三角函数竞赛讲义
高中数学竞赛讲义第六章 三角函数
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=rx,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se cα=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
九年级竞赛 第一讲 三角函数概念
c ab B C A DC B A 第一讲《三角函数概念》1．三角函数定义：如图Rt △ABC 中，∠C ＝90° 正弦：斜边的对边A A ∠=sin ；c a A =sin 余弦：斜边的邻边A A ∠=cos ；c b A =cos 正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ；b a A =tan 根据定义，写出∠B 的三个三角函数值 =B sin ___________；=B cos ____________；=B tan _______________；2．三角函数之间关系（1）同角三角函数关系AA A cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余角三角函数关系（A ＋B ＝90）B A cos sin =；B A sin cos =；tanA ·tanB ＝1 一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值30°、45°、60°例题1：计算（1）22sin45°＋sin60°－2cos45°； （2）(1＋2)0－｜1－sin30°｜＋(21)－1；（3）sin60°＋︒-60tan 11； （4）2-3－(0032＋π)0－cos60°－211-.4．例题2：会设计并根据三角函数关系计算15°、75°角的三角函数练习：1.求证：22365.37tan 0--+=2．求︒18sin 的值5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而_______；cos α随α的增大而_______；tan α随α的增大而_______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
（根据三角函数关系）例题3：sinA ＝52，求cosA 、tanA例题4：α为锐角，若sin α＜23,求α的范围 α为锐角，若cos α＜23,求α的范围例题5：已知sin α+cos α=45，求sin α·cos α的值练习：1.化简ααcos sin 21⋅-2. 已知45°＜α＜90°,16173cos sin =⋅αα，求αsin。
高三数学课件：竞赛辅导-三角函数
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【例1】（1）已知cosβ= <β<π，求sinα的值。
（2）已知sin( -α)=
，sin(α+β)=
，且0<α<
，求
的值。
提示：（1）sinα= （2）sin2α=1-2 sin2( -α)=
=
； 。
【例2】求cos
cos
cos
… cos
的值。
解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= 得 cos cos cos cos cos cos = cos cos cos = cos cos = ==
f（ ）＝cos（sin
）－
= cos 1－
<0，
∴存在唯一的d∈（0， ），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d． 对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）） =sin d，sin（cosc）=c。 显然c∈（0， ）。且由y=sinx在（0， ）上的单调性和d的 唯一性，知c也唯一。故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例6】
n∈N，n≥2，求证：cos < <·· ·< < <1
· cos ··· cos ··
>
证明：∵0<
∴0<sin <
， ，cos2
=1-sin2
>1-
=
k=2，3，…，n。
∴(cos
=( ∴cos
· cos
)>
··· ·· cos
>( )2，
)2>(
)· (
)·· ·(
)
· cos
··· cos ··
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)
三角函数及其应用三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具． ☆三角与代数☆ 【例1】求证：20720sin 31<︒<． 证明：证法1：由)2,0(,sin π∈<x x x ，20799sin20sin <<=︒ππ， 由)6,0(,3sin ππ∈>x x x ，31939sin 20sin =⨯>=︒πππ． 证法2：2320sin 420sin 360sin 3=︒-︒=︒，设x =︒20sin ，则023343=+-x x ，设2334)(3+-=x x x f ，21,0312)(2±==-='x x x f ，∴函数)(x f y =单调区间)21,(--∞↗，)21,21(-↘，),21(+∞↗，又∵2120sin 0<︒<，及0231274)31(>+-=f ，02757.13)207(<-=f ，∴20720sin 31<︒<． 【补充】求证：9210tan 61<︒<【练习】N n ∈，2≥n ，求证：321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ． 证明：∵121311110<<<<-<<n n ， ∴kk 11sin0<<， ∴n k k k k k k k ,,3,2,)1)(1(111sin 11cos 2222=+-=->-=． ∴)11()4543()3432()2321()1cos 31cos 21(cos2nn n n n +⋅-⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅ 2)32(21121>>+=n n ，∴321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ． 【例2】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ． 证法1：因为x y sin =在区间)2,0(π上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得2333sin3sin sin sin =++≤++C B A C B A ， 又由)2,0(,2sin ππ∈>x x x 得，2)(2sin sin sin =++>++C B A C B A π．证法2：C BA CB A B AC B A sin 2sin 2sin 2cos 2sin2sin sin sin ++≤+-+=++ .233)46(332)2sin 1)(2sin 33(332)2sin 1(2cos 2)2sin 1(2cos 24322=≤+-=+=+=C C C C C CC B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，不妨设C B A ≥≥，∴C B A C B A <-+<,，2cos 2cos ,22CB AC B A >-<-， ∴C CB AC B A B A C B A sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin sin sin ++>+-+=++ 2sin cos 1sin 2cos 22>++=+=C C C C．