(整理)二元函数极限的求法.

二元函数极限的求法

数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002

1.引言

多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.

2.二元函数极限的定义

定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.

有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即

}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.

知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多

元函数极限的定义.

定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε,0>∃δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0

lim M M f M A →=或

()()0f M A M M →→.

定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数

()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当

0δ<

时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0

M 点的极限。记为()0

lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.

定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数

()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当

000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时，

有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为

()0

lim M M f M A →=或

()()0f M A M M →→.

注：（1）和一元函数的情形一样，如果0

lim ()M M f M A →=,则当M 以任何

点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A .

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.

3.二元函数极限的计算方法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法，对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.

3.1利用二元函数极限的定义求解

例1 求

()()

()1

22

,0,0lim

sin x y x y x y -→⎡⎤++⎣⎦.

解：当()(),0,0x y ≠时，()1

22

sin 0x y x y x y x y -⎡⎤++-≤+≤+⎣⎦.

任意地给定一个正数ε，取2

ε

δ=，则当,x y δδ<<,并且()(),0,0x y ≠时，

有

()1

22

sin 0x y x y x y ε-⎡⎤++-≤+<⎣⎦,

所以

()()

()1

22

,0,0lim

sin 0x y x y x y -→⎡⎤++=⎣⎦.

3.2利用极限的运算法则求解

二元函数的极限的运算法则有着和一元函数类似的运算法则.

例2 求()()22

,0,02lim x y x xy y x y

→-+-.

解：由于2

222x xy y x y -+=-，则

()()22

,0,02lim

x y x xy y x y

→-+-()()()()(),0,0,0,0lim lim x y x y x y x y →→=-=±- ()

lim lim 0x y x y →→=±-=.

3.3利用初等函数的连续性求解

二元初等函数在定义域内都是连续的.由二元函数极限的定义可知,若

f 为二元初等函数,()000,P x y 是函数f 定义域内一点,则

()()

()()0000,,lim

,,x y x y f x y f x y →=.

例3 求()(

,1,0lim

y x y ln x e →+.

解：因为(

),y ln x e f x y +=是初等函数，而()1,0是其定义域内的点，

故

()

((),1,0lim

1,0ln 2y x y ln x e f →+==.

3.4利用无穷小量的相关结论求解

一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用,例如无穷小量的倒数是无穷大量,等价无穷小替换,无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量. 例4 求

()()

()33,0,0sin lim

x y x y x y

→++.

解：()(),0,0x y →时，()()333

3sin x y x

y ++.故

()()

()33,0,0sin lim

x y x y x y

→++

()()33

,0,0lim x y x y x y →+=+

()()

()2

2,0,0

lim

x y x xy y →=

-+

=0.

3.5利用两边夹法则求解