)(的形式,
⑶二次方程实数根的分布问题:
注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。
特别指出,分段函数也是重要的函数模型。
3.指数函数:x a y =(0,1a a >≠),定义域R ,值域为(+∞,0).⑴①当1a >,指数函数:x a y =在定义域上为增函数;②当01a <<,指数函数:x a y =在定义域上为减函数.⑵当1a >时,x a y =的a 值越大,越靠近y 轴;当01a <<时,则相反
.
4.对数函数:如果a (0,1a a >≠)的b 次幂等于N ,就是N a b =,数b 就叫做以a 为底的N 的对数,记作b N a =log (0,1a a >≠,负数和零没有对数);其中a 叫底数,N 叫真数.
⑴对数运算:
log log ()log log log log log log log 1log log a a a a a
a a n a a a a N M N M N
M M N N
M n M M n
a N
⋅=+=-==⋅=①②③④⑤ 12112312log log log log log log 1log log ...log log (0,0,0,1,0,1,0,1,,,...,01)n b a b a b c a a a n a n n N N a b c a a a a a M N a a b b c c a a a -=⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=>>>≠>≠>≠>≠⑥换底公式:⑦推论:以上且
⑵x a y =(0,1a a >≠)与x y a log =互为反函数.
当1a >时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当01a <<时,则相反.
5.幂函数
(1)幂函数的定义:
(2)幂函数的性质:
所有幂函数在 上都有意义,并且图像都过点 。
(3)幂函数[)0a y x ,x ,=∈+∞,当1a >时,若01x ,<<其图像在直线y x =的下方,若1x >,其图像在直线y x =的上方;当01a <<时,若01x ,<<其图像在直线y x =的上方,当1a >时,若1x >其图像在直线y x =的下方。幂函数图像在第一象限的特点:
课前预习
1. 当0≤x ≤1时,函数y=ax+a -1的值有正值也有负值,则实数a 的取值范围是
2.已知函数1)()(3
2+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增,则a 的取值范围是
3. 已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上,且1)0(=f ,0)1(=f ,则实数b 取值范围是
4.设函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0,10,
00,1)(x x x x f ,则方程)()12(1x f x x -=+的解为 5.函数12+=-x a y (0>a ,且1≠a )的图象必经过点 6. )223
(
log 29log 2log 3777+-= 7.求函数)183(log 22
1--=x x y 的单调减区间。
8. 求下列函数的定义域、值域: ①41212-=--x y ; ②)54(log 23
1++-=x x y 9. 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y 轴对称,求n 的值,并
画出函数的图象.
典型例题
1、解析式、待定系数法
例1.若()2
f x x bx c =++,且()10f =,()30f =,求()1f -的值. 变式1:若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-,与y 轴的交点坐标为(0,11),则
变式2:若()()2
23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______. 2、图像特征
例2:将函数()2
361f x x x =--+配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.
变式1:函数()2
f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是
3.单调性
例3:已知函数,()()2
2[2,4]g x x x x =-∈.求()g x 的单调区间及其最值. 变式1:已知函数()2
42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减,则a 的取值范围是 4.最值
例4已知函数()2
23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是
变式1:已知函数()22
4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3,求a 的值.
5.奇偶性
例5:已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()()1f x x x =+.画出函数()f x 的图像,并求出函数的解析式.
变式1:若函数()()()
22111f x m x m x =-+-+是偶函数,则在区间(],0-∞上()f x 是 函数
6.值域
例6:求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域:
(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤;(2) 定义域为[]
2,1-.
变式1:函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是
变式2:函数y =cos2x +sin x 的值域是__________.
7.恒成立问题
例7:当,,a b c 具有什么关系时,二次函数()2
f x ax bx c =++的函数值恒大于零?恒小于零? 变式1:已知函数 f (x ) = l
g (a x 2 + 2x + 1) .
(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围;
(II)若函数 f (x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.