【练习】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A ．证明：C B A B A C B A cos 2cos 2cos 2cos cos cos +-+=++C BA cos 2cos 2++≥ 2323)212(sin 22sin 212sin 222≤+--=-+=C C C ，2)(cos 2cos 2)2cos(2cos B A B A B A +-+=-++πππ，2cos 2cos 2cos cos BA B A B A -+=+，<-2B A 2)(B A +-π， ∴2cos 2)(cos 2cos CB A B A =+->-π，∴C CC B A B A B A sin 2cos 2sin 22cos 2cos2cos cos =>-+=+， ∴1cos sin cos cos cos >+>++C C C B A ．【例3】已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<cc b b a a ．证明：方法1：由已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可设2tan ,2tan ,2tanC c B b A a ===， 其中C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，则A A A a a sin 212tan 12tan122=+=+，B B B b b sin 212tan 12tan 122=+=+，C C C c c sin 212tan 12tan122=+=+， 原不等式等价于233sin sin sin 2≤++<C B A ，证法见例2．方法2：))()(())((122c b c a b a acab c a b a a bc ac ab a a a a ++++=++=+++=+，=+++++222111c c b b a a ))()((2c b c a b a +++， 只需证433))()((21≤+++<c b c a b a ，即2))()((938<+++≤c b c a b a ． 由1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可知3≥++c b a ，只需证加强不等式))()((9))((8c b c a b a ca bc ab c b a +++≤++++，即)2(9)3(8222222222222b c a c a b c b c a b a abc b c a c a b c b c a b a abc ++++++≤++++++，即≤abc 6b c a c a b c b c a b a 222222+++++，由均值可知显然成立．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<cb a ．提示：设C c B b A a tan ,tan ,tan ===，原不等式等价于23cos cos cos 1≤++<C B A ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<cc b b a a ．提示：设2tan ,2tan ,2tan C c B b A a ===，原不等式等价于232sin 2sin 2sin 1≤++<C B A ．（或将c b a ,,分别替换为cb a 1,1,1将变为上面练习．） 【例4】设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值．)12,245.(83246cos 142cos 1cos 21cos )sin(21cos )]sin()[sin(21cos sin cos 2πππ===+=+≤+==+≤--+=z y x z zz y x z y x y x z y x)12,3.(81432cos142cos 1cos 21)sin(cos 21)]sin()[sin(cos 21cos sin cos 2πππ====+≥+==+≥-++=z y x x xz y x z y z y x z y x 【练习】设C B A ,,是三角形的三个内角，求证：3233sin 3sin 3sin 2≤++<-C B A ，并确定其中的等号何时成立．解析：不妨设︒≥60A ，则︒≤+120C B ，从而︒≤+<-≤︒180)(23||230C B C B ， 由此可得)(23c o s )(23c o s C B C B +>-．再由0)(23s i n ≥+C B ，得到)(23cos )(23sin 2)(23cos )(23sin 2C B C B C B C B ++≥-+，即)(3sin 3sin 3sin C B C B +≥+，于是2)(3sin 3sin 3sin 3sin 3sin -≥++≥++C B A C B A ， 为使23sin 3sin 3sin -=++C B A ，必须满足1)(3sin 3sin -=+=C B A ，0)(23sin =+C B ，这是不可能的，从而23sin 3sin 3sin ->++C B A ． 另一方面，由︒≥60A 可知，)(23cos )(23sin 23sin 3sin 3sin 3sin C B C B A C B A -++=++)(23sin 23sin C B A ++≤A A 23cos 23sin -=A A 23cos )123(sin 2-=33)23sin 1)(323sin 3(312)23sin 1)(123(sin 2A A A A -+=-+=323)46(3124=≤． 当且仅当,1)(23cos ),23sin 1()323sin 3(=--=+C B A A即︒==︒=20,140C B A 时，等号成立．【例5】对于任意的正数x 、y 、z 、及△ABC 三内角A 、B 、C ，总有：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．证明：0)sin sin ()cos cos (sin sin 2sin sin )cos cos (cos cos 2cos cos cos 2)cos cos (cos 2cos 2cos 2),,(22222222222222222≥-+--=-++--=----++--=---++=B z C y C y B z x C B yz B z C y C y B z x C B yz C y B z A yz z y C y B z x Cxy B zx A yz z y x z y x f ∴C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．【补充】求证：02cos 22cos 22cos 2222≥+++++C xy B zx A yz z y x【变式】求证：)(21cos cos cos zxy y zx x yz C z B y A x ++≤++ 求证：23cos cos cos ≤++C B A 求证：C ab B ca A bc c b a cos 2cos 2cos 2222++=++求证：C B A B A C A C B C B A cos sin sin 2cos sin sin 2cos sin sin 2sin sin sin 222++=++求证：)(21cos cos cos cabb ac a bc C c B b A a ++≤++ 【练习】给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何=i θ),,2,1)(2,0(n i =π，只要2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，就有n θθθcos cos cos 21+++ 不大于λ．