应用数学论文---定积分在生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分是一种重要的数学方法，可以求出曲线或平面图形的面积，它可以用来预测及解决许多实际问题。
其实，定积分在我们的生活中也起着广泛的作用，即通过定积分可以求得许多日常中的实际图形图形的面积，再进而用于实际应用。
首先，定积分可以用来求解拟空间图形的体积，如正方体、圆柱体等。
在家装工程、楼宇建筑等工程中，我们往往希望通过计算室内分段图形物体的体积，来确定施工量、进行报价。
因此，定积分可以方便地计算出各自图形的面积，求得一个准确的体积，有利于家装施工工作。
其次，定积分还可以延伸到土木建筑学方面，主要应用在把土堤劈开形成群堤劈口时，需要用定积分来计算滩坝的面积。
在给江河加固筑坝中，也会用定积分帮助计算出河道及整体筑堤的面积，以便进行设计分析标志，精确洪水启动洪水的等级，把握工程参数，使工程质量更有保障。
而且，还可以控制工程造价，提高工程施工质量。
最后，定积分也广泛用于测量地理空间，如绘制剖分图形等。
目前，在社会经济发展过程中，各种自然资源、土地开发成为重要话题，资源管理成为一个完善的管理体系。
地块剖分时，根据图形形状和边缘位置，即以定积分来求出这些图形的面积，从而能很好地管理相应的资源和土地使用。
通过以上叙述，可以很清晰地看出定积分在我们的生活中起着非常重要的作用。
它有助于计算出各种图形的面积，从而可以在家庭清淤、室内装修工程、水利筑坝工程及地块剖分等领域派上用场，它不仅可以提高工程品质，也能控制造价，极大的方便了实际工程的日常管理和分析等。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种在数学中用来计算平面图形面积的方法，在实际生活中具有重要意义，这里简要介绍它在实际生活中的应用情况。
首先，定积分可以用来估算台形的面积。
台形的底部被分割为一系列的小矩形，每个小矩形的面积是定值，相互之间相差一定的距离，而高度则是由上下两边的函数描述的，由此可以将台形的面积分解为一系列的矩形的面积的和，然后用定积分的方法可以计算出台形的面积。
其次，定积分可以用来计算曲线与直线之间的面积，以及曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当一定区域内某曲线与X轴之间的面积可用定积分进行计算，具体来说，是将这定区域内某曲线与X轴之间分解为一系列的小矩形，每个小矩形的面积都是定值，然后用定积分的方法计算出这一系列矩形的面积的和，从而得出曲线与X轴之间的面积。
此外，定积分还可以用来计算三维图形的体积。
例如，当某三维图形在某个区域内时，可以用定积分该区域内某曲面与XOY面之间的面积进行计算，然后再分别用某直线与XOZ面之间的面积和某曲线与YOZ面之间的面积进行计算，最后把这三个面积的和相乘就可以得出三维图形的体积。
最后，定积分还可以用来计算容积问题。
例如，当求某容器的容积时，可以用某曲线与XOY面的面积来计算出容器的内曲面的面积，然后用某直线与XOZ面的面积来计算容器的内曲面到XOZ面的距离，
最后将这两个面积的乘积相加即可得出容器的容积。
以上就是定积分求取平面图形面积在实际生活中的应用情况。
定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于实际生活中，对于理解和掌握定积分相关知识，可以帮助我们更好地、更有效地解决实际中的问题。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
应用数学论文---定积分在生活中的应用
定积分在生活中的应用引 言通过学习了定积分后，我了解到定积分在生活中有很重要的应用。
定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用；微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=， 把区间[],a b 分成n 个小区间：有[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =），并作出和()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆，如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰=I =()01lim ni iP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
2．定积分的性质.设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且性质1 ()b akf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;性质2 ()()b a f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ ()()baf xg x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰.性质3 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()caf x dx ⎰=()baf x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。
幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。
应用定积分
应用定积分
定积分是数学中一个重要的概念，也被称为积分。
它是一种特殊的空间数学函数，可用于分析各种复杂的空间问题。
本文将讨论定积分的概念并讨论其应用。
首先，了解定积分的概念。
定积分具有重要的数学性质，它是一个具有空间特征的函数。
这意味着它可以被用来衡量不同空间的大小。
定积分的空间特性可以用于分析复杂的空间问题，例如在几何中研究凸多面体和曲面的特征。
定积分也有其他重要的应用。
例如，当研究动力学问题时，它可以用来测量物体在某个时间内移动的距离。
它还可以用来研究物理问题，例如用来解决质量在不同位置间的变化。
一般来说，定积分可以用来解决某些复杂的数学问题，例如：计算圆柱体的体积，计算椭圆的面积等。
它也可以用来分析物理系统，例如计算流体的动能，电磁场的强度，热力学的能量变化等。
此外，定积分也可以用于分析经济问题，例如研究各种投资与收入之间的关系，计算收入的时间曲线，研究出售产品的折扣等。
它也可以用来研究生态系统，例如追踪物种的行为和变化，分析生态系统对环境污染的影响。
总之，定积分是一个重要的数学概念，它可以用于解决许多复杂的空间、物理、经济及生态系统问题，可谓万能的数学“神器”。
以
上就是本文关于定积分的概念及其应用的论述，希望能为大家带来一些帮助。
定积分在生活中的应用
定积分在生活中的应用定积分在生活中的应用有很多，让我们来举例说明其中一个方面。
假设你经营一家咖啡店，想要知道在某个时间段内卖出咖啡的总杯数。
这个问题就可以用定积分来解答。
首先，我们需要确定卖出咖啡的总杯数和时间之间的关系。
假设每小时卖出咖啡的杯数是一样的，那么卖出咖啡的总杯数就是每小时卖出咖啡的杯数乘以卖出咖啡的小时数。
用数学公式表示为：∫cup/hour dt (从t1到t2)其中cup/hour表示每小时卖出咖啡的杯数，dt表示卖出咖啡的小时数。
将这个公式进行积分运算，就可以得到卖出咖啡的总杯数。
通过这个例子可以看出，定积分可以帮助我们解决生活中各种各样的问题，只需要将问题转化为数学公式进行计算就可以了。
当然，定积分还是一个比较难的概念，需要我们具备一定的数学基础才能正确理解和运用。
定积分是微积分的一个重要概念，它在生活中的应用非常广泛。
在生活和工作中，定积分可以通过数学模型来描述各种现象，从而帮助我们分析和解决问题。
以经济学为例，定积分可以用于研究累计收益和累计成本等经济指标。
在经济学中，累计收益是指一定时间内所获得的总收入，而累计成本则是指为了获得这些总收入而投入的总成本。
通过定积分的方法，可以将这些经济指标进行数学化，从而更好地进行定量分析和比较。
具体而言，假设有一个产品在时间段[t1, t2]内的总收益R(t)，那么该产品的累计收益可以通过定积分来计算：∫R(t) dt (从t1到t2)。
其中R(t)表示单位时间内产品的收益随时间变化而变化的函数关系。
同理，对于累计成本也可以采用类似的方法进行计算。
通过定积分的应用，可以帮助经济学家更好地分析和预测未来经济发展的趋势和规律，从而制定更为准确的宏观经济政策和企业经营策略。
除了经济学，定积分还可以应用于其他领域。
例如，在物理学中，定积分可以用于计算物体的质量和重心位置等；在几何学中，定积分可以用于计算曲线围成的面积和立体图形的体积等；在工程学中，定积分可以用于计算机械零件的强度和应力分布等。
定积分的应用（论文）
定积分的应用中文摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。
数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。
此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用；本文在阐述定积分的应用时，充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。
关键词：微元法 定积分 电场强度 数列极限Abstract: This paper discussed the definite integral in mathematics, physics of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph, Physical aspects including application of definite integral to change to the object force and the work done for electric field. Besides definite integral in the beg sequence limit, proof, inequality summation factoring decomposition and has a wide application in, Based on the expatiation of the definite integral of application, make full use of the "micro element method" the basic idea, it is we solve many practical problems at the core.Key W ords: Micro element method definite integral electric intensity sequence limit引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。
