一阶线性电路暂态分析的三要素法

t
当t= 时，iL=36.8%I0 。
U i (1 e ) R

t
零状态响应曲线
i U R 0.632U/R
时间常数 =L/R 0
i I 0e 零输入响应曲线 i
I0 0.368I0 i
t
i
t
0
时间常数 =L/R

t
当t=时，uC=63.2%U。
当t= 时，uC=36.8%U0 。
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
uC U 0
t e RC
U
t (1 e RC
)
(t 0)
【结论1】 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
零输入响应 零状态响应
全响应
uC U 0
t e RC
t U ( 1 e RC
t U )e RC
) (t 0)
y(t ) y(0 )e

t

二、零输入响应
放电过程 2 t 0 R S + uR– 换路前电路已处于稳态 1 + + uC U iC – uC (0 ) U
1. RC 电路零输入响应
c
uC , 电容C 经电阻R 放电 (0 ) U t =0时开关S 1
列 KVL方程：
－
C
uL
—
uC(0+)=0 iL (0+) =0
电容元件短路。 电感元件开路
t=0-
则：画出t=0+时的等效电路
第一章 电路及其分析方法 由t=0+的等效电阻电路 求出各独立初始值 +
—
R1
2
i (0+)
iC (0+)
U
6V
R2 i L 4 (0+) + + uC(0+) uL(0+) — — t=0+
t

【三要素法】
对于任何形式的直流一阶电路，求解暂态过程中任一电压、 电流的响应 ，可用通用表达式： f (t )
f ( t ) f பைடு நூலகம் ) [ f ( 0 ) f ( )] e
稳态值 稳态值
t

初始值
时间常数
在求得 f(0+)、f()和 的基础上,可直接写出 电路的响应(电压或电流) f (t )
2) 根据换路定则求出 独立初始值
uC ( 0 ) uC ( 0 ) i L (0 ) i L (0 )
3) 画t=0+时等效电阻电路，求所需非独立初始 (0 )或 i ( 0 ) u 值量 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中： (1) 若 uC (0 ) U 0 0 其值等于 U ; 若 u
0.632U
uC
零状态响应曲线
t
是电压uc增长到稳态值U的63.2％所需的时间。
2.RL 电路的零状态响应 根据KVL t0时电路微分方程为:
di U Ri L dt
1 S
+
i
+
t=0 2
R L
U–
– +
uR
–
uL
通解=特解 +补函数 推导整理得： τ时间常数--S uC零状态响应表达式：
当t = 时， uC = 36.8% U uC uC 从初始值按指数规律衰减 快慢由 = R C 决定。 t

同理可推导： iL零输入响应表达式：
iL iL (0 ) e
t
t 0
零输入响应曲线 i I0
时间常数 =L/R
0.368I0 0
i

电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流 关系确定。
根据KVL
充电储能过程 S 1
t=0 2
i + R uR – + C uC –
t
≥ 0时电路的微分方程为： +
duC U Ri uC RC uC dt
–
U
通解=特解 uC +补函数 uC
特解取换路后的稳态值，即 uC uC ( ) U
duC uC 0 的通解 补函数是齐次微分方程 Rc dt
第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。
介绍：用“三要素法”分析暂态过程。
直流一阶电路暂态过程的求解方法：
一阶电路： 描述电路的方程是一阶微分方程，仅含一个储能元件或可 等效为一个储能元件的线性电路。 求解方法： 1. 经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的 微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 初始值 2. 三要素法 求： 稳态值 （三要素） 时间常数
第一章 电路及其分析方法
【例3.1】设：开关S闭合前L元件和C元件均未储能。 试：确定S闭合后电路中各电流与电压的初始值。 S R1 i R3 解：由t=0-的电路得： R2 i + t =0 2i L uC(0-)=0 4 C U 4 + + iL(0-) =0 6V u — L
C
由换路定则得： 独立初始值
L
uC(0 +) iL(0 +)
uC( ) iL( )
状态变量的三要素
设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f (0+) ——待求响应的初始值 f () ——待求响应的稳态值 任意变量f (t )的三要素
——待求响应的时间常数
可以证明：f (t )完全由此三要素决定。 即： f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
uR uC 0
duC C C dt duC RC uC 0 dt
一阶线性常系数 齐次微分方程
uR R
代入上式得
推导整理得： uC零输入响应表达式：
t t RC u (0 ) e C
uC U e

t 0
零输入响应曲线 u
U 0.368U 0
时间常数 =RC
先讨论暂态过程产生的原因---动态元件、换路定律。
后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。
3.1 储能元件和换路定则
含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量 不能跃变，即： 电容元件的储能 电感元件的储能
WC 1 2 CuC 2
不能跃变
WL
1 2 Li L 2
不能跃变
换路瞬间：设为 t=0。 换路前终了瞬间：以 t=0–表示。 换路后初始瞬间：以 t=0+表示。 在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。 换路定则： iL(0+)= iL(0–) uC(0+)= uC(0–) 状态变量 iL、uC 独立初始值 iL(0+)、uC(0+)
第3章 电路的暂态分析
3.1 储能元件和换路定则
3.2 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.1 储能元件和换路定则
动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。 稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定 或周期性变化。
换路发生很长时间后重新达到稳态。 换路：指电路接通、断开或结构和参数发生变化。 暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡 状态。
0
， 电容元件用恒压源代替， C (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。
(2) 若
i L (0 ) I 0 0 , 电感元件用恒流源代替 ，
e
6
uC
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e

t

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC ,
2. 零输入响应
放电释能过程。
换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 3. 全响应 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的 电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。
电路的暂态分析
若S在2位置时，在t=0时将开关S合到1的位置。
5k
C +u - C 1 F
6
6 6mA 1H
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(2) 初始值 f ( 0 ) 的计算
先画换路前t=0-稳态等效电路 再画换路后t=0+时刻等效电路
u 1) 由t=0-等效电路求 C ( 0 )、i L (0 )
U iL (1 e ) R t
L R
稳态+暂态
iL零状态响应表达式：
U iL (1 e ) R t
1 S + U –
t=0
i 2
+ R uR – + L uL –
i 此时，通过电感的电流iL由初始值I0向稳态值零衰减，其随 U 时间变化表达式为： R i
i I 0e
形式为： uC Ae pt
推导整理得：
uC零状态响应表达式：
t
1 S
稳态+暂态
i + R uR – + C uC –
t=0 2 +τ时间常数--S U –
t
uc U Ue

U (1 e )

τ物理意义: