正线性方程组正解的判别
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bj -
( bj - abk ) , b i
∑a
a ij
jj
a k j ( a j j - a ij ) a ( bj [ a ij bk + a j j j ≠ i, k a j j - aa k j
∑
abk ) ],
— 603 —
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
k
由 ( 1) 式知
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0,
k
所以 x > 0. 推论2 若对任意 k , B 2 为不可约矩阵, ( I - B ) b 为非零非负向量, 则正线性方程组 A x = b 存在正解. k 证明 首先定义向量列 x 0 = ( I - B ) b, x 1 = ( I + B 2 ) x 0 , …, x k = ( I + B 2 ) x k - 1 (k = 1, 2, …). 由于 x k = x k - 1 + B 2 x k - 1 , 且 x 0 为非零非负向量, B 2 为不可约矩阵, 知 x k 的零分量个数不会比 . x k- 1多 事实上, 设 x k 和 x k - 1 的零分量个数相同, 则存在正交阵 P 使
( b j - abk ) ,
对任 i ≠k 有
bi abk > a ik - aa kk bk + a kk
∑a
j ≠ i, k
a ij jj
aa k j
- aa k j
( bj - abk ) ,
即
bi >
∑a
j ≠i
a ij
jj
bj -
a k j ( a j j - a ij ) a ( bj [ a ij bk + a j j j ≠ i, k a j j - aa k j
k
证明 由 Θ(B ) < 1 知 ( I + B ) - 1 与 ( I - B ) - 1 存在, 因 A = ( I + B ) D , 所以 A - 1 B ) , 由于
( I - B 2) - 1= ( I + B ) - 1 ( I - B ) - 1, ( I - B 4) - 1= ( I - B 2) - 1 ( I + B 2) - 1,
D iscr i m ina tion of a Positive Solution of Positive L inear System s
W ang D ianx uan Y u H a ilan
(D ep t. of Basi Sci Cou rse, N o rtheast Ch ina In stitu te of E lectric Pow er, J ilin 132012)
— 601 —
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
则有
∞
x = A
- 1
B = D
- 1
∏(I +
k= 1
k
2 B ) (I - B ) b .
k
由于对角阵 D - 1 的对角线元素均大于零, 所以 x > 0的充要条件是
摘 要 本文给出了正线性方程组正解的概念, 给出了正线性方程组正解的若干判
别方法.
关键词 正线性方程组, 正解, 不可约矩阵. 分类号 AM S (1991) 15A 24 CCL O 151. 1
1 引 言
研究问题及实际问题中, 常遇到 n 个未知数 n 个方程的正线性方程组, 虽然可用克莱姆法 则求解, 但判别该正线性方程组存在正解更有实际意义. 文 [ 1 ] 中给出了一个判别定理, 本文对 文 [ 1 ] 的定理进行了推广, 得出若干正线性方程组正解的判别定理.
m
xm =
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0.
k
υ ) , B 2 c = d = ( d , …, d ) T , t = m in d , T = 为了简单起见, 设 ( I - B ) b = c, B 2 = ( b ij 1 n i
i
— 602 —
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
. e> 0时不成立时, 正线性方程组 A x = b 不存在正解 1- R - 1 证明 由 X = D - 1 ( I - B 2 ) ( I - B ) b 得
∞
2 D X = (I - B ) - 1
∞源自文库
c = (I +
∑
k= 1
B
2k
)c = c +
∑B
k= 0
2k
2 d = c + (I - B )
0, 则 x 3 称为正解 .
定理1 设 A = ( I + B ) D , 其中 I 为单位阵, D = d iag ( a 11 , a 22 , …, a nn ) , 谱半径 Θ(B ) < 1, 则 正线性方程组 A x = b 存在正解的充要条件是
∞
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0. - 1
n
m ax d i , r = m in
i i
∑
j= 1
bij , R = m ax
i
υ
υ ,e= ∑b
ij j= 1
n
( 1, …, 1) T . 于是得下面定理 .
定理2 设 t> 0, R < 1, 则有
( 1) 若 c+ ( 2) 若 c+
t
1- r
T
. e> 0时, 正线性方程组 A x = b 存在正解
d q = (1 yi ≥ yq ≥
T
υ bqq ) y q dq
∑
j ≠q
υ bqj y j ≤ ( 1 r
υ )y ∑b
qj j= 1
n
q
≥ ( 1 - r) y q ,
1-
r
≥
t
1-
,
故有
2 y = (I- B ) - 1
d≥
t
1- r
e,
所以当 c+
t
1- r
e> 0时, 则有
2 D X = c+ ( I - B ) - 1
2 主要结果
定义1 非齐次线性方程组 A x = b, A = ( a ij ) n×n , a ij ≥0, i, j = 1, 2, …, n. 且 a ii > 0, i = 1, 2, T 3 3 3 T …, n. b= ( b1 , b2 , …, bn ) > 0, 则称此方程组为正线性方程组. 若其解 x 3 = ( x 1 , x 2 , …, x n ) >
d ≥c+
t
1- r
e> 0,
正线性方程组 A x = b 存在正解. 定理3 若存在 a > 0, k ∈{1, …, n }, 使得 ( 1) 对任意 i, j ( i≠k ) 有 a ij ≥aa k j , b i > abk.
( 2) bk > >
∑a
j ≠k j ≠i
ak j
jj
- aa k j
∑
abk ) ],
同解方程组存在正解. 故原方程组存在正解.
参 考 文 献
[ 1 ] . , 64 ( 1985) , 133M. Kaykobad, P ositiv e solu tion of p ositiv e linea r sy stem s, L inea r A lgeb ra A pp l 140. [ 2 ] . , 72 ( 1985) , 97 M. Kaykobad, P ositiv e solu tions of a class of linea r sy stem s, L inea r A lgeb ra A pp l - 105.
Pxk =
k k k
Α , P x k - 1 = 0
Β , 0
其中 Α , Β> 0. 则由
P x k = P x k - 1 + PB P P x k - 1 =
k
2
k
T
B 11 B 12 Β + 0 B 21 B 22
Β = 0
Α , 0
推得 B 21 Β= 0, Β> 0, 得 B 21 = 0, 这与 B 2 为不可约阵矛盾, 于是得 x k 的零分量个数比 x k - 1 的少. 因为 x 0 是非零非负, 至多有 n - 1个零分量, 故当 m ≥n - 1时, 有
∑
j ≠p
υ bp j y j ≥ ( 1 ,
υ ∑b
j= 1
n
pj
) y p ≥ (1 - k ) y p
1- R
≤
T
1- R
故有
2 y = (I- B ) - 1
d≤
T
1- R
e,
所以当 c+
. e> 0不成立时, 正线性方程组 A x = b 不存在正解 1- R 再由 ( 2) 中第 q 个方程得
则正线性方程组 A x = b 存在正解. 证明 对 A x = b 用 ( - a ) 乘以第 k 个方程加到第 i 个 ( i ≠k ) 方程上去, 则得同解方程组. 由条件 ( 1) 知这个同解方程组仍为正线性方程组 . 则由文 [ 1 ] 定理得: 若有
bk >
∑a
j ≠k
ak j
jj
- aa k j
— 604 —
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
= D - 1 (I +
所以
A
- 1 - 1 - 1 = D - 1 ( I - B 2 ) ( I - B ) = D - 1 ( I - B 4 ) ( I + B 2 ) ( I - B ).
依次类推得
∞
A
- 1
= D
- 1
∏(I +
k= 1
2 B ) (I - B ) ,
k
Ξ 1994年9月10日收到. 1997年4月19日收到修改稿.
∞
k k k
元素严格大于零的非负矩阵, 所以 D 负矩阵. 因为
∞
1
k = n+ 1
∏ (I +
k
2 B ) 的主对角线元素均严格大于零, 且为非
k
x= D
- 1
∏(I +
k= 1
2 B ) (I - B ) b
n
∞
= [D -
1
k = n+ 1
∏
n
(I + B 2 ) ][
k
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b ],
第17卷第4期 1 997年11月
数 学 研 究 与 评 论
JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON
. 17 N o. 4 Vol N ov. 1 9 9 7
正线性方程组正解的判别
王殿选 禹海兰 高益明
Ξ
( 东北电力学院基础部, 吉林132012) ( 东北师范大学数学系, 长春130024)
G ao Y im ing
(M ath D ep t. of N o rtheast N o rm al U n iversity, Changchun 130024)
Abstract In th is p ap er, the concep t of po sit ive so lu t ion of po sit ive linea r sy stem s is g iven. Som e new a re g iven cond it ion s fo r the ex istence of a po sit ive so lu t ion of po sit ive linea r sy stem , the resu lt of [ 1 ] is generlized. Keywords po sit ive linea r sy stem , po sit ive so lu t ion, irreducib le m a t rix.
- 1
d.
若设 ( I - B 2 ) y = d , 即
( I - B 2) y = d ,
y = ( y 1 , …, y n ) , y p = m ax y i , y q = m in y i.
i i
( 2)
T
则由 ( 2) 中第 p 个方程得
d p = (1 yi ≤ yp ≤
υ bp p ) y p dp
∞
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0.
推论1 若存在正整数 n , 使得
n
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0,
k
( 1)
则正线性方程组 A x = b 存在正解. 证明 因 B 2 ≥0, 所以 I + B 2 ≥0, 且 I + B 2 的对角线元素均大于零, 由于 D - 1 也是对角线
( bj - abk ) , b i
∑a
a ij
jj
a k j ( a j j - a ij ) a ( bj [ a ij bk + a j j j ≠ i, k a j j - aa k j
∑
abk ) ],
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© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
k
由 ( 1) 式知
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0,
k
所以 x > 0. 推论2 若对任意 k , B 2 为不可约矩阵, ( I - B ) b 为非零非负向量, 则正线性方程组 A x = b 存在正解. k 证明 首先定义向量列 x 0 = ( I - B ) b, x 1 = ( I + B 2 ) x 0 , …, x k = ( I + B 2 ) x k - 1 (k = 1, 2, …). 由于 x k = x k - 1 + B 2 x k - 1 , 且 x 0 为非零非负向量, B 2 为不可约矩阵, 知 x k 的零分量个数不会比 . x k- 1多 事实上, 设 x k 和 x k - 1 的零分量个数相同, 则存在正交阵 P 使
( b j - abk ) ,
对任 i ≠k 有
bi abk > a ik - aa kk bk + a kk
∑a
j ≠ i, k
a ij jj
aa k j
- aa k j
( bj - abk ) ,
即
bi >
∑a
j ≠i
a ij
jj
bj -
a k j ( a j j - a ij ) a ( bj [ a ij bk + a j j j ≠ i, k a j j - aa k j
k
证明 由 Θ(B ) < 1 知 ( I + B ) - 1 与 ( I - B ) - 1 存在, 因 A = ( I + B ) D , 所以 A - 1 B ) , 由于
( I - B 2) - 1= ( I + B ) - 1 ( I - B ) - 1, ( I - B 4) - 1= ( I - B 2) - 1 ( I + B 2) - 1,
D iscr i m ina tion of a Positive Solution of Positive L inear System s
W ang D ianx uan Y u H a ilan
(D ep t. of Basi Sci Cou rse, N o rtheast Ch ina In stitu te of E lectric Pow er, J ilin 132012)
— 601 —
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
则有
∞
x = A
- 1
B = D
- 1
∏(I +
k= 1
k
2 B ) (I - B ) b .
k
由于对角阵 D - 1 的对角线元素均大于零, 所以 x > 0的充要条件是
摘 要 本文给出了正线性方程组正解的概念, 给出了正线性方程组正解的若干判
别方法.
关键词 正线性方程组, 正解, 不可约矩阵. 分类号 AM S (1991) 15A 24 CCL O 151. 1
1 引 言
研究问题及实际问题中, 常遇到 n 个未知数 n 个方程的正线性方程组, 虽然可用克莱姆法 则求解, 但判别该正线性方程组存在正解更有实际意义. 文 [ 1 ] 中给出了一个判别定理, 本文对 文 [ 1 ] 的定理进行了推广, 得出若干正线性方程组正解的判别定理.
m
xm =
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0.
k
υ ) , B 2 c = d = ( d , …, d ) T , t = m in d , T = 为了简单起见, 设 ( I - B ) b = c, B 2 = ( b ij 1 n i
i
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. e> 0时不成立时, 正线性方程组 A x = b 不存在正解 1- R - 1 证明 由 X = D - 1 ( I - B 2 ) ( I - B ) b 得
∞
2 D X = (I - B ) - 1
∞源自文库
c = (I +
∑
k= 1
B
2k
)c = c +
∑B
k= 0
2k
2 d = c + (I - B )
0, 则 x 3 称为正解 .
定理1 设 A = ( I + B ) D , 其中 I 为单位阵, D = d iag ( a 11 , a 22 , …, a nn ) , 谱半径 Θ(B ) < 1, 则 正线性方程组 A x = b 存在正解的充要条件是
∞
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0. - 1
n
m ax d i , r = m in
i i
∑
j= 1
bij , R = m ax
i
υ
υ ,e= ∑b
ij j= 1
n
( 1, …, 1) T . 于是得下面定理 .
定理2 设 t> 0, R < 1, 则有
( 1) 若 c+ ( 2) 若 c+
t
1- r
T
. e> 0时, 正线性方程组 A x = b 存在正解
d q = (1 yi ≥ yq ≥
T
υ bqq ) y q dq
∑
j ≠q
υ bqj y j ≤ ( 1 r
υ )y ∑b
qj j= 1
n
q
≥ ( 1 - r) y q ,
1-
r
≥
t
1-
,
故有
2 y = (I- B ) - 1
d≥
t
1- r
e,
所以当 c+
t
1- r
e> 0时, 则有
2 D X = c+ ( I - B ) - 1
2 主要结果
定义1 非齐次线性方程组 A x = b, A = ( a ij ) n×n , a ij ≥0, i, j = 1, 2, …, n. 且 a ii > 0, i = 1, 2, T 3 3 3 T …, n. b= ( b1 , b2 , …, bn ) > 0, 则称此方程组为正线性方程组. 若其解 x 3 = ( x 1 , x 2 , …, x n ) >
d ≥c+
t
1- r
e> 0,
正线性方程组 A x = b 存在正解. 定理3 若存在 a > 0, k ∈{1, …, n }, 使得 ( 1) 对任意 i, j ( i≠k ) 有 a ij ≥aa k j , b i > abk.
( 2) bk > >
∑a
j ≠k j ≠i
ak j
jj
- aa k j
∑
abk ) ],
同解方程组存在正解. 故原方程组存在正解.
参 考 文 献
[ 1 ] . , 64 ( 1985) , 133M. Kaykobad, P ositiv e solu tion of p ositiv e linea r sy stem s, L inea r A lgeb ra A pp l 140. [ 2 ] . , 72 ( 1985) , 97 M. Kaykobad, P ositiv e solu tions of a class of linea r sy stem s, L inea r A lgeb ra A pp l - 105.
Pxk =
k k k
Α , P x k - 1 = 0
Β , 0
其中 Α , Β> 0. 则由
P x k = P x k - 1 + PB P P x k - 1 =
k
2
k
T
B 11 B 12 Β + 0 B 21 B 22
Β = 0
Α , 0
推得 B 21 Β= 0, Β> 0, 得 B 21 = 0, 这与 B 2 为不可约阵矛盾, 于是得 x k 的零分量个数比 x k - 1 的少. 因为 x 0 是非零非负, 至多有 n - 1个零分量, 故当 m ≥n - 1时, 有
∑
j ≠p
υ bp j y j ≥ ( 1 ,
υ ∑b
j= 1
n
pj
) y p ≥ (1 - k ) y p
1- R
≤
T
1- R
故有
2 y = (I- B ) - 1
d≤
T
1- R
e,
所以当 c+
. e> 0不成立时, 正线性方程组 A x = b 不存在正解 1- R 再由 ( 2) 中第 q 个方程得
则正线性方程组 A x = b 存在正解. 证明 对 A x = b 用 ( - a ) 乘以第 k 个方程加到第 i 个 ( i ≠k ) 方程上去, 则得同解方程组. 由条件 ( 1) 知这个同解方程组仍为正线性方程组 . 则由文 [ 1 ] 定理得: 若有
bk >
∑a
j ≠k
ak j
jj
- aa k j
— 604 —
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= D - 1 (I +
所以
A
- 1 - 1 - 1 = D - 1 ( I - B 2 ) ( I - B ) = D - 1 ( I - B 4 ) ( I + B 2 ) ( I - B ).
依次类推得
∞
A
- 1
= D
- 1
∏(I +
k= 1
2 B ) (I - B ) ,
k
Ξ 1994年9月10日收到. 1997年4月19日收到修改稿.
∞
k k k
元素严格大于零的非负矩阵, 所以 D 负矩阵. 因为
∞
1
k = n+ 1
∏ (I +
k
2 B ) 的主对角线元素均严格大于零, 且为非
k
x= D
- 1
∏(I +
k= 1
2 B ) (I - B ) b
n
∞
= [D -
1
k = n+ 1
∏
n
(I + B 2 ) ][
k
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b ],
第17卷第4期 1 997年11月
数 学 研 究 与 评 论
JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON
. 17 N o. 4 Vol N ov. 1 9 9 7
正线性方程组正解的判别
王殿选 禹海兰 高益明
Ξ
( 东北电力学院基础部, 吉林132012) ( 东北师范大学数学系, 长春130024)
G ao Y im ing
(M ath D ep t. of N o rtheast N o rm al U n iversity, Changchun 130024)
Abstract In th is p ap er, the concep t of po sit ive so lu t ion of po sit ive linea r sy stem s is g iven. Som e new a re g iven cond it ion s fo r the ex istence of a po sit ive so lu t ion of po sit ive linea r sy stem , the resu lt of [ 1 ] is generlized. Keywords po sit ive linea r sy stem , po sit ive so lu t ion, irreducib le m a t rix.
- 1
d.
若设 ( I - B 2 ) y = d , 即
( I - B 2) y = d ,
y = ( y 1 , …, y n ) , y p = m ax y i , y q = m in y i.
i i
( 2)
T
则由 ( 2) 中第 p 个方程得
d p = (1 yi ≤ yp ≤
υ bp p ) y p dp
∞
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0.
推论1 若存在正整数 n , 使得
n
∏(I +
k= 1
2 B ) ( I - B ) b > 0,
k
( 1)
则正线性方程组 A x = b 存在正解. 证明 因 B 2 ≥0, 所以 I + B 2 ≥0, 且 I + B 2 的对角线元素均大于零, 由于 D - 1 也是对角线