浅析积分在实际问题中的应用
University Education ［收稿时间］201５-１0-２９［作者简介］王岩岩（1981-），女，河南周口人，周口师范学院数学与统计学院讲师，硕士，研究方向：基础数学问题。
刘伟（1984-），男，河南周口人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。
［摘要］积分理论从几何学和物理学中的实际问题引出，在科学技术上获得了广泛的应用。
微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。
微元法体现的是一种极限思想，有利于发展我们的思维，促进我们巩固知识、加深认识，对自然科学的学习和研究都很有帮助。
［关键词］积分；积分中值定理；微元法［中图分类号］［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（201６）０6-0167-0２201６年6月June ，201６University Education积分理论是从几何学和物理学中的实际问题引出的，在科学技术上获得了广泛的应用，从而得到了快速的发展。
为了能更有效地运用积分，人们往往采用比较简捷的微元法对事物进行分析。
微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用微元法使一些复杂的过程转化为简单的规律，可以快速地解决有关积分的问题。
因此，学生掌握好微元法对学习《数学分析》课程及实际应用具有重要的意义。
一、定积分中微元法的理论分析（一）微元法的本质微元法是定积分计算思想的简化。
它把定积分求解过程中的分割、近似代替、作和、取极限四步浓缩为两步，即化整为零求微元，积零为整求总量。
应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过我们所熟知的“分割，近似求和，取极限”等经典步骤获取定积分表达式的，而是利用更简单的微元法得到定积分表达式。
微元法思想是微积分的主要思想，它在处理各类积分应用问题中是一脉相通的，也是学生学好各类积分的理论依据。
（二）定积分中微元法的应用条件选取微元时应遵从的基本原则：（1）φ是与某个变量的变化区间［a ，b ］有关的量；（2）所求量φ关于分布区间［a ，b ］必须是代数可加的；（注：对于矢量，如力、动量等，由于矢量的加减法不满足代数可加性，所以遇到这种情况，是不能直接用微元法的，但可以进行力的分解，使各个分力在同一条直线上）（3）微元法的关键是正确给出Δφ的近似表达式：Δφ≈f （x ）d x ；Δφ-f （x ）Δx=o （Δx ）。
定积分在生活中的应用
定积分在生活中的应用
积分在现今社会已经成为一种日渐普遍的消费风尚，它由消费者、商家及其他社会力量所主导。
积分具体而言，指的是一种被用来衡量客户价值和客户作为消费者或会员贡献度的特定通货。
它可以在企业管理、消费者行为分析、和顾客满意度研究等方面大行其道，有着十分重要的贡献。
那么，积分在生活中有怎样的应用呢？首先，它可以用在各种消费场所，如商场、购物中心、电影院等。
消费者可以以一定的积分兑换实体商品和现金券等。
有了积分，消费者可以轻松兑换他们喜欢的东西，表达他们的忠诚诚意，从而增强消费投入和与商家之间的信任度。
其次，积分也可以用在支付宝、微信等移动支付平台上。
支付宝和微信可以利用积分进行充值，也可以当作礼物赠送给家人或朋友，从而增进了彼此关系。
同时，这也是改善人们对现金使用习惯的一种有效手段，既提高了使用效率，又有利于促进消费决策过程。
再者，在游戏行业，积分也发挥着重要的作用。
今日，许多游戏平台，如QQ、搜狐、网易等，都为用户提供积分、金币、礼券等多种消费礼品，使用户可以在游戏中购买虚拟物品，以增强游戏性及兴趣。
总而言之，积分这种崭新的消费体系，已成为当今社会的一种必备尺度，其在消费中的表现，积极地推进着实体经济的发展，并不断增进消费者之间的信任和彼此的情谊。
例析定积分在生活中的重要作用
例析定积分在生活中的重要作用
积分在生活中的重要作用：
一、极大的惠及消费：
1、积分可免费购物：积分可以在线上进行等值兑换，用户可以在各大
超市和百货公司等地换取免费的商品，满足不同需求。
2、积分可抵扣优惠：积分可以向用户提供抵扣优惠服务，用户兑换相
等金额的积分可以进行抵扣，可以节省购买成本，满足消费者对价格
的需求。
3、使用积分可得增幅优惠：作为现金金额兑换，积分会获得赠送的一
定折扣，可以为消费者提供更多的优惠，也可以得到更多的收获。
二、积分可提高忠诚度：
1、积分可增强消费者的忠诚度：积分可以为用户提供优惠折扣，鼓励
用户长期购买商品，促进消费者对商品的承诺和信任，提高客户的忠
诚度。
2、积分可引导新用户购买：可以为新用户提供折扣、现金等大量优惠，
吸引新用户购买商品，为公司带来更多的销售额，满足公司盈利需求。
三、积分可扩大商客群：
