2014吉林省长春市高三四模数学理试题及答案

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2014吉林省长春市高三四模数学理试题及答案

数学试题(理科)答案1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()I ðU B A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ． 2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ． 4．【答案】B 【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ． 5．【答案】D 【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 6．【答案】D【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ．8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=ac，故选A ． 10．【答案】C【解析】由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24，易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 11．【答案】D【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．12．【答案】C 【解析】|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++ΛΛ)212121(21212121221n m n m n n -+++++=+++<ΛΛ n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．13．【答案】0.0228【解析】设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N :，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg 8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 14．【答案】)3,1(【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ① 又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15.【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n 【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n ．16．【答案】[]4,18【解析】设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18．17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g 由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=………5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． ………6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A ………8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435．…12分 18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b………3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． ………6分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．………12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1I∴⊥BC 平面11D DCC ………3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1，则平面11ADD A I 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC =I ∴ED 1⊥底面ABCD，∴1D E AE⊥∴⊥AE 平面1BED ………9分过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan=⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EGED FG EG 1=，求得11D E =．………12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC =I ∴ED 1⊥底面ABCD ………7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图．………8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x n = ∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED n EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x令1=x ，得)0,1,1(-=n………9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =u r ，因为 (1,0,0)CB =u u u r，1(1,1,)CB a =u u u r ，由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a =-u r． ………10分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，得 2||cos ,cos 321m n m n m n a π⋅<>===⋅+u r ru r r u r r ，解得1a =．即线段1D E 的长度为1．……12分20．【解析】（1）由题意，3e =，即23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a ………2分又222c b a =-得： 1,2==b a ∴椭圆C的标准方程：2214x y +=． ………5分 (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ．而021≠=⋅OQ OP所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． ………7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P 由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ………9分若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x y x ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． ………12分 21．【解析】(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--，令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 ………3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0x x f x g x e =≥，得证． ………6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，xx x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………9分∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，x ex x 2)(-='ϕ，∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． ………12分22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， ………1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ， ………4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = ………6分又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分所以222312==EC ，故=AC ………10分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知，则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． ………5分（2）由（1）得 =2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． ………10分24．【解析】（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． ………5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x ⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。

长春市2014届高中毕业班第三次调研测试理科数学试题(含答案解析)(word版)

第 1 页共 15 页长春市2014届高中毕业班第三次调研测试数学试题（理科） 2014.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}421{，，＝A ,集合},,|{A b A a b a x x B ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是A ．2y x =B ．3y x =-C ．lg ||y x =-D ．2x y = 4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)n n +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)n n ++的值第5题图。

2014长春四模理科数学试题及答案

2014年长春市高中毕业班第四次调研测试数学试题(理科)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．设全集R =U ，}02|{<-=x xx A ，}22|{<=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为A ．x x |{≥}1B ．1|{x ≤}2<xC ．x x <0|{≤}1D ．x x |{≤}12．如图，在复平面内，复数1z ,2z 对应的向量分别是,,则||21z z +=A ．2B ．3C ．22D ．333．已知三条不重合的直线l n m ,,和两个不重合的平面βα,,下列命题正确的是A ．若n m //，α⊂n ，则α//mB ．若βα⊥，m =βα ，且m n ⊥，则α⊥nC ．若n l ⊥，n m ⊥，则m l //D ．若α⊥l ，β⊥m ，且m l ⊥，则βα⊥4．设变量y x ,满足||||y x +≤1，则y x +2的最大值和最小值分别为A ．1,1-B ．2,2-C ．2,1-D ．1,2-5．按照下图的程序框图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是A ．6B ．21C ．5050D ．2316．已知432tan =α，)4,0(πα∈，则sin cos sin cos αααα+=- A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)第2题图第1题图第5题图的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．9B ．10C ．11D ．138．曲线12+=x y 在点)2,1(处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x上的任意点Q 之间的最近距离是 A ．1554- B ．1552-C 1D ．29．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD10．将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是A ．2332cm 3 B ．6332cm 3 C ．6364cm 3D ．2364cm 3 11．已知函数1)(--=x x x f ,x x x g 2)(+=,x x x h ln )(+=的零点分别为321,,x x x ,则A ．321x x x <<B ．312x x x <<C ．213x x x <<D ．132x x x <<12．设数列n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=，则对任意正整数n m ,)(n m >都成立的是 A ．2||mn a a m n >- B ．2||nm a a m n ->-C ．n m n a a 21||<-D ．n m n a a 21||>-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) ．第10题图第7题图13．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布)1.0,10(2N ，任取一袋大米，质量不足kg 8.9的概率为．（精确到0001.0）(注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．)14．已知向量(2,1)=a ，1,2)-=（b ，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且0)()(=-⋅-b c a c ，则向量c 的坐标为．15．已知n n f 131211)(++++= n n ，*∈N (≥4)，经计算得2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ，27)32(>f ……，观察上述结果，可归纳出的一般结论为．16．设b a ,为实数，关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的4个实数根构成以q 为公比的等比数列，若[22]q ∈，则ab 的取值范围是．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图象向右平移4π个单位后得到()g x 的图象，已知()g x 的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点,P Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为2π．（1）求函数()g x 的解析式；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =,且a =，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元）的数据资料算得如下结果，90512=∑=i ix，11251=∑=i i i y x ,2051=∑=i i x ,2551=∑=i i y ．（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=；（2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；第17题图②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．(附：在线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中，∑∑==--=ni i ni ii xn x yx n yx b 1221ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 为样本平均值．) 19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．（1）求证：1⊥BC D E ；（2）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度．20．（本小题满分12分）如图1F ，2F 为椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，,D E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率2e =，△2DEF 的面积为231-．若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()xx axf x x e +=-（R ∈a ）．（1）当1a =时，证明：当x ≥0时，()f x ≥0；（2）当1a =-时，证明：2ln 1(1)()1x f x x e->-．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．第20题图第19题图22．（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，PE PA =，∠︒=45ABC ， 1=PD ，8=DB ．（1）求△ABP 的面积；（2）求弦AC 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程长为3的线段两端点B A ,分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，3=，点P 的轨迹为曲线C ．（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点)2,0(-D 距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲已知实数0,0,a b >>且2922=+b a ，若b a +≤m 恒成立．（1）求实数m 的最小值；（2）若|||1|2x x +-≥b a +对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围．2014长春四模数学试题(理科)答案1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðU B A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ． 2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ． 4．【答案】B【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，第22题图设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ． 5．【答案】D【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 6．【答案】D【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ． 8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=ac，故选A ． 10．【答案】C【解析】由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24，易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 11．【答案】D【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ． 12．【答案】C 【解析】|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++)212121(21212121221n m n m n n -+++++=+++< n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．13．【答案】0.0228 【解析】设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N ，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 14．【答案】)3,1(【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ① 又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15．【答案】)2(22)2(≥+>n n f n【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为22)2(+>n f n ．16．【答案】[]4,18【解析】设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18． 17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ= ………5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． (6)分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A ………8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435．…12分18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i ii ii xxy x yx b………3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y ． (6)分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y（万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．……12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC ………3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1，则平面11ADD A 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC = ∴ED 1⊥底面A B，∴1D E AE⊥∴⊥AE 平面1BED ………9分过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan=⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EG ED FG EG 1=，求得11DE =．………12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC = ∴ED 1⊥底面A B………7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图． ………8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B 设平面1BED 的一个法向量),,(z y x n =∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED ，得⎩⎨⎧==+00z y x 令1=x ，得)0,1,1(-= ………9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为 (1,0,0)CB =，1(1,1,)CB a =，由10m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a=-． ………10分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，得 ||cos ,cos32m n m n m nπ⋅<>===，解得1a =．即线段1D E 的长度为1．……12分20．【解析】（1）由题意，2e =，即23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a ………2分又222c b a =-得： 1,2==b a∴椭圆C 的标准方程：2214x y +=． ………5分(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ．而021≠=⋅OQ OP 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． (7)分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y xQ y x P由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ………9分若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥而),2(),,2(2211y xy x ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． ………12分21．【解析】(1)1a =时，2()(1)xx x x x x f x x e x e e+=-=--，令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='xe x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 ………3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0x xf xg x e=≥，得证． ………6分(2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，xx x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………9分 ∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，xex x 2)(-='ϕ， ∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数∴211)2()(ex -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． ………12分 22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， (1)分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ， ………4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = ………6分又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分所以222312==EC ，故=AC (10)分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知，则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． (5)分（2）由（1）得=2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212．………10分24．【解析】（1）ab b a 222≥+ ∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． (5)分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。

