2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
[精品]江苏省南通基地2018年高考数学密卷6理
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江苏省南通基地2018年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合，，则= ▲ ．2．已知复数＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且，则实数的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量，．（1）若，，且，求实数的值； （2）若，求的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点、F 分别是线段、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在轴的上方，且PF ⊥轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．（1）设米，米，求y关于的函数关系式及定义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数.(1)当时,求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且,求证;；AOBOCOPO（17题图）FE(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，公比为q(q≠1)．令A＝{|a＝b，∈N*}．(1)若A＝{1，2}，①当a n＝n，求数列{b n}的通项公式；②设a1＞0，q＞0，试比较a n与b n(n≥3)的大小？并证明你的结论．(2)问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O内接四边形ABCD，直线PA与圆O相切于点A，与CD的延长线交于点P，AD·BC＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 求证：对任意，y ∈R,不等式2＋y ＋y 2≥3(＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为 中点，且平面，为线段上一动点，记． （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．23．（本小题满分10分）设函数f n ()＝1++12!2＋…＋1n !n ，n ∈N*．(1)求证：当∈(0，＋∞)时，e ＞f n ()；(2)若＞0，且e ＝f n ()+1(n +1)!n +1e y，求证：0＜y ＜．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．2． 5 解：＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人．4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称， 所以，所以，即，，所以的最小值为．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9． 解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离 ．所以，解得．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．或 解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合； 若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1+ a n+1a n+2＝(n+1)a1a n+2 ②，②－①得，a n+1a n+2＝(n+1)a1a n+2－na1a n +11a1＝n+1a n+1－na n+2 ＝na n－n－1a n+12a n+1＝1a n＋1a n+2，(n≥2)，则a1a2+a2a3＝2a1a32a2＝1a1＋1a3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n＝n+3，a n＝1n+3．代入可得1a1＋1a2＋…＋1a10＝85．13．解：由对称性，只需当时，有两解即可.即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，在上递增. 由图可知，所以．14．解：由条件，．因为，所以，所以，所以．而，所以．由，得，即，所以．二、解答题：15．解：（1）当，时，，又，所以，若，则，即，解得．……7分（2）因为，，所以，因为，所以，则，所以，故当或时，的最大值为6．……14分16．证明：（1）∵ABAC，点F是线段BC的中点，∴AF⊥BC．…………………………………………2分又∵平面底面，AF平面ABC，平面底面，∴AF⊥平面．……………………………………………………………………5分又CC1平面，∴AF⊥CC1，又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………………7分（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点．∵点F是BC的中点，∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AMB1B．∴AM// FE，AMFE．∴四边形AFEM是平行四边形．∴EM // AF．…………………………………………12分又EM平面MBC1，AF平面MBC1，∴AF //平面MBC1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，所以，联立，…………………3分解得，所以椭圆方程为，右准线的方程为. …………………6分（2）设，则直线的方程为，即，联立消去，即得(※)，…………………9分又为方程(※)的一根，所以另一根为，又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，所以.由（1）知，点则直线的斜率，直线的斜率，…………………12分①当的平分线为时，，的斜率，满足，所以，即，所以，故直线AB的方程为－2y－1＝0．……………14分18．（方法一）（1）由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为……………………6分(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则(为常数)，所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为……………………6分（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，则，，由，得，所以因为与共线所以所以由得定义域为……………………6分19．解：(1)当时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则在上有两个不等的实根,设，所以所以在上递减，所以即.(3)由题意知：只需成立即可.因为,所以，因为，所以，而，所以，所以在递增，当时，.所以在上恒成立，令，则在上恒成立，，又当时，,在递减,当时，,所以，所以；当即时，①即时，在上递增，存在，使得，不合；②即时，，在递减,当时，,所以，所以综上, 实数的取值范围为.20．解：(1) 由A＝{1,2}，得a1＝b1，a2＝b2．设数列{a n}公差为d，数列{b n}公比为我q，由a2＝b2a1+ d＝a1q，故d＝a1(q－1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b na +bn ＝pqna p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f ()＝q －t －s ，则f ′()＝q ln q －t 如果t ln q ＜0，则f ()为单调函数，故方程①最多只有一个解； 如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′()＝0得f ′()有唯一零点0＝log qtln q，于是当＞0时， f ′()恒大于0或恒小于0，当＜0时，f ′()恒小于0或恒大于0，这样f ()在区间(0，0)与(0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ． 21B ．解：设M =，则有=，=， 所以且解得，所以M =．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，2+y 2－3－y ＝0，直线 3＋y －2＝0过圆2+y 2－3－y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=2 ＋（y －3) ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷含答案
4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ． 5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面 积 大于 32 cm2 的概率为 ▲ ． 6． 在 △ ABC 中，已知 AB 1 ，， AC 2
B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．
m 的取值范围是
▲
． ▲
． 14．已知 a 为常数，函数 f ( x)
x ax
2
的最小值为 2 ，则 a 的所有值为 3 1 x
2
▲
． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy 中，设向量a cos ，sin ， b sin ， cos ，
y2 1 有公共的渐近线，且经过 3
7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x 2 点
P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为
▲
．
8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过 点
A ( 1 ，2 ) ， B ( 5 ， 1 ) ，则 tan( ) 的值为
c 1， 3 ． 2 2
（1）若 a b c ，求 sin ( ) 的值； （2）设 5π ， 0 π ，且 a // b c ，求 的值． 6 16．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， AB AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1 ， CC 1 上（均异 于 端点） ，且 ∠ ABE ∠ ACF， AE ⊥ BB 1 ， AF⊥CC1． A （第 A F C C1 B16 1 1 题） E B 求证：（1）平面 AEF⊥平面 BB1C1C； （2）BC // 平面 AEF．
江苏省南通基地2018年高考数学密卷2理含答案
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={}，则A∩B= ．2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为．3．函数的定义域为．4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为．5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为．6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为．7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为．8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为．9．若，则的值为．10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为．11．已知为数列{a n}的前n项和，且，，则{a n}的首项的所有可能值为．12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，为轴上一动点，则△ABP周长的最小值为．13．已知函数记，若，则实数的取值范围为．14．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足，则AD长度的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：；C（2）若，求的值．A D B（第15题）16．（本小题满分14分）在正四棱锥中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90cm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价为a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：离心率为，其短轴 长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且， ，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）ACBD（第16题）VE FPEx y OAQD设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数列的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）当时，①若曲线与直线相切，求c的值；②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F．M，N为AB，CD上两点，EM＝EN，点F在MN的延长线上．求证：∠BFM＝∠AFM．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中，，，，，．（1）求矩阵；（2）求向量的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科 是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）已知函数，记，当． （1）求证：在上为增函数；（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1}【解析】依题意，A∩B={1}2．【解析】由于，所以的共轭复数为．3．【解析】由，解得．4． 36【解析】，，输出的结果．5．【解析】由茎叶图可知，，所以甲的方差为；同理乙的方差为，所以比较稳定的是甲．6．【解析】所有等可能的基本事件总数为种，“黑白两球均不在1号盒子”有种，所以概率为．7．【解析】，所以．8．【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．9．【解析】由，得．10． 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中x，得f(2)= f f(2)，所以f，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)=0，所以f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f f(2)= f(1)+0= 4．11．【解析】因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加，得，又，所以，获解．12． 14【解析】设直线l与圆C的一个交点B（5，5）关于x轴的对称点为，易知B恰为圆C的直径，记A与x轴交于点Q，则，所以△ABP的周长的最小值为，易求得结果为14.13．【解析】条件可转化为函数在上存在零点，所以方程有根，所以函数的图象C x yOBA（第12题）PBQ有交点的横坐标在上， 注意到函数的图象为顶点（a ，a ）在直线y =2x 上移动的折线，再考虑临界位置不难求解．14． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，， 设，所以，，， 所以，即，令，则，所以mn =4， 所以．当且仅当5m =n =时，AD 取得最小值． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分） （1）证明：因为， 所以， …… 3分 由正弦定理，得， 所以． …… 6分（2）解：由（1）得，， …… 8分 所以，化简，得． …… 10分又，所以，所以，， …… 12分所以． …… 14分 16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为，，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结，交于点，连结．因为为正四棱锥， 所以．又，所以．…… 8分 又因为，EF ∥AC ，Cx y A BD（第14题）CDVE FO所以EF⊥VO，EF⊥BD．