1、积分可以吸收新顾客：通过对商品的优惠折扣，可以吸引更多的潜
在客户，拓宽商客群的范围，不断吸引新的客户来购物。
2、积分可促进优惠活动的范围和深度：商家可以利用优惠活动不断拓
展积分服务范围，扩大商客群范围与深度，促进积中长期的关系，从
而有效跟踪客户，获得可持续的盈利模式。
总之，积分在生活中扮演着越来越重要的作用。
它可以极大地帮助消
费者购物，鼓励新客户，提升用户忠实度，拓展商客群，从而为消费
者提供更多的福利。
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
定积分在生活中的实例
定积分在生活中的实例
积分在现代生活中是一种重要的激励工具，它可以促进客户的忠诚度和参与度。
特别是在企业客户的情况下，积分是非常重要的。
一般来说，积分用于奖励客户经常购买企业产品和服务的行为。
例如，有些超市可以给经常购买食物和必需品的客户积分，客户可以用这些积分来换取食物和其他商品。
此外，有
些航空公司也会给经常乘坐他们航班的客户积分，这些积分可以用来换取机票或免费餐点。
积分也可以用来支持企业俱乐部会员。
例如，某些国际大酒店会针对频繁使用酒店的客户提供积分，这些积分可以用于折扣或免费入住。
此外，有些购物网站也会给会员奖励积分，这些积分可以用来兑换折扣券或者免费商品。
积分也可以通过信用卡系统获得。
如果客户使用某个银行的信用卡进行消费，银行将会根据客户消费的金额给予客户积分，这些积分可以用来换取一些有价值的周边商品。
积分也可以来自学术活动，如考试考试成绩好的同学会有奖励积分，这些积分可以用减少学费或买学习用品。
在日常生活中，我们可以利用各种方式获取积分，这些积分都可以通过商家或者企业提供的折扣或免费商品购买，为我们带来更多的实惠。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种重要的数学工具，可以被用来求解很多问题。
在实际生活中，定积分也能够帮助我们解决诸多问题，特别是一些关于平面图形面积的问题。
本文将介绍定积分求平面图形面积在实际生活中的应用。
首先，定积分可以用来计算平面图形的面积。
以二次函数为例，给定一个二次函数，积分可以用来计算函数图像在某一范围内的面积。
例如，若二次函数的方程为 y = ax2 + bx + c，令a = 1，b = 2，c = 5，在[0,2]范围内，可以用积分求出该函数图像的面积为 9.8。
其次，定积分可以用来计算一个圆柱体的体积。
例如，假设有一个圆柱体，其中一个轴的长度为a，另一轴的长度为b，则该圆柱体
的体积可以用定积分计算出来。
此外，定积分也可以用来计算汽车行驶的总里程数。
例如，若给定汽车从A地到B地的时与距离函数，则可以用定积分来计算汽车的总里程数。
最后，定积分还可以用来计算公路或铁路运营成本。
例如，对于一条公路或铁路，可以假定各个部分之间的距离关系，并用定积分来计算运营成本。
这在很大程度上有助于管理部门控制费用，提高效率。
以上就是定积分求平面图形面积在实际生活中的应用，它可以用来计算二次函数图像的面积、计算一个圆柱体的体积、计算汽车行驶的总里程数以及计算公路或铁路运营成本等。
定积分的应用在很大程度上有助于人们高效地解决诸多实际生活中的问题。
定积分在生活中的应用之欧阳歌谷创编
院 系 : 经济与管理学院题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数()f x 在区间[],a b 上有界.欧阳歌谷（2021.02.01）PINGDINGSHAN UNIVERSITY①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=,把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-， 221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =），③作出和 ()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆作极限()01lim ni i P i f x ξ→=∆∑如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()ba f x dx ⎰，即()baf x dx ⎰=I =()01lim niiP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
定积分求平面图形面积”在实际生活中的应用案例
定积分求平面图形面积”在实际生活中的应用案例
实际生活中，使用积分求平面图形面积的应用非常广泛。
比如，土木工程的测量是一个经常要用到积分求平面图形面积的地方。
在实际的施工场景中，工程师要精确测算出建筑物的面积，以便按比例设计施工；例如，在建筑物的形状是一个多边形时，工程师就要利用积分求解该图形的面积；一般情况下，解决这类多边形面积问题会根据弦切原理，把多边形分解成由相邻线段组成的小三角形，根据三角形面积公式和微积分积分公式累加，然后就可以求得具体的多边形面积。
另外，还有一些科学实验时，也需要利用积分求平面图形面积，一个常见的例子是物理实验中的摩擦力的测量，将滑板分别放在静止的木架上，在滑板上放入物体，通过测量滑板的面积，就能算出其上的摩擦系数，而物体滑动时，摩擦力变化就可以由动能守恒方程式解出，这一数据也是日常实验要用到的。