吉林省东北师范大学附属中学2014届高三第四次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)含答案

数学（理）参考答案及评分标准阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数．2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．一、选择题（每题5分，共计60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B C A D D C B A D B A二、填空题（每题5分，共计20分）（13）1-；（14）0 ；（15）(21)n n +；（16）34k ≤或54k ≥.三、解答题（17）解：（Ⅰ）*121()n n a S n +=+∈N2121a a ∴=+，321221221a S a a =+=++ ……………… 2分 322322,3,3a a a a a q ∴-===211213a a a ∴=+= 11a ∴= ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，13n n a -= ……………… 6分31232153T b b b b ==++= 25b ∴= 135,5b d b d ∴=-=+ 11a b +，2233,a b a b ++成等比数列2221133()()()a b a b a b ∴+=++ ………………8分28(6)(14)d d ∴=-+ 28200d d ∴+-=解得10d =-或2d =（舍） ……………… 10分1515,1025n b d b n ∴=-==-+21(1)5202n n n T nb d n n -∴=+=-+ …………… 12分（18）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33．—————2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当35a ≥时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136，147，154，189，203 —————4分(说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止)X 的分布列为：X136147154189203P110 310 210 310 110——————————9分(说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分)13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1655==165.5()10元—11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元。

数学理卷·2014届吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试(2013.12)扫描版

数学理卷·2014届吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试(2013.12)扫描版2014年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个1.【试题答案】B【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i1-=z 的虚部为1-，故选B .2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M I ，故选B .3.【试题答案】A 【试题解析】化简xx x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x22=()0>p 中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D . 5.【试题答案】C【试题解析】32333327027S x dx x===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫⎝⎛⊗-，1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

吉林省东北四校协作体2014届高三上学期联合考试数学(理)试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+ A ．1＋i B.5＋5i C.-5-5i D.-1－i2．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为 A ．14 B ．34 C ．38 D ．11163．已知为{}n a 等比数列，S n 是它的前n 项和。

若35114a a a =35114a a a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值A ．35B ．33C ．31D ．294．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ．3+．8+C ．6+．8+5．如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 、21680+B 、21664+C 、96D 、806．已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：平面内两条直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件；则下列命题是真命题的是 A 、q p ∧ B 、()q p ⌝∧ C 、()()q p ⌝∧⌝ D 、q p ∨ 7．若函数R x x x x f ∈+=,cos sin )(ωω3，又02=-=)(,)(βαf f ，且βα-的最小值为43π，则正数ω的值是 A. 31 B. 32 C.34 D.238．已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<C. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<9．已知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有A. 2个B. 6个C. 8个D. 16个正视图侧视图俯视图10．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是),(21．该抛物线的焦点为F ，则=+||||FB FA A.7B.53C. 6D. 511．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则OB=A ．a B. b C. ea D. eb12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为A ．0B ．2C ．4D ．8二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111634a a a +=-，则11S = 。

