冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质
的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值
图
1-2
均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。

有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其
(a)τ逐渐减小的脉冲函数
(b)冲激信号
图1-1
图 1-3
零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。

0→t 时，1)(S →t a ，并且有：
⎰
∞
=
2
)(π
dt t Sa
因其是偶函数有
⎰
+∞
∞
-=πdt t Sa )( （1-4）
由式（1-4）知
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==⎰⎰∞+∞-∞
+∞-1)()()(dt kt Sa k
kt d kt Sa ππ （1-5） 式（1-5）表明，)(kt Sa k
π
曲线下的面积为1，且k 越大，函数的振幅
越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k ∞→时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3.
实际上，脉冲函数的选取并不 限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限， 也可以变为冲激函数，作为冲激函 数的定义。

相应可以表示为： 三角形脉冲：
()()[]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--+⎪⎭⎫
⎝
⎛-
=→τετετ
τδτt t t t ||11lim )(0 （1-6）双边指数脉冲：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-→τττ
δ||021lim )(t e t （1-7）
钟形脉冲：
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
→
2
1
lim
)(τ
π
ττ
δ
t
e
t（1-8）这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).
定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≠
=
=
=
⎰+∞∞
(t)dt
t
1
(t)dt
-
t
δ
δ
（2-1）这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。

现给出δ函数三个有用的特性：
性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。

由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为|a|
1，由于冲激信号δ(at)仍在t=0处发生，所以它可以被看做一个未（a）三角脉冲（b）指数脉冲（c）钟形脉冲
图1-4
压缩的冲激
)(||1at a δ，即有)(|
|1)(at a at δδ=。

由于时间位移不会影响面积的大小，所以有
[])(|
|1
)(00t t a t t a -=
-δδ （2-2） 式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。

特别的当
0,10=-=t a 时，式（2-2）变为
)()(t t -=δδ (2-3) 从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。

性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数)(0t t -δ乘以任意连续信号)(t f ，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于)(t f 在0t t =处的值。

即筛选出了)(0t f 。

从而有 ⎰⎰⎰
+∞∞
+∞
∞
+∞
∞
===---)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t δδδ
（2-4） 类似有
⎰⎰⎰
+∞∞
+∞
∞
+∞
∞
=-=-=--0-0000-0)()()()()()()(t f dt t t t f dt t f t t dt t f t t δδδ
（2-5）
式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数)(t f 与单位冲激信号)(t δ或)(0t t -δ相乘，并在()+∞∞-,时间内积分，可以得到)(t f 在0t t =处的函数值。

性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积
)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ的面积等于)(0t f ，也就是说)(0t t -δ移除了
)(t f 在0t t =处的值。

)
(
)(
)
(
-0
t
f
dt
t
f
t
t
⎰+∞∞=
-
δ（2-6）值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：
)(
)(
-
t
u
d
t
⎰∞=τ
τ
δ
（2-7）
dt
t
du)(
)
(=
τ
δ
（2-8）
)(t
δ的狄拉克定义也可以表示为
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
∞
=
≠
=
⎰∞∞-1
(t)dt
(t)
t
(t)
δ
δ
δ
t（2-6）上式与式（2-1）一样都表示，0=t处，是一个间断点，但作为
数学抽象式，式（2-1）中采用⎰+∞
∞
-
=1
(t)dt
δ的约束条件，已经概括了间断点0=t得邻域内的积分⎰+=
0-
1
(t)dt
δ，反映出0
→
∆t时∞
→
)(t
δ的趋势，因此采用（2-1）的描述更合适。

另一方面，狄拉克-δ函数的定义在数学上也是不严格的。

如函数)(
)('t
tδ
δ+也满足式（2-1）
其中: )(
)('t
dt
d
tδ
δ=为冲激偶信号，但)(
)('t
tδ
δ+并不是单位冲激信号。

为了给出奇异函数)(tδ的严格定义，我们先引入分配函数的概念。

概念引出（1950年，L. Schwartz）
电压v(t) 表示方法：
分析说明：
①读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v(t)与测试仪表特性h(t)二者综合结果
②电压v(t)的存在和性质借助h(t)来体现（测量系统是检测电压v(t)特性的手段），故称h(t)为检试函数。

下面给出分配函数定义：
定义三：用分配函数定义)(t .
)(t δ指定给)(t ϕ的值为)0(ϕ.
通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于)(t δ的一些基本运算特性。

（1） 相加:
(3-1)
（2） 相乘:
(3-2)
（3）反褶:
（3-3）
证明参见性质一. （4）尺度:
（3-4）
（5）时移:
（3-5）证明参见性质二.
（6）卷积:
仅对i)进行如下证明：
（7）复合函数：
（3-7）证明：用泰勒级数展开，0
)
(
i
t
f，忽略高次项。

（3-6）
复合函数形式的 [])(t f δ可化简为位于i t t =处的一系列冲激函数的叠加，强度为|
)('|1
i t f 。

参考文献：
［1］ 樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京：北京航空航天大学出版社. ［2］ 邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京：科学出版社. ［3］ 彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.。