解析：1°当2,1=n 时，=λ33n ， 当1=n 时，33cos ,2tan 11==θθ，当2=n 时，,2tan tan 21=θθ设x =12tan θ，则x4tan 22=θ， xx 41111tan 11tan 11cos cos 221221+++=+++=+θθθθ x x xx x x x x x x x x 45345214545242411112++-+++=+++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++设]31,0(451∈=++t xx ，则341234111122≤++-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++t t x x ， =+21cos cos θθ33241111≤+++xx，当2=x 即21θθ=时取等号． 2°当3≥n 时，1-=n λ，先证1cos cos cos 21-<+++n n θθθ ①不妨设n θθθθ≥≥≥≥ 321，要证明①式成立，只要证2cos cos cos 321<++θθθ，②2212tan tan tan n n =⋅⋅⋅θθθ ，故22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ．2sin 1sin 1cos 22ii i θθθ-<-=，32322232sin sin 22sin sin 2cos cos θθθθθθ-≤+-<+，322212322212tan tan 81cos 1,tan tan 8tan θθθθθθ+≥∴≥， 32223222323222321sin sin cos cos 8sin sin tan tan 8tan tan cos θθθθθθθθθθθ+=+≤，)sin sin cos cos 811(sin sin 2cos cos cos 3222322232321θθθθθθθθθ+--<++2cos cos cos 321<++θθθ，⇔1sin sin cos cos 832223222≥+θθθθ⇔)tan 1)(tan 1(sec sec tan tan 8322232223222θθθθθθ++=≥+ ⇔7tan tan 3222≤+θθ ③．若③式成立，则②式成立．AB CP若③式不成立，即7tan tan 3222>+θθ，从而27tan tan 2212>≥θθ，32cos cos 21<≤θθ，21322cos cos cos 321<+<++θθθ．从而①式得证． 现证1-=n λ为最小的．事实上，若10-<<n λ，则取11<-=n a λ，从而存在,,,2,1)2,0(n i i =∈πθ使得)1,,2,1(1tan ,cos 2-=-==n i a a a i i θθ，1221(2tan --=n nn a aθ从而2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，但λθθθθθθ=+++>+++-12121cos cos cos cos cos cos n n ， 当3≥n 时，最小的正数λ为1-n ．综上所求最小正数⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)3(,1)2,1(,33n n n n λ．【练习】设8,0,0,0=>>>abc c b a ，求证：21111111<+++++<cb a ．☆三角与几何☆【例6】已知点P 是锐角△ABC 内一点，使得∠PAB =∠PBC =∠PCA ．求证：C B A PAB cot cot cot cot ++=∠． 证明：证法1：设z PC y PB x PA ===,,，∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ则θcos 2222xc c x y -+= θcos 2222ya a y z -+= θcos 2222zb b z x -+=)(cos 2222cx bz ay c b a ++=++θ，又)(sin 21cx bz ay S ABC++=∆θ，∴ABCS c b a ∆++=4cot 222θ， Rabc c b a R a bc a c b CC B B A A C B A 4422sin cos sin cos sin cos cot cot cot 222222⨯++=⋅-+=++=++∑，RabcC ab S ABC 4sin 21==∆，∴C B A PAB cot cot cot cot ++=∠．证法2：由角元式赛瓦（Ceva ）定理得1)sin(sin )sin(sin )sin(sin =-⋅-⋅-θθθθθθC B A ，1)cos cot )(sin cos cot )(sin cos cot (sin =---C C B B A A θθθ，01)cos (cot )cos cos sin (cot )cos sin sin (cot )sin (23=--+-∏∑∑∏A C B A C B A A θθθ由C B A C B A C B A C B A sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin =++， C B A C B A C B A C B A cos cos cos 1cos sin sin sin cos sin sin sin cos +=++得 0)1)cos ((cot )sin (cot )1)cos ((cot )sin (23=+-++-∏∏∏∏A A A A θθθ0)1))(cot 1)cos ((cot )sin ((2=++-∏∏θθA A ， 0)1)cos ((cot )sin (=+-∏∏A A θ，CB A CB A CB AC B A C B A AA cot cot cot sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin 1)cos (cot ++=++=+=∏∏θ 证法3：（平面几何证法）略【练习】设P 为△ABC 内或边界上一点，点P 到三边的距离为PD 、PE 、PF ．求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++．BPF C PE B PF C PE B PF C PE C B PEPF C B PEPF PF PE C B PEPF PF PE EF A PA sin sin )cos cos ()sin sin (sin sin 2cos cos 2)cos(2sin 222222+≥-++=+-+=+-+== ∴A BPF A C PE PA sin sin sin sin +≥， 同理B C PD B A PF PB sin sin sin sin +≥，CAPE C B PD PC sin sin sin sin +≥， )(2)sin sin sin sin ()sin sin sin sin ()sin sin sin sin (PF PE PD B AA B PF C A A C PE C B B C PD PC PB PA ++≥+++++≥++ 【补充】H 为锐角△ABC 的垂心，F E D ,,为垂足，求证：（1）垂足△DEF 的周长)(21cos cos cos c b a C c B b A a ++≤++=； （2）H 为垂足△DEF 的内心；（3）九点圆半径为外接圆半径的一半。
高中数学竞赛辅导课件(八)-三角函数(一)
2024/11/15
第一讲─三角函数的性质及应用
三角函数的性质的基本知识见《教程》P183 ,自学 课本例 1、例 2、例 5、例 6.
你知道反三角函数吗?
,
arc cos(
1),
arccot(
5) ,则(B )
4
3
4
(A) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (B) f () f ( ) f ( ) f ( )
(C) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (D) f ( ) f () f ( ) f ( )
2024/11/15
练习1
练习 1.
C ⑴(教程
P209
训练
1)已知
( 2
,
3
2
)
,则
arc
cos(sin
)
等于(
)
(A) (B) (C) (D) 3
2
2
2
D ⑵(教程
P210
训练
2)设
f
(x)
arc tan
x
1 2
arc sin
x
的值域为(
)
(A) ( , )
(B)
3 4
,
4
(C) ( 3 , 3 )
44
(D)
2
,
2
⑶(教程 P211 训练 9)
若 arc sin(sin sin ) arc sin(sin sin ) ,
2
1 则 sin2 sin2 的值是______.
竞赛三角函数教案高中模板
年级：高中学科：数学课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切函数的定义、周期性、奇偶性、周期性等。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
教学重点：1. 三角函数的基本概念和性质2. 解三角函数方程和不等式教学难点：1. 三角函数方程和不等式的解法2. 解题技巧和策略教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考三角函数在高中数学中的重要性。
2. 引出本节课的学习内容：竞赛三角函数。
二、新课讲解1. 正弦、余弦、正切函数的定义：以单位圆为基础，介绍正弦、余弦、正切函数的定义，讲解函数的几何意义。
2. 周期性：讲解三角函数的周期性，并举例说明。
3. 奇偶性：讲解三角函数的奇偶性，并举例说明。
4. 三角函数的诱导公式：介绍诱导公式，讲解公式的推导过程和应用。
三、课堂练习1. 基本概念和性质的应用：让学生完成相关练习题，巩固所学知识。
2. 课堂讨论：引导学生讨论三角函数在实际问题中的应用。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学内容，检查学生对基本概念和性质的理解。
2. 引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。
二、新课讲解1. 三角函数方程和不等式的解法：讲解三角函数方程和不等式的解法，介绍解题技巧和策略。
2. 实际问题中的应用：举例说明三角函数在实际问题中的应用，如物理、工程、经济等领域。
三、课堂练习1. 解三角函数方程和不等式：让学生完成相关练习题，巩固所学知识。
2. 课堂讨论：引导学生讨论三角函数在实际问题中的应用。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对三角函数知识的掌握程度。
2019-2020年高考数学竞赛 三角函数教案讲义(6)
2019-2020年高考数学竞赛三角函数教案讲义（6）一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tan α=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα, co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y 取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数
第十六讲 锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R Cc B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )A ．32+B ．32-23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．(1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ． 2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB 135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( ) A ．23 B ．23- C ．43 D ．43- 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ． 23D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长．11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( )A ．61B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．23 C ．1 D ．21 16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 π(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。
竞赛中的三角函数(讲义)
商南县高级中学2019届高一数学奥赛讲义： 竞赛中的三角函数2019年4月14日 班级 姓名一、例题讲解：例1.已知圆222k y x =+至少覆盖函数k xx f πsin 3)(= 的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围？例2.求函数x x x f cos sin )(+=的周期，并予以证明。
例3. 求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22例4.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz 的值二、真题演练：1、（2000一试2）设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) A ．(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z B ．(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z C ．(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z D ．(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z2、（2001一试3）在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜3、（2003一试4）若x∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是（ ） A ．125 2 B ． 116 2 C ． 116 3 D ． 12534、（2004一试1）设锐角θ使关于x 的方程x2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π125、（2000一试7）arcsin(sin2000︒)=__________.6、（2002一试12）不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x∈R 恒成立的负数a 的取值范围？7、（2006一试7）设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域？8、（2011一试4）如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围？9、（2011一试9）已知函数0,,2132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f （１）若对任意R x ∈，都有0)(≤x f ，求a 的取值范围；（２）若2≥a ，且存在R x ∈，使得0)(≤x f ，求a 的取值范围．三、作业巩固：1．求函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间2．已知)cos()sin(3)(θθ-++=x x x f 是偶函数，πθ<<0，求θ3．已知)cos(sin )(t x x x f ++=为偶函数，且t 满足不等式t 2-3t-4<0，求t 值4.（2008一试8）设)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为21-，则=a ？。
