提公因式法、公式法B(教师)
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
第11讲提公因式与公式法因式分解八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第11讲提公因式与公式法因式分解目标导航1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式.知识精讲知识点01 因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．【知识拓展1】（2021秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（）A．2a2﹣b+c B．2a2﹣b﹣c C．2a2+b﹣c D．2a2+b+c【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2知识点02 公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A．abc B．4ab2C．ab2D．4ab2c【知识拓展2】（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+1【即学即练1】（2021秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是．【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．知识点03 因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【知识拓展1】（2021秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）【即学即练1】（2021秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（）A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2【即学即练2】（2021秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．【即学即练3】（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．【知识拓展2】（2021秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．【即学即练1】．（2021秋•海口期末）把下列多项式分解因式．（1）﹣2a+32ab2；（2）x（y2+9）﹣6xy．【即学即练2】（2021秋•梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．知识点04因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．【知识拓展1】（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．【即学即练1】（2021秋•博兴县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．【即学即练2】（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：（1）16﹣x4；（2）4x（y﹣x）﹣y2．【知识拓展2】（2021秋•虹口区校级期末）已知，求ab．【知识拓展3】（2021秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．知识点05提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．【知识拓展1】（2021秋•大余县期末）因式分解：（1）a3b﹣ab3；（2）2a3+12a2+18a．【即学即练1】（2021秋•鱼台县期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2．（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【即学即练2】（2021秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2. 把下列各式因式分解（1）324x xy - （2）3223288x y x y xy ++例3. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题( 六 ) 因式 分解的几种常见方法
小专题
因式分解的几种常见方法
（六）
-2-
专题概述
因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式. 2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用 来把某些多项式分解因式. 3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因 式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a( m+n )+b( m+n ),又可以提取公因式 m+n,从而得到( a+b )( m+n ).
提公因式法
⑴提公因式法各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。
如果一个多项式得各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母，而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。
如果多项式得第一项就是负得，一般要提出“-”号，使括号内得第一项得系数成为正数。
提出“－”号时，多项式得各项都要变号.口诀:找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。
例如：-am+ｂm+ｃm=-m(ａ—ｂ－c）；a(x-y）＋b（ｙ-x)=a（ｘ-y）—b（x—y)＝（x-y)（a—ｂ）。
注意：把2a+1/２变成2(a+1/４）不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：a^2－b^2=（ａ+b）(a－b）；完全平方公式:a^２±2ab+b^2=（a±b）^2；注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）得平方与得形式,另一项就是这两个数（或式）得积得2倍。
立方与公式：a^3＋b^3＝（a+ｂ）（a^2－ａb＋b^２);立方差公式:a＾3－b^3=（a—ｂ）（a＾２＋ab＋b^2）；完全立方公式：a＾3±3a＾2b＋3ab^2±ｂ＾3=（a±b)^3.公式：a+b+c-３abc=（a＋b+c）(a＋b+c-ａb-bc-cａ）例如：ａ^２+４aｂ+4b^2 ＝(ａ+２b）＾２。
（3）分解因式技巧1、分解因式与整式乘法就是互为逆变形.2、分解因式技巧掌握:①等式左边必须就是多项式;②分解因式得结果必须就是以乘积得形式表示；③每个因式必须就是整式，且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解提取公因式法的概念，掌握提取公因式法分解因式的基本步骤和技巧。
2.能够运用提取公因式法分解因式，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.熟练运用提取公因式法，处理特殊情况，如提取公因式后多项式仍需继续分解的情况。
4.掌握提取公因式法与其他分解因式方法的联系与区别，能灵活选择合适的方法解决问题。
本节课的教学内容与过程旨在充分发挥学生的主体作用，让学生在解决实际问题的过程中掌握提取公因式法，提高学生的思维能力、团队合作能力和自我评价能力，使学生在理解提取公因式法的同时，提升自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过设计一个贴近学生生活的植树问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索提取公因式法在实际问题中的应用，体现了“从生活中来，到生活中去”的教学理念。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，让学生总结自己在提取公因式法学习中的优点和不足，提高自我评价的能力。
2.设计具有针对性的练习题，让学生在实践中检验自己的学习成果，培养学生的调整策略的能力。
3.教师组织学生进行互评和自评，让学生在评价中认识自我，提高学习的积极性。
本节课的教学策略旨在充分发挥学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力、团队合作能力和自我评价能力，使学生在理解提取公因式法的同时，提升自己的数学素养。
人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册14.3.1提取公因式法，旨在让学生掌握提取公因式法分解因式的技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。在此之前，学生已经学习了提公因式法和公式法分解因式，为本节课的学习奠定了基础。然而，在实际教学中，我发现许多学生在运用提取公因式法时，往往存在提取不彻底、忽略特殊情况等问题，因此，本节课的教学重点在于让学生熟练运用提取公因式法分解因式，并能够灵活处，提升他们的数学应用能力。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
因式分解（一）提公因式法（含习题及答案）
因式分解（一）——提公因式法教学目标：因式分解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.教学重点和难点：1. 因式分解；2. 公因式；3. 提公因式法分解因式.教学过程：一、提出问题，感知新知1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式(1)x2+x =_________ (2)x2−1 =_________ (3)am+bm+cm =_ _学生思考，得出结果．2．分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理(1)x2+x = x(x+1)；(2)x2−1 = (x+1)(x−1)；(3)am+bm+cm = m(a+b+c)分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式.3．得到新知总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形.注意：因式分解不是运算，只是恒等变形.形式：多项式 = 整式1×整式2×…×整式n4．分析例题：(1)x2+x =_________ (2)am+bm+cm =_ _(1)中各项都有一个公共的因式x，(2)中各项都有一个公共因式m.因此，我们把每一项都含有的因式叫做公因式.5．认识公因式例：多项式 14m3n2+7m2n−28m3n3的公因式是？7m2n教师分析，学生解答二、学生动手，总结方法1．我们已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解.把8a3b2−12ab3c分解因式.2．学生动手.3．分析过程：①先确定公因式：4ab2；②然后用每一项去除以公因式；③结果：4ab2(2a2b−3bc).4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提公因式法.5．加强练习例：因式分解：① 2a(b+c)−3(b+c) ②3x3−6xy+x ③−4a3+16a2−18a ④6(x−2)+x(2−x)解：① 2a(b+c)−3(b+c) = (b+c)(2a−3)②3x3−6xy+x = x(3x2−6y+1)③−4a3+ 16a2−18a = −2a(2a2−8a+9)④6(x−2)+x(2−x) = (x−2)(6−x)三、小结：1．因式分解的概念；2．公因式；3．提公因式法.因式分解（二）——公式法教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．教学重点和难点：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．灵活运用3种方法．教学过程：一、提出问题，得到新知观察下列多项式：x2−25和9x2−y2它们有什么共同特征？学生思考，教师总结：(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；(2)会联想到平方差公式．公式逆向：a2−b2 = (a+b)(a−b)如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．二、运用公式例1：填空①4a2 = ( )2②b2 = ( )2③ 0.16a4 =( )2④1.21a2b2 = ( )2⑤2x4 = ( )2⑥5x4y2 = ( )2解答：① 4a2 = ( 2a)2；②b2 = (b)2；③ 0.16a4 = ( 0.4a2)2；④ 1.21a2b2 = (1.1ab)2；⑤2x4 = (x2)2；⑥5x4y2 = (x2y)2.例2：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解①−1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x5−49y4④−4x2−36y2解答：①−1.21a2+0.01b2能用②4a2+625b2不能用③16x5−49y4不能用④−4x2−36y2不能用问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：a2±2ab+b2 = (a±b)2公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数．例：分解因式：①16x2+24x+9 ②−x2+4xy−4y2解答：①16x2+24x+9 = (4x)2+2•3•(4x)+32 = (4x+3)2②−x2+4xy−4y2 = −[x2−2•x•2y+(2y)2] = −(x−2y)2随堂练习：三、小结：1．平方差公式；2．完全平方公式．典型例题1．如果a(a−b)2−(b−a) = (a−b)·M，那么M等于( )A．a(a−b) B．−a(a−b) C．a2−ab−1 D．a2−ab+1答案：D说明：因为a(a−b)2−(b−a) = a(a−b)2+(a−b) = (a−b)[a(a−b)+1] = (a−b)(a2−ab+1)，所以M = a2−ab+1，答案为D．2．下列各项的两个多项式中没有公因式的一组是( )A．6xy+8yx2与−4x−3 B．(a+b)2与−a−bC．a−b与−a2+ab D．ax+y与x+y答案：D说明：选项A，6xy+8yx2= 2xy(3+4x)，与−4x−3有公因式4x+3；选项B，(a+b)2与−a−b 有公因式a+b；选项C，−a2+ab = −a(a−b)，与a−b有公因式a−b；选项D，ax+y与x+y没有公因式，所以答案为D．3．下列式子中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．−m4−n2 B．−16x2+y 2 C．−x4 D．(p+q)2−9答案：A说明：选项A不能用平方差公式分解因式；选项B，−16x2+y2= (y+4x)(y−4x)，可以用平方差公式分解因式；选项C，−x4 = (+x2)(−x2)，可以用平方差公式分解因式；选项D，(p+q)2−9 = [(p+q)+3][(p+q)−3]，也可以用平方差公式分解因式；所以正确答案为A．4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是( )A．x2−xy+y2 B．x2+2xy−y2 C．x2+xy+y2 D．−x2+2xy−y2答案：D说明：观察四个选项中多项式的形式，不难得出A、B、C三个选项中的多项式不能用公式法进行因式分解，选项D，−x2+2xy−y2 = −(x2−2xy+y2) = −(x−y)2，可以用完全平方公式进行因式分解，所以答案为D．习题精选选择题：1．若多项式3x2+mx−4分解因式为(3x+4)(x−1)，则m的值为( )A．7 B．1 C．−2D．3答案：B说明：因为因式分解并不改变多项式的值，所以(3x+4)(x−1) = 3x2+mx−4，而(3x+4)(x−1) = 3x2+4x−3x−4 = 3x2+x−4，因此，m = 1，答案为B．2．下列各式的分解因式中，正确的是( )A．3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b) B．xy2+x2y =xy(y+x) C．−a2+ab−ac = −a(a+b−c) D．9xyz−6x2y2= 3xyz(3−2xy)答案：B说明：选项A，3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b+1)≠3x(a2−2b)，A错；选项B正确；选项C，−a2+ab−ac = −a(a−b+c)≠−a(a+b−c)，C错；选项D，9xyz−6x2y2 = 3xy(3z−2xy)≠3xyz(3−2xy)，D错；答案为B．3．若9x2−kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为( )A．6 B．±6 C．12 D．±12答案：D说明：由已知可设9x2−kxy+4y2 = (mx+ny)2 = m2x2+2mnxy+n2y2，所以m2 = 9，n2 = 4，2mn = k，由m2 = 9，n2 = 4可得m2n2 = 36，即(mn)2 = 36，则有mn =±6，所以k = 2mn =±12，答案为D．4．分解因式的结果为(x−2)(x+3)的多项式是( )A．x2+5x−6 B．x2−5x−6 C．x2+x−6D．x2−x−6答案：C说明：因为(x−2)(x+3) = x2−2x+3x−6 = x2+x−6，所以分解因式的结果为(x−2)(x+3)应该是x2+x−6，答案为C．5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A．(x+1)(x−1) = x2−1 B．x2−1+x = (x+1)(x−1)+xC．x2−1 = (x+1)(x−1) D．2x·3x = 6x2答案：C说明：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，则因式分解的结果首先应该是积的形式，因此，A、B都不正确；而选项D左边是两个单项式的乘积，它的变形过程只是简单的单项式乘以单项式的过程，不是因式分解，正确的答案应该是C．6．多项式5a3b3+ 15a2b−20a3b3的公因式是( )A．5a3b B．5a2b2 C．5a2b D．5a3b2答案：C说明：这个多项式中有三项，这三项的系数分别是5，15，−20，系数所含的公因式为5；第一项有因式a3，第二项中含因式a2，第三项中含因式a3，公因式则是a2，同样道理这三项还有公因式b，即这个多项式的公因式应该是5a2b，答案为C．7．下列分解变形中正确的是( )A．2(a+b)2−(2a+b) = 2(a+b)(a+b−1) B．xy(x−y)−x(y−x) =x(x−y)(y+1)C．5(y−x)2+3(x−y) = (y−x)(5x−5y+3) D．2a(a−b)2−(a−b) =(a−b)(a−b−1)答案：B说明：选项A，2a+b中没有a+b这个因式，因此，A中的变形是错误的；选项B，xy(x−y)−x(y−x) = (x−y)(xy+x) = x(x−y)(y+1)，B正确；选项C，5(y−x)2+3(x−y) =(y−x)[5(y−x)+3] = (y−x)(5y−5x+3)，C错误；选项D，2a(a−b)2−(a−b) = (a−b)[2a(a−b)−1] = (a−b)(2a2−2ab−1)，D错误；答案为B．8．下列式子中，能用平方差公式分解因式的是( )A．a2+4 B．−x2−y2 C．a3−1 D．−4+m2答案：D说明：根据平方差公式的形式，不难得到能用平方差公式分解因式的应该是−4+m2 = (m+2)(m−2)，答案为D．9．下列各题中，因式分解正确的是( )①(x−3)2−y2 = x2−6x+9−y2；②a2−9b2 = (a+9b)(a−9b)；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)；④(3x+2y)2−4y2 = 3x(3x+4y)A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③答案：C说明：①中的变形不是因式分解；②a2−9b2 = (a+3b)(a−3b)≠(a+9b)(a−9b)，②中因式分解错误；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)，③中因式分解正确；④(3x+2y)2−4y2 =(3x+2y+2y)(3x+2y−2y) = 3x(3x+4y)，④中因式分解正确，所以答案为C．解答题：1．把下列各式分解因式：①9(x+y)2−4(x−y)2；②−8a4b3+2a2b；③4(a+b)−(a+b)2−4；④(a−2)(a−3)+ 5a−42．答案：①(5x+y)(x+5y)；②2a2b(1+2ab)(1−2ab)；③−(a+b−2)2；④(a+6)(a−6)说明：①9(x+y)2−4(x−y)2 = [3(x+y)+2(x−y)][3(x+y)−2(x−y)] =(3x+3y+2x−2y)(3x+3y−2x+2y) = (5x+y)(x+5y)②−8a4b3+2a2b = 2a2b(−4a2b2+1) = 2a2b(1+2ab)(1−2ab)③4(a+b)−(a+b)2−4 = −[(a+b)2−4(a+b)+4] = −[(a+b)−2]2 = −(a+b−2)2④(a−2)(a−3)+5a−42 = a2−3a−2a+6+5a−42 = a2−36 = (a+6)(a−6)2．已知a、b、c为三角形的三条边，且满足：a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．答案：a = b = c，等边三角形说明：因为2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac= (a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2再由已知a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，知2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2 = 0因为(a−b)2≥0，(a−c)2≥0 ，(b−c)2≥0，所以(a−b)2 = 0，(a−c)2 = 0，(b−c)2 = 0即a = b = c，所以该三角形为等边三角形．3．已知矩形面积是(x+2)(x+3)+x2−4(x>0)，其中一边长是2x+1，求矩形的另一边长．答案：x+2说明：因为(x+2)(x+3)+x2−4 = (x+2)(x+3)+(x+2)(x−2) = (x+2)(x+3+x−2) =(x+2)(2x+1)，即该矩形的面积是(x+2)(2x+1)，而它的一边长为2x+1，所以它的另一边长为x+2．4．已知x3+x2+x+1 = 0，求1+x+x2+x3+…+x2003的值．答案：0说明：1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)+(x4+x5+x6+x7)+…+(x4n+x4n+1+x4n+2+x4n+3)+…+(x2000+x2001+x2002+x2003) = (1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+...+x4n(1+x+x2+x3)+...+x2000(1+x+x2+x3) = (1+x+x2+x3)(1+x4+...+x4n+ (x2000)∵1+x+x2+x3 = 0，∴1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)(1+x4+…+x4n+…+x2000) = 0。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 2 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 2+b 2+c 2-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
《提取公因式法》因式分解
规划上，应该根据自己的实际情况和学习进度，合理 安排时间进行学习和练习。同时，要注重系统性学习 ，把相关的知识点串联起来，形成完整的知识体系。
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04
习题与解析
习题一：提取公因式法
详细描述
2. 将公因式提取出来，可以使用 乘法分配律。
总结词：提取公因式法是因式分 解的一种基本方法，通过找到多 项式中的公因式，将其提取出来 ，使多项式得到简化。
1. 找到多项式中的公因式，通常 是最简公分母或同类项的系数。
3. 将提取公因式后的多项式进行 因式分解，得到若干个单项式。
因式分解的应用
01
02
03
解决数字计算问题
通过因式分解可以解决一 些数字计算问题，例如简 化计算、求值、整除性问 题等。
解决几何问题
因式分解在几何中也有广 泛的应用，例如解三角形 的问题。
解决方程问题
通过因式分解可以解决一 些方程问题，例如解一元 二次方程等。
03
提取公因式法与因式分解 的关系
提取公因式法是因式分解的一种方法
对于初学者来说，提取公因式法可能比较抽 象，难以理解，尤其是当多项式项数较多时 ，更容易出现错误。
解决这个问题的方法包括：多看例题、多做 练习题，通过大量的实践来加深对提取公因 式法的理解和掌握。同时，要学会总结和归 纳提取公因式法的各种情况，以便更好地掌
握这种方法。
对后续学习的展望和规划
掌握提取公因式法之后，可以进一步学习其他的因式 分解方法，如分组分解法、十字相乘法等。同时，通 过不断的学习和实践，可以逐渐提高自己的数学水平 。
习题二：因式分解
总结词：因式分解是将一个多项式分解 为若干个单项式的乘积，每个单项式是 多项式的因式。
07-因式分解-提取公因式法、公式法(教师版)--丁慧
一、 热身练习1. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？为什么？ (1)3(2)36x x +=+(2)226333(21)ax ax a a x x -+=-+ (3)22432(1)222x x x x x x -+=-+ (4)232534xy x y x y -+2(534)xy x x y =-+序号：07 初中数学备课组 教师：年级：初一 日期: 上课时间：学生：学生情况：主课题： 因式分解——提公因式法、公式法教学目的：1. 理解因式分解的概念；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握运用提取公因式法，分解形如ma mb mc ++（m 不仅可以表示单项式也可以表示多项式）的多项式；3. 熟练掌握公式法，包括平方差公式，完全平方公式；4. 初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式。
教学重点：1. 掌握运用提取公因式法，公式法把多项式因式分解。
教学难点：1.确定多项式中各项的公因式及平方差公式、完全平方公式和理解因式分解的意义．解：(2)(4)是因式分解。
(1)(3)是多项式的乘法。
2. 填空：(1)y x -=-( x y - )； (2)n m --=-( m n + )； (3)()x b a -=( x - )()a b -； (4)()()x y y x +-()x y =-+( x y - )； (5)23()y x -3=-( 2x y - ) (6)33()a y x --=( 3a )3()x y - 3.运用平方差公式因式分解，直接填写结果：(1)22a b -=()()a b a b +- (2)21a -=(1)(1)a a +- (3)24b -=(2)(2)b b +- (4)29m -=(3)(3)m m +- (5)216n -=(4)(4)n n +- (6)225a -=(5)(5)a a +- (7)236b -=(6)(6)b b +- (8)2116y -=11()()44y y +- 4.先提取公因式，再用平方差公式把下列多项式分解因式：(1)21182x -； (2)3225a ab -； (3)334x y xy -； (4)422414a b a b -.解：(1)原式1(6)(6)2x x =+-(2)原式(5)(5)a a b a b =+- (3)原式(2)(2)xy x y x y =+- (4)原式221(2)(2)4a b a b a b =+-二、 知识精要一、 因式分解的概念(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
教师招聘考试案例分析题
第三节案例分析题练习题一、学生与教师【案例一】材料一：在某一高中，有这样的一位数学教师，教学经验丰富所带班级学生成绩在全年级也名列前茅，在上课时这位教师在讲解某道数学题时老师只讲了一种方法进行解题，有的同学提出不同的解法，但比较繁琐，这位老师说：在考试时，没有同学会用你的那种方法的，就按我所讲的解题方法做题就行了，不用多想。
于是课堂教学就变成了教师的一言堂，老师讲的很匆忙，学生记得也很匆忙、紧张。
材料二：有位老师非常尊重学生、爱护学生。
在课堂上积极听取学生的建议，学生怎么说教师就怎么做，去顺应学生的兴趣，有时不得不迁就学生、娇惯学生。
但是他认为这也是值得的，因为他认为这样有助于活跃学生的思想，发展学生的个性。
1.请分别分析材料一的教师观和材料二的学生观。
2.根据这两则材料谈谈你对教师观、学生观的认识。
【案例二】几个学生正趴在树下兴致勃勃地观察着什么，一个教师看到他们满身是灰的样子，生气地走过去问：“你们在干什么？”“听蚂蚁唱歌呢。
”学生头也不抬，随口而答。
“胡说，蚂蚁怎么会唱歌？”老师的声音提高了八度。
严厉的斥责让学生猛地从“槐安国”里清醒过来。
于是一个个小脑袋耷拉下来，等候老师发落。
只有一个倔强的小家伙还不服气，小声嘟囔说：“您又不蹲下来，怎么知道蚂蚁不会唱歌？”请你运用现代教育理论对该教师的行为作一评析。
【案例三】某教师细教导一位懒散、不爱学习的学生。
她看到一部叫《坏小孩日记》的书之后，了解了一些儿童身心发展的知识。
这位教师调整教育方法，发现这个学生有爱画动画的特长，这鼓励他画画。
后来这个学生成为了一名动画画家。
（1）试述中小学教师职业道德规范的基本内容。
（2）以上材料如何体现中小学教师职业道德规范？【案例四】阅读下列资料，并回答问题。
我国学者通过调查，归纳出中小学生喜欢的教师特征如下：——摘自《教与学的心理》，皮连生著如果你是新任教师，请你从教师素养和教师专业化的的角度，阐述怎样才能成为一名受学生欢迎的教师？【案例五】某男教师刚从大学毕业，在一所中学任教，他不注重与学生的交流，整天关心的是如何上好课，准备教学材料，一味严格要求学生。
_七年级秋季班-第6讲：因式分解(一)-教师版
因式分解（一）内容分析本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．知识结构模块一：提取公因式法知识精讲1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）整式乘法2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中，6 、a 、b 就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式ma +mb- mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1 ）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—” 号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】 填空：（1）单项式12a 2b 2c ，- 8a 2b 3 ，4a 3b 2c 2 应提取的公因式是；（2）多项式2a 2b - 6ab 2c 应提取的公因式是；（3） 9(b - a )2(x - y ) - 21(a - b )2 ( y - x ) 应提取的公因式是 ；（4）多项式4a 3b - 8a 2b 2 +12ab 3 提取公因式后，另一个因式是 ； （5）多项式-9x 2 - 6xy + 3x 提取公因式后，另一个因式是；（6） 4x (x - y ) - 3( y - x )2 提取公因式(x - y )后，另一个因式是 ．【难度】★【答案】（1） 4a 2b 2 ； （2） 2ab ；（3） 3(a - b )2 (x - y ) ；（4） a 2 - 2ab + 3b 2 ； （5） 3x + 2y -1 ； （6） x + 3y ．【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“ + ”号或“－”号，使等式成立．（1） (a - b )2= (b - a )2 ；（2） (a - b )3= (b - a )3 ； （3） (-a - b )2 =(a + b )2 ；（4） (-a - b )3=(a + b )3 ；（5） (a -1)2 (2 - b )3 =(1- a )2 (b - 2)3 ；（6） (1- x )(2 - x ) = (x -1)(x - 2) ．【难度】★【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+． 【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析2【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（A .1+ 2x + 3x 2 = 1+ x (2 + 3x )B . 24 = 2⨯ 2⨯ 2⨯8C . xy -1 = xy (1 - 1)xyD . 1 4 a 2 - 3a + 9 = ⎛ 1 ⎝⎫2a - 3⎪⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；B 选项左侧不是多项式；C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式a 2n - a 2 (n ≥ 1) 提取公因式后，另一个因式是（）．A . a n【难度】★ 【答案】DB ．a n -1C . a 2n -1 -1D . a 2n -2 -1【解析】原式= a 2 (a 2n -2 -1) ，故选择 D ．【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把 4 a 3b 3 - 2a 2b 4 分解因式的结果是．3 9 【难度】★ 【答案】 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【解析】原式= 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【总结】本题考察了提公因式法因式分解．）．【例6】（1）如果2x +y = 4, xy =3 ，那么2x2 y +xy2 的值是；（2）多项式5(a + 2b)2 -2a(a + 2b) 的值等于15 ，且3a +10b =3 ，则a + 2b = ．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5．【解析】（1）原式= xy(2x +y) = 12 ；（2）由已知得： (a + 2b)[5(a + 2b) - 2a] =15 ，即(a + 2b)(3a +10b) = 15 3a +10b = 3，∴a + 2b = 5 ．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）-15a3b3 + 45a2b -30ab ；（2）16a3b2c3 + 48a4b3c2 - 96a2b2c4 ；（3）-2ax2 + 6x - 4a ；（4）(m -n)( p -q) - (n -m)2 (q -p) ；3（5）3x(4x -y) - (4x +y)(-4x +y) ；（6）-p(q +r -1) -q(r +q -1) + (1-q -r)2 ；（7）x n+1-x n+2x n-1（n为大于1的整数）；（8）4x n+2y n+1-6x n y n+12x2y n-1（n是大于2的整数）．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= -15ab(a2b2 - 3a + 2) ；（2）原式=16a2b2c2 (ac + 3a2b - 6c2 ) ；（3）原式= -2(ax2 - 9x + 6a) ；3（4）原式= (m -n)( p -q) + (m -n)2 ( p -q) = (m -n)( p -q)[1+ (m -n)] = (m -n)( p -q)(1+m -n) ；（5）原式= 3x(4x -y) + (4x +y)(4x -y) = (4x -y)(7x +y)（6）原式= -p(q +r -1) -q(q +r -1) + (q +r -1)2= (q +r -1)(-p -q +q +r -1)= -(q +r -1)( p -r +1) ；（7）原式= x n-1 (x2 -x + 2) ；（8）原式= 2x2 y n-1 (2x n y2 - 3x n-2 y + 6) ；【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.78⨯12 + 47 ⨯5.78 + 5.78⨯41 ；（2）5⨯102017 -102016 ．【难度】★★【答案】（1）578；（2）4.9 ⨯102017 ．【解析】（1）原式= 5.78(12 + 47 + 41) = 578 ；（2）原式=102016 (50 -1) = 4.9 ⨯102017 ．【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式2x2 +mx +n 因式分解的结果是(2x -1)⎛x +1 ⎫，求m、n 的4 ⎪⎝⎭ 值．【难度】★★【答案】m =-1，n =-1．2 4【解析】由已知得：2x2 +mx +n = (2x -1)(x +1) ，4∴2x2 +mx +n = 2x2 -1x -1，2 4∴m =-1，n =-1．2 4【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断518 + 519 + 520 能否被31整除．【难度】★★【答案】能．【解析】原式= 518 (1+ 5 + 52 ) = 518 ⨯ 31 ，能被31 整除．【总结】本题考察了提公因式法的应用．（ （ （【例11】已知代数式 1 x +1) + 1 (x +1）+ 1 x +1) + 1 (x +1) + ··· + 1x + 1）的值是 27 ，求 x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 x = 29 ．2 6 12 20 90【解析】由已知得： (x +1)(1 + 1 + + 1) = 272 6 90 (x +1)( 1 + 1 + ) = 27 1⨯ 2 2 ⨯ 3(x +1)(1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1) = 272 23 9 10 (x + 1)(1 - 1) = 2710解得： x = 29【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式 M = b (a - b )(a - c ) + c (a - b )(c - a ) ，且 a = b = c ，求 M的值．【难度】★★★2 3 4 abc 【答案】- 1．12【解析】 M = b (a - b )(a - c ) - c (a - b )(a - c ) = (a - b )(a - c )(b - c ) ，设a = 2k ，b = 3k ，c = 3k ， 则原式=(-k )(-2k )(-k ) =- 1 ．2k ⋅ 3k ⋅ 4k 12【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？+1 9 ⨯10模块二：公式法知识精讲1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2、平方差公式： a2 -b2 = (a +b)(a -b)运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．3、完全平方公式： a2 ± 2ab +b2 = (a ±b)2运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2 倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．4、补充公式（1）a3 +b3 = (a +b)(a2 -ab +b2 ) ；（2）a3 -b3 = (a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（3）a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 = (a +b)3 ；（4）a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 = (a -b)3 ；（5）a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a +b +c)2 ．【例13】因式分解(x -1)2- 9 的结果是（）．A . (x + 8)(x +1)B . (x + 2)(x - 4)C . (x - 2)(x + 4)D . (x -10)(x + 8)【难度】★ 【答案】B【解析】原式= (x -1+ 3)(x -1- 3) = (x + 2)(x - 4) ． 【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）．A . x 2 + 4x + 4 = (x + 4)2B . 4x 2 - 2x +1 = (2x -1)2C . 9 - 6(m - n ) + (m - n )2 = (3 - m - n )2D . -a 2 - b 2 + 2ab = -(a - b )2【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为： (x + 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；C 选项应为： [3 - (m - n )]2 = (3 - m + n )2 ；D 选项正确．【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）4a2 - 9b2 = ；（2）4 -x2n = ；（3）(a+b)2-(c-d)2=；（4）9a3b-ab=；（5）-9a2 +1=；（6）25a2 -80a + 64 =；9（7）-16-8xy-x2y2=；（8）(a+b)2-6(a+b)+9=．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (2a +3b)(2a -3b) ；（2）原式= (2 +x n )(2 -x n ) ；（3）原式= (a +b +c -d)(a +b -c +d) ；（4）原式= ab(9a2 -1) =ab(3a +1)(3a -1) ；（5）原式= -1(81a2 -1) =-1(9a +1)(9a -1) ；9 9（6）原式= (5a - 8)2 ；（7）原式= -(16 + 8xy +x2 y2 ) =-(4 +xy)2 ；（8）原式= (a +b - 3)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出264 -1 的两个因数．【难度】★【答案】(232+1)、(216+1)、255、17、5、3、1（任写两个）．【解析】∵264 -1 = (232 +1)(216 +1)(28 +1)(24 +1)(22 +1)(2 +1)(2 -1) ，∴264 -1的因数是：(232 +1) 、(216 +1) 、255 、17 、5 、3、1．【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）a6 -b6 ；（2）8x3 +y3 ；（3）9x5 - 72x2 y3 ．【难度】★★【答案】见解析；【解析】（1）原式= (a3 +b3 )(a3 -b3 ) = (a +b)(a2 -ab +b2 )(a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（2）原式= (2x +y)(4x2 - 2xy +y2 ) ；（3）原式= 9x2 (x3 - 8y3 ) = 9x2 (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2 ) ．【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式：（1）-4(x-y)2+25(x+y)2；（2）(x+y)4-(x-y)4；（3）(a+b)3-4a-4b；（4）xy -1 -x2 y2 ；4（5）x2 (m -n) - 4x(n -m) - 4(n -m) ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= [5(x +y) + 2(x -y)][5(x +y) - 2(x -y)] = (7x + 3y)(3x + 7y) ；（2）原式= [(x +y)2 + (x -y)2 ][(x +y)2 - (x -y)2 ] = 8xy(x2 +y2 ) ；（3）原式= (a +b)3 - 4(a +b) = (a +b)[(a +b)2 - 4] = (a +b)(a +b + 2)(a +b - 2) ；（4）原式= -1(4x2 y2 - 4xy +1) =-1(2xy -1)2 ；4 4（5）原式= x2 (m -n) + 4x(m -n) + 4(m -n) = (m -n)(x + 2)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式：（1） 7a m +1 -14a m + 7a m -1 ；（2） (a + b )2- 4(a + b -1) ；（3） (a 2 + 4a )2+ 8(a 2 + 4a ) +16 ； （4） (x 2 - y 2 )n +2-10(x 2 - y 2 )n +1+ 25(x 2 - y 2 )n．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= 7a m -1 (a 2 - 2a +1) = 7a m -1 (a -1)2 ；（2）原式= (a + b )2 - 4(a + b ) + 4 = (a + b - 2)2 ；（3）原式= (a 2 + 4a + 4)2 = (a + 2)4 ；（4）原式= (x 2 - y 2 )n [(x 2 - y 2 )2 -10(x 2 - y 2 ) + 25]= (x + y )n (x - y )n (x 2 - y 2 - 5)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1） 50420172- 20152； （2） 9982 - 4 ；（3）152 +15⨯10 + 52 ； （4）1982 - 2 ⨯198⨯ 98 + 982 ．【难度】★★【答案】（1） 116； （2）996000； （3）400； （4）10000．【解析】（1）原式= 504 =504 = 1 ； (2017 + 2015)(2017 - 2015) 4032⨯ 2 16（2）原式= (998 + 2)(998 - 2) = 996000 ； （3）原式= (15 + 5)2 = 400 ；（4）原式= (198 - 98)2 = 10000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⋅⋅⋅⎛1 -1 ⎫． 22 ⎪32 ⎪42 ⎪ n2 ⎪【难度】★★⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】n + 1．2n【解析】原式= (1 -1)(1 +1)(1 -1)(1 +1) (1 -1)(1 +1) 2 2 3 3 n n= 1⨯3⨯2⨯4 2 2 3 3= 1⨯n + 1n -1⨯n +1n n 2 n= n + 1．2n【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知x2 -x = 2016，y2 -y = 2016 且x ≠y ，求x2 + 2xy +y2 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(x2 -x) - ( y2 -y) = 0 ，即x2 -y2 -x +y = 0 ，∴x2 -y2 - (x -y) = 0 ，即(x -y)(x +y -1) = 0 ．∴原式= (x +y)2 = 1．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式S = 4a + 4b - 2a+b+1 ，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】S = (2a )2 - 2 ⋅ 2a ⋅ 2b + (2b )2 = (2a - 2b )2 ≥ 0 ，∴ S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．x ≠y【例24】已知a2 + 2ab +b2 - 2a - 2b +1 = 0 ，求a2 -a +b -b2 的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由已知，得：(a +b)2 - 2(a +b) +1 = 0 ，即(a +b -1)2 = 0 ．∴a +b -1 = 0 ，∴原式= (a2 -b2 ) - (a -b) = (a -b)(a +b -1) = 0 ．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 - 6x2+1． 解： x4 - 6x2 +1 =x4 - 2x2 - 4x2 +1=(x4 - 2x 2 +1)- 4x 2=(x2 -1)2 - (2x)2=(x2 -1 + 2x)(x2 -1 - 2x)以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4 - 7a2 + 9 ．【难度】★★★【答案】(a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【解析】原式= a4 - 6a2 -a2 + 9= (a4 - 6a2 + 9) -a2= (a2 - 3)2 -a2= (a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式S=(a2 +b2 -c2 )2 -4a2b2 ，求：（1）对于S进行因式分解；（2）当a、b、c 是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）(a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）S < 0 ．【解析】（1）原式= (a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 +b2 -c2 - 2ab)= [(a +b)2 -c2 ][(a -b)2 -c2 ]= (a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）由已知得： a +b +c > 0，a +b -c >，a -b +c > 0，a -b -c < 0 ，∴S < 0 ．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】分解因式：（1）a(a +b)(a -b) -a(a +b)2 ；（2）a(1-b +b2 ) -1+b -b2 ；（3）-2x2 +1y2 ；（4）a4 -b4 ；2（5）x3 - 6x2 + 9x ；（6）3x2 (x -y)2 - 27( y -x)4 ；（7）(p-q)2m+1+(q-p)2m-1；（8）4(x+y)2+5-20(x+y-1)．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= a(a +b)(a -b -a -b) =-2ab(a +b) ；（2）原式= a(1-b +b2 ) - (1-b +b2 ) = (1-b +b2 )(a -1) ；（3）原式= -1(4x2 -y2 ) =-1(2x +y)(2x -y) ；2 2（4）原式= (a2 +b2 )(a2 -b2 ) = (a2 +b2 )(a +b)(a -b) ；（5）原式= x(x2 - 6x + 9) =x(x - 3)2 ；（6）原式= 3x2 (x -y)2 - 27(x -y)4= 3(x -y)2[x2 - 9(x -y)2 ]= 3(x -y)2[x + 3(x -y)][x - 3(x -y)]= -3(x -y)2 (4x - 3y)(2x - 3y) ；（7）原式= ( p -q)2m+1 - ( p -q)2m-1= ( p -q)2m-1[( p -q)2 -1]= ( p -q)2m-1 ( p -q +1)( p -q -1) ；（8）原式= 4(x +y)2 - 20(x +y) + 25 = (2x + 2y - 5)2 ．【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a2 +b2 -c2 - 2ab 的值( )．A．大于零B．小于零C．大于或等于零D．小于或等于零【难度】★【答案】B【解析】原式= (a -b)2 -c2 = (a -b +c)(a -b -c)a -b +c > 0, a -b -c < 0∴原式< 0 ，选择B．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】已知长方形的长为2x - 3y ，面积为4x2 - 9 y2 ，则此长方形的周长为．【难度】★【答案】8x ．【解析】4x2 - 9y = (2x + 3y)(2x - 3y) ，∴宽为：2x+3y，∴周长= 2(2x - 3y + 2x + 3y) = 8x ．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】已知x -y =1，xy = 2 ，则x3 y - 2x2 y2 +xy3 的值为．【难度】★【答案】2．【解析】原式= xy(x2 - 2xy +y2 ) =xy(x -y)2 = 2 ．【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】分解因式：（1）(a -b)7 + (b -a)5 ；（2）64x6 -y12 ；（3）4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd；（4）(x2 +4)2 +8x(x2 +4)+16x2 ；（5）x2 -y2 -z2 - 2yz ；【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (a -b)7 - (a -b)5= (a -b)5[(a -b)2 -1]= (a -b)5 (a -b +1)(a -b -1) ；（2）原式= (8x3 +y6 )(8x3 -y6 )= (2x +y2 )(4x2 - 2xy2 +y4 )(2x -y2 )(4x2 + 2xy2 +y4 ) ；（3）原式= (2a +c)2 - (b - 3d)2 = (2a +c +b - 3d)(2a +c -b + 3d) ；（4）原式= (x2 + 4 + 4x)2 = (x + 2)4 ；（5）原式= x2 - ( y +z)2 = (x +y +z)(x -y -z) ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．⎩【习题6】 分解因式：（1） (x - y )2n +1 - (x - z )(x - y )2n + 2( y - x )2n ( y - z ) ， n 为正整数；（2） (a + b )2 (b + c - a )(c + a - b ) + (a - b )2 (a - b + c )(a - b - c ) ；（3） x 3 (x + y - z )( y + z - a ) + x 2 z (z - x - y ) + x 2 y (z - x - y )(x - z - a ) ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= (x - y )2n (x - y - x + z + 2y - 2z ) = (x - y )2n ( y - z ) ；（2）原式= (b + c - a )(c + a - b )[(a + b )2 - (a - b )2 ]= (b + c - a )(c + a - b )(a + b + a - b )(a + b - a + b ) = 4ab (b + c - a )(a + c - b ) ；（3）原式= x 3 (x + y - z )( y + z - a ) - x 2 z (x + y - z ) - x 2 y (x + y - z )(x - z - a )= x 2 (x + y - z )[x ( y + z - a ) - z - y (x - z - a )]= x 2 (x + y - z )(xz - ax - z + yz + ay ) ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．⎧2x + y = 6 【习题7】 不解方程组⎨x - 3y = 1 ，求代数式7 y (x - 3y ) 2 - 2(3y - x )3的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式= 7 y (x - 3y )2 + 2(x - 3y )3= (x - 3y )2[7 y + 2(x - 3y )]= (x - 3y )2 (2x + y ) ，∴原式=12 ⨯ 6 = 6 ．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】利用分解因式证明：257 - 512 能被120 整除．【难度】★★【答案】略．【解析】原式= 514 - 512 = 512 (52 -1) = 512 ⨯ 24 = 511 ⨯120 ，∴原式能被120 整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】已知x = 3.43 ，y = 3.14 ，求-2x2 - 2xy -1y2 的值．2【难度】★★【答案】-50 ．【解析】原式= -1(4x2 + 4xy +y2 ) =-1(2x +y)2 ，2 2当x = 3.43 ，y = 3.14 时，原式= -1⨯102 =-50 ．2【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】求代数式的值：(3x -2)2 (2x +1) - (3x -2)(2x +1)2 +x(2x +1)(2 -3x) ，其中x =-2 ．3【难度】★★【答案】-4 ．【解析】原式= (3x - 2)2 (2x +1) - (3x - 2)(2x +1)2 -x(2x +1)(3x - 2) = (3x - 2)(2x +1)(3x - 2 - 2x -1-x)= -3(3x - 2)(2x +1) ，当x =-2时，原式= -3⨯ (-4) ⨯ (-4+ 1) =-4 ．3 3【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】 化简下列多项式：1+ x + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3+x )2016．【难度】★★★ 【答案】(1 + x )2016 ．【解析】原式= (1+ x ) + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2016= (1+ x )[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2015 ]= (1+ x )2[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2014 ]= (1+ x )2015 (1+ x )= (1 + x )2016 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】 已知a 2 + 4ab + 4b 2 - 2a - 4b +1 = m 2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★【答案】m = ±(a + 2b -1) ．【解析】化简得： (a + 2b )2 - 2(a + 2b ) +1 = m 2 ，即(a + 2b -1)2 = m 2 ，所以m = ±(a + 2b -1) ． 【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】 已知： b + c - a = -2 ，求2 a (a - b - c ) + b ( 2 c - 2 a + 2 b ) + 1c (2b + 2c - 2a ) 的值． 3 3 3 3 3 【难度】★★★ 8【答案】 ．3【解析】原式= 2 a (a - b - c ) + 2 b (c - a + b ) + 2c (b + c - a )3 3 3= 2 a (a - b - c ) - 2 b (a - b - c ) - 2c (a - b - c ) 3 3 3 = 2(a - b - c )(a - b - c ) 3 = 2(a - b - c )2 ， 3b +c - a = -2 ，∴原式= 2 ⨯ 22 = 8．3 3【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．+ x (1+【习题14】若a ，b ，c 为正数，且满足a4 +b4 +c4 =a2b2 +b2c2 +c2a2 ，那么a 、b 、c 之间有什么关系？【难度】★★★【答案】a =b =c ．【解析】化简得：a4+b4 +c4 -a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0 ，则1[(a2 -b2 ) + (a2 -c2 ) + (b2 -c2 )] = 0 ．2∴a2 =b2 =c2 ，∵ a ， b ， c 为正数，∴a =b =c ．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式-6m2n2 -12m3n4 +9n3 分解因式时，应提取的公因式是（）．A . -6m2 n2【难度】★【答案】D【解析】略B . -6n2C . -3m2 n2D . -3n2【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解1- 4x2 - 4y2 + 8xy 的结果是（）．A . (1+ 2x)(1- 2x)- 4y( y - 2x) C . (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y)B .1- (2x - 2 y)2D . (1+ 2x + 2y)(1- 2x - 2y)【难度】★【答案】C【解析】原式=1- 4(x2 - 2xy +y2 ) = 1- 4(x -y)2 = (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ，选择C；【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知x +y = 2 ，求1x2 +1y2 +xy 的值．2 2 【难度】★【答案】2．【解析】原式= 1(x2 + 2xy +y2 ) =1(x +y)2 =1⨯ 4 = 2 ．2 2 2【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x的多项式4(2x-1)2-7(ax+b)可提取公因式2x-1，且整数，则a = ，b = ．a -b = 3 ，a、b 为【难度】★【答案】2，－1．【解析】设a = 2k ，b =-k ，则：2k - (-k) = 3 ，解得：k =1，∴a = 2，b =-1 ．【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式：（1）xy3 - 4xy ；（2）-26xy3 z2 +13xy2 z2 + 52x5 y2 z4 ；（3）a2 (x -y) +b2 ( y-x) ；（4）(m + 5n)2 - 2(5n +m)(n -3m) + (n -3m)2 ；（5）9(a +b)2 + 6(a2 -b2 ) + (a -b)2 ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= xy( y2 - 4) =xy( y + 2)( y - 2) ；（2）原式= -13xy2 z2 (2y -1- 4x4 z2 ) ；（3）原式= (x -y)(a2 -b2 ) = (x -y)(a +b)(a -b) ；（4）原式= [(m + 5n) - (n - 3m)]2 = 16(m - 2n)2 ；（5）原式= (3a + 3b +a -b)2 = 4(2a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）1.1⨯102017 -102016 ；（2）105⨯ 95 ；（3）1.25⨯142 -125⨯8.62 ．【难度】★★【答案】（1）102017 ；（2）9975；（3）－9000．【解析】（1）原式=102016 (1.1⨯10 -1) = 102016 ⨯10 = 102017 ；（2）原式= (100 + 5)(100 - 5) = 10000 - 25 = 9975 ；（3）原式=1.25⨯142 -1.25⨯862 = 1.25(142 - 862 ) = 1.25⨯100⨯ (-72) =-9000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知a = 96，b = 92 ，求a2 - 2ab +b2 - 6a + 6b + 9 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】原式= (a -b)2 - 6(a -b) + 9 = (a -b - 3)2 ，当a = 96，b = 92 时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知10x2+6xy+y2-2x+1=0，求(2x+y)2010 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(9x2 + 6xy +y2 ) + (x2 - 2x +1) = 0 ，即(3x +y)2 + (x -1)2 = 0 ．∴3x +y = 0，x -1 = 0 ，解得：x =1，y =-3 ，∴原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x=a-b，y=a+b时，求代数式(x2 +y2 )2 -(x2 -y2 )2 的值．【难度】★★【答案】4(a -b)2 (a +b)2 ．【解析】原式= (x2 +y2 +x2 -y2 )(x2 +y2 -x2 +y2 )= 4x2 y2 ，当x =a -b ，y =a +b 时，原式= 4(a -b)2 (a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：3(a-b)n-9(b-a)n+1．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a -b)n + 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1+ 3a - 3b) ；（2）当n 为奇数时，原式= 3(a -b)n - 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1- 3a + 3b) ．【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，n3 -n 的值必定是6 的倍数．【难度】★★★【答案】略．【解析】原式= n(n2 -1) =n(n + 1)(n -1) ．n -1、n、n +1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3 的倍数，∴n3 -n 必定是6 的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4 + 4 ．解： x4 + 4 =x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2=（x2+2x+2)(x2-2x+2)．以上解法中，在x4 + 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与x4 + 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）x4 +x2 y2 +y4 ；（2）x4 y4 + 64 ．【难度】★★★【答案】（1）(x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ； （2）(x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy)【解析】（1）原式= x4 + 2x2 y2 +y4 -x2 y2 = (x2 +y2 )2 --x2 y2 = (x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ；（2）原式= x4 y4 +16x2 y2 + 64 -16x2 y2 = (x2 y2 - 8)2 -16x2 y2= (x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy) ．。
因式分解(提公因式法、公式法)
因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。
（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。
（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
（3）完全平方公式要注意正负号。
【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。
《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》
《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》在新课标的理念下，更加突出了学生的主体地位，教师更多的是辅助者的角色。
本节课是在学生学习了提公因式和公式法后的一个解题训练课，采用翻转课堂的模式，学生先在课下预习学案，接下来在课上和大家交流分享，在已有经验基础上，双向的作用，使已有的经验在新的知识体系里融合。
建构主义学习理论认为：学习是引导学生从原有经验出发，建构起新的经验，本节课充分体现了建构主义理论。
教材分析：本节课是北师大版八年级下第四章《因式分解》章节复习前的一个解题训练课。
因式分解在数的运算中，不仅仅是一种简便运算，它还在整式的乘除中，分式运算和等式的证明中发挥作用，在整个初中数学体系中起到承上启下的作用。
多项式的因式分解不仅能起到巩固整式的运算，还培养学生的逆向推理能力。
学情分析：本章内容与整式的运算联系紧密，特别提公因式和公式法就是整式乘法的一个逆运算。
在学习的过程中注重概念的强化，还有结构认知。
通过训练，来加深学生对于提公因式和公式法的一个运用。
学生在家，部分同学缺少必要的学习环境，造成学习效率较低，对于线上教学，增加与学生的互动，积极引导学生进行思考和思维的碰撞，通过翻转课堂来补充完善线上教学。
教学目标：1、理解因式分解的概念，会运用提公因式法和公式法来求解已知问题。
2、能说出如何提公因式，并说出平方差公式，完全平方公式的特点，3、在数到式的迁移过程中，体会类比的数学思想。
4、情感态度与价值观：培养学生观察分析问题的能力，深化学生的逆向思维。
教学重点：提公因式和公式法分解因式。
教学难点：两种因式分解方法（提公因式法、公式法）的熟练运用教学支持：腾讯课堂，爱学派，QQ，SAI绘画软件，书写板。
教学过程：一、概念回顾：1、因式分解：把一个________化成几个_______的___的形式，叫做多项式的分解因式.注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止.★设计意图：1、复习准备本节课需要的知识，为后续提公因式法和公式法运算指明方向。
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式(原卷版)-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假精品课(沪
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式模块一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．4、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．5、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 分解因式：（1）2368a a -；（2）322618m m m -+-； （3）2124ad bd d --+．【例2】 分解因式：（1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --； （3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．【例3】 把下列各式分解因式：（1）()()33113510m m ab a b a b b a +----； （2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-．【例4】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-． 【例5】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．【例6】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．模块二：公式法1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=- ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例7】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--；（2）()()227216a b a b --+； （3）()()2294a b c d a b c d +++--+-．【例8】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【例9】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+； （2）()()22114m n mn --+．【例10】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．1. （2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．231(3)1--=--x x x xB ．222()2x y x xy y +=++C ．2()a ab a a a b -+=-D ．229(3)(3)-=+-x y y x x y(2)421++．x x。
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6． ；7． ；
判断题：
下列各题有左到右的变形属于因式分解的画“√ ”，不属因式分解的画“×”。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
（5） （ ）
（6） （ ）
（7） （ ）
（8） （ ）
（9） （ ）
（10） （ ）
（11） （ ）
学科教师辅导讲义
年级：初一 科目：数学 课时数：3
课 题
因式分解
教学目的
1．理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；
2．理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；
3．掌握公式法分解因式.
教学内容
【知识梳理】
1．把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. (____________).
3．因式分解： =_______________________.
4．因式分解： =_____________________.
5．因式分解： ____________________.
6．因式分解： =____________________.
7．因式分解： =________________________.
8.求证：当n为自然数时， 是一个完全平方数.
【答案】1．略；2.略；3.（1）314；（2）70.2；4．（1） ；（2） ；5．（1） ；（2） ；6．（1） ，原式=0；（2）1；7．证明略；8．原式=
；
【课堂总结】
【课后作业】
一、基础巩固训练
填空题：
1．多项式各项都含有的_____________因式，叫做这个多项式的_________________.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【说明】在解（1）时需注意，很多学生会误解为
【注意】在提取公因式时，若有一项倍全部提出，括号内的项不要漏掉“1”
【例5】
【答案】
【方法总结】把 看成一个整体提出.
【例6】多项式 分解因式正确的是 ( )
A. B．
C. D．
【分析】因为 和 互为相反数，所以多项式两项之间有公因式 （公因式的符号同多项式的首项），所以 ．
（12） （ ）
（13） （ ）
（14） （ ）
（15） （ ）
（16） （ ）
【答案】略
解答题：
1.利用因式分解计算： ，其中 .
2.试判断 能否被321整除.
3.因式分解： .
4.因式分解： .
5.要使二次三项式 是一个完全平方式，求m的值.
【答案】1． ；2．略；3． ；4． ；5． ；
二、综合提高训练
（13）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） ；（11） ；（12） ；（13） ；
【例3】因式分解：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【例4】因式分解：
（1） ； （2） （3）
（2）因式分解： _____________________________.
【例10】因式分解 ，正确的是 ( )
A. B.
C． D．以上答案都不对
【例11】下列代数式中不能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A． B.
C． D.
【例12】
（1）因式分解： ____________________________.
【答案】1．整式乘法；2．不能分解；3． ；4．+；-；5．提取公因式；6． ；7． ；
8． ；
选择题：
1．分解因式 为 ( )
A. B.
C. D.
2．多项式 中，可提取的公因式为 ( )
A.0.5x -0.25yB.0.5x+0.25y
C．a-b D．0.25(a -b)
3. 因式分解为 ( )
A． B.
【答案】C
【例7】因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；
（8） .
【方法总结】
前4道题目：公因式的系数为各项系数的最大公约数；公因式中所含字母是各项都含有相等的字母，其指数为相同字母的最低次：
后4道题目：以整体形式提出（公因式的符号同多项式的首项）.需注意 ，
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式的项数应与原多项式的项数一致.
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式.当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意统一字母的排列顺序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现符号上的错误.
(1)(x+y)n=(y+x)n; (2)(x-y)n=(y-x)n; (3)பைடு நூலகம்y-x)n=-(x-y)n
3.利用因式分解计算。
（1） （2） .
4.把下列多项式因式分解.
（1） （2）
5.把下列多项式因式分解.
（1） （2）
6.若x与y互为相反数，且 ,求下列各式的值.
（1） （2）
7.证明：两个连续奇数的平方差必能被8整除.
（2）因式分解： ______________________________.
（3）因式分解： _____________________________.
【借题发挥】
1.先提取公因式，再运用完全平方公式把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
2.把下列各式分解因式：
1．因式分解： __________________________________.
2．因式分解： =_________________________________.
3．证明:817-279-913能被45整除;
4．证明:多项式ab2(x-y)5+a2b(y-x)5能被(a-b)整除;
5．证明: (-2)1998+(-2)1999= -21998
3. 的公因式是_____________________.
4． ___________ ； __________ .
5. _______________ .
6．因式分解： =_________________.
7．因式分解： =_____________________.
8．因式分解： =_____________________.
2．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.
3．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
【提取公因式的步骤】
“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
题型五：公式法的应用
【例13】已知： .求代数式 的值.
【例14】
【例15】试证明： 能被31整除.
【借题发挥】
【随堂练习】
填空题：
1．因式分解与____________________是两个互为相反的变形过程．
2．分解因式必须分解到每一个因式都________________________为止．
【答案】B
【借题发挥】
1．判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（2）是因式分解
题型二：提公因式法
【例2】如果用提公因式把下列多项式因式分解，应该分别提出怎样的公因式？
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
4．提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.
5．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
【典型例题讲解】
题型一：
【例1】下列变形是因式分解的是 ( )
A．
B．
C．
D．
【分析】因式分解是把一个多项式分解为两个或两个以上因式的积的形式，而上述结论中，A、C、D均不是乘积的形式，所以选B．
C． D.
4. 因式分解为 ( )
A． B.
C． D.
5．下列各多项式的因式分解正确的是 ( )
A．
B.
C.
D.
【答案】ADBCA
简答题：
1.下列由左边的变形,哪些是因式分解，哪些是整式乘法？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
（7）
（8）
2.若下列等式成立,则指数n的条件是什么?
“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.
【注意】
（1）如果多项式的首相是负数时，一般应先提出“﹣”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；
（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”.也就是说当一个多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经也没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成；