…… 10分又，，所以，…… 12分又，所以平面VBD⊥平面BEF．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，圆锥的体积为，圆柱的体积为．…… 2分因为，所以，所以．…… 4分因为，所以．因此．所以，定义域为．…… 6分（2）圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，底面积．…… 8分容器总造价为．…… 10分令，则．令，得．当时，，在上为单调减函数；当时，，在上为单调增函数．因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．…… 13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．…… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，…… 2分又离心率，所以，…… 4分所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．…… 6分（2）由（1），点A，设，则因为，所以，…… 8分由①得，，由②得，，所以，…… 11分PExyOAQD两边同时乘以k1得，，所以，，代入椭圆的方程得，，…… 14分同理可得，，所以．…… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由，得（），两式相减，得，即（）．…… 2分因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．……4分（2）①由（1）知，，由，得，…… 6分即，即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．…… 8分所以，所以．…… 10分②设，则，所以，两式相减，得，所以．…… 12分由，得，即．显然当时，上式成立，设（），即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．…… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当时，，所以．①设切点为，则…… 2分由②③得，由①得代入④得，所以．…… 4分②由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，令，当时，；当时，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以．…… 6分若，则，不合；若，由①知适合；若，则，又，所以，由零点存在性定理知在上必有零点．综上，c的取值范围为．…… 9分（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，所以当时，对于任意正实数x恒成立，由（1）知，，两边同时乘以x得，①，两边同时加上得，②，所以（*），当且仅当时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，，进而可得，，，……，所以当，时，，当且仅当时取等号．所以．…… 12分当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，令上式中得，，所以，所以对于任意正实数x恒成立，即对于任意正实数x恒成立，所以，所以函数的对称轴，所以，即，所以，． …… 14分 又由，两边同乘以x 2得，， 所以当，时，也恒成立，综上，得，． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设，则有， …… 2分故 解得，所以．…… 5分 （2）由，知，易求， …… 7分 由，得， 所以． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为，…… 5分所以，又因为，所以．…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，则，，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为．…… 4分（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的概率分布为23．（本小题满分10分）（1）证明：因为，所以，因为所以，，所以，所以，所以在上为增函数．…… 4分（2）结论：对于任意，在上均为增函数．证明：①当n=1时，结论显然成立；②假设当n=k时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立．当n=k+1时，，所以又当时，，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数．由①②得证，对于任意，在上均为增函数．…… 10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(2)理
甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则(2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o 45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y xa b a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，111nn n b b ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数； （2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 4【解析】一条渐近线2y x =与右准线x，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 2【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 22x x x ++==．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x，得f (2)= ff (2)，所以f ，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= ff (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．（第12题）12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x a ，a ）在直线14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x = 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以AD 当且仅当5m =n =±AD 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B+=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππV r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r =，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π2r a r r r ⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，， 则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x，1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()2212222112111212112k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n n bb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数； 所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c cch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立，即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝…… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分 （2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数． 证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立， 所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数． 由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。
江苏省南通基地2018年高考理科数学密卷5 含答案
5）理江苏省南通基地2018年高考数学密卷（ 160分）第Ⅰ卷（必做题，共 70分．小题，每小题5分，共一、填空题：本大题共14 ▲．1．集合，若，则= ▲．为虚数单位，)满足，则2．若复数(．从西3 s，绿灯时间为60 s3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为．▲向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．4．函数，的单调减区间为▲．5．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为←2I←0S mI＜WhileIS＋S←3 ＋←I I While EndS Print题第5= ▲．6．如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差▲．7．已知，，且，则的最小值为，直线，，给出下列命题：，β8．已知平面α若，，则；若，，则；②①.，则若，则；④若，③．▲．（填写所有真命题的序号）其中是真命题的是▲．9．等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则=afaxxxfafa构(，且(2)－3)＝10．设为实数，已知函数，则满足条件的()＝|－1|＋|＋1| ▲．成的集合为AF，点11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点是AF两曲线的一个交点，若直线▲．的斜率为，则双曲线的离心率为．已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角12 ▲．的正切值为，，则的值为．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作13 ▲．圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为 14．已知函数．若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值集合为▲．分．小题，共计二、解答题：本大题共690 分）．（本小题满分1415 ，已知，b，cB，C的对边分别为a，在△ABC中，角A，且．）求角的大小；（1 的外接圆的半径为，若，求的值（2）若△ABC分）（本小题满分1416．BCEABCDBCDP是＝60如图，已知四棱锥°，点－2的底面是边长为的菱形，∠边POPOABCDOACDE. ⊥平面的中点，2，3交于点，，且＝PDBC；⊥（1）求证：APFBFPDE，∥平面，使得（2）在线段上找一点PDEF的体积．并求此时四面体17．（本小题满分14分）ABCD建成生态休 5百米的矩形空地为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽EFGABxAB的垂直轴，．以所在直线为闲园，园区内有一景观湖（图中阴影部分）y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数平分线为Px PO=百米．在模型．园区服务中心轴正半轴上，OMOMOM的 1）若在点和景观湖边界曲线上一点，求之间修建一条休闲长廊（最短长度；DEQQPQ最短．，试确定）若在线段（2的位置，使通道上设置一园区出口yEGCDMF xBAOP题）17（第18．（本小题满分16分）P，如图，已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点直线的方程为．（1）求椭圆的方程；EAB两点，，作一条斜率为的直线与椭圆交于（2）已知椭圆内一点，过点MPAPBPM的斜率分别为．问：是否存在常数，，交直线于点，记，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．（1）当时，求；（2）当时，（ⅰ）求证：数列是等差数列；（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：．5）2018年高考模拟试卷（)数学Ⅱ(附加题．、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答、．【选做题】本题包括A、BC21．．．．．．．．．．．．．．．．．分）]（本小题满分10[选修4－1：几何证明选讲A．如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，．过点作于点. 求证：分）（本小题满分104－2：矩阵与变换] [B．选修设点在矩阵对应变换作用下得到点．）求矩阵的逆矩阵；（1CC在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线（2）若曲线的方程．10分）4：坐标系与参数方程]（本小题满分4C．[选修－已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），直线与曲线相交于两点． 1）求的长；（ 2）求点到两点的距离之积．（分）] ：不等式选讲（本小题满分10．[选修4－5D ．已知，且，求证：作答．分，共计20分．请在答卷纸指定区域内22题、第23题，每题10【必做题】第．．．．．．．．PMBCAACABACABACABCAB是棱2，在⊥，22．如图，在直三棱柱－的中点，点中，1111BA 线段上．1ACMPABP所成角的大小；是线段的中点，求直线1（）若与直线1 2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，（BP求线段的长度．A1BC11PNABCM题）22（第23．（本小题满分10分）已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线（切点为，且点在轴上方）．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）抛物线上是否存在点，使得．2018年高考模拟试卷（5）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【答案】0．【解析】因为，所以，又，所以，所以．．【答案】．2．【解析】因为，所以，所以．3．【答案】【解析】遇到红灯的概率为．4．【答案】．【解析】，由，及得函数的单调减区间为．5．【答案】2021．m的取值为2019，2020，【解析】满足条件的正整数2021，m的最大值为2021所以正整数．6．【答案】．【解析】学生8次考试成绩的平均值为87，则标准差为．7．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以的最小值为．8．【答案】③④【解析】对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对．9．【答案】19．【解析】因为数列是等差数列，设公差为，则，所以，又也为等差数列，所以，所以．10．【答案】【解析】由由，得或或解得或．11．【答案】．AF的斜率为，所以【解析】如图所示AFAB，所以是等边三角形，＝且所以，所以，所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．12．【答案】．【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以．13．【答案】．【解析】由得，所以，所以，设，所以，P在圆上及圆内，即，点EFEF=．所以为直线截圆所得的弦，所以14．【答案】．【解析】令，，所以函数在上递增，在上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与切于点，所以函数的图象是不间断的，故．二、解答题：15．解：（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以．由余弦定理知，，即，所以，即，因为所以所以△ABC为直角三角形，且所以。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为3，则该三棱柱的体积是▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． 17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，A BCP（17题图）FE求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝fn (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，C2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144． 9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32． 11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合； 若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝na n－n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点，∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ． ∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M CFDD解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S=⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝ap，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q＜0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q＞0，且不妨设由f ′(x)＝0得f ′(x)有唯一零点x0＝log q tln q，于是当x＞x0时，f ′(x)恒大于0或恒小于0，当x＜x0时，f ′(x)恒小于0或恒大于0，这样f(x)在区间(0，x0)与(x0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解．……………………10分当q＜0时，如果t＞0．如果n为奇数，则方程①变为|q|n+tn+s＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n为偶数，则方程①变为|q|n－tn－s＝0．由q＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A中的元素个数最多有3个．………………………………12分再由当a n＝6n－8，，b n＝(－2)n，则a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．A＝{1，2，4}．由此，可知集合A中的元素个数最多有3个．…………………16分数学Ⅱ（附加题）21A．证明：连AC，在△ABC与△ADP中，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ADP＝∠ABC，又因为AD·BC＝DP·AB，即ADDP＝ABBC，所以△ABC∽△ADP，所以∠BAC＝∠DAP．因为直线PA与圆O相切，所以∠DAP＝∠ACD，所以∠BAC＝∠ACD，所以，A B∥CD，所以圆内接四边形ABCD为等腰梯形，所以AD＝BC．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(4)
专业资料2018年高考模拟试卷（4）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的 最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O A B C D E F专业资料（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围； （3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在 无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．域内作答．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． 若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量． （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．专业资料【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位 置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=．9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA -=-，即2P C A P =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=．11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．专业资料令a b t -=，42a b t +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．因为动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ++令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤，由于1221()602f x x x -'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=，…… 8分sin x ∴=(0,)2xπ∈，cos x ∴==…… 10分 sin 22sin cos 2x x x ∴=⋅==，…… 12分 225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 2226f x x x ∴===． …… 14分 16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分 又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ，12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥，EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分 （1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,)2πθ∈． ………8分（2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，专业资料则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =，即4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12 ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分 直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分 由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ， 所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增． 因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，专业资料2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立， 所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分 20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nSS +≤，所以1312112×2n n n n S SS S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=，又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=， 即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分专业资料∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为6，………8分 直线l 被曲线C 所截得的弦长为5=．………10分 （说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221))1](23)y z x y z +⋅+++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分 （2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分 （3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n kn n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。
高考南通市数学学科基地密卷
高考南通市数学学科基地密卷LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08-（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为元，元，元， 元，元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．（第4题）7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值 为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面（第16题）17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程；（2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1(g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅DA（第21-B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内．作答．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值； （2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、 填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50MC 1B 1A 1CBA（第22【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（，）（，），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×39348．【答案】2300(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元，0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ． 6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B ，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ． 9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ． 10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ．12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，（第4题）切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12nx x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆221n n b b ++=n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（第16题）（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s > （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅AB ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴 正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角． 23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017nnnn Cn -=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+iMC 1B 1A 1CBA（第22题）【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1，PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×38．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a =，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷6理
- 1 -江苏省南通基地2018年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，，则= ▲ ．2．已知复数＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．- 2 -13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)已知向量，．（1）若，，且，求实数的值； （2）若，求的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点、F 分别是线段、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在轴的上方，且PF ⊥轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．（1）设米，米，求y关于的函数关系式及定义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数.(1)当时,求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且,求证;；AOBOCOPO（17题图）FE- 3 -- 4 -(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{|a ＝b ，∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝- 5 - DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 求证：对任意，y ∈R,不等式2＋y ＋y 2≥3(＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为 中点，且平面，为线段上一动点，记． （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．- 6 -23．（本小题满分10分）设函数f n ()＝1++12!2＋…＋1n !n，n ∈N*．(1)求证：当∈(0，＋∞)时，e ＞f n ()；(2)若＞0，且e ＝f n ()+1(n +1)!n +1e y，求证：0＜y ＜．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．- 7 - 2． 5 解：＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人．4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3． 7． 解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称， 所以，所以，即，，所以的最小值为．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9． 解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离 ．所以，解得． 