高中数学 37《对勾函数的图像与性质》学案 苏教版必修1
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第37课时 对勾函数)0()(≠+=x x a x x f 的图像与性质
【学习目标】
1. 理解并掌握对勾函数)0()(≠+
=x x a x x f 的图像与性质; 2. 通过对勾函数)0()(≠+
=x x a x x f 的图像与性质的研究,体会与感悟函数的研究方法. 【课前导学】 【问题情境】已知函数x
x x f 1)(+=(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)证明函数在]1,0(上是减函数,在),1[+∞上是增函数.
【课堂活动】
一.建构数学:
问题(1)你能用我们学过的函数知识证明该函数x
x x f 1)(+=在),0(+∞的最小值为)1(f 吗?
答略.
问题(2)你能画出该函数在定义域上的大致图象吗,怎样画?
提示:描点作图:先画出在),0(+∞上的图象,再由奇偶性画出在)0,(-∞上的图象(有条件的情况下可用Excel 软件作图)
问题(3)你能知道该函数在)0,(-∞上的最值情况吗?能说明理由吗?
答略.
问题(4)你能知道该函数在)0,(-∞上的单调性吗?能说明理由吗?
说明:设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识,全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况.
二.应用数学:
1.教师引导,学生合作探求 我们已经知道x
x x f 1)(+
=的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况,那么你能解决下列问题吗? (1)求函数x
x x f 4)(+
=的单调区间. (2)求函数x
x x f 9)(+=的单调区间. (3)求函数)0()(>+=a x a x x f 的单调区间?并给出证明. (1)和(2)可以让学生分组讨论.探求,交流发言,形成共识后解决(3).
设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台,训练观察、分析、解决问题的能力,让学生尝试数学发现之路即:观察、分析、归纳、猜想、证明.
2.变式探究 提升能力 若函数)0()(>+=a x
a x x f 在]2,0(上是减函数.在),2[+∞上是增函数,求a 的值. 注:这是利用逆向思维设计问题,目的是为了让学生先猜想后证明,再次体验数学发现,激发学生的兴趣.
3.归纳总结,拓展创新
(1)已知函数x
x x f 1)(-=.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)单调性如何?(只要给出判断,不必证明)
注:设计这个变式,目的是为了既缓和学生的思维强度,又训练学生思维的灵活性,同时也为学生总结作铺垫.
(2)你能对函数x
a x x f +=)(的定义域、奇偶性、单调性作一个总结吗? 注:设计这个问题目的是为了帮助学生回顾本节课所研究的问题,完成对数学问题的探究,使问题得到圆满的解决,同时回答本题需要对a 讨论,有助于训练学生思维的全面性.
三.理解数学:
1.已知函数x
x x f 1)(+=,分别求函数在以下定义域上的值域: (1)]4,2(∈x ; (2)]3
2,1[--∈x ; (3)]4,21[∈x ; (4))2
1,0()0,2(⋃-∈x . 答案:(1)517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦;(2)13,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦;(3)172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(4)55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
. 2.求下列函数的单调区间和最值: (1))1,0()0,2((2)(⋃-∈-
=x x x x f ; (2)])3,1[(3)(2∈+=x x
x x f ; (3))0(52)(>+=x x
x x f . 答案:(1)增区间为()()2,0,0,1-,无最值;
(2)增区间为⎤⎦,减区间为⎡⎣,最小值是4;
(3)增区间为⎫+∞⎪⎪⎣⎭,减区间为⎛ ⎝⎦,最小值是,无最大值. 【课后提升】
1.已知函数x
x x f 1)(+=,求函数在)0)(,[>+∞∈a a x 的值域,若)0](,[b a b a x <<∈呢? 解:因为)0)(,[>+∞∈a a x ,
当1a <时,函数的值域是[)2,+∞;
当1a ≥时,函数的值域是1,a a ⎡⎫+
+∞⎪⎢⎣⎭
. 若)0](,[b a b a x <<∈, 当1b ≤时,函数的值域是11,b a b a ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦; 当1a ≥时,函数的值域是11,a b a b ⎡
⎤+
+⎢⎥⎣⎦; 当1a b <<时,函数的值域是()(){}
2,max ,f a f b ⎡⎤⎣⎦. 2.已知函数x
a x x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数,在),3[+∞是增函数,求的a 值.
解:由函数()()0a f x x a x =+
>3,9a ==. 3.已知函数x
a x y +=有如下性质:如果常数a >0,那么该函数在],0(a 上是减函数,在 ),[+∞a 上是增函数.
(1)如果函数)0(2>+=x x
x y b
的值域为),6[+∞,求b 的值; (2)研究函数)0(2
2>+
=c x c x y 常数在定义域内的单调性,并说明理由; (3)对函数)0(22>+=+=a x a x y x a x y 常数和作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例. 研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明).
解:(1)由所给函数)0(>+=a x
a x y 性质知,当x > 0时,a x =时函数取最小值.2a 所以对于函数,222,2
b b b x x
x y 时取最小值当=+=所以,92,622==b b ∴b = log 29. (2)设c t t c t y t x t ≥
+=>=由条件知在则)0(,2时为单调增函数,c t ≤<0时为单调递减函数,而t = x 2在(0,+∞)为单调增函数,在(-∞,0)上为单调减函数, 所以由复合函数单调性知在22220
0x c x y x c x x c x +=⎩⎨⎧<≤⎩⎨⎧>≥时和均单调递增, 解得,044<≤-≥x c c x 和