竞赛精讲及高考选讲——三角函数
诚西郊市崇武区沿街学校清北名师三角部分竞赛精讲及高考选讲【内容综述】一．三角函数的性质1．正，余弦函数的有界性对任意角，，2．奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称3．单调性y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx 在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。
4．周期性y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosx的最小正周期是π。
【习题讲解】例1圆222kyx=+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，务实数k的取值范围。
解：因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222kyx=+也关于原点对称，所以，图222kyx=+只需覆盖的一个最值点即可。
令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的间隔不超过|k|，即综上可知，所求的K为满足的一实在数。
例2：例3：，且求cos(x+2y)的值。
解：原方程组可化为因为所以令，那么在上是单调递增的，于是由得f(x)=f(-2y)得x=-2y即x+2y=0例4：求出〔并予以证明〕函数的最小正周期。
解：首先，对任意，均有这说明，是函数f(x)的一个周期；其次，设，T是f(x)的一个周期，那么对任意，均有在上式中，令x=0，那么有。
两边平方，可知即sin2T=0，这说明，矛盾。
综上可知，函数的最小正周期为。
例5求证：在区间内存在唯一的两个数，使得sin(cosc)=c,cos(sind)=d证明：构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d对上述两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例6对任意实数x，均求证：证明：首先，f(x)可以写成①其中是常数，且，在①式中，分别令和得②③②+③，得又在①式中分别令，得④⑤由④+⑤，得。
2三角函数的图像及性质-拔高难度-讲义
三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．填空题（共4小题）1．（2015春•建瓯市校级期末）函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos （2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f （x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是[1，]．【解答】解：∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．故答案为：，．2．（2013秋•滨江区校级期末）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x ∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+≥0恒成立；令sinx=t（0≤t≤1），g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+，要使g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+≥0（0≤t≤1）恒成立，必须，即，解得m≥；①当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx﹣m）+≥m，整理得：sin2x﹣（m﹣1）sinx﹣2m+≥0，令h（t）=t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1），要使t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1）恒成立，应有，解得：m≤，∴m＜0；②当0≤m≤1时，（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立⇔m≤（sinx+1）|sinx﹣m|+恒成立，令t（x）=（sinx+1）|sinx﹣m|+，m≤t（x）min，当sinx=m时，t（x）min=，∴m≤，又0≤m≤1，∴0≤m≤；③由①②③得：m≤或m≥，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．3．已知x∈R，则函数f（x）=max，的最大值与最小值的和等于1﹣．【解答】解：，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=时，函数f（x）取得最小值，故最大值和最小值之和为，故答案为：．4．（2011春•东港区校级期末）下列说法：①函数是最小正周期为π的偶函数；②函数可以改写为；③函数的图象关于直线对称；④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为（kπ，0），k∈Z；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是；其中所有正确的命题的序号是②③．（请将正确的序号填在横线上）【解答】解：①函数=cos（﹣2x）=sin2x，∵ω=2，∴T==π，又正弦函数为奇函数，∴f（x）为奇函数，则f（x）为周期为π的奇函数，本选项错误；②函数=cos[﹣（+2x）]+1=sin（+2x）+1，本选项正确；③函数=cos[﹣（+2x）]=sin（+2x），令+2x=kπ，（k∈Z）解得x=﹣，∵k=4时，x=，则函数图象关于直线对称，本选项正确；④tan（﹣x）=﹣tanx，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．平移坐标系，使原点（0，0）移到（，0）得到y=tan（x+）=﹣cotx，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ﹣，0）综合到一起就得到对称中心是（k +，0）．（k是整数），本选项错误；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，得到y=sin2（x+），然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（x+）≠，本选项错误，则正确选项的序号为：②③．故答案为：②③二．解答题（共14小题）5．（2017秋•天津期末）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴和对称中心．【解答】解：（Ⅰ）函数中，令，得，∴f（x）的单调递增区间为：，，令，得，∴f（x）的单调递减区间为：，；（Ⅱ）令，得，∴f（x）的对称轴方程为：；令，得，∴f（x）的对称中心为：，．（注：单调区间写开区间不扣分；k∈Z不写扣1分）6．