而在市政规划上，也会涉及到使用积分求平面图形面积的应用，例如，要给一个城市进行公共绿地的开发设计时，城市规划师需要精确测量出绿地的面积，这时，便要借助积分的技术，来求解绿地的面积。
总的来说，在实际生活当中，平面图形面积的求解是一种经常会使用到的科学技术，积分是其中用来求解多边形面积的一种常用方法，比如工程测量、物理科学实验、城市规划设计等，积分求平面图形面积在实际生活中的应用非常广泛，是日常生活中非常实用的一项科学知识。
浅析定积分解决生活中的中的实例
浅析定积分解决生活中的中的实例
定积分是一种很重要的数学工具，应用广泛，为我们解决很多问题提供了大量的计算方法，能在很多生活中发挥着集中隐晦的作用。
我们可以通过它来计算物品总量或期限内的累计值，这些应用都离不开定积分的计算技巧。
首先，在体育领域中，比如排球项目，很多犯规行为要根据累计时间来进行判定。
持续犯规超过一定时间之后，才算成犯规。
而根据时间累计判断所需要用到的，就是定积分。
类似于在医学领域，医生们要求病人持续服用某种药物，服药的长度和数量都是要根据定积分的计算来确定的。
其次，在化学领域，定积分同样可以发挥重要作用。
比如，有一种物体在某段时间里放射
某种辐射，放射的量要根据这段时间的累计值来确定。
另外，对于某些反应，其速率与温
度或浓度有关，换言之，期间内物质在实验中产生的量也都需要用定积分算出来。
最后，定积分也可以应用于金融领域。
比如用定积分很容易计算投资本金多少时候才会变
成定期给息中利息的累计值。
还有存款利息，这也需要根据定积分来计算并确定本金的期
限和收益率。
以上就是定积分在生活中的应用，它的用途非常广泛，从体育到化学，再到金融，都会用
到定积分的计算方法。
定积分的重要性在于能够准确快速的计算出累计值，这一近乎不可
或缺的计算技巧正让它在各个领域中发挥着重要的作用。
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目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 定积分概述 (2)1.1定积分的定义 (2)1.2定积分的性质 (2)1.3定理及方法 (3)2定积分的应用 (4)2.1 定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 (4)2.2定积分在物理中的应用 (8)3总结 (11)致谢 (11)参考文献 (11)定积分在生活中的应用数学与应用数学专业学生郑剑锋指导教师徐玉梅论文摘要：本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。
数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。
关键词：微元法定积分数列极限The Definite Integral in Our Life of ApplicationStudent majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng ZhengTutor Yumei XuAbstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit引言本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=， 把区间[],a b 分成n 个小区间：有[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =），并作出和()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆，如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰=I =()01lim ni iP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
2．定积分的性质.设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且性质1 ()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;性质2 ()()b a f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ ()()ba f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质3 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()c af x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。
性质 4 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1b adx ⎰=badx ⎰=b a -。
性质 5 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。
