不能达到既统一思想又团结同志的目的.解: 设p: (我们)强调团结; q: (我们)强调斗争;r: (我们)达到统一思想的目的;s: (我们)达到团结同志的目的.公式: ((p∧┐q)∨(┐p∧q))→┐(r∧s)3. 如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足, 则全体人质就能获释, 否则, 恐怖分子就要杀害人质, 除非特种部队能实施有效的营救.解: 设p: 恐怖分子的要求能在规定期限内满足;q: 全体人质获释;r: 恐怖分子杀害人质;s: 特种部队能实施有效的营救.公式: (p→q)∧(┐p→(┐r→s))第二章命题逻辑的等值演算2.1 重言式与等值式定义2.1: 设A, B是两个命题公式. 若A, B构成的等价式A↔B为重言式, 则称A与B是等值的, 记作A⇔B.*设A与B共含有n个命题变项, A与B等值即在所有2n个赋值下, A与B的真值都相同.例2.1: 判断下面两个公式是否等价┐(p∨q)与┐p∧┐qp q ┐p ┐q p∨q ┐(p∨q) ┐p∧┐q 左式↔右式0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 11 1 0 0 1 0 0 1例2.2: 判断下列各组公式是否等值.(1) p→(q→r)与(p∧q)→r ;(2) (p→q)→r与(p∧q)→r ;p q r p→(q→r) (p∧q)→r (p→q)→r0 0 0 1 1 00 0 1 1 1 10 1 0 1 1 00 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1所以p→(q→r)⇔(p∧q)→r ;而(p→q)→r与(p∧q)→r真值表不同, 因而它们不等值.代入规则: 设A是一命题公式, 含有命题变项p1, p2, …, p n, 又设B1, B2, …, B n是任意命题公式. 对于每个i(i=1, 2, …, n), 把p i在A中的所有出现都换成B i, 所得的新命题公式记作B. 那么, 如果A是重言式, 则B也是重言式.例2.3: A: (p→(q→r))↔((p∧q)→r)是重言式.令p 替换为B1: p∨qq 替换为B2: r→sr 替换为B3: q∧s则以上公式代入后, 得公式B: ((p∨q)→((r→s)→(q∧s)))↔(((p∨q)∧(r→s))→(q∧s))则B仍为重言式.这因为对于B中p, q, r, s的任一赋值, B1, B2, B3分别有一个真值, 把B1的真值代入A中的p, B2的真值代入A中的q, B3的真值代入A中的r, 则A的真值恒为1. 故B为重言式. *几个重要的重言式:1.双重否定律: A⇔┐┐A (2.1)2.幂等律: A⇔A∨A, A⇔A∧A (2.2)3.交换律: A∨B⇔B∨AA∧B⇔B∧A (2.3)4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) (2.4)5.分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) (2.5)6.德∙摩根律: ┐(A∨B)⇔┐A∧┐B┐(A∧B)⇔┐A∨┐B (2.6)7.吸收律: A∨(A∧B)⇔AA∧(A∨B)⇔A (2.7)8. 零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0 (2.8)9. 同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A (2.9)10. 排中律: A∨┐A⇔1 (2.10)11. 矛盾律: A∧┐A⇔0 (2.11)12. 蕴涵等值式: A→B⇔┐A∨B (2.12)13. 等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A) (2.13)14. 假言易位: A→B⇔┐B→┐A (2.14)15. 等值否定等值式: A↔B⇔┐A↔┐B (2.15)16. 归谬论: (A→B)∧(A→┐B)⇔┐A (2.16) *上式中的A, B, C可以是命题变项, 也可以是任一公式. *解释这些公式的含义.*用真值表法证明上述等值式:例2.4. 1. A⇔┐┐A 2. A∨B⇔B∨AA ┐A ┐┐A AB A∨B B∨A0 1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 11 0 1 11 1 1 13. A∨(A∧B)⇔AA B A∧B A∨(A∧B) A∨(A∧B)↔A0 0 0 0 10 1 0 0 11 0 0 1 11 1 1 1 14. A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A B C B∧C A∨(B∧C) A∨B A∨C (A∨B)∧(A∨C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 15. A→B⇔┐A∨BA B ┐A ┐A∨B A→B0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 1 0 1 16. A↔B⇔(A→B)∧(B→A)A B A→B B→A (A→B)∧(B→A) A↔B0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1置换规则: 设φ(A)是含公式A的命题公式, φ(B)是用公式B置换φ(A)中的A所得到的命题公式. 