10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．或 解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合； 若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2 ＝na n－n －1 a n+12a n+1＝1a n＋1a n+2，(n≥2)，则a1a2+a2a 3＝2a1a32a2＝1a1＋1a3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n＝n+3，a n＝1n+3．代入可得1a1＋1a2＋…＋1a10＝85．13．解：由对称性，只需当时，有两解即可.即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，在上递增. 由图可知，所以．14．解：由条件，．因为，所以，所以，所以．而，所以．由，得，即，所以．二、解答题：15．解：（1）当，时，，又，所以，若，则，即，解得．……7分（2）因为，，所以，因为，所以，则，所以，故当或时，的最大值为6．……14分16．证明：（1）∵ABAC，点F是线段BC的中点，∴AF⊥BC．…………………………………………2分又∵平面底面，AF平面ABC，平面底面，∴AF⊥平面．……………………………………………………………………5分又CC1平面，∴AF⊥CC1，又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………………7分（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点．∵点F是BC的中点，∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分- 8 -又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AMB1B．∴AM// FE，AMFE．∴四边形AFEM是平行四边形．∴EM // AF．…………………………………………12分又EM平面MBC1，AF平面MBC1，∴AF //平面MBC1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，所以，联立，…………………3分解得，所以椭圆方程为，右准线的方程为. …………………6分（2）设，则直线的方程为，即，联立消去，即得(※)，…………………9分又为方程(※)的一根，所以另一根为，又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，所以.由（1）知，点则直线的斜率，直线的斜率，…………………12分①当的平分线为时，，的斜率，满足，所以，即，所以，故直线AB的方程为－2y－1＝0．……………14分18．（方法一）（1）由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为……………………6分- 9 -(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则(为常数)，所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为……………………6分（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，则，，由，得，所以因为与共线所以所以由得定义域为……………………6分19．解：(1)当时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.- 10 -(2)由于有两个极值点, 则在上有两个不等的实根,设， 所以所以在上递减，所以 即.(3)由题意知：只需成立即可.因为,所以，因为，所以，而， 所以，所以在递增， 当时，.所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， ，又当时，,在递减,当时，, 所以，所以； 当即时，①即时，在上递增， 存在，使得，不合； ②即时，，在递减, 当时，,所以，所以 综上, 实数的取值范围为.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b na +bn ＝pq na p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f ()＝q －t －s ，则f ′()＝q ln q －t 如果t ln q ＜0，则f ()为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′()＝0得f ′()有唯一零点0＝log q tln q，于是当＞0时，f ′()恒大于0或恒小于0，当＜0时，f ′()恒小于0或恒大于0，这样f ()在区间(0，0)与(0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝AB BC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ． 21B ．解：设M =，则有=，=， 所以且解得，所以M =．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，2+y 2－3－y ＝0，直线 3＋y －2＝0过圆2+y 2－3－y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=2 ＋（y －3) ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通学科基地密卷数学(3)
（第5题） （第11题） 2018年高考模拟试卷（3）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R，i 为虚数单位)，则22a b +的值为．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60则应从丁专业抽取的学生人数为 ．4．从1个黑球，1个黄球，3相同的概率是 ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1为 ．7. 各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 8. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成 等比数列，则72S S +的值为 ．9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则yz x =的最大值与最小值之和为 ．10．已知函数2()||2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是 ．11．将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π4y x ϕ=+（πϕ<）的图象（如图），点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴 两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=， 则()tan ϕθ-的值为 ．12．已知正实数,x y 满足111x y+=，则3411x yx y +--的最小值为 ．13．已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr⋅的 值为 .14.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面 分别与PB ，PC 交于点E ，F ． （1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求证：AD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π1sin()cos 62C C +-=．（1）求角C ；（2）若a ＋b ＝4，设D 为AB 的中点，求线段CD 长的最小值．PACDEF（第15题）17．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <．（ⅰ）若213t t =，求a 的值；（ⅱ）若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷（3）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD AB ⊥于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：OBP CQP ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是二阶矩阵24a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属性特征值3的一个特征向量， 求直线:230l x y --=在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线l '的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线l 的方程为()πcos 24ρθ-=，圆C 的方程为4sin 2cos ρθθ=-， 试判断直线l 与圆C 的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）对任意实数t ，不等式|3||21||21||2|t t x x -++-++≥恒成立，求实数x 的取值范围．QPDCBAO（第21-A ）( 第23题 )ABCDFEM 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种 抽奖方案，方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与 否互不影响，并凭分数兑换奖品．（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0；（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，π3ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动，且EM EF λ=． （1）当12λ=时，求异面直线DE 与BM 所成角的大小；（2）设平面MBC 与平面ECD 所成二面角的大小为θ（π02θ<≤），求cos θ的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案：{}|0x x > 解析：由并集定义可得AB ={}|0x x >．2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方，且2534a bi i+=+，所以25534a bi i+==+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6，所以 100名学生中丁专业抽取人数为6601820⨯=人. 4．答案：310解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件 有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种， 其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为310. 5．答案：7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =；第三次，1510S =>，7k =．6. 答案：125解析：顶点坐标为()4,0±，渐近线方程为34xy =±，由对称性不妨取顶点()4,0，渐近线方程为34y x =，故顶点到其渐近线的距离为125d =.7.8，底面积为4，故体积6，即m =方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为1213326h h ==.8. 答案：80解析：因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅.又26a =，设公差为d , 故()()()26665d d d +=-⋅+，即22d d =，又公差不为零，故2d =.即42210a a d =+=. 所以72421780S S a a a +=++=.9. 答案：154解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.yz x=的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A 处取到最大值.又()2,6A ，故max 3z =.在点C 处取到最小值.又()4,3C ,故min 34z =.所以z 的最大值与最小值之和为315344+=10．答案：(02)， 解析：10()4102x f x x x ⎧⎪=⎨--<⎪-⎩≥，，，， 所以)(x f 在(0)-∞，上单调递增，在[0)+∞，上为常数函数，则222220x x xx x ⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩， 解得20<<x ．11．答案：2-解析：将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π3π44y x +,所以()(3π,,2,3,,4M OM N ON MN ϕ=-===由余弦定理可得，5cos π6θθ===， ()()35tan tan ππ46ϕθ=-=-35tan πtan π462351tan πtan π46-==-++⋅ 12．答案：7+解析：方法一：因为111x y+=，所以11111,1x y y x -=-=.又343434111111x y y x x y x y+=+=+----，所以()113434777y x y x x y x y ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭.当且仅当2x =时取等号.方法二：因为111x y+=，所以xy x y =+，即()()111x y -⋅-=. 故()()3134143434777111111x y x y x y x y x y -+-++=+=++≥++------当且仅当2x =时取等号.方法三：因为()34343347411111111x y x x x x x y x x x y+=+=+=++-------，所以34711x y x y +≥+--，当且仅当2x =时取等号.13．答案：1解析：设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1 14.【答案】(8,【解析】方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数2()|21|f x x x =--与函数()g x t =的图象如下图所示，所以14,x x 是方程221x x t --=的两根，23,x x 是方程221x x t --=-的两根，由求根公式得4132x x x x -=-=，且02t <<，所以41322()()x x x x -+-=，令()2(22f t=，由()0f t '==得65t =，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6[,2)5递减，又6(0)()(2)85f f f ===，所以所求函数的取值范围是(8,.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． 因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥． 因为CDPD D =，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ． （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ， 因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． 因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ．16．（本小题满分14分）解：（1）因为π1sin()cos 62C C +-=11cos 22C C -=，所以π1sin()62C -=．又因为0πC <<，所以π3C =．（2）法一：因为D 是AB 中点，所以1()2CD CA CB =+，所以2221(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+，即2221()4CD a b ab =++，所以224()CD a b ab =+-23()124a b +=≥，当且仅当2a b ==时等号成立．所以CD法二：在ABC △中，由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅，可设22214cos b c CD A bc+-=． 在ABC △中，由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅⋅，可设222cos 2b c a A bc+-=．