初三二次函数最值问题和给定范围最值(供参考)
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容同样也是难点内容一般同学都很பைடு நூலகம்把控尤其是最值问题多数同学遇到这样的题目都直接放弃
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容，同样也是难点内容，一般同学都很难把控，尤其是最值问题，多数同学遇到这样的题目都直接放弃。
但是如果我们了解了二次函数最值的常考题型，典型题，以及解题方法，这样是可以帮助同学们在这一部分突破一定的分数的。
小专题8二次函数的最值及函数值的范围
小专题8 二次函数的最值及函数值的范围对于二次函数y＝a(x－h)2＋k图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)，求函数值的范围(最值)考虑以下四种情况：当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y1，最小值为y2.当a<0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y2，最小值为y1．当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是1，y的最大值为y1，最小值为k.当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是， y的最大值为k，最小值为y2．类型1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围1．(温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－22．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )A．y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜33．如图，点P(x，y)在抛物线y＝－(x－1)2＋2的图象上，若－1＜x＜2，则y的取值范围是．4．已知点P(x，y)在二次函数y＝2(x＋1)2－3的图象上．(1)当0＜x＜1时，y的取值范围是；(2)当－2＜x＜1时，y的取值范围是；(3)当－4≤x＜1时，y的取值范围是．类型2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值5．若二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是．6．已知关于x的二次函数y＝ax2＋a2.(1)若它的最小值为4，则a的值为；(2)若它的最大值为4，则a的值为．7．(黄冈中考)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( ) A．－1 B．2C．0或2 D．－1或28．【易错】(泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( ) A．1或－2 B．－2或 2C. 2 D．19．【分类讨论思想】(潍坊中考改编)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值．小专题8 二次函数的最值及函数值的范围y2≤y≤y1 y1≤y≤y2 k≤y≤y y2≤y≤k1,D 2,B 3,－2＜y≤2 4(1)－1＜y＜5 (2)－3≤y＜5 (3)－3≤y≤15 5,6 6(1)2 (2)－2 7,D 8,D9 解：如图，画出二次函数的大致图象．当h＜2时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得，即－(2－h)2＝－1.解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，函数y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝5处取得，即－(5－h)2＝－1.解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或6.章末复习(二) 二次函数分点突破知识点1 二次函数的图象与性质1．(株洲中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ＜0(填“＝”“＞”或“＜”)． 2．抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是(A)A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)3．关于抛物线y ＝x 2－4x ＋4，下列说法错误的是(D)A ．开口向上B ．与x 轴只有一个交点C ．对称轴是直线x ＝2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大4．(攀枝花中考)在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是(C),A) ,B),C) ,D)5．(甘孜中考改编)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴分别交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由．解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴此二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)△BCD 为直角三角形．理由如下： ∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴顶点D 的坐标为(2，－1)．当x＝0时，y＝x2－4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵点B的坐标为(3，0)，∴BC＝32＋32＝32，BD＝（2－3）2＋（－1）2＝2，CD＝22＋（－1－3）2＝2 5.∵BC2＋BD2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°.∴△BCD为直角三角形．知识点2 二次函数图象的平移规律6．(宜宾中考)将抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2．7．如果要得到y＝x2－6x＋7的图象，需将y＝x2的图象(B)A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度知识点3 求二次函数解析式8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，则该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．9．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．11．(云南中考)已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1)求b ，c 的值；(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×16－4b ＋c ＝－92.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3.(2)由(1)可得，该抛物线解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.Δ＝(98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．令－316x 2＋98x ＋3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8.∴公共点的坐标是(－2，0)或(8，0)． 知识点5 二次函数的实际应用12．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h ＝－t 2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是(D)A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m13．