若B⇔A, 则φ(A)⇔φ(B).*如果B⇔A, 那么在任意真值赋值下, B和A的真值相同, 把它们代入φ(∙)得到的结果当然也相同. 从而φ(A)⇔φ(B). 例如:(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r ┐p∨q⇔p→q,置换规则⇔┐(┐p∨q)∨r s→r⇔┐s∨r, 用┐p∨q代入s⇔(┐┐p∧┐q)∨r 德∙摩根律, 置换规则⇔(p∧┐q)∨r 双重否定律, 置换规则⇔(p∨r)∧(┐q∨r) 分配律, 用┐q代入.例2.5: 用等值演算证明等值式:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明:(p→r)∧(q→r)⇔(┐p∨r)∧(┐q∨r) 蕴涵等值式⇔(┐p∧┐q)∨r 分配律, 交换律⇔┐(p∨q)∨r 德∙摩根律⇔(p∨q)→r 蕴涵等值式例2.6: 证明以下等值式不成立:(p→q)→r⇔p→(q→r)证: 方法1: 真值表法, 读者自己证明.方法2: 观察法. 找出一个赋值, 使得这两个命题公式真值不同即可. 例如: (p, q, r)的赋值(0,1,0)使得(p→q)→r为假, 而p→(q→r)为真.方法3: 通过等值演算,将两个公式化为容易观察真值的形式, 再进行判断.A = (p→q)→r⇔(┐p∨q)→r 蕴涵等值式⇔┐(┐p∨q)∨r 蕴涵等值式⇔(┐┐p∧┐q)∨r 德∙摩根律⇔(p∧┐q)∨r 双重否定律B = p→(q→r)⇔p→(┐q∨r) 蕴涵等值式⇔┐p∨(┐q∨r) 蕴涵等值式⇔┐p∨┐q∨r 结合律容易观察到, (p, q, r)取(0, 0, 0)或(0, 1, 0)时, A为假而B为真. 例2.7: 用等值演算判断下列公式的类型.(1) (p→q)∧p→q(2) ┐(p→(p∨q))∧r(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q)解: (1)(p→q)∧p→q⇔(┐p∨q)∧p→q⇔┐((┐p∨q)∧p)∨q⇔(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q⇔((┐┐p∧┐q)∨┐p)∨q ⇔((p∧┐q)∨┐p)∨q⇔((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q ⇔(1∧(┐q∨┐p))∨q⇔┐q∨┐p∨q⇔(┐q∨q)∨┐p⇔1∨┐p⇔1故公式(1)是重言式.(2)┐(p→(p∨q))∧r⇔┐(┐p∨(p∨q))∧r⇔(┐┐p∧┐(p∨q))∧r⇔(p∧(┐p∧┐q))∧r⇔((p∧┐p)∧┐q)∧r⇔(0∧┐q)∧r⇔0∧r⇔0故公式(2)是矛盾式.(3)p∧(((p∨q)∧┐p)→q)⇔p∧(((p∧┐p)∨(q∧┐p))→q)⇔p∧((0∨(q∧┐p))→q)⇔p∧((q∧┐p)→q)⇔p∧(┐(q∧┐p)∨q)⇔p∧((┐q∨┐┐p)∨q)⇔p∧((┐q∨q)∨p)⇔p∧(1∨p)⇔p∧1⇔p故(3)式不是重言式, (p, q)取(0, 0)或(0, 1)时, (3)式为假;(3)式也不是矛盾式, (p, q)取(1, 0)或(1, 1)时, (3)式为真.作业:1. 将下列自然语言的句子转化为命题公式:(1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 小张数学学得好, 但物理学得不好.(3) 老王是山东人或河北人.(4) 王欢和李乐组成一个小组.(5) 他一面吃饭,一面听音乐.(6) 2或4是素数, 这是不对的.(7) 只有天下大雨, 他才乘车上班.(8) 除非天下大雨, 否则他不乘车上班.(9) 下雪路滑, 他迟到了.(10) 2+2 = 4当且仅当3+3 = 6.(11) 2+2 = 4仅当3+3 = 6.(12) 若厂方拒绝增加工资, 则罢工不会停止, 除非罢工超过一年并且工厂经理辞职.2. 用真值表证明以下等值式:(1) A∧(A∨B)⇔A(2) A∨┐A⇔13. 用等值演算法判断下列公式的类型:(1) ┐((p∧q)→q)(2) (p→(p∨q))∨(p→r)(3) (p∨q)→(p∧r)4. 用等值演算证明下面等值式:(1) ((p→q)∧(p→r))⇔(p→(q∧r))(2) p⇔(p∧q)∨(p∧┐q)。