2014年吉林省长春市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．47．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【解答】解：复数Z＝1﹣i的虚部是﹣1，故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M＝{x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0＝lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N＝{x|x＜2}，则M∩N＝{x|1＜x＜2}．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π【解答】解：∵f（x）＝（sin x+cos x）2＝sin2x+2sin x cos x+cos2x＝1+sin2x，由2x＝kπ+（k∈Z）得：x＝+（k∈Z），令k＝0得，x＝，∴函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程x＝，故选：A．4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．【解答】解：抛物线x2＝的方程可知：，解得p＝．∴此抛物线的焦点到准线的距离d＝．故选：D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【解答】解：S3＝＝，即前三项和为S3＝27，∵a3＝9，∴，即，∴＝，即2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝1或q＝，故选：C．6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．4【解答】解：∵运算S＝a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴＝2ⓧ1+2ⓧ3＝2×（1+1）+（2+1）×3＝13故选：A．7．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y＝﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z＝2a＝4∴a＝2故选：C．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β【解答】解：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：D．9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵||＝||，∴＝0，∴∠ABF＝90°，由射影定理得OB2＝OF×OA，∴b2＝ca，又∵c2＝a2+b2，∴c2＝a2+ca，∴a2+ca﹣c2＝0，∴1+e﹣e2＝0，解得e＝或（舍），∴e＝．故选：B．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．【解答】解：由三视图判断几何体是上半球前后、左右各切割去球体的球，∴几何体的表面积S＝2π×12+6×π×12+×4π×12＝2π+π+π＝π．故选：D．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）＝sin x，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，∴f′（x）＝（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x＝﹣1时，f′（x）＝2×1006+1＝2013＞0，当x≠﹣1时，f′（x）＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012＝（1﹣x）•+x2012＝＞0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；又f（0）＝1，f（﹣1）＝﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．∵g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，∴g′（x）＝（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012＝﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+ (x2012)＝﹣f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）＝﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），∵n≥2时，﹣＝＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b﹣a）min＝6﹣（﹣4）＝10．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则6．【解答】解：由题意可得＝•（+）＝+||•||cos120°＝9+＝6，故答案为：6．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为3．【解答】解：设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为××2＝3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为4024．【解答】解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：x2+y2﹣4x﹣4y﹣（x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y）＝0，化简得：（a n﹣2）x+（a2013﹣2）y＝0，﹣n∵圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0的标准方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，代入AB的方程得：2（a n﹣2）+2（a2013﹣2）＝0，﹣n即a n+a2013﹣n＝4，∴{a n}的所有项的和为a1+a2+…+a2012＝（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）＝1006×4＝4024．故答案为：4024．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为③①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．【解答】解：由已知中，f（x）＝sin（x﹣[x]），[x]表示不超过x的最大整数，可得f（1.5）＝sin（1.5﹣[1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝sin（﹣1.5﹣[﹣1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝f（1.5）≠0，故①y＝f（x）是奇函数错误；f（x+1）＝sin（x+1﹣[x+1]）＝sin（x+1﹣[x]﹣1）＝sin（x﹣[x]）＝f（x），1＜2π，故②y＝f（x）是周期函数，周期为2π错误；由g（x）＝x﹣[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y＝f（x）＝sin（x﹣[x]）∈[0，sin1），即y＝f（x）的最小值为0，无最大值，故③正确；④错误．综上，正确序号为③．故答案为：③三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S5﹣S2＝3a1+9d＝27，又a1＝3，则d＝2，故a n＝2n+1；（2）由（1）可得，由S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，∴，即n（n+2）2（n+4）＝8（2n+4）2，化简得n2+4n﹣32＝0，解得n＝4或n＝﹣8（舍），∴n的值为4．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（cos x+sin x，﹣）∴（）•＝cos x（cos x+sin x）+＝（1+cos2x）+sin2x+…（2分）∴f（x）＝（1+cos2x）+sin2x+＝sin2x+cos2x+2＝sin（2x+）+2…（5分）．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）＝sin（2A+）+2∵A为锐角，＜2A+＜∴当2A+＝时，即A＝时，f（x）有最大值3，…（8分）由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，∴b＝1或b＝2，…（10分）∵△ABC的面积S＝bc sin A∴当b＝1时，S＝×1××sin＝；当当b＝2时，S＝×2××sin ＝．…（12分）综上所述，得A＝，b＝1，S△ABC ＝或A＝，b＝2，S△ABC＝．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）又∵EO⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE…（4分）（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AE⊥A1D，又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1＝A∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E∴A1D⊥D1E…．（4分）解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），∵设平面D1EC的法向量为＝（x，y，z）则，得取＝（2﹣y0，1，2）是平面D1EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为＝（0，0，1），要使二面角D1﹣EC﹣D的大小为，而解得：，当AE＝时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为…（6分）20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．【解答】解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c＝2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即＝，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意知F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣﹣alnx，其定义域为（0，+∞），则F′（x）＝1+﹣＝，对于m（x）＝x2﹣ax+1，有△＝a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，F′（x）≥0，∴F（x）的单调增区间为（0，+∞）；②当a＞2时，F′（x）＝0的两根为，∴F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．综上：当﹣2≤a≤2时，F（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞2时，F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．（2）由于h（x）＝f（x）+g（x）＝x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）＝1++＝，若h′（x）＝0两根分别为x1，x2，则有x1•x2＝1，x1+x2＝﹣a，∴x2＝，从而有a＝﹣x1﹣，令H（x）＝[x﹣+（﹣x﹣）lnx]﹣[﹣x+（﹣x﹣）ln]＝2[（﹣x﹣）lnx+x ﹣]，则H′（x）＝2（﹣1）lnx＝．当时，H′（x）＜0，∴H（x）在上单调递减，又H（x1）＝h（x1）﹣h（）＝h（x1）﹣h（x2），∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为[H（x）]min＝H（）＝5ln2﹣3．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO＝∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO＝∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF＝∠CEB，∠ABC＝∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．【解答】解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，∴圆C方程为x2+（y﹣4）2＝16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ＝8sinθ．（2）由题意得，直线l的普通方程为x﹣y﹣5﹣＝0，圆心CC到l的距离为d＝＝＞4，∴直线l与圆C相离．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2＝4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）＝（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）第21页（共21页）。

吉林省长春市2014届高三第四次调研测试文科数学试卷(带解析)