(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/件，才能在半月内获得最大利润． 14．用长为6 m 的铝合金制成如图所示的窗框，窗框的上部是由两个正方形组成的矩形，解答下列问题：(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？(2)当AB 和BC 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？解：(1)∵铝合金长为6 m ，AB ＝1 m ， ∴AD ＝(6－3－12)÷2＝54(m)．∴此时窗户的透光面积为1×54＝54(m 2)．(2)设窗户的透光面积为S m 2，AB ＝x cm ，则AD ＝(6－72x)÷2＝(3－74x)m.∴S ＝x(3－74x)＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97.∵－74＜0，∴当x ＝67时，S 最大，为97.答：当AB ＝67 m ，BC ＝32 m 时，窗户的透光面积最大，最大面积是97 m 2.易错题集训15．抛物线y ＝2x 2－5x ＋3与坐标轴的交点共有(B)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．【数形结合思想】若二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A(－1，y 1)，B(2，y 2)，C(5，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 217．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(D)A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－218．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是(D)A ．b>1B ．b<1C ．b ≥1D ．b ≤119．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，当－2≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围为－5≤y ≤4．20．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式y<0的解集是x>5或x<－1．21．如图，用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m ，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m 2.中考题型演练22．(泰安中考)若二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴为直线x ＝2，则关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13的解为x 1＝2，x 2＝4．23．(凉山州中考)将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移3个单位长度后经过点A(2，2)． 24．(衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为(－1_010，1_0102)．25．(南充中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)，a ＞0，顶点坐标为(12，m)．给出下列结论：①若点(n ，y 1)与点(32－2n ，y 2)在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x的一元二次方程ax 2－bx ＋c －m ＋1＝0无实数解，那么(A)A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误26．(黄石中考)如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，矩形ABCD 中AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y(cm 2)，则y 与x 的大致图象是(A)A. B.C. D.27．(广安中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0；②b ＜c ；③3a ＋c ＝0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的结论有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．(安徽中考)一次函数y ＝kx ＋4与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k ，a ，c 的值；(2)过点A(0，m)(0＜m ＜4)且垂直于y 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W ＝OA 2＋BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．解：(1)由题意，得k ＋4＝2，解得k ＝－2. 又∵二次函数顶点为(0，c)，∴c ＝4.把(1，2)代入二次函数表达式，得a ＋c ＝2，解得a ＝－2.(2)由(1)得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0， ∴x ＝±4－m2. 设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC ＝|x 1|＋|x 2|＝24－m2， ∴W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∴当m ＝1时，W 取得最小值7.29．(青岛中考)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将点(30，100)，(45，70)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝30k ＋b ，70＝45k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160. ∴y ＝－2x ＋160.(2)由题意，得w ＝(x －30)(－2x ＋160)＝－2(x －55)2＋1 250. ∵－2＜0，∴当x ＜55时，w 随x 的增大而增大． 又∵30≤x ≤50，∴当x ＝50时，w 有最大值，此时w ＝1 200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1 200元． (3)由题意，得(x －30)(－2x ＋160)≥800， 解得40≤x ≤70.∴每天的销售量y ＝－2x ＋160≥20. ∴每天的销售量最少应为20件． 核心素养专练30．【新定义问题】(贵港中考)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c|(a ≠0，且b2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是4．小专题9 二次函数与几何图形的小综合类型1 线段长、图形面积最值问题1．(自贡中考节选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3， ∴D(－2，－3)．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t ， 将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，－2k ＋t ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，t ＝－1. ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)由题意知P(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)(－2≤m ≤1)， ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)＝－m 2－m ＋2＝－(m ＋12)2＋94.