（2017秋•双流县校级月考）已知函数f（x）=sin（ωx+），其中ω＞0（1）若对任意x∈R都有f（x）≤f（），求ω的最小值；（2）若函数y=f（x）在区间（，π）上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由对任意x∈R都有f（x）≤f（），知f（x）在x=处取得最大值，∴ω+=+2kπ，k∈Z；解得ω=+k，k∈Z，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为；（Ⅱ）设t=ωx+，x∈（，π），∴t∈（+，ωx+），由已知（+，ωπ+）⊆[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴，解得，又ω＞0，，∴＞解得﹣≤k≤，∴k=0，∴ω的取值范围是≤ω≤．7．（2016秋•金华期末）设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，求cos2θ的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3=4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4×+3=2sin2x+2cos2x+1=2sin（2x+）+1，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），所以f（x）的单调递减区间是[，]；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）+1在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，令x=0，得f（0）=2sin+1=3；令f（x）=2+1，得sin（2x+）=1，解得x=，∴θ＞；令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，∴2x+＜，解得x＜，即θ＜；∴θ∈（，），∴2θ+∈（，）；由2sin（2θ+）+1=0，得sin（2θ+）=﹣，所以cos（2θ+）=﹣=﹣，所以cos2θ=cos[（2θ+）﹣]=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin=﹣×+（﹣）×=﹣．8．（2017春•长安区校级期中）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当，时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数=（cos2xcos﹣sin2xsin）+sin2x=（cos2x﹣sin2x）+=﹣sin2x+；∴f（x）的最小正周期为T==π；（2）当，时，2x∈[，]，∴sin2x∈[，1]，∴﹣sin2x+∈[0，]，即f（x）的最大值为，最小值为0．9．（2018•上海二模）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．10．（2017•浙江二模）已知直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴．（1）求φ；（2）求函数y=f（x）+f（﹣x），x∈（0，）的值域．【解答】解：（1）∵直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴，∴3•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，f（x）=sin（3x﹣）．（2）函数y=f（x）+f（﹣x）=sin（3x﹣）+sin[3（﹣x）﹣]=sin（3x﹣）+cos（3x+）=sin3x﹣cos3x+cos3x﹣sin3x=sin3x+cos3x=sin（3x+），∵x∈（0，），∴3x+∈（，），∴sin（3x+）∈（﹣，1]，∴y∈[，）．11．（2018•温州二模）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（，），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（﹣，0），∴A（1，0），故函数f（x）的最小正周期为3，即=3，解得ω=，……………………（3分）f（﹣）=sin[×（﹣）+φ]=sin（﹣+φ）=0，∴φ=；……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+），∴B（0，）且C（﹣，0），∴∠BCO=60°；……………………（8分）∵C（﹣，0）是BD的中点，∴D（﹣1，﹣），……………………（10分）∴AD==；……………………（11分）∴2R===，∴外接圆半径R=．…………………………（14分）12．（2018春•吉林期中）已知定义在区间，上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当，时，函数＞，＞，＜＜，其图象如图所示．（1）求函数y=f（x）在，的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集．【解答】解：（1）当，时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜＜），观察图象易得：A=1，ω=1，，则函数，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，，时，函数f（x）=﹣sinx，∴，，；（2）当，时，由，得或，解得x=0或；当，时，由得，或；∴方程的解集为，，，；（3）不等式，当x∈[﹣，]时，sin（x+）≥，∴≥x+≥，解得≥x≥﹣；当x∈[﹣π，﹣]时，﹣sinx≥，∴﹣≤x≤﹣；综上，不等式的解集为，，．13．（2018•奉贤区二模）某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=Acos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，T=12，∴ω==；又，解得，由×2+θ=﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ=﹣+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ=；∴函数f（n）=200cos（n+）+300；（2）令f（n）=200cos（n+）+300≥400，化简得cos（n+）≥，即﹣+2kπ≤n+≤+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n=6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．14．（2018•徐汇区一模）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点，（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），=，试确定函数f （x）的解析式．【解答】解：（1）设点C（a，b），由中点坐标公式得，解得a=1，b=2，∴点C（1，2），∴点N（3，0），点D（5，﹣2）；（2）同样由E（0，1）是线段MC的中点，得A=2，由M（﹣m，0），得C（m，2），D（5m，﹣2）；∴•=2m•6m+2×（﹣2）=12m2﹣4，又•=﹣4，∴12m2=，解得m=；由T==8m=2π，解得ω=1，∴φ=；∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．15．（2018•江苏模拟）某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成30°角（即北偏西60°）的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东60°方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船．