吉林省长春市2014届高三第四次调研测试文科数学试卷（带解析）1．设全集=U R ，={x|<0}2xA x -，B={x|2<2}x ，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðUB A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ．考点：集合的运算.2．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（）A ．2B ．3C ．．【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ．考点：复数的运算.3．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】试题分析：A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ．考点：线面关系.4．设变量,x y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（） A ．1，-1 B ．2，-2 C ．1，-2 D ．2，-1 【答案】B 【解析】试题分析：由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ．考点：线性规划.5．按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（）A ．6B ．21C ．5050D ．231 【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ．考点：程序框图. 6．已知3tan 24α=，(0,)4πα∈，则sin cos sin cos αααα+=-（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】D 【解析】试题分析：432tan =α，即43t a n 1t a n 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．考点：倍角公式、齐次式.7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．13 【答案】D 【解析】试题分析：观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ．考点：茎叶图、中位数.8．曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A ．15- B ．15- C 1 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ．考点：抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系. 9．右图为几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ．π B ．43π C ．53π D ．2π【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体由一个底面半径为1，高为1的圆柱，和一个半径为1的四分之一球构成的，故πππ343441=⨯+=V ，故选B ．考点：三视图.·10．双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A 【答案】A 【解析】试题分析：在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c2332=，化简得3=a c ，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其几何性质.11．已知函数()1f x x =，g()2x x x =+，()ln h x x x =+的零点分别为123,,x x x ，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．312x x x <<D ．231x x x << 【答案】D【解析】试题分析：令0)(=x f ，0)(=x g ， 0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．考点：函数图象、零点的概念. 12．若不等式12(1)(1)lg(1)lg x x x xn a n x n n+++-+-≥-对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[0,)+∞ B ．(,0]-∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,]2-∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由n x nn a n xx x x lg )1()1()1(21lg-≥-+-+++ 得1)1()1(21-≥-+-+++x xx x x n nn a n ，即x x x x x n n a n ≥-+-+⋯++)1()1(21 即x x x n )1(21-+++ xan ≥∴x xx n n n n a )1()2()1(-+++≤ ，令xx x nn n n x f )1()2()1()(-+++= 由于2≥n ，故)(x f 在]1,(-∞上为减函数，故212)1(1121)1()(-=-⋅=-+++=≥n n n n n n n n f x f 21≥，∴21≤a 即可，故选D ．考点：对数式的运算、恒成立问题、函数单调性.13．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频率之和等于27，则n 等于 . 【答案】60 【解析】试题分析：n27146432432=+++++++，解得60=n ．考点：频率分布直方图.14．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且()()0c a c b --=，则向量c 的坐标为 .【答案】)3,1( 【解析】试题分析：设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ，∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得： 0322=-+-y y x x ① 又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．考点：向量的运算.15．已知*111()1(,4)23f n n N n n =++++∈≥，经计算得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 . 【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n【解析】试题分析：24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n 考点：归纳推理.16．设a ，b 为实数，关于x 的方程22(18)(18)0x x a x x b -+-+=的4个实数根构成以d 为公差的等差数列，若[0,4]d ∈，则a b +的取值范围是 . 【答案】]162,122[ 【解析】试题分析：设4个实数根依次为d m d m d m m 3,2,,+++，由等差数列性质，不妨设d m m 3,+为2180x x a -+=的两个实数根，则d m d m 2,++为方程2180x x b -+=的两个根，由韦达定理1832=+d m ，即d m 239-=，又a d m m =+)3(，b d m d m =++)2)((,故b a +)219)(219()239)(239(d d d d +-++-=2241814981d d -+-=225162d -= ]16,0[2∈d ，∴b a +]162,122[∈，即b a +的取值范围是]162,122[．考点：等差数列的性质、函数值域.17．如图，ABC ∆是的内接三角形，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，PA=PE ，045ABC ∠=，PD=1，DB=8.（1）求ABP ∆的面积；（2）求弦AC 的长.【答案】（1）272；（2）【解析】试题分析：本题主要考查圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，先利用切线的性质得到PAE ∠=45ABC ∠=︒，所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以利用三角形面积求△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272；第二问，在Rt △APE 中，利用勾股定理得AE =，2,6ED EB ==，再由相交弦定理得出=AC（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒，1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ，4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． 5分（2）在Rt△APE 中，由勾股定理得AE =6分又2=-=PD EP ED ， 6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC9分所以222312==EC ，故=AC 10分考点：圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理.18．将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图形向右平移4π个单位后得到()g x 的图像，已知()g x 的部分图像如图所示，该图像与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点P 、Q ，点M 为最高点，且MPQ ∆的面积为2π. （1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =，且a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）()2sin(2)6g x x π=+；（2）435. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的解析式，由解析式得最大值M=2，利用三角形面积公式可得到||PQ ，而周期2||T PQ =，利用周期的计算公式得到2ω=，又因为()g x 过(0,1)F ，代入解析式得到ϕ的值，从而得到()g x 的解析式；第二问，先利用()1g A =，利用特殊角的三角函数值得到角A 的大小，再利用余弦定理得到b 和c 的一个关系式，利用基本不等式得到5bc ≤，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值. （1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω 2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ．6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=22510分 ∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． 12分考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式. 19．由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元）的数据资料算得如下结果，52190ii x==∑，51112i i i x y ==∑，5120i i x ==∑，5125i i y ==∑.（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程^^^y b x a =+；（2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.（附：在线性回归方程^^^y b x a =+中，）^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，^^a yb x =-，其中x ，y 为样本平均值.)【答案】（1）2.02.1ˆ+=x y ；（2）变量x 与y 之间是正相关，8.9万元.【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用已知的数值及公式先计算^b ，再利用^^a y b x =-计算^a ，从而得到线性回归方程；第二问，①在^^^y b x a =+中，当^0b >时，变量x 与y 之间是正相关，当^0b <时，变量x 与y 之间是负相关，本题是正相关；②使用年限即x 的值，而维修费用是y 的值，代入回归方程中求函数值y 即可.（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． 6分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． 9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元． 12分考点：线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断.20．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（1）求证：1BC D E ⊥；（2）若1AA ，求三棱锥11DB CB -的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）13. 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得CD BC ⊥，1CC BC ⊥，所以利用线面平行的判定得⊥BC 平面11D DCC ，再利用线面垂直的性质，得1⊥BC D E ；第二问，利用1DD E ∆和1D EC ∆中的边长和角的关系，得到11CD DD ⊥，由于11//BC A D ，所以⊥11D A 平面11D DCC ，所以利用线面垂直的性质得⊥11D A 1CD ，利用线面垂直的判定得1CD ⊥平面11A ADD ，由于平面11A ADD 平行平面1B BC ，所以得到1CD ⊥平面1B BC ，所以1CD 是三棱锥的高，最后利用三棱锥的体积公式计算. （1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC 3分 ∵⊂E D 1平面11D DCC∴1⊥BC D E ． 6分（2）解法一：211==AA DD ， 1=DE ，1D E CD ⊥∴△ED D 1为等腰直角三角形，∴145DD E ∠=︒连结1CD ，则11CD DD ⊥，且1CD 由（1）⊥BC 平面11D DCC ，∴⊥11D A 平面11D DCC ∴⊥11D A 1CD ∴1CD ⊥平面11A ADD ∴1CD ⊥平面1B B9分 ∴1111111113323B BCD B CB V S CD -=⋅⋅=⨯⨯△三棱锥．12分解法二：∵1D E CD ⊥,且22AB BC == ∴在Rt△ED D 1中，211==AA DD ，1=DE ，得11=E D9分∴三棱锥11D B CB -的体积：1111112D B CB B C CBV V --=三棱锥四棱锥D 16=⋅1111ABCD A B C D V -四棱柱16ABCD S =⋅四边形1D E⋅1121163=⨯⨯⨯=． 12分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积. 21．（本小题满分12分）已知直线l ：220mx y m -+= ()m R ∈和椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 的离心率为2，连结椭圆的四个顶点形成四边形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围；（3）当2m =时，设直线l 与y 轴的交点为P ，M 为椭圆C 上的动点，求线段PM 长度的最大值.【答案】（1）1222=+y x ；（2）22<<-m ；（3）|MP |取得最大值3. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、两点间的距离公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的标准方程，利用离心率求出基本量a 和b ，从而得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，由于直线与椭圆交于2个点，所以消参后的方程的判别式大于0，解不等式求出m 的取值范围；第三问，将m=2代入，直接得到直线l 的方程，从而得到p 点坐标，设出p 点坐标，则利用两点间距离公式可求出||PM ，利用点M 在椭圆上，转化x ，通过配方法求函数的最值. （1）由离心率22=e ，得a c b 22== 又因为222=ab ，所以1,2==b a ，即椭圆标准方程为1222=+y x ． 4分（2）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222y x m x m y 消y 得：0222)21(2222=-+++m x m x m ．所以0)22)(21(44224>-+-=∆m m m ，可化为 022<-m 解得22<<-m ． 8分（3）由l ：20x y -+=,设0=x ，则2=y , 所以)2,0(P9分设),(y x M 满足1222=+y x , 则64)2(22)2(||222222+--=-+-=-+=y y y y y x PM |10)2(2++-=y 因为11≤≤-y ，所以11分当1-=y 时，|MP |取得最大值3． 12分考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、两点间的距离公式、配方法求函数最值. 22．已知函数1()1,()ln x x f x g x x x e-=-=-. （1）证明：()1g x ≥；（2）证明：21(ln )()1x x f x e ->-. 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对函数()g x 求导，利用'()0()g x g x >⇒单调递增，'()0()g x g x <⇒单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值的位置；第二问，因为()ln g x x x =-，所以21(ln )()1x x f x e ->-转化为21()()1g x f x e >-，结合第一问的结论()1g x ≥，所以只需证明21()1f x e>-，通过对()f x 求导即可.xx x g 1)(-='， 1分当10<<x 时，0)(<'x g ，当1>x 时，0)(>'x g 即)(x g 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数4分 ∴1)1()(=≥g x g ，得证． 5分（2）1()1xx f x e -=-，xe x xf 2)(-='，6分∴20<<x 时，0)(<'x f ，2>x 时，0)(>'x f 即)(x f 在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e f x f -=≥ 8分又由（1）ln 1x x -≥10分 ∴21(ln )()1x x f x e ->-．12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.23．长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BA PA =，点P 的轨迹为曲线C.（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点D (0,2)-距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）；（2）||PD 取得最大值3212. 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P 点的横纵坐标，写出曲线C 的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到2||PD ，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设),(y x P ，由题设可知，则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． 5分（2）由（1）得=2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． 10分考点：参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.24．已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】（1）3；（2）31-≤x 或35≥x . 【解析】试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用基本不等式先求函数a b +的最大值，再利用恒成立问题得到m 的最小值为3；第二问，由3≤+b a ，先将“2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立”转化为“2|1|||3x x -+≥”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到x 的取值范围.（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a ∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． 5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35x ． 10分考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法.。

吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科综合试题(扫描版,答案不全).pdf

2014年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 201年长春市高中毕业班第次调研测试理科综合能力测试14．【试题答案】C 【命题立意】【解析】，所以B错误；重力场线的分布类似于孤立的负点电荷产生的电场线，所以D错误。

15．【试题答案】B 【命题立意】【解析】在10s末时，质点的速度A错误；在0～10s内，质点所受合外力的方向与速度方向相反B正确；在8s和12s，质点的加速度方向相C错误；在20s内，质点的位移为D错误。

16．【试题答案】【命题立意】【解析】17．【试题答案】【命题立意】【解析】，由平抛运动规律和圆周的几何条件可知，，，解得:。

18．【试题答案】B 【命题立意】【解析】由图象信息可知，小球下落阶段的加速度大小5m/s2,由受力分析得所以可解得小球受到的空气阻力大小为1N;小球上升阶段的加速度,可得s；在0—t1时间内，空气阻力对小球做的负功等于2.8J；小球在碰撞过程中损失机械能等于1.6J，综上，答案选择B．【试题答案】A 【命题立意】【解析】，，联立可得：，，所以AD正确。

20．【试题答案】【命题立意】【解析】,离子在磁场中运动半径一定相等，B选项正确；在运动半径相同且r>R的情况下，由几何知识可知，粒子运动的轨迹小于半个圆周，弦越长所对应的圆心角越大，运动时间越长，所以C选项正确，D选项错误。

21．【试题答案】A【命题立意】【解析】则有；在o点，，所以有可能同理可得有可能；综上，答案选择BC。

22．【试题答案】（分）【命题立意】【解析】“小盘和子的总质量远远小于滑块(带挡光片)的质量”这个条件23．【试题答案】（1分）(2) 3（3分）【命题立意】【解析】。

将该电路整体视为等效电源，红、黑表笔相当于等效电源的负极和正极，此时等效电源外电路处于断路，红、黑表笔间电压的大小等于等效电源电动势大小，红、黑表笔分别与电流计负、正接线柱电势相等，所以。

吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷(带解析)

吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷（带解析）1．设全集=U R ，={x|<0}2xA x -，B={x|2<2}x ，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðUB A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ．考点：集合的运算.2．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（）A ．2B ．3C ．．【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ．考点：复数的运算.3．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】试题分析：A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ．考点：线面关系.4．设变量,x y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（） A ．1，-1 B ．2，-2 C ．1，-2 D ．2，-1 【答案】B 【解析】试题分析：由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ．考点：线性规划.5．按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（）A ．6B ．21C ．5050D ．231 【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ．考点：程序框图. 6．已知3tan 24α=，(0,)4πα∈，则sin cos sin cos αααα+=-（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】D 【解析】试题分析：432tan =α，即43t a n 1t a n 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．考点：倍角公式、齐次式.7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．13 【答案】D 【解析】试题分析：观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ．考点：茎叶图、中位数.8．曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A ．15- B ．15- C 1 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ．考点：抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系.9．双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A 【答案】A【解析】试题分析：在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c2332=，化简得3=a c ，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其几何性质.10．将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置. 若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A 3B 3C 3D 3 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24，易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ．考点：四棱锥的体积.11．已知函数()1f x x =，g()2x x x =+，()ln h x x x =+的零点分别为123,,x x x ，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．312x x x <<D ．231x x x << 【答案】D 【解析】试题分析：令0)(=x f ，0)(=x g ， 0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．考点：函数图象、零点的概念.12．设数列2sin1sin 2sin 222n n na =+++，则对任意正整数,(m n)m n >都成立的是（） A ．||2n m mn a a -> B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->【答案】C【解析】试题分析：|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++)212121(21212121221nm n m n n -+++++=+++<n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．考点：绝对值的基本性质、放缩放.13．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ，任取一袋大米，质量不足9.8kg 的概率为 .（精确到0.0001）【答案】0.0228 【解析】试题分析：设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N ，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg 8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ．考点：正态分布.14．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且()()0c a c b --=，则向量c 的坐标为 .【答案】)3,1( 【解析】试题分析：设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得： 0322=-+-y y x x ①又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．考点：向量的运算.15．已知*111()1(,4)23f n n N n n =++++∈≥，经计算得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 . 【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n【解析】试题分析：24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n 考点：归纳推理.16．设a ，b 为实数，关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的4个实数根构成以q 为公比的等比数列，若[2q ∈，则ab 的取值范围是 . 【答案】[]4,18 【解析】试题分析：设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18．考点：等比数列的性质、函数值域.17．将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图形向右平移4π个单位后得到()g x 的图像，已知()g x 的部分图像如图所示，该图像与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点P 、Q ，点M 为最高点，且MPQ ∆的面积为2π.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =，且a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）()2sin(2)6g x x π=+；（2）435. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的解析式，由解析式得最大值M=2，利用三角形面积公式可得到||PQ ，而周期2||T PQ =，利用周期的计算公式得到2ω=，又因为()g x 过(0,1)F ，代入解析式得到ϕ的值，从而得到()g x 的解析式；第二问，先利用()1g A =，利用特殊角的三角函数值得到角A 的大小，再利用余弦定理得到b 和c 的一个关系式，利用基本不等式得到5bc ≤，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值. （1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω 2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ．6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=22510分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． 12分考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式. 18．由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元）的数据资料算得如下结果，52190ii x==∑，51112i i i x y ==∑，5120i i x ==∑，5125i i y ==∑.（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程^^^y b x a =+；（2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.（附：在线性回归方程^^^y b x a =+中，）^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，^^a yb x =-，其中x ，y 为样本平均值.)【答案】（1）2.02.1ˆ+=x y ；（2）变量x 与y 之间是正相关，8.9万元.【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用已知的数值及公式先计算^b ，再利用^^a y b x =-计算^a ，从而得到线性回归方程；第二问，①在^^^y b x a =+中，当^0b >时，变量x 与y 之间是正相关，当^0b <时，变量x 与y 之间是负相关，本题是正相关；②使用年限即x 的值，而维修费用是y 的值，代入回归方程中求函数值y 即可.（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a5分 ∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． 6分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． 9分 ②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．12分考点：线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断.19．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（1）求证：1BC D E ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）11D E =.【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得CD BC ⊥，1CC BC ⊥，所以利用线面平行的判定得⊥BC 平面11D DCC ，再利用线面垂直的性质，得1⊥BC D E ；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面11BCC B 和平面1BED 的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段1D E 的长度..（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC 3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． 6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1，则平面11ADD A 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC =∴E D 1⊥底面ABCD ，∴1D E AE ⊥∴⊥AE 平面1BED 9过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan =⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EGED FG EG 1=，求得11D E =．12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC = ∴ED 1⊥底面A B C7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图． 8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x = ∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED = 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x 令1=x ，得)0,1,1(-=n 9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为 (1,0,0)CB =，1(1,1,)CB a =，由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a =-． 10分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，得 ||cos ,cos 32m n m n m n π⋅<>===，解得1a =．即线段1D E 的长度为1． 12分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.20．如图12,F F 为椭圆C：22221x y a b+=(0)ab >>的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =，2DEF ∆的面积为1.若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭圆”，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭圆”分别为P ，Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线方程为2622+=x y 或2622--=x y . 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l 过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ 为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明OQ OP ⊥，解出k 的值.（1）由题意，e =23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a 2分又222c b a =-得： 1,2==b a∴椭圆C 的标准方程：2214x y +=． 5分 (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ．而021≠=⋅ 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P 由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x 9分若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x OQ y x OP ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． 12分考点：椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.21．已知函数2()()x x ax f x x a R e+=-∈. （1）当1a =时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥；（2）当1a =-时，证明：2ln 1(1)()1x f x x e->-. 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当0x ≥时，()0f x ≥转化为()0g x ≥，对函数()g x 求导，利用'()0()g x g x >⇒单调递增，'()0()g x g x <⇒单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将2ln 1(1)()1x f x x e ->-转化为ln 1x x -≥且21111x x e e--≥-，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--，令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0xx f x g x e =≥，得证． 6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，x x x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 9分∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，xe x x 2)(-='ϕ， ∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． 12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.22．如图，ABC ∆是的内接三角形，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交圆O于点D ，PA=PE ，045ABC ∠=，PD=1，DB=8.（1）求ABP ∆的面积；（2）求弦AC 的长.【答案】（1）272；（2）【解析】试题分析：本题主要考查圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，先利用切线的性质得到PAE ∠=45ABC ∠=︒，所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以利用三角形面积求△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272；第二问，在Rt △APE 中，利用勾股定理得AE =，2,6ED EB ==，再由相交弦定理得出=AC（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， 1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ，4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． 5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = 6分又2=-=PD EP ED ， 6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC 9分所以222312==EC ，故=AC 10分考点：圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理.23．长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BA PA =，点P 的轨迹为曲线C.（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点D (0,2)-距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）；（2）||PD 取得最大值3212. 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P 点的横纵坐标，写出曲线C 的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到2||PD ，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设),(y x P ，由题设可知，则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． 5分（2）由（1）得 =2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． 10分考点：参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.24．已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）3；（2）31-≤x 或35≥x . 【解析】试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用基本不等式先求函数a b +的最大值，再利用恒成立问题得到m 的最小值为3；第二问，由3≤+b a ，先将“2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立”转化为“2|1|||3x x -+≥”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到x 的取值范围.（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． 5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． 10分考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法.。