当m ＝－12时，l 最大＝94.2．如图，抛物线y ＝－2x 2＋2x ＋4经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值．解：过点P 作PF ⊥x 轴于点F. ∵P 为第一象限内抛物线上一点， 设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)， 则F 点坐标为(n ，0)． ∴S ＝S 梯形OCPF ＋S △PFB ＝（PF ＋OC ）·OF 2＋12PF ·BF＝12PF ·OB ＋12OC ·OF ＝－2n 2＋2n ＋4＋12×4n＝－2n 2＋4n ＋4 ＝－2(n －1)2＋6. ∴当n ＝1时，S 最大＝6.类型2 线段和、周长最值问题3．如图，抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：令y ＝－12x 2＋12x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2.∴A 点坐标为(－2，0)．连接AD ，交对称轴于点P ，连接PB ，则PA ＝PB.∴PB ＋PD ＋BD ＝PA ＋PD ＋BD ＝AD ＋BD. 此时P 点使△BDP 的周长最小．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.将点A ，D 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵抛物线对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54，∴点P 的坐标为(12，54)．类型3 线段数量关系、面积数量关系问题4．如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．解：∵点P 的横坐标为m ，∴P(m ，－m 2＋4m ＋5)， E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)．∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，则0<m<5. ∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋194m ＋2.分两种情况讨论：①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34m ＋3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(－34m ＋3)．即2m 2－17m ＋26＝0. 解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)；②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(34m －3)．即m 2－m －17＝0.解得m 3＝1＋692，m 4＝1－692(舍去)．综上所述，m 的值为2或1＋692.5．(龙东中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C ，D 两点，连接BD ，AD.(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过点(3，0)， ∴0＝－9＋3m ＋3. ∴m ＝2. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－32x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72，y 2＝－94.∴D(72，－94)．∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×|y P |＝4×12AB ×94. ∴|y P |＝9，y P ＝±9.当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解； 当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9， x 1＝1＋13，x 2＝1－13.∴点P 的坐标为(1＋13，－9)或(1－13，－9)． 类型4 特殊图形的存在性问题6．如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4. ∴A(4，0)，B(－2，0)．令x ＝0，得y ＝－2.∴C(0，－2)． (2)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形． 设P(1，a)，则AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5，AC 2＝20. ①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5， 解得a ＝1.∴P 1(1，1)；②当CP ＝AC 时，即a 2＋4a ＋5＝20， 解得a ＝－2±19.∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)； ③当AP ＝AC 时，即a 2＋9＝20，解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)，P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P4(1，11)，P5(1，－11)．7．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解：y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点P的坐标为(－1，4)．如图，分别过△PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.∵AM1綊CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．∵AM2綊PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．∵CM3綊AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．。
数学人教版九年级上册求二次函数的最值
P16练习1、2 P17-18 9、10
问题1：已知函数y=x2+2x-3 且 0≤x≤2 3≤x≤-2 ,求函数的 最值。 解：因为由图易知:对称轴 X0= -1 函数在0≤x≤2上y随x的 增大而增大 所以：ymin= 0 20 3 3 2 ymax= 2 22 3 5
求二次函数的最值，实际上就是求顶点纵坐标的值， 是最大还是最小由a的符号确定。具体方法有两种： （1）用配方法求顶点 （2）用公式法
2.说出下列函数的最大值、最小值
（1）y=2x2-3
（3）y=-（x+1）2+2
（2）y=-3（x-2）2
（4）y=4(x-3)2-9
随堂练习
3Hale Waihona Puke 确定下列二次函数的最大值（或最小值）:
1 2 (1) y = x -6x+13 (配方法）； 2
(2) y=-x² -3x+1（公式法）.
1 2 解： y = x -6x+13 2 1 2 y x 1 2 x2 6 2
提取a,使二次 项系数为1 加上并减 去一次项 系数一半 的平方 写成配方式
1 2 y x 1 2 x 3 6 3 6 2 6 2
答：函数的最小值为-3，最大值为0
问题3:已知函数y=x2 + 2x-3 且 -2≤x≤2 , 求函数的最值。
解：因为由图易知：对称轴 X0=-1，顶点坐标为（-1，-4） 所以 ymin= = -4 ; 又因为： 2 2 2 2 3 3 当x=-2时， 2 当x=2时，2 22 3 5
公式法 此时，a=1,b=-4,
c=1,所以函数有 最小值，为
2 4 a c b b 对称轴为：直线 x ， y 4a 2a 2 2 b 4ac b 4 1 1 4 顶点坐标是： 3 2a , 4a 4 1
初三数学小专题(三) 二次函数的最值及函数值的范围
∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点 G 的坐标为(1，4).