（1）如果O和A相距6海里，求可疑船倍截获的P点的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上），则O、A之间的最大距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A（6cos3°，6sin30°），即A（3，3）；设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，即=2，整理得：（x﹣4）2+（y﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆；（2）由题意知，直线l的方程为y=﹣（x﹣40），即x+3y﹣40=0；设|OA|=t，则A（t，t）（t＞0），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，∴=2，整理得：（x﹣t）2+（y﹣t）2=t2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（t，t）为圆心，以t为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥r；即≥t，整理得t2﹣30t+450≥0，解得t≤15（﹣1）或t≥15（+1）（不合题意，舍去），∴O，A之间的最远距离是15（﹣1）海里．16．（2017秋•宜昌期末）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=m在，上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题中的图象知，A=2，，即T=π，所以，根据五点作图法，令，，得到，，因为＜，所以，解析式为．…（5分）（2）令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z．…（9分）（3）由在，上的图象如图知，当，上有两个不同的实根．…（12分）17．（2017春•新余期末）已知函数+cos2x+a（a ∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间；（Ⅲ）若，时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）∴f（x）的最小正周期，T=（II）因为y=sinx的减区间为：，k∈Z所以即（k∈Z）时，函数f （x）单调递减，故所求区间为，（III），时，，时f（x）取得最小值∴2sin．18．（2017春•新余期末）设=，，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间，是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A=，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin2•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx）=4sinx•+cos2x=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1，∴f（x）=2sinx+1．（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，得f（ωx）的增区间是，，k∈Z．∵f（ωx）在，上是增函数，∴， ⊆，．∴﹣≥﹣且≤，∴，．（3）由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．∵A⊆B，∴当≤x≤时，不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，∵f（x）max=f（）=3，f（x）min=f（）=2，∴m∈（1，4）．。
高中数学竞赛辅导讲义 第六章 三角函数【讲义】
÷ö 0 ø
=
2.
若α+β< p ，则 x<0，由 0<α< p -β< p 得 cosα>cos( p -β)=sinβ>0,
2
2
2
2
所以 cosa >1。又 0<sinα<sin( p -β)=cosβ，所以 cos b >1，
sin b
2
sin a
所以
ççèæ
cosa sin b
÷÷øö x
+
,
0）均为其对称
中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调
区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ 均为其对称
轴，点 çæ kp
2
çæ è
a 2
÷ö ø
tana =
2
tançæ è
a 2
÷ö ø
.
1
-
tan
2
çæ è
a 2
÷ö ø
定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 ¹ 0，则取始边在 x 轴 正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则 sinβ= b ,cosβ
a2 + b2
= a ，对任意的角α.
第六章 三角函数
一、基础知识
定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转 方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为 负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
竞赛辅导三角函数
熟练掌握三角函数的定义、性质、图像和变 换，以及三角恒等式与公式。
总结归纳解题方法
针对不同题型，总结归纳相应的解题方法和 技巧，形成自己的解题思路。
多做练习题
通过大量的练习，加深对知识点的理解和记 忆，提高解题速度和准确性。
关注竞赛动态
了解竞赛的考试形式、难度和重点，有针对 性地进行备考。
THANKS
感谢观看
正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx。
三角函数图像变换
平移变换
伸缩变换
反射变换
通过加减常数可以改变 三角函数的相位和垂直
位置。
通过乘以常数可以改变 三角函数的周期和振幅。
通过取反或绝对值等操 作可以改变三角函数的
形状和对称性。
复合变换
通过组合以上变换可以 得到更复杂的三角函数
图像。
03
余弦定理的应用
余弦定理在解三角形中主要用于求解三角形的边或角，特别 是在已知三边或已知两边及夹角的情况下。此外，余弦定理 还可用于判断三角形的形状（如锐角、直角或钝角三角形） 。
面积公式及其应用
面积公式的表述
在任意三角形ABC中，面积$S = frac{1}{2}bcsin A = frac{1}{2}acsin B = frac{1}{2}absin C$。
三角函数求值与化简
同角三角函数关系式
平方关系
01
$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$
商数关系
02
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
互补角关系
03
$sin(90^circ - alpha) = cosalpha$，$cos(90^circ - alpha)
2019-2020年高考数学竞赛三角函数教案讲义(6)
一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2n弧度。
若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值| a |=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角a的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x, y),到原点的距离为r,则正弦函数s in a =,余弦函数co s a =,正切函数tan a =，余切函数cot a =，正割函数se c a =,余害g函数e s c a =定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan a =,s in a =, co s a =；商数关系：tan2 2 2a =；乘积关系：tan a x co s a =s in a , cot a x s in a =co s a ；平方关系：s in a +co s a =1, tan2 2 2a +1=se c a , cot a +1=C S C a .定理2 诱导公式(I) s in ( a + n )=-s in a , co s( n + a )=- co s a , tan ( n +a )= tan a , cot ( n + a )= cot a ; (n) s in (- a )=-s in a , co s(- a )= co s a , tan (- a )=- tan a , cot (a )= Cot a ;(川)s in ( n - a )=s in a , CO s( n - a )=- CO s a , tan =( n - a )=- tan a , Cot ( n - a )=- cot a ; (W) s in = co s a , co s=s in a , tan= cot a (奇变偶不变，符号看象限) 。
