电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第7章习题解答

第7章习题解答

7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ∂∂=时，沿z 方向可传播

TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量

对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为

j t 0e kz x x x E e E e E -==

利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1

e 120π

kz z y E H e E e Z -=

⨯= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z

H k H ∇+= 式中2

2

2

c

k k γ=+，2

2t

2x ∂∇=∂，则上式变成 22c 2

d 0d z z H k H x

+= 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时

0=∂∂x H z 可得到0=A ；由a x =时0=∂∂x H z

可得到c sin 0k x =，即c m k a

π=

。因此 πcos

z m m x

H H a

= 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此

z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到

j 22c c 0

j ππj sin e

z x k z z y m E H m m x E H k x k a a

ωμωμ-=∂==-∂ j 22c c j j ππsin e 0z k z

z z z x m

y k H k m m x H H k x k a a H -∂=-

=∂=

对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2

d 0d z

z E k E x

+= 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+

由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a

x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c

m k a

π=。因此 πsin

z m m x

E E a

= 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到

j 22c c j j ππcos e 0z k z z z z x m

y k E k m m x E E k x k a a E -∂=-

=-∂= j 22c c 0

j j ππcos e

z x k z z y m H E m m x H E k x k a

a ωεωε-=∂=-=-∂

(2) 各种模式的传播常数

对TEM 模的传播常数

相位常数：μεωβ==k

相速：p v v ωβ=

== 波长：f

v

f

v p =

=

=

β

π

λ2 波阻抗：w 120π ΩZ == 对TE 模和TM 模的传播常数

截止波数、波长、频率：c π

m k a

=

，c c 2π2a k m λ==，c c 2π2k v mv f a

==

相位常数：

β==

波导波长：g 2π

λβ

=

=

相速度：p

v ωβ=

=

群速度：g d d v ωβ==波型阻抗： TE w

w w TM Z Z Z Z Z ωμ

β

βωε

=

=>=

=< (3) 导体表面的传导电流

对于良导体表面的传导电流密度为n S J e H =⨯，其中n e 为导体表面法向方向，或n S J e H τ=⨯，其中τ

H

为导体表面的切向磁场。

对TEM 模，在0=x 平面上电流密度为

j j 00e e 120π120π

kz kz S x y

z E E

J e e e --=⨯= 在a x =平面上电流密度为

j j 00e e 120π120π

kz kz S x y

z E E

J e e e --=-⨯=- 对TE 模，在0=x 平面上电流密度为

j j e e z z S x z m y m J e e H e H ββ--=⨯=-

在a x =平面上电流密度为

j j e (1)e z m z S x z m y m J e e H e H ββ--=-⨯=-

对TM 模，在0=x 平面上电流密度为

j j 22

c c j πj πe e z z

S x y

m z m m m J e e E e E k a k a

ββωεωε--=-⨯=- 在a x =平面上电流密度为 j j 22

c c j πj π(1)

e (1)e m

z m z

S x y m z m m m J e e E e E k a k a

ββωεωε--=⨯-=-