吉林省吉林市普通高中2014届高三上学期摸底测试数学(理)试题Word版含答案

吉林市普通中学2013＋2014学年度高中毕业班摸底测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分＊共22小题＊共150分＊共4页＊考试时间120分钟＊考试结束后＊将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项，1．答题前＊考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上＊认真核对条形码上的姓名、准考证号＊并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动＊用橡皮擦干净后＊再选涂其他答案的标号－非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写＊字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答＊超出答题区域书写的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题，本大题共12题＊每小题5分＊共60分＊在每小题给出的四个选项中＊只有一个是符合题目要求。

1．已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>＊则A B =A. {}|24x x -<<B. {}|3x x >C. {}|34x x <<D. {}|23x x -<<2.复数ii -+13等于A. i 21-B. i 21+C. i -2D. i +23. ()tan sin 1f x x x =++＊若2)(=b f ＊则=-)(b fA. 0B. 3C. -1D. -24. 如图.程序输出的结果s=132 ,则判断框中应填A. i ≥10?B. i ≥11?C. i ≤11?D. i ≥12?5.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课＊要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课＊则这天课表的不同排法种数为A. 600B. 288C. 480D. 5046.设nm ,是两条不同的直线＊,αβ是两个不同的平面＊有下列四个命题，①若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,－②若βαβα//,,//m m 则⊂－③若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,－④若//,//,//m m αβαβ则其中正确命题的序号是A. ①③B. ①②C.③④D.②③7. 平行四边形ABCD 中＊AB =（1＊0）＊AC =（2＊2）＊则AD BD⋅等于A ．4 B．-4 C．2 D．-28.已知关于x的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32＊常数项为80＊则a的值为A. 1B. ±1C. 2D. ±29.某几何体的三视图如图所示＊则它的体积是A．8B．8+C．8 D ．32310.已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><＊其图象相邻的两条对称轴方程为x =与2x π=＊则A ．()f x 的最小正周期为2π＊且在(0,)π上为单调递增函数B．()f x 的最小正周期为2π＊且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π＊且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π＊且在(0,)2π上为单调递减函数11.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F＊直线ca x 2=与其渐近线交于A＊B两点＊且△ABF为钝角三角形＊则双曲线离心率的取值范围是A. （∞+，3） B. （1＊3）C. （∞+，2）D.（1＊2）12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-＊当11x -≤＜时＊3()f x x =＊若函数()()log a g x f x x=-至少6个零点＊则a的取值范围是A. 10,5,5+∞（]（）B. 10,[5,5+∞（）） C. 11,]5,775（（）D. 11,[5,775（））第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题，本大题共4小题＊每小题5分＊共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC 中＊角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ＊已知2a =＊3c =＊60B =︒．则b =14.设变量yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-07202201y x y x y x ＊则y x z +=的最大值是15.下列说法，①“R x ∈∃＊使x 2>3”的否定是“Rx ∈∀＊使≤x 23”－②函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π－③ “在ABC∆中＊若sin sin A B>＊则A B>”的逆命题是真命题－④“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件－其中正确的说法是（只填序号）.16.四面体ABCD中＊共顶点A的三条棱两两相互垂直＊且其长别分为1、6、3＊若四面体ABCD 的四个项点同在一个球面上＊则这个球的表面积为。

数学_2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷(二)(理科)(含答案)