(2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴 的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M， N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
2.已知点 P(x，y)在二次函数 y＝2(x＋1)2－3 的图象上.
(1)当 0＜x＜1 时，y 的取值范围是 －1＜y＜5 ；
(2)当－2＜x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y＜5 ；
(3)当－4≤x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y≤15
.
3.(2020·河南)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝OB，点 G 为抛物线的顶点.
当 a>0，x1≤x≤x2 时，y 的取值围是 k≤y≤y1，y 的最大值为 y1， 最小值为 k.
当 a<0，x1≤x≤x2 时，y 的取值范围是 y2≤y≤k 最小值为 y2.
，y 的最大值为 k ，
类型 1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.已知二次函数 y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3 的取值 范围内，下列说法正确的是( D ) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值 0，有最小值－1 C.有最大值 7，有最小值－1 D.有最大值 7，有最小值－2
当点 M 的坐标为(4，－5)时，点 N 的坐标为(6，－21)，∴－ 21≤yQ≤－5.
类型 2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值 4.若二次函数 y＝x2＋4x＋a 的最小值是 2，则 a 的值是 6 . 5.已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋a2. (1)若它的最小值为 4，则 a 的值为 2 ； (2)若它的最大值为 4，则 a 的值为－2 .
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义(含答案)
二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义（含答案）类比各形式，突破给定范围求最值类型一没有限定自变量的范围求最值1．函数 y ＝－（x＋1）2＋5 的最大值为 ____ .2．已知二次函数 y＝3x2－12x＋13，则函数值 y 的最小值是（） A ．3 B．2 C．1 D．－ 13．已知函数 y＝x（2－3x），当 x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．类型二限定自变量的取值范围求最值4．函数 y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（）A．4 和－3 B．－3 和－4 C．5 和－4 D．－1 和－4135．二次函数 y＝－2x2＋2x＋2 的图象如图所示，当－ 1≤x≤0 时，该函数的最大值是（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．036 ．已知 0 ≤x ≤2，则函数 y ＝x 2＋ x ＋ 1（ ）33A ．有最小值 ，但无最大值B ．有最小值 ，有最大值 1 4419C ．有最小值 1，有最大值D ．无最小值，也无最大值4类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从 y ＝2x 2－3 的图象上可以看出，当－ 1≤x ≤2 时，y 的取值范围是（） A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－ 2≤y ≤18．已知二次函数 y ＝－ x 2＋2x ＋3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y >3D ．y<39．二次函数 y ＝x 2－x ＋m （m 为常数 ）的图象如图所示，当 x ＝a 时，y<0；那 么当 x ＝a －1 时，函数值（ ） A ．y<0B ．0<y<mC ．y>m D ．y ＝m类型四 已知函数的最值， 求自变量的取值范围或待定系数的值 10 ．当二次函数 y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时， x 的值为（ ）A ．－2 B． 1 C．2 D ．911．已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为 2，则 a的值为（）A．3 B．－1 C．4 D．4 或－112．已知 y＝－x（x ＋3－a）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在1≤x≤5 时，y 在 x＝1 时取得最大值，则实数 a的取值范围是（）A ． a ＝ 9B ． a ＝ 5C ． a ≤9D ． a ≤513．在△ABC 中，∠A，∠B 所对的边分别为 a，b ，∠C＝70 °.若二次函数 y＝（aa＋b）x 2＋（a＋b）x－（a－b）的最小值为－2，则∠A＝__ 度．14．已知函数 y＝－4x 2＋4ax －4a － a2，若函数在 0≤x≤1 上的最大值是－ 5，求 a 的值．参考答案：14.解匸次函数的对称轴为直线7=_d=号・y≤0时, d≤O,<r=O时函数有最大值，最大值为一4α-= —5,整理得α2+4α-5 = 0,解得α1 = l （舍去），血=一5 ;OV号Vl 时，OVoV2,最大值为 ------------ 4X（_4） ---------- =_5,解得a =-y 时,α≥2,Λ'=l时，函数有最大值，此时一4÷4α~4α-α2 = -5,整理得α2 = l,解得α1 = -l（舍去）,α2 = l（舍去）・综上所述,Q = —5或a =—时，函数在0W∙r≤l上的最大值是—5∙。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数最值问题
二、求几何图形的最值，如线段长度，图形面积等．一般先求出关系
式，再根据关系式求最值(要特别注意自变量的取值范围)．
4．如图所示，点E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC
于点F.