所以222222142b c CD b c a bc bc +-+-=，所以2221()4CD a b ab =++．下同法一．法三：以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以(0)(2a A b B ，，，所以(42a b D +， 所以2221()4CD a b ab =++， 下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN == 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以△PMN的面积为132⨯= （2）直线PM 与圆O 相切，证明如下： 设00()M x y ，，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--．联立方程组00545343200x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩，，解得点P 的坐标为()0000004(53)4(54)4343y x y x y x -----，， 所以()000000004(53)4(54)4343y x PM x y y x y x --=-----，，由于()00OM x y =，，2204x y +=， 所以2200000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=-----0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-，所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证． 18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm2cm ．从而，所需木料的长度之和L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ．（2）由题意， 1132xy =，即260y x =，又由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥可得1301311x ≤≤．所以260822()L x x=++．令260t x x =+，其导函数226010x-<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x=+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．则26082()]L x x =++82]t =+=82+．因为函数y =y =在372[33,]11t ∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料．19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2(6)12(2)12(+1)a a ∆=---=．①当1a -≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分②当1a >-时，由()0f x '>，得x <x >所以()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞． 3分综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分（2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2[3(2)]0x x x a -+-=，由题意1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分故123t t +=，122t t a =-，且判别式21(3)4(2)0a ∆=--->，得14a >-． 由213t t =，得134t =，294t =， ………………………………………8分 故1227216t t a =-=，所以516a =．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立． 因为123t t +=，12t t <，所以1232t t <<， 所以120t t <<或120t t <<．①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤， 所以016a ≤-，所以16a ≤．又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分②当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，，且1x =（方法1）由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，将1x =(72a +，解得11a ≤．…14分又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分 综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，．………………………………………16分（方法2）211362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤， 将211362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，得11x -≥，故110x -<≤，因为211362a x x =-+在1[10)x ∈-，上递减，故(211]a ∈，．综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，． ……………………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）将1n =代入111(1)n n nn a a n ++=++λ，得2122a a =+λ， 由11a =，283a =，得3=λ． （2）由111(1)3n n nn a a n ++=++，得1113n n n a a n n +-=+，即113n n nb b +-=． 当2n ≥时，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-111[1()]33113n --=-111223n -=-⨯， 因为1111a b ==，所以131223n n b -=-⨯． 因为11b =也适合上式，所以131223n n b -=-⨯．（3）由（2）知，3()23n nna n =-． 假设存在正整数r s t ，，且r s t <<，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列， 则2r t s +=且2r t s a a a +=，即()()()33322333r t s r t s r t s -+-=-，整理得2333r t sr t s +=， （*） 设3n nn c =，*n ∈N ，则1111120333n n nn n n n n c c ++++--=-=< 所以{}n c 单调递减数列． ① 若1r =，当3s ≥时，则2293ss ≤， 所以()*左边13>，右边29≤，显然等式不成立，当2s =时，得313933t t ==，解得3t =， 所以1r =，2s =，3t =符合题意． ② 若2r ≥，因为s r >，所以1s r +≥， 所以1s r c c +≤，所以()112122033333r sr r r r r s r r +++---=≥≥，所以03t t ≤，所以t 不存在， 即2r ≥时，不存在符合题意的r s t ，，．综上，存在1r =，2s =，3t =，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， 又因为180BOP DOP ∠=-∠，180QCP ACB ∠=-∠， 所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：由题意，3=A αα，即2113411a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2343a b +=⎧⎨+=⎩，，解得11a b ==-，，所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． 设l 上一点()P x y ，在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y '''，， 则1214x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24x x y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩，， 所以1(2)31()6x x y y x y ⎧''=-⎪⎨⎪''=+⎩，，代入直线:230l x y --=，得75180x y ''--=， 即直线l '的方程为75180x y --=. C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：由()πcos 24ρθ-=cos sin 2θθ+=，所以直线l直角坐标方程为0x y +-=． 由4sin 2cos ρθθ=-，得24sin 2cos ρρθρθ=-， 所以圆C 的直角坐标方程为22240x y x y ++-=，即()()22125x y ++-=． …… 8分所以圆心到直线的距离2d ==-所以直线l 与圆C 相交． D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-⎨⎪->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32x -≥，矛盾；当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为7(21)(2)2x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤．综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13．（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案B 抽奖的中奖次数 为X 2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，P 0)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2P 0，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0．若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒49<P 0<1，若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝49．综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，1AB =，2BC AD ==，π3ABC ∠=，则AC ，所以222AB AC BC +=，即90BAC ∠=．因为四边形ACEF 为矩形，所以FA AC ⊥， 因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF平面ABCD AC =，平面ACEF ，所以FA ⊥平面ABCD ．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B，C ，(D -E ，(0,0,1)F ，当12λ=时，12EM EF=，所以M ．所以(BM =-，(1,0,1)DE =，所以(1,0,1)(0BM DE ⋅=⋅-=，所以BM DE ⊥，即异面直线DE 与BM 所成角的大小为90．（2）平面ECD 的一个法向量1(0,1,0)=n ， 设000(,,)M x y z ，由000(0,,1)(0,,0)(EM x y z λ==-=-，得0000)1x y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，即),1)M λ-，所以(),1)BM λ--=，(BC =-． 设平面MBC 的法向量2(,,)x y z =n ，因为22,,BC BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n即0,)0,x x y z λ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩取1y =，则x =z ，所以平面MBC的一个法向量2)=n ， 因为π02θ<≤，所以1212cos θ⋅==⋅n n n n因为01λ≤≤，所以1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦，．。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(4)
（第7题）2018年高考模拟试卷（4）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x 的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O AB CDEF（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n n a =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=． 9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=， 所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA-=-，即2PC AP =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=． 11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．令a b t -=，42a b t +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅=≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==．14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤， 由于1221()602f x x x-'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=， …… 8分sin x ∴，(0,)2x π∈，cos x ∴=== …… 10分sin 22sin cos 26x x x ∴=⋅==， …… 12分225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 2226f x x x ∴=+==…… 14分16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分 又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分 又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分 （2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ， 12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥， EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分 （1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,2πθ∈． ………8分 （2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ=+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12平方米． ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分 直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分 由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ， 所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增． 因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立， 所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分 （2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分 由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥， 因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分 （3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=， 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=，即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分 B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩ ………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()21f λλ=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分 （2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分 ∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分 ∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分 直线l 被曲线C所截得的弦长为=． ………10分 （说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有3432101()3P A C ==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分 （2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分 （3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。