性质 6 如果在],[b a 上,M x f m ≤≤)(,则⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(性质 7（积分中值定堙）如果)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存一点ξ使得⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ3．定理及方法1、定理定理1 微积分基本定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()x φ=()xa f t dt ⎰在[],ab 上可导,并且它的导数是()'x φ=()xad f t dtdx⎰=()f x ()a x b ≤≤.定理 2 原函数存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()x φ=()xaf t dt ⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.定理3如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数, 则()ba f x dx ⎰=()()Fb F a -称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.2、方法定积分的换元法假设函数()f x 在区间[],a b 上连续,函数()x t φ=满足条件 (1)()a φα=,()b φβ=;(2) ()t φ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数,且其值域R φ⊂[],a b ,则有()baf x dx ⎰=()()'f t t dt βαφφ⎡⎤⎣⎦⎰, 上面的公式叫做定积分的换元公式.定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,有 ()()'ba u x v x dx ⎰= ()()'baux v x dx ⎡⎤⎰⎣⎦=()()()()'bau x v x u x v x dx -⎡⎤⎰⎣⎦=()()b au x v x ⎡⎤⎣⎦-()()'bav x u x dx ⎰简写为'ba uv dx ⎰=[]b auv -'b avu dx ⎰或baudv ⎰=[]b auv -vdu ⎰.二 、定积分的应用一、计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用1、利用定积分计算平面图形的面积（1）设连续函数)(x f 和)(x g 满足条件)(x g ≤)(x f ，∈x ],[b a ．求曲线=y )(x f ，=y )(x g 及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积S ．（如图1） 解法步骤：第一步：在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([x g x f -为高，以dx 为底的矩形面积近似，于是dx x g x f dS )]()([-=．第二步：在区间],[b a 上将dS 无限求和，得到⎰-=ba dx x g x f S )]()([.（2）上面所诉方法是以x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。
由连续曲线)(y x ϕ=、)(y x ψ=其中)()(y y ψϕ≥与直线c y =、d y =所围成的平图2面图形（图2）的面积为：⎰-=dcdy y y S )]()([ψϕ例1 求由曲线x y sin =，x y cos =及两直线0=x ，π=x 所围成的图形的面积A ． 解 （1）作出图形，如图所示．易知，在],0[π上，曲线x y sin =与x y cos =的交点为)22,4(π；（2）取x 为积分变量，积分区间为],0[π．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分； （3）区间]4,0[π上这一部分的面积1A 和区间],4[ππ上这一部分的面积2A 分别为⎰-=401)sin (cos πdx x x A ，⎰-=ππ42)cos (sin dx x x A ，所以，所求图形的面积为21A A A +==⎰-40)sin (cos πdx x x +⎰-ππ4)cos (sin dx x x[][]22sin cos cos sin 440=--++=πππx x x x ．例2 求椭圆22221x y a b+=的面积.解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即1044aS S ydx ==⎰利用椭圆的参数方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2t x a π==时,0t =,于是222024sin (cos )4sin 1cos24214sin 22240S b t a t dtab tdttab dt t ab t abπππππ=-=-=⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割b x x x a T n =<<<= 10:划分成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(n i x i =∆，假设每一个基本的小块横切面积为),,2,1)((n i x A i =，)(x A 为[]b a ,上连续函数，则此小块的体积大约是i i x x A ∆)(，将所有的小块加起来，令0→T ，我们可以得到其体积：⎰∑=∆==→bani i i T dx x A x x A V )()(lim1。