(1)求证：△ADE∽△BEF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
A．4
B．－4
C．5
D．－5
2．(2022贺州)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最
D
大值为15，则a的值为（
A．1
B．2
C．3
D．4
）
3．(2022绍兴)已知函数y＝－x2 ＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点
(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值；
解 ： (1) 把 (0 ， － 3) ， ( － 6 ， － 3) 代 入 y ＝ － x2 ＋ bx ＋ c ， 得
y1 ；当后者大时，y最小 ＝y2；若－ 不在此范围内，直接利用二次函数的
增减性求最值即可．
冲关
一、给出函数解析式(部分含参数 )，讨论函数在某个范围内的最
值．解决此类问题时最好利用函数的图象(数形结合)求之．
1．(2023哈尔滨三模)抛物线y＝－3(x－4)2－5的最大值为（ D ）
间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，
设较小矩形的宽为x m．(如图)
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
解：(1)根据题意知，较大矩形的宽为2x
m．
∴(x＋2x)(8－x)＝36.解得x 1 ＝2，x 2 ＝6.
二次函数中的取值范围(最值)问题 - 学生版
二次函数中的取值范围（最值）问题班级：________ 姓名：_______复习：已知二次函数223y x x =--.（1）y 的取值范围是_______________________________________________________. （2）当24x <<时，y 的取值范围是_________________________________________. （3）当04x <<时，y 的取值范围是_________________________________________. （4）当0y >，x 的取值范围是______________________________________________. （5）当3y >-，x 的取值范围是_____________________________________________. （6）当1x a -≤≤时，y 有最小值4-，最大值0，则实数a 的取值范围是____________.方法归纳： x y ⎧⎪⎨⎪⎩求范围:_________________.求范围:_________________.参数范围:_________________. 大方向.⎧⎪⎨⎪⎩求值:_________________求范围:________________.一、最值计算 _________________________例1. (2014成都改编) 在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角（两边足够长），用8m 长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边）设AB =x m ．若在点P 处有一棵小树与墙CD 、AD 的距离分别为5m 和2m ，要将这棵树围在花圃内（含边界，不考虑树干的粗细），求花圃面积y 的最大值．二、求参范围 _________________________ 题型一、增减性 _________________________例2. （1）抛物线22y x ax =-，当3x >时，y 随着x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是______________.（2）抛物线221y ax x =++，当3x <时，y 随着x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是___________.C题型二、图象求参 _________________________例3. （1）已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示， 则a b c ++的取值范围是___________________.（2）已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示， 则实数a 的取值范围是_________________________.题型三、交点判断 _________________________例4.（1）若抛物线2y x m =-与直线2y x =-最多有一个交点，则实数m 的取值范围是_____________.（2）（2017成都）若抛物线21142y x =-+与抛物线221(2)42y x m =--在y 轴右侧有两个不同的交点，则m 的取值范围是__________.思考题： _________________________（1）（轴动区间定）已知二次函数22y x ax =-，当14x -≤≤， y 有最小值-3，则a 的值为_______.（2）（轴定区间动）已知二次函数22y x x =-，当1a x a -≤≤时，y 有最小值3，则a 的值为_______.yx-1-1O习 题1. 若反比例函数ay x=的图象与直线2y x =+有两个交点，则a 的取值范围是_____________. 2. 若关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根，则a 的取值范围是_______________________．3. 如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于 A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，则关于x 的不等式kx +n > ax 2+bx +c 的解为_____．4. 已知抛物线2(2)3y x m =-+，当1m x m <<+时，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________.5. (宿迁中考) 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm /s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是__________.6. 已知抛物线221y ax x =-+，若对满足34x <<的任意x 都有0y >，则a 的取值范围是___________.7. 已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①0abc <； ②20a b +<；③()a b m am b +<+(1)m ≠；④22()a c b +<；⑤1a >。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。
二次函数的最值问题
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若 ≤ ≤ + ，求函数 的最值.