(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4}，若A A B ={4}，则x 的值为▲.2. 若复数Z1= 2+i, z1 -z2（） z2 = 5，则z2= ▲ .3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20 , 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲.5. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动•某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲.26. 函数y log2（3 2x x ）的值域为▲.7. 已知P ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 n且/ APO = / BPO = / CPO=30°则三棱锥的体积为▲.28. 已知双曲线x2— 1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为—，过A 作斜率为k 的直线I 交双曲线于另一点 M ，交椭圆于另一点 N ,2若ANUJUJTNM ，贝U k 的值为值为 ▲19.已知函数 f(x) = cosx(sin x + cosx)—,若 f()22—，则cos(—2 )的值为 ▲6410 •已知a n 是首项为1,公比为2的等比数列, 数列b n 满足b 印，且b na i a 2 L a n 1 a n a n 1 L a 2 a 1( n》2, n，若 a m (b m 28)2018，则m 的11.定义在 1,1上的函数f (x)sin x axb(a 1)的值恒非负，贝U ab 的最大值12.在厶ABC 中，若35 UUJ UUU 21 uur uuur AB BC15 uur uuu ，贝H cosC 的值为 BC CA13.在平面直xOy 中,2y 1,直线l : x ay 3 0 ,过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为 uun P,N ，且 QP UJIT 2QN ,则正实数a 的取值范围是▲3—14.已知偶函数y f(x)满足f(x 2)f(2 2x)，且在 x 2,0 时，f (x) x 1 ,若存在 x-i , X 2,L , x n 满足 0W x-ix 2X n,x-i f x 2f x ?f X 3f X n 12017，则X n 最小值二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) As in xA 0,0的最小值是一2,其图象经过点 M (— ,1) •3(1) 求 f (x)的解析式; (2)已知(o,牙)，且f ()8， 2 524f () ，求f ()的值.1316. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD 90 , AD // BC ,AD 2BC , AB PA.(1) 求证：平面PAD 平面ABCD ；(2) 若E为PD的中点，求证：CE //平面PAB .A17. (本小题满分14分)有一块以点0为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离0点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA, 0B，其中小路的宽度忽略不计.这块圆形广场的最大面积. (结果保留根号和)(1) 若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2) 若要在△ ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18. (本小题满分16分)如图，点a n 1 2a n 8 , {g} , &分别为椭圆b： b； 14S n+25的左、右顶点和右焦点，过点n N的直线｛务｝(异于｛0｝轴)交椭圆C于点｛g｝, c. a. b n .(1)若AF 3，点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程;(2)已知直线(r s t)的斜率是直线r，s, t斜率的f(m x) f (x)倍.②若椭圆C的焦距为f(m x)①求椭圆C的离心率;19. (本小题满分16分)已知函数f (x) xlnx ax2.(1) 若曲线y f (x)在x 1处的切线过点A(2, 2).①求实数a的值；f (x) 1②设函数g(x) ，当s 0时，试比较g(s)与g(-)的大小;x s1(2) 若函数f (x)有两个极值点X1 , X2 ( X1 X2),求证：f(xj -.220. (本小题满分16分)设数列｛a n｝的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m , n N*，均有(n m)S n m (n m)(S n S m) ” 的数列｛a n｝为“好”数列.（1 ）试分别判断数列｛a n ｝ , ｛b n ｝是否为好”数列，其中a n 2n 1, b 2n 1 ,n N * ,并给出证明；（2）已知数列｛C n ｝为好”数列.① 若C 20172018，求数列｛C n ｝的通项公式；② 若G p ，且对任意给定正整数p ，s （ s 1），有G ，C s ，C t 成等比数列,求证：t > s 2 •2018年高考模拟试卷（9）数学U （附加题）21 •【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题,并在相应的答题区域内作答 A •［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 为O O 的直径，BD 是O O 的切线，连接 AD 交O O 于E ,若BD // CE ,2AB 交 CE 于 M ，求证：AB AE ADxxx 2v已知点A 在变换T :y作用后，再绕原点逆时针旋转 90 ,v v v得到点B •若点B 的坐标为（3,4），求点A 的坐标.B •［选修4 — 2:矩阵与变换］（本小题满分10分） （第21-A ）C .［选修4 — 4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆 C 的方程为 2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴x 3t 1 I 的参数方程为(t 为参数)，若直线Iy 4t 3与圆C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围.D .［选修4 — 5:不等式选讲］(本小题满分10分)3 21已知正数a,b,c 满足2a 3b 6c 2，求的最小值.a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内 作答.连接 AM, AC,CM ，若 MAQ 90 .(1) 求直线C 1M 与平面CA 1M 所成角的正弦值；(2) 求平面CAM 与平面AAC 1C 所成的锐二面角.23.(本小题满分 10分)正半轴建立平面直角坐标系，设直线22.已知直三棱柱ABC A 1BQ 1 中， ABC 为等边三角形,延长BB 1至M ，使BB 1B 1M ,B1B(第 22 题)M(1)求证：kC：k (n k)C：；1 ；(2)求证：1008( 1 )n C n 1n 0 2017 n 2017 n 20172018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题:1 .【答案】4【解析】因为AQB ={4}，所以4 € A,故x= 4.2 .【答案】2+i5【解析由z i Z2 = 5,得玄=化=2-i,所以Z1= 2+i.' 2+i3 .【答案】50【解析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 .4 .【答案】30【解析】A 3, N 1,输出3；A 6, N 2，输出6；A 30, N 3，输出30；则这列数中的第3个数是30.15 .【答案】丄5【解析】两名同学抢红包的事件如下：(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53,2.33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19 , 2.33) (3.21 , 0.73) (3.21 , 2.33) (0.73 , 2.33),共10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53 , 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P —1.10 56 .【答案】,2【解析】因为3 2x x2(x 1)2 4 0,4 ,所以log2(3 2x x2) ,2 ,即值域为,2 .7 •【答案】9、34【解析】设球的半径为R, △ ABC的外接圆圆心为0',则由球的表面积为16n,可知4n1 2= 16n,所以R= 2•设△ ABC的边长为2a,因为/ APO=Z BPO=Z CPO = 30° OB= OP = 2,所以BO'= ~^R= 3, 00 ' = , OB2- BO ' 2= 1 ,PO ' = 00 ' + 0P= 3•在△ ABC 中，O ' B= |2a= 3,所以a= 3，所以三棱锥PABC的体积为V = * * 32X sin60° 3=2 3 2 48 .【答案】3c 3 2【解析】对于椭圆，显然 b 1,- -，所以椭圆方程为今y2 1，设N（x o,y。
2018年南通基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．ABCB 1C 1A 1MN （第16题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MAMC =． 求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）（第18题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥．（第21—A 题）ABDP（第22题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 1171BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以11MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，， 则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即299n n --≤0，设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增．因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则342BM =，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x =+，19b y x =+，则10a b +=．因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a 知，当n 充分大，则2n a >，矛盾；若01q <<，由1a 知，当n 充分大，则1n a <，矛盾，所以1q =，从而1n a a =，所以π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．ABCB 1C 1A 1MN 因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos2x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为M N 与1AA 所成角的大小为90°，所以M N ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以M N ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故M N ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 1=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c =222(0)c a b c =->，解得2241a b ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为221x y +=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y -=．②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+．所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是1p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤．设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得1e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e ．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 0a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 1c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y zy z x ++++≥，即()()()2222111111yx z x y z x y z y z x++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，(D 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，(1PD =0，设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ，，=-，()011PD ，，=-． 设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ．设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）．设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()(()1111!1!1!1111!1!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立）， 所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷3理