2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷（二）（理科）一、选择题 1. 复数(12+√32i)3的值是（）A −1B 1C −iD i2. 设集合M ={x|f(x)=0}，N ={x|g(x)=0}，则集合P ={x|f(x)⋅g(x)=0}一定（）A 等于M ∩NB 等于M ∪NC 等于 M 或ND 以上都不对3. 把函数y =log 2(x −2)+3的图象按向量a →平移，得到函数y =log 2(x +1)−1的图象，则a →等于（）A (−3, −4)B (3, 4)C (−3, 4)D (3, −4) 4. 在△ABC 中，若acosA =bcosB =ccosC ，则△ABC 是（）A 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形5. 若直线y =23x +2绕其与y 轴的交点逆时针旋转π4，则此时直线在x 轴上的截距是（） A −54B −45C −25D 256. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题， ①若a ⊥b ，a ⊥α，则b // α； ②若a // α，α⊥β，则a ⊥β； ③a ⊥β，α⊥β，则a // α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题的个数是( )A 0个B 1个C 2个D 3个7. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（） A 40种 B 50种 C 60种 D 70种8. 设OM →=(1, 12)，ON →=(0, 1)，则满足条件0≤OP →⋅ON →≤1，0≤OP →⋅OM →≤1的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A B C D9. 我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大视角为（）A 2arcsin63716721 B 2arcsin63716571C 2arccos63716721D 2arccos6371657110. 设f(x)=3x+√3，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(−12)+ f(−11)+f(−10)+...+f(0)+...+f(11)+f(12)+f(13)的值为（）A √3B 13√3C 283√3 D 133√311. 若函数f(x)={x2x≤1ax+bx>1在x=1处可导，则实数a和b的值分别是（）A 1和0B 2和−1C 1和−2D 0和112. 某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第（）层．A 15B 14C 13D 12二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 直线y=x−1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是________．14. 函数y=sin2x+sin(2x+π3 )cos2x+cos(2x+π3)的最小正周期是________．15. 不等式x+|x2−1|>1的解集为________．16. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有下列命题：①存在直线l1与正方体的所有棱都成等角α1，且tanα1=√2；②存在直线l2与正方体的各面都成等角α2，且tanα2=√22；③存在平面M1与正方体的各条棱所成的角都等于α3，且sinα3=√33；④存在平面M2与正方体的各面所成的锐角都等于α4，且sinα4=√63．其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知△ABC中，角A、B、C对应的边为a、b、c，A=2B，cosB=√63，求sinC的值．18. 如图1，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A−DEF如图2．（I）求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值；（II ）设点M 、N 分别在AD 、EF 上，AM MD=EN NF=λ（λ>0，λ为变量）．①当λ为何值时，MN 为异面直线AD 与EF 的公垂线段？请证明你的结论；②设异面直线MN 与AE 所成的角为α，异面直线MN 与DF 所成的角为β，试求α+β的值． 19. 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲队胜乙队的局数，求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）． 20. 已知函数f(x)=x 3−(a +b)x 2+abx ，这里0<a <b ．（1）设f(x)在x =s 与x =t 处取得极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b ；（2）设点A （s, f(s)），B （t, f(t)），求证：线段AB 的中点C 在曲线y =f(x)上．21.如图：A 1、A 2是椭圆x 2a2+y 2b 2=1的左右顶点，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)是椭圆的两个焦点，若A 1F 1→=λF 1A 2→，A 1F 2→=μF 2A 2→，则λ+μ=2(a 2+c 2)b 2．如果A 是椭圆(a >b >0)上的任意一点，直线AF 1、AF 2分别和椭圆的交于分B 、C 两点，且AF 1→=λ1F 1B →，AF 2→=λ2F 2C →，那么λ1+λ2能否还为定值2(a 2+c 2)b 2？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．22. 过点P(1, 0)作曲线C:y =x k (x ∈(0, +∞)，k >1)的切线，切点为Q 1，设点Q 1在x 轴上的投影是点P 1；又过点P 1作曲线C 的切线，切点为Q 2，设点Q 2在x 轴上的投影是点P 2；…依次下去，得到一系列点Q 1，Q 2，…Q n ，…，设点Q n 的横坐标为a n ．（1）求证：a n =(kk−1)n ，n ∈N ∗；（2）求证：a n ≥1+n k−1；（3）求证：1a 1+2a 2+3a 3…+n a n<k 2−k ．2014年吉林省长春市某校高三数学综合训练试卷（二）（理科）答案1. A2. D3. A4. B5. C6. B7. B8. A9. B 10. D 11. B 12. B 13. (3, 2) 14. π215. {x|x <−2 或0<x <1 或x >1} 16. ①②③④17. 解：∵ A =2B ，∴ sinA =sin2B =2sinBcosB ， ∵ cosB =√63，∴ sinA =2√63sinB ，又sinB =√1−cos 2B =√33，∴ sinA =2√23又cosB =√63>√22，∴ 0<B <π4，∴ 0<A <π2，∴ cosA =√1−sin 2A =13，∴ sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB=2√23×√63+13×√33=5√3918. （I ）解：如图，取DE 的中点G ，连结AG 、FG ，由题意得AD =AE ，△DEF 为正三角形，得AG ⊥DE ， ∴ ∠AGF 为平面ADE 与底面DEF 所成二面角的平面角，由题意得AG =FG =√32，在△AGF 中， cos∠AFG =(√32)2+(√32)2−122×√32×√32=13．（II ）①当λ为1时，MN 为异面直线AD 与EF 的公垂线．当λ=1时，M 为AD 中点，N 为EF 中点，连结AN ，DN ，由题意知AN =DN =√32， ∴ MN ⊥AD ，同理可证MN ⊥EF ，∴ λ=1时，MN 为异面直线AD 与EF 的公垂线． ②过点M 作MH // DF ，交AF 于H ，则∠HNM 为异面直线MN 与DF 所成的角，由HN // DF ，得AHHF =AMMD ，又AMMD =ENNF ，∴AH HF=EN NF，∴ HN // AE ，∠MNH 为异面直线MN 与AE 所成的角， ∴ α+β=∠MNH +HMN =π−∠MHN ，由题意得，三棱锥A −DEF 是正棱锥，则点A 在底面DEF 上的射影为底面△DEF 的中心，记为O ， ∵ AE 在底面DEF 上的射影EO ⊥DF ，∴ AE ⊥DF ，又∵ HN // AE ，∴ ∠MNH =π2，∴ α+β=∠MNH +HMN =π−∠MHN =π2．19. 解：ξ的所有取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 30(0.6)0(0.4)3=0.064，P(ξ=1)=C 31⋅0.6⋅(0.4)2⋅0.4=0.1152P(ξ=2)=C 42(0.6)2(0.4)20.4=0.13824，P(ξ=3)=C 33(0.6)3(0.4)0+C 32(0.6)2⋅0.4⋅0.6+C 42(0.6)2(0.4)20.6 =0.216+0.2592+0.20736=0.68256，20. 证明：（1）∵ f(x)=x 3−(a +b)x 2+abx ， ∴ f′(x)=3x 2−2(a +b)x +ab则3x 2−2(a +b)x +ab =0的两根是s ，t ∵ f′(0)=ab >0f′(a)=a 2−ab =a(a −b)<0 f′(b)=b(b −a)>0 ∴ 0<s <a <t <b ．（2）设AB 中点C(x 0, y 0)，则x 0=s+t 2，y 0=f(s)+f(t)2，故有s +t =2(a+b)3，st =ab 3，∴ x 0=a+b 3，f(s)+f(t)=(s 3+t 3)−(a +b)(s 2+t 2)+ab(s +t) =−427(a +b)3+23ab(a +b)， ∴ y 0=−227(a +b)2+13ab(a +b)．代入验算可知C 在曲线y =f(x)上． ∴ 线段AB 的中点C 在曲线y =f(x)上． 21. 解：λ1+λ2为定值2(a 2+c 2)b 2，下面给出证明：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)．∴ b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2，b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2，b 2x 32+a 2y 32=a 2b 2．(∗)∵ AF 1→=λ1F 1B →，AF 2→=λ2F 2C →， ∴ −c −x 1=λ1(x 2+c)，−y 1=λ1y 2， c −x 1=λ2(x 3−c)，−y 1=λ2y 3． ∴ x 2=−c−x 1λ1−c ，x 3=c−x 1λ2+c ．代入(∗)可得： [x 1+c(1+λ1)]2=a 2λ12+a 2b 2y 12=a 2λ12+a 2−x 12，[x 1−c(1+λ2)]2=a 2λ22+a 2−x 12，∴ 两式相减可得：x 1=a 2(λ12−λ22)2c(2+λ1+λ2)−c(λ1+λ2)2，代入上式之一可得： λ1+λ2=2(a 2+c 2)b 2．22. 证明：（1）对y =x k 求导数，得y′=kx k−1，点Q n (a n , a n k )的切线方程是y −a n k =ka n k−1(x −a n )．当n =1时，切线过点P 1(1, 0)，即0−a 1k =ka 1k−1(1−a 1)，得a 1=kk−1；当n >1时，切线过点P n−1(a n−1, 0)，即0−a n k =ka n k−1(a n−1−a n )，得a n a n−1=kk−1．∴ 数列{a n }是首项a 1=kk−1，公比为kk−1的等比数列，数列{a n }的通项公式为a n =(kk−1)n ，n ∈N ∗； (II)应用二项式定理，得a n =(kk−1)n =(1+1k−1)n=C n 0+C n 1⋅1k−1+C n 2⋅(1k−1)2+⋯+C n n ⋅(1k−1)n >1−nk−1；(III)a n =(kk−1)n ，令q =k k−1，则a n =q n ，S n =1a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n=1q +2q 2+⋯+nq n ，qS n =1q 2+2q 3+⋯+nq n+1，两式相减，得1 2S n=1q+1q2+⋯+1q n−nq n+1=1q(1−1q n)1−1q−nq n+1，∴ S n=q−n+qq n，则S n=kk−1−n+kk−1(kk−1)n．下面用数学归纳法证明：当n=1时，S n=k−1k<k2−k(k>1)；假设n=m时结论成立，即1a1+2a2+⋯+ma m<k2−k，则当n=m+1时，1a1+2a2+⋯+ma m+m+1a m+1<k2+k+m+1(kk+1)m+1=k2+k+(m+1)(1+1k)m+1<k2+3k+2=(k+1)2+k+1．综上，1a1+2a2+3a3…+na n<k2−k．。

吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试数学(理)试题(纯Word版,含答案)

2014年长春市高中毕业班第二次调研测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）. 1．设集合{}2|<=x x M ，集合{}10|<<=x x N ，则下列关系中正确的是A ．M N =RB ．()M N =R R ðC ．()N M =R R ðD ．M N M =2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0B ．4C ．2D ．23．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b+a c ，则λ的值为A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．已知命题p ：函数12+-=x a y 的图象恒过定点)2,1(；命题q ：若函数y =)1(-x f 为偶函数，则函数y =)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ． p q ⌝∧ D. p q ∨⌝5. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为 A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③第5题图7．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A．5B ．2C ．115D ．38．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种 9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2+2 B．2+2C．(2+π D．2+210．已知函数2()212xf x x x =++-，则()y f x =的图象大致为11.已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上),21,F F 为双曲线的两个焦点,则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上 B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x x f x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)

2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合M= {x|则下列关系中正确的是( )(A).M(B) .M C R N=R2 / 17(C).N C R M=R(D). M N=M2设i是虚数单位，则|1-i-| =( )(A). 0 (B). 4(C) . (D) .3.已知向量a=(1,2), b=(1,0),c=(3,4),若为实数，(b+a)⊥c,则的值为( )A). (B)(C)(D)4.已知命题P：函数y=的图象恒过定点(1，2),命题q：若函数y=f(x-1)为偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 则下列命题为真命题的是( )(A).3 / 174 / 17(B).(C)(D)5.运行如图所示的程序框图，若输出S 为254，则图中的①应为( ) (A).n (B). n(C). .n(D). n ？6.以下四个命题：①.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②．若两个变量的线性相关越强，则它们的相关系数的绝对值越接近1;否是输出sn=n+1s=s+2n①n=1,S=0结束开始③．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,)(>0),若位于区域(0,1)内的概率为0.4，则位于区域(0,2)内的概率为0.8;④．对分类变量X,Y 的随机变量的观测值k 来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大. 其中真命题的序号为( )( A). ①④(B). ②④(C). ①③(D). ②③7.已知直线和直线,抛物线上一动点P 到直线和直线的距离之和的最小值为( )( A). ( B). 2(C). (D).38.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目比赛安 5 / 176 / 17排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的方案共有 ( A). ( B). 42种(C).36种 (D).24种9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ) ( A).(C).2+(1+)10.已知函数f(x)=,则函数y=f(x)的图象大致为( )第9题图1221俯视图左视图正视图7 / 17(A)(B)-5-5-5-55555yy yyxxxxoooo11.已知直线l 与双曲线C 交于A,B 两点(A,B 在同支上)是双曲线的两个焦点，则在(A). 以A,B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上.(B). 以A,B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上.(C). 以A,B 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上. (D)..12.设函数f(x)是定义在(-)上的可导函数，其导函数为,且有2f(x)+x,则不等式(x+2014)2 f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为(A).(B).(C).(D).第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).8 / 1713.ABC中，三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若sin2A+sin2C-sin 2B=sinAsinC,则B= 。

2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)

2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)D2 / 173 / 174 / 175 / 176 / 17抛物线上一动点P 到直线和直线的距离之和的最小值为( ) ( A). ( B). 2(C).(D).38.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目比赛安排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的方案共有 ( A). ( B). 42种(C).36种 (D).24种9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ) ( A).第9题图1221俯视图左视图正视图7 / 17(C).2+(1+)10.已知函数f(x)=,则函数y=f(x)的图象大致为( )(A)(B)-5-5-5-55555yy yyxxxxoooo11.已知直线l 与双曲线C 交于A,B 两点(A,B 在同支上)是双曲线的两个焦点，则在(A). 以A,B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上.(B). 以A,B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上.(C). 以A,B为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上.(D)..12.设函数f(x)是定义在(-)上的可导函数，其导函数为,且有2f(x)+x,则不等式(x+2014)2 f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为(A).(B).(C).(D).8 / 17第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B= 。

14.设()3的展开式常数项a，则直线y=ax与曲线y围成图形的面积为。

第15题图15. 用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边的中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上9 / 17（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为。