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x=1
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k+2
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当 k＜1＜ k+2 时 即-1＜k ＜1时
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ymin=- 4
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x=1
当 k+2 − 1 ≥ 1−k时，即0≤ k<1时
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k
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k+2
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ymax=y(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
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当 k+2 − 1≤ 1−k时，即-1<k≤ 0时
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x=1
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k
k+2
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ymax=y(k)=k2-2k-3
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类型二——求二次函数在给定区间上的取值范围
3.函数不定，区间定
已知函数 = + +
− ≤≤
思考：通过以上几题，你发现二次函数在m≤x≤n上的最值通常在哪里取到？
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
好全面九年级数学二次函数的实际应用---最值问题.doc
二次函数的实际应用一-最值问题再现及巩固h 4c — /? 2 二次函数的一般式j = ax 2 +bx + c (QH O )化成顶点式y = a(x + —)2 + ----2a 4a果口变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).即当。
>0时，函数有最小值，并且当x = ~—2ab Acic ~b当GVO 时，函数有最大值，并且当x =-佥，y 最大值=爲 ・ 巩固练习 1. 求下列二次函数的最值： (1) 求函数y = x 2+2x-3的最值.(2) 求函数y = 〒+2x —3的最值.(0<^<3)2. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每 星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元, 如何定价才能使利润最大？ 附答案： 巩固练习：1. (1)解析：解：y = (x + l)2—4当兀=一1时，y 有最小值一4,无最大值.(2)解：y = (x + l)2 -40 < x < 3 ,对称轴为x = —1.•・当x = 0时y 有最小值- 3；当x = 30寸)有最大值12 .2. 解：设涨价(或降价)为每件兀元，利润为y 元，X 为涨价时的利润，儿为降价时的利润 则:卩=(60-40 4- x)(300 一 1 Ox)= -10(X 2-10X -600) = -10(X -5)2+6250当x = 5,即：定价为65元时，y max = 6250 (元)y? = (60-40-兀)(300 + 20无)= -20(x-20)(x + 15)= -20(x-2.5)2+6125当x = 2.5,即：定价为57. 5元时，儿^=6125 (元) 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大.三、知识点梳理1. 二次函数在没有范围条件下的最值4ac-b 2""4a二次函数的一般式y = O? +加+ Q （a H 0）化成顶点式y = d （x +舟尸+4°；；戸， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.即当。
九年级数学-----二次函数的最值问题
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习 A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值
(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
自变量x 取任意实数时的最值情况（1）当0a >时，函数在2bx a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；（2）当0a <时，函数在2bx a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++.[2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++；②对称轴2 m nx+>，即对称轴在m x n≤≤的中点的右侧，在x m=处取最大值2maxy am bm c=++小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a<0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf f xf mbam nf nbam n()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910另法：2(0)y ax bx c a=++≠当m x n≤≤（其中m n<）的最值：求出函数的对称轴02bx xa==-，在以后的数学学习中①若m x n≤≤，则分别求出,,m x n处的函数值()f m，()f x，()f n，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n<>或时，则求出,m n处的函数值()f m，()f n，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
初三二次函数最值问题和给定范围最值