（第11题） 江苏省南通基地2018年高考数学密卷（3）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，集合，则 ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则的值为 ．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为 ．4．从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个球，则三球颜色互不相同的概率是 ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ．6. 在平面直角坐标系Oy 中，双曲线x 216－y 29＝1的顶点到其渐近线的距离 为 ．7. 各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的值为 ．8. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为 ．9．已知实数，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则的最大值与最小值之和为 ． 10．已知函数，，则的解集是 ．11．将函数的图象向左平移3个单位，得函数（）的图象（如图），点分别是函数图象上轴 两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为 ．12．已知正实数满足，则的最小值为 ．13．已知是圆;的直径,为坐标原点,直线;与轴垂直,过圆上任意一点(不同于)作直线与分别交直线于两点, 则的值为 .14.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面分别与，交于点，．（1）求证：平面平面；（2）求证：∥．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角；（2）若a＋b＝4，设D为AB的中点，求线段CD长的最小值．17．(本小题满分16分)在平面直角坐标系Oy中，圆O：，直线l：．为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l，求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为 cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数，．（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有三个互不相同的零点0，，，其中．（ⅰ）若，求a 的值；（ⅱ）若对任意的，都有成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)在数列中，，，，为常数，．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷（3）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，，，是圆上不共线的三点，于，和分别交的延长线于和，求证：．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线的方程为，圆的方程为，试判断直线与圆的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为，若≤3的概率为79，求P 0； （2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．( 第23题 ) A B CD FE M （1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案： 解析：由并集定义可得．2．答案：25 解析：因为即为复数a ＋b i 模的平方，且，所以，即的值为253．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为，所以100名学生中丁专业抽取人数为人.4．答案： 解析：将黑球标记为，黄球标记为，红球标记为基本事件有共计10种，其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为.5．答案：7 解析：第1次，，；第2次，，；第三次，，．6. 答案：解析：顶点坐标为，渐近线方程为，由对称性不妨取顶点，渐近线方程为，故顶点到其渐近线的距离为.7.答案：解析：方法一：正四棱柱的体积为，正四棱锥的高为，底面积为，故体积为，所以正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，即.方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为.因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为.8. 答案：80解析：因为成等比数列，所以.又，设公差为,故，即，又公差不为零，故.即.所以.9. 答案：解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A处取到最大值.又，故.在点C处取到最小值.又,故.所以的最大值与最小值之和为10．答案：解析：，所以在上单调递增，在上为常数函数，则，解得．11．答案：解析：将函数的图象向左平移3个单位，得函数,所以，由余弦定理可得，，.12．答案：解析：方法一：因为，所以.又，所以.当且仅当时取等号.方法二：因为，所以，即.故当且仅当时取等号.方法三：因为，所以，当且仅当时取等号.13．答案：1解析：设直线的倾斜角分别为,则,，记直线;与轴的交点为,，则,,.即的值为114.【答案】【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）证：（1）因为平面，平面，所以．因为底面是矩形，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）底面是矩形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面．因为平面，平面平面，所以∥．16．（本小题满分14分）解：（1）因为，所以，所以．又因为，所以．（2）法一：因为D是AB中点，所以，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以长的最小值为．法二：在中，由余弦定理得，可设．在中，由余弦定理得，可设．所以，所以．下同法一．法三：以C为原点，CA为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以，所以，所以，下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为，由条件得，，解得，即直线MN的方程为．因为，，所以，即，所以．又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，所以△PMN的面积为．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设，则直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．联立方程组解得点的坐标为，所以，由于，，所以，所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证．18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则=．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．19．（1），其判别式．①当时，，恒成立，所以的单调增区间为．………………………………………1分②当时，由，得或，所以的单调增区间为，．3分综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，．4分（2）（ⅰ）方程，即为，亦即，由题意，是方程的两个实根，………………5分故，，且判别式，得．由，得，，………………………………………8分故，所以．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的，恒成立．因为，，所以，所以或．①当时，对，，所以，所以．又，所以．………………………………………12分②当时，，由（1）知，存在的极大值点，且．（方法1）由题得，将代入化简得，解得．…14分又，所以．因此．…………………………15分综上，a的取值范围是．………………………………………16分（方法2），由题得，将，代入化简得，得，故，因为在上递减，故．综上，a的取值范围是．……………………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）将代入，得，由，，得．（2）由，得，即．当时，，因为，所以．因为也适合上式，所以．（3）由（2）知，．假设存在正整数且，使得与同时成等差数列，则且，即，整理得，（*）设，，则所以单调递减数列．①若，当时，则，所以左边，右边，显然等式不成立，当时，得，解得，所以，，符合题意．②若，因为，所以，所以，所以，所以，所以不存在，即时，不存在符合题意的．综上，存在，，，使得与同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接，因为，，所以，又，所以，又因为，，所以，所以，，，四点共圆，所以.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意，，即，所以解得，所以．设上一点在的作用下得到直线上一点，则，即所以代入直线，得，即直线的方程为.C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由，得，所以直线直角坐标方程为．由，得，所以圆的直角坐标方程为，即． …… 8分所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设，即所以的最小值为，所以．当时，不等式即为，解得，矛盾；当时，不等式即为，解得，所以；当时，不等式即为，解得，所以．综上，实数的取值范围是．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“＝5”．因为P (＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13． （2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为1，都选择方案B 抽奖的中奖次数 为2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (21)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (32)．由已知可得，1～B (2，23)，2～B (2，P 0)，所以E (1)＝2×23＝43，E (2)＝2P 0， 从而E (21)＝2E (1)＝83，E (32)＝3E (2)＝6P 0． 若E (21)>E (32)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (21)<E (32)，则83<6P 0⇒49<P 0<1， 若E (21)＝E (32)，则83＝6P 0⇒P 0＝49． 综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等． 23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，，，，则，所以，即．因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． …… 2分 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，当时，，所以．所以，，所以，所以，即异面直线与所成角的大小为．（2）平面的一个法向量，设，由，得即，所以，．设平面的法向量，因为即取，则，，所以平面的一个法向量，因为，所以．因为，所以．。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷6理
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合，，则= ▲ ．2．已知复数＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且，则实数的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量，．（1）若，，且，求实数的值； （2）若，求的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点、F 分别是线段、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在轴的上方，且PF ⊥轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．（1）设米，米，求y关于的函数关系式及定义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数.(1)当时,求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且,求证;；AOBOCOPO（17题图）FE(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，公比为q(q≠1)．令A＝{|a＝b，∈N*}．(1)若A＝{1，2}，①当a n＝n，求数列{b n}的通项公式；②设a1＞0，q＞0，试比较a n与b n(n≥3)的大小？并证明你的结论．(2)问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O内接四边形ABCD，直线PA与圆O相切于点A，与CD的延长线交于点P，AD·BC＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 求证：对任意，y ∈R,不等式2＋y ＋y 2≥3(＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为 中点，且平面，为线段上一动点，记． （1）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．23．（本小题满分10分）设函数f n ()＝1++12!2＋…＋1n !n ，n ∈N*．(1)求证：当∈(0，＋∞)时，e ＞f n ()；(2)若＞0，且e ＝f n ()+1(n +1)!n +1e y，求证：0＜y ＜．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．2．5 解：＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人．4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称， 所以，所以，即，，所以的最小值为．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9． 解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离 ．所以，解得．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．或 解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合； 若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－na n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 解：由对称性，只需当时，有两解即可. 即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减， 在上递增. 由图可知，所以． 14． 解：由条件，．因为，所以， 所以，所以． 而，所以． 由，得，即，所以． 二、解答题：15．解：（1）当，时，，又，所以， 若，则，即，解得． …… 7分 （2）因为，，所以， 因为，所以，则， 所以，故当或时，的最大值为6． …… 14分 16．证明：（1）∵ABAC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面底面，AF 平面ABC ， 平面底面，∴AF ⊥平面． ……………………………………………………………………5分 又CC 1平面，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点．∵点F是BC的中点，∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AMB1B．∴AM// FE，AMFE．∴四边形AFEM是平行四边形．∴EM // AF．…………………………………………12分又EM平面MBC1，AF平面MBC1，∴AF //平面MBC1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，所以，联立，…………………3分解得，所以椭圆方程为，右准线的方程为. …………………6分（2）设，则直线的方程为，即，联立消去，即得(※)，…………………9分又为方程(※)的一根，所以另一根为，又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，所以.由（1）知，点则直线的斜率，直线的斜率，…………………12分①当的平分线为时，，的斜率，满足，所以，即，所以，故直线AB的方程为－2y－1＝0．……………14分18．（方法一）（1）由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为……………………6分(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则(为常数)，所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为……………………6分（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，则，，由，得，所以因为与共线所以所以由得定义域为……………………6分19．解：(1)当时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则在上有两个不等的实根,设，所以所以在上递减，所以即.(3)由题意知：只需成立即可.因为,所以，因为，所以，而，所以，所以在递增，当时，.所以在上恒成立，令，则在上恒成立，，又当时，,在递减,当时，,所以，所以；当即时，①即时，在上递增，存在，使得，不合；②即时，，在递减,当时，,所以，所以综上, 实数的取值范围为.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b na +bn ＝pqna p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f ()＝q －t －s ，则f ′()＝q ln q －t 如果t ln q ＜0，则f ()为单调函数，故方程①最多只有一个解； 如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′()＝0得f ′()有唯一零点0＝log qtln q，于是当＞0时， f ′()恒大于0或恒小于0，当＜0时，f ′()恒小于0或恒大于0，这样f ()在区间(0，0)与(0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ． 21B ．解：设M =，则有=，=， 所以且解得，所以M =．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，2+y 2－3－y ＝0，直线 3＋y －2＝0过圆2+y 2－3－y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=2 ＋（y －3) ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷7理