例2 求由曲线4=xy , 直线 1=x ,4=x ,0=y 绕x 轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕x 轴旋转，所以取x 为积分变量，x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x ,x +x d ]的小窄条，绕x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为V d =2πy x d =π2)4(xx d ,于是，体积V =π⎰412d )4(x x=16π⎰412d 1x x -=16π411x=12π.3．求曲线的弧长（1）设曲线)(x f y =在[]b a ,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x 为积分变量，在[]b a ,上任取小区间[]x x x d ,+，切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度，即ds l MN ≈.得弧长微元为：dx y y x MT s 222)(1)d ()d (d '+=+==,再对其积分，则曲线的弧长为：dx x f dx y ds s babab a⎰⎰⎰'+='+==22)]([1)(1（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ上[],t αβ∈一段的弧长.这时弧长微元为：()()2222dx dy ds dx dy dt dt dt ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()22ds t t dt ϕψ''=+则曲线的弧长为：dt t t ds s ⎰⎰'+'==βαβαψϕ22)]([)]([例3 (1)求曲线 2332x y =上从0到3一段弧的长度解 由公式 s =x y b ad 12⎰'+ （ b a <）知,弧长为s =x y d 1302⎰'+=x x ⎰+30d 1=323023)1(x +=31632-=314.(2)求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 在π20≤≤t 上的一段弧的长度（0>a ）．解 取t 为积分变量，积分区间为]2,0[π．由摆线的参数方程，得)cos 1(t a x -='，t a y sin ='，t a t a y x 222222sin )cos 1(+-='+'|2sin|2)cos 1(2ta t a =-=． 于是，由公式（16-13），在π20≤≤t 上的一段弧的长度为22002|sin |2sin 22t ts a dt a dt ππ==⎰⎰204cos 82t a a π⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦二、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 ()ba s v t dt =⎰例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：10406010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402*********|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2、 定积分在变力作功的应用一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx =⎰例2 设40N 的力使一弹簧从原长10cm 拉长到15cm ．现要把弹簧由15cm 拉长到20cm ，需作多少功？解 以弹簧所在直线为x 轴，原点O 为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律，当把弹簧拉长x m 时，所需的力为()F x kx =，（1）其中k 为弹性系数，是常数．根据题意，当把弹簧由原长10cm 拉长到15cm 时，拉伸了0.05m ，把0.05x =(0.05)40F =代入式（1），得 400.05k =，800=k ，所以()800F x x =．因此当把弹簧由15cm 拉长到20cm ，即x 从05.0=x 变到1.0=x 时，所需作的功为0.10.120.050.058004003W xdx x ⎡⎤===⎣⎦⎰．3、定积分在在电学中的应用例3、有一均匀带电圆盘，其半径为R ，电荷面密度为σ（如下图），求圆盘轴线 上与盘心O 相距为x 的任一给定点P 处的场强？分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。