学习好资料欢迎下载二次函数中的最值问题重难点复习2xc,(a,by?ax?bx?cy)a?0.，那么一般地，如果的二次函数是常数，叫做22k)?x?hbx?cy?a(y?ax?用配方法可化成：二次函数的形式??2hx?hk kh?x?y?a.的形式，得到顶点为(),，对称轴是222bac?b4b4ac?bb??2）（?，?ax?ax?bx?c?y??x?. ，∴顶点是，对称轴是直线??a2a4a2a2a4??二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，x即为顶点横坐标值，最大(小)小)值时的值也就是顶点纵坐标值。
达到最大(x取任意实数时的最值情况自变量2b?4acbx??0?a处取得最小值，无最大值；时，函数在（1）当4a2a2b?4acbx??0?a处取得最大值，无最小值．时，函数在（2）当4a2a（3）二次函数最大值或最小值的求法．a a?0a?0有最大值；第一步：确定有最小值，的符号，第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．x在某一范围内的最值．自变量 2.2cbx??ax?y nx?m?nm?如：在（其中）的最值．b??x?x；第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02a第二步：讨论：0a?a?0a?0)以时求最小值为例时求最小值（或[1]若时求最大值），需分三种情况讨论：(2m?xc?bm?y?ammx?m n?m?x；①对称轴小于，即对称轴在即的左侧，在处取最小值min02nx?m?xx?c?y?ax?bx n?mx?，即对称轴在②对称轴的内部，在处取最小值；00min002nx?cbn??an?ynnx?nx?m?.的右侧，在，即对称轴在③对称轴大于处取最小值即min0a?0a?0a?0时求最小值为例[2] 若) 时求最小值），需分两种情况讨论：(时求最大值（或以m?n2y?an?bn?c?xnx?nxm??；的中点的左侧，在①对称轴处取最大值，即对称轴在max02m?n2y?am?bm?cmx??x nx??m处取最大值，即对称轴在②对称轴的中点的右侧，在max02学习好资料欢迎下载小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：b?f(n)，??n()3如图?1b2a??))(m?nf(m)，??(1如图?bb??22a?)f(x0?a?f(f(?)，m???x)n()当时4如图??max min1b2a2a??))(n??(m?nf()，2如图?b?22a?f(m)，??m()5如图?2a?b?f(n)，??n()6如图?b1?a2)n)((m?，f(m)??9如图???22abb??x)f(0a?当时?)(??n(?f(x)，)?m?f7如图?min max b1a2a2??))(??n(mf(n)，?10如图?b2a2??f(m)，??m()8如图?2a?20)a??c(y?ax?bx n?xm?n?m另法：当）的最值：（其中b??x?x，在以后的数学学习中求出函数的对称轴02am?x?nm,x,nf(x)f(nmf())，则三函数值最大者即最大值，最小者即为①若，，处的函数值，则分别求出000最小值；x?m或x?n m,n f(m)f(n)，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
初三年级二次函数最值问题与给定范围最值
二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
自变量x 取任意实数时的最值情况（1）当0a >时，函数在2bx a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；（2）当0a <时，函数在2bx a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++.[2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++；②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910另法：2(0)y ax bx c a =++≠当m x n ≤≤（其中m n <）的最值： 求出函数的对称轴02bx x a==-，在以后的数学学习中 ①若0m x n ≤≤，则分别求出0,,m x n 处的函数值()f m ，0()f x ，()f n ，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n <>或时，则求出,m n 处的函数值()f m ，()f n ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
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二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910 另法：2(0)y ax bx c a =++≠当m x n ≤≤（其中m n <）的最值： 求出函数的对称轴02b x x a==-，在以后的数学学习中 ①若0m x n ≤≤，则分别求出0,,m x n 处的函数值()f m ，0()f x ，()f n ，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n <>或时，则求出,m n 处的函数值()f m ，()f n ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
基础巩固:将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :(1) 2245y x x =-+；(2) (1)(2)y x x =-+ (3)2235y x x =-+ (4)y 12++=x x (5)242-+-=x x y (6)241y ax ax =+-例1.求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．（3）2241y x ax =-+ （4）22y ax x =- (5)2846y x x =-+ 例1（1） 最小值为498- 无最大值；（2）最大值为254，无最小值. 练习: 求下列函数的最大值或最小值(1)241y x x =-+(2)224y x x =--(3)22y x ax =- (4)224y ax x a=--+ (5)2y =的最小值是_________.例2.、如图，抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A （-1，m ）、B （4，n ），点M 是抛物线上的一个动点，连接OM（1）求m ，n ，p 。
（2）当M 为抛物线的顶点时，求M 坐标和⊿OMB 的面积；（3）当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M 运动到何处时，⊿OMB 的面积最大。