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（7）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数（是虚数单位），若是实数，则实数的值为▲．2．在平面直角坐标系Oy中，角的始边为射线O，点在其终边上，则的值为▲．3．设全集U是实数集R，，，则图中阴影部分所表示的集合为▲．4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有▲人能报考A专业．5．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲．6．执行如图所示的算法，则输出的结果是▲．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的离心率为▲．8．现用一半径为10 cm，面积为80cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为▲cm3．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE→＝2ED→，DF→＝FC→，则的值为▲．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若满足a4 + 3a11= 0，则= ▲．11．在平面直角坐标系Oy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数的值为▲．12．在△ABC中，，，则的值为▲．13．设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值时，a的值是▲．14．设函数，其中．若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△中，为锐角，且．（1）若，，求的长；（2）若，求的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC平面PDE．（1）求证：平面PBC；（2）若平面PCD⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．(本小题满分14分设，，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1 m，与间的距离是2 m，△ABC的三个顶点分别在，，．（1）如图1，△ABC为等边三角形，求△ABC的边长；（2）如图2，△ABC为直角三角形，且为直角顶点，求的最小值．BC Al3l2l1图1 BCl3l2l1图2A18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系Oy中，设P为圆：上的动点，过P作轴的垂线，垂足为Q，点M满足．Array（1）求证：当点P运动时，点M（2）过点T作圆的两条切线，切点分别为A，B．①求证：直线AB过定点（与无关）；②设直线AB与（1）中的椭圆交于C，D（第18题）19．(本小题满分16分)设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列其前项和为，，．①若，，求的值；②若数列为等差数列，求；（2）求证：数列中存在三项（按原;的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数，．（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；（3）设，且，求证：．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形是圆的内接四边形，，、的延长线交于点． 求证：平分．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵所对应的变换把直线：变换为自身，求实数的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线：（t 为参数）恒经过椭圆C ： （为参数） 的右焦点，求实数的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为，其中，c 为常数． （1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．【答案】0【解析】是实数，则．2．【答案】【解析】根据三角函数定义，．3．【答案】【解析】图中阴影部分所表示的集合为，即为．4．【答案】18【解析】校A专业对视力要求不低于0.9的学生数为45．5．【答案】【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为．6．【答案】2【解析】根据循环，依次得到的值分别为；，…，，因为，所以最后的输出结果为2．7．【答案】【解析】由题意，，即，所以双曲线为，所以离心率为． 8． 【答案】【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意，，得． 所以，容积为． 9． 【答案】因为，；，那么 ． 10． 【答案】【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知，所以． 11． 【答案】【解析】由得，，则圆心到直线的距离为，设截得的半弦长为， 则（与实数m 无关）， 所以，． 12． 【答案】1【解析】由得，， 即，所以， 所以．13．【答案】 83或 3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3． 所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝ 3．14． 【答案】【分析】当时，的图象相切；时，的图象均过点 ， ，故唯一的正整数，同时，从而．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)解：（1）因为，，所以．……3分在△中，由余弦定理得，，解得，所以的长为．……6分（2）由（1）知，，……8分所以．……11分在△中，，所以．……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC平面PDE，BC平面ABC，平面PDE平面ABC=DE，所以BC∥DE. ……3分因为DE平面PBC，BC平面PBC，所以平面PBC．……6分（2）由（1）知，BC∥DE．在△ABC中，因为点E为AC的中点，所以D是AB的中点．因为，所以，……9分因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD平面ABC CD，平面ABC，则AB平面PCD．……12分因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．……14分17．(本小题满分14分解：（1）如图1，过点B作的垂线，分别交，，于点D，E，设，则．则，．……2分因为，所以，化简得，所以，则，所以边长．……6分（2）如图2，过点B 作的垂线，分别交，于点D ，E ． 设，则，则，．于是．……8分 记，．求导，得．……10分 令，得．记， 列表：……12分 答：（1）边长为m ；（2）长度的最小值为m ．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点，由，得．因为P 为圆：上的动点， 所以，即，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆上． ……4分 （2）①设，，当时，直线AT 的方程为：，即， 因为，所以，当时，直线AT 的方程为：， 综上，直线AT 的方程为：． 同理，直线BT 的方程为：．又点T 在直线AT ，BT 上， 则，① ，②由①②知，直线AB 的方程为：．所以直线AB 过定点． ……9分②设,，则O 到AB 的距离，． ……11分 B CAl 3l 2l 1 图2DE由，得，于是，，所以，……13分于是，0（显然）所以．……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列的公差为．因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，．（1）①由，得，，，……2分解得，．所以．……4分②因为数列为等差数列，所以，即．所以，解得（已舍）．……6分此时，．……8分（2）因为是数列的第项，是的第项，且，，所以．又，所以数列中存在三项，，按原;的顺序）成等比数列．……16分20．(本小题满分16分)解：（1）设直线与的图象的切点为．因为，所以，……2分所以．令，．令得．（2）．令得．令，．因为在上的图象是连续不断的，当时，在上恒成立，所以在无零点；当时，所以在有且仅有一个零点；当时，此时，因为，所以在上有且仅有一个零点．又因为，令，，则，，所以．所以在上单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在恒成立，所以，即，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有两个零点．综上所述，时，在无零点；时，在有且仅有一个零点；时，在有两个零点．……10分（3）因为在上单调增，且，所以，，所以．令，．因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以式成立，所以．……16分数学Ⅱ(附加题)．若多21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以．……2分因为，所以．……4分又，……6分，……8分所以，即平分．……10分D．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设是：上任意一点，在矩阵对应的变换得到点为，由，得……5分代入直线：，得，……7分所以解得．……10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线化为普通方程，得……3分将椭圆C化为普通方程，得．……6分因为，则右焦点的坐标为. ……8分而直线经过点，所以. ……10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）……8分所以. ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为，又由概率分布的性质可知，即，所以c 719．……3分（2）由（1）知，，于是．……8分所以ξ的数学期望E(ξ)．……10分23．(本小题满分10分)解：（1），，．……3分（2）猜想：．证明：①当，2，3时，由上知结论成立；……5分②假设时结论成立，则有．则时，．由得，．又，于是．所以，故时结论也成立．由①②得，．……10分。
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甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x xx x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为 h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，ACBD（第16题）VE F直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．（第18题）2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线x的交点为，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =-2，得f (2)= f (-2)+ f (2)，所以f (-2)=0， 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (-1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4， 所以AD == 当且仅当5m =n =±AD ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，（第14题） CADB（第15题）所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分 又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分ACBD（第16题）VE FO17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o45，所以1h r=，圆锥的体积为231111ππ33V r h r==，圆柱的体积为222πV r h=．……2分因为1290πV V+=，所以23221π90ππ3V r h r==-，所以32222709033r rhr r-==-．……4分因为311π90π3V r=<，所以r<0r<<．所以32222709033r rhr r-==-，定义域为{|0r r<<．……6分（2）圆锥的侧面积21πS r r==，圆柱的侧面积222πS rh=，底面积23πS r=．……8分容器总造价为1232y aS aS=++2222π2π2πr a rh a r a=++2222π()a r rh r=++()22902π23ra r rr⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a rr=+．……10分令254()f r rr=+，则254()2f r rr'=-．令()0f r'=，得3r=．当03r<<时，()0f r'<，()f r在(0 3)，上为单调减函数；当3r<<()0f r'>，()f r在(3上为单调增函数．因此，当且仅当3r=时，()f r有最小值，y有最小值90πa元．……13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分又离心率caa=，……4分所以222222()a c a b==-，所以22a=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧+-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ= 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =，11y =， 代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n n b b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x -+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。