线性系统的状态空间分析与综合

第九章线性系统的状态空间分析与综合

一、教学目的与要求：

通过本章内容的学习，使学生建立起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据方法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。

二、授课主要内容：

1．线性系统的状态空间描述

2．线性系统的可控性与可观测性

3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器

（详细内容见讲稿）

三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）

1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法与其他数学描述（微分方程、

传递函数矩阵）之间的关系。

2.掌握采用状态空间表述的系统运动分析方法，状态转移矩阵的概念和求解。

3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间

的对偶性。

4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构

造能控、能观测标准形的线性变换方法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解方法。

5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计方法，理解分离

定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。

重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。

四、主要外语词汇

线性系统 linear system

状态空间 state space

状态方程 state equation

状态向量 state vector

传递函数矩阵 translation function matrix

状态转换矩阵 state-transition matrix

可观测标准形 observational standard model

可控标准形 manipulative standard model

李亚普诺夫方程Lyaponov equation

状态观测器 state observation machine

对偶原理 principle of duality

五、辅助教学情况（见课件）

六、复习思考题

1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输入变量、输出变量各指什么？

2．通过机理分析法建立系统状态空间模型的主要步骤有哪些？

3．何为多变量系统？如何用传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？

在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。

5．用非奇异矩阵P对状态方程式进行线性状态变换后，与原状态方程式之间存在什么关系？

6．试简述系统能控性与能观性两个概念的含义及意义。

7．试述能控性和能观性定义。

8．试述系统能控性和能观性常用判据。

9．何谓对偶系统和对偶原理？

10．什么是状态方程的线性变换？

11．试述系统状态方程规范型变换的条件、特点及变换的基本方法。

12．试述状态能控性与能观性和系统传递函数（阵）的关系。

七、参考教材（资料）

1．《自动控制原理与系统》上、下册清华大学吴麒等国防工业出版社

参考该书第九章有关内容。

2. 《自动控制原理》 孙德宝 主编 化学工业出版社

参考该书第九章有关内容。

3．《现代控制理论》第2版 天津大学 刘豹主编 机械工业出版社

八、讲稿

第九章 状态空间分析与综合

9.1 引言

经典控制理论中常常采用系统关系来输入和输出之间的来描述一个控制系统。这称之为控制系统的输入－输出描述。微分方程和传递函数就是属于这种系统描述所采用的数学模型。经典控制理论分析和设计控制系统所采用的方法是频率特性法和根轨迹法。这两种方法用来分析和设计线性、定常单变量系统是很有效的。

但是，对于非线性系统、时变系统、多变量系统等，经典控制理论就显得无能为力了。同时，随着生产过程自动化水平要求的提高，控制系统的任务越来越复杂，控制精度要求也越来越高，因此，建立在状态空间分析方法基础上的现代控制理论便迅速地发展起来。

9.2 状态空间和状态方程

9.2.1状态空间方法的几个基本概念

状态：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。

状态变量： 状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。一个用n 微分方程描述的系统就有n 个独立的变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的行为也就完全被确定。因此，由n 微分方程描述的系统就有n 个状态变量。状态变量具有非唯一性，因为不同的状态变量业能表达同一个系统的行为。

状态向量：若以n 个状态变量

向量x(t)的分量，则x(t)称为状态向量。

状态空间：以状态变量

构成的n 维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量x(t)在状态空间中是一个点。系统随时间的变化过程，使x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹。

状态空间表达式：将反映系统动态过程的n 微分方程或传递函数 ，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。将状态方程与描述系统状态变量与系统输出变量之间的关系的输出方程一起就构成了状态空间表达式。下面就是状态空间表达式的标准描述

式中,分别为状态向量及其一阶导数, u(t),y(t)分别为系统的输入变量和输出变量, A, B, C 分别为具有一定维数的系统矩阵。

9.2.2 几个示例

【例9-1】RLC 电路的状态空间模型

12(),(),,()

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