练习 ：1．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，且二次函数的最小值为﹣4，（1）求二次函数的解析式；（2）若M （m ，n ）（0＜m ＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC 、MB ，试求当m 为何值时，△MBC 的面积最大？并求出这个最大值考点： 二次函数综合题．专题： 代数几何综合题．分析： （1）根据点A 、B 的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A 的坐标代入计算即可得解；（2）根据点B 、C 的坐标求出OB 、OC 的长度，利用勾股定理求出BC ，再求出直线BC 的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC 的直线与抛物线只有一个交点时△MBC 的面积最大，再根据平行直线的解析式的k 值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M 到BC 的距离，然后求解即可；（3）根据抛物线的解析式设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），根据抛物线的对称性以及点P 在点Q 的左侧，表示出EF=2（1﹣x ），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x ＜﹣1时点P 的纵坐标是正数，②﹣1＜x ＜1时，点P 的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．解答： 解：（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）不难求出，直线BC 的解析式为y=x ﹣3，S △MBC =×3×=； 2．已知：如图，抛物线y=ax 2+3ax+c （a ＞0）与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为（1，0），OC=3BO ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；．解答： 解：（1）∴抛物线的解析式为：（2分）（2）∴AC 的解析式为：（3分）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC == 设，当x=﹣2时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值例3.(1) 当14x ≤≤时，求函数241y x x =-+的最大值和最小值．(2)当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例2.(2)当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-巩固练习(1) 函数2241y x x =+-在区间30x -≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______.（2）已知302x ≤≤，求函数f x x x ()=++21的最值. 最小值为1，最大值为194 (3) 函数2331y x x =--在区间10x -≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______.（4）函数y x x =-+-242在区间03x ≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______. 2， -2(5) 03x ≤≤,求函数(2)y x x =--的取值范围．(6) 函数2y x x a =--+在区间31x -≤≤- 上的最大值是_______，最小值是_______.(a 为常数)例4. 已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最值． (1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-练习 ：求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最值(t 为常数)． 【课后作业】1.抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = 时，图象的对称轴是y 轴；当m = 时，图象的顶点在x 轴上；当m = 时，图象过原点． 4 14或2，32 2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．216l 3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+；(2) (1)(2)y x x =-+． (1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =． 5．函数y 12++=x x 在区间11x -≤≤上的最小值和最大值分别是（ ） B)(A 1,3 )(B 3,34 （C ）1,32- （D ）1,34- 6．函数242-+-=x x y 在区间14x ≤≤上的最小值是（ ）C)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 27．函数5482+-=x x y 的最值为 （ ） B )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值8.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，那么m 的值为 .109．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．5y ≥-10．求函数3y =56x =时，min 36y =-；当23x =或1时，max 3y =． 11.已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；2) 当a 为常数时，求函数的最大值． .(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =． (2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．12．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？当54t =-时，min 0y =． 13．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．13．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．。