三角函数竞赛辅导
第一讲：三角恒等关系一、引入：三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等.（一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙：⑴角的变化；⑵结构的变化；⑶三角函数名称的变化.（二）、引例：求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+= 分析：从“角”看：出现四种角：2,,,αβαβαβ++，一种比较好的联系方式是：()()2,αβαβαβαβα+=++=+-，形式比较对称；从“结构”看：通分应该是明智的选择；从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法证明：()()()()()()sin 2sin 22sin cos 2cos sin sin sin s cos sin sin sin sin co αβαβααβαβααααβααββαα++-+-+=+-+== （三）、复习各种三角恒等关系式：1、同角三角函数间的基本关系：⑴倒数关系：①sin csc 1θθ⋅=；②cos sec 1θθ⋅=；③tan cot 1θθ⋅=⑵商数关系： ①sin tan cos θθθ=；②cos cot sin θθθ= ⑶平方关系：①22sin cos 1θθ+=；②22tan 1sec θθ+=；③221cot csc θθ+=⑷“θθcos sin +”,“,cos sin θθ-”“θθcos sin ⋅”的关系①θθθθcos sin 21)cos (sin 2+=+ ；②θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-③2)cos (sin )cos (sin 22=-++θθθθ2、诱导公式：()2k k Z παα+∈与关系：①()()2-12-1sin ,sin =2-1cos ,k k k k k απαα⎧∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪∈⎩偶奇； ②()()212-1cos ,cos =2-1s ,k k k k in k απαα+⎧∈⎪⎛⎫+⎨ ⎪⎝⎭⎪∈⎩偶奇； ③n ,tan =2cot ,ta k k k απαα∈⎧⎛⎫±⎨ ⎪-∈⎝⎭⎩偶奇3、两角和与差的三角函数：①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± 4、“和角公式”的派生公式①βαβαβα22sin sin )sin()sin(-=-+；②βαβαβα22sin cos )cos()cos(-=-+③)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=± 5、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中ab =ϕtan ；且ϕ由()b a ，所在的象限确定.注:辅助角公式主要解决一次齐次式的相关问题.6、二倍角公式①αααcos sin 22sin =；②ααα22sin 211cos 22cos -=-==αα22sin cos -； ③ααα2tan 1tan 22tan -= 7、降次公式 ①21cos sin 22x x -=；②21cos cos 22x x +=；③21cos tan 21cos x x x-=+ 8、升次公式 ①2sin 2cos 12αα=-；②2cos 2cos 12αα=+注：降次公式与升次公式都是从倍角公式推导出来的，在三角函数的求值、化简、证明方面有着很广泛的应用.9、切割化弦公式（1）同角公式：①θθθcos sin tan =； ②θθθsin cos cot =；③θθcos 1sec =；④θθsin 1csc = （2）变角公式： ①sin 1cos tan 21cos sin x x x x x -==+；②sin 1cos cot 21cos sin x x x x x+==- 10、半角公式:①sin 2α=cos 2α=③sin (1cos )tan .2(1cos )sin ααααα-===+ 11、和差化积公式:①s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；②s in α-s in β=2 co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, ③co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα；④co s α-co s β= -2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, 12、积差化和公式：①s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)]；②co s αs in β=21[s in (α+β)-s in (α-β)], ③co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)]；④s in αs in β=-21[co s(α+β)-co s(α-β)]. 13、万能公式:①⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 12tan 2sin 2ααα；②⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα；③.2tan 12tan 2tan 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα 14、三倍角公式： ①3sin 33sin 4sin 4sin sin sin 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ②3cos34cos 3cos 4cos cos cos 33ππαααααα⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③tan 3tan tan tan 33ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、典型例题：一、基本变形方法：例1、求证：()()()()()()sin sin sin 0sin sin sin sin sin sin αβγαβαγβαβγγαγβ++=------ 分析：这是一个轮换对称恒等式，可以采用“各个击破”的方法试一试.证明：()()()()()()()()()()()sin sin cos s sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin co αγβαβγαβγααβαγαβαγγβαβαγγβ-+---+==--------同理：()()()()()()()cos s sin sin sin 2sin sin sin co βγαβγαββαβγβγβααγ+---+=----- ()()()()()()()cos s sin sin sin 2sin sin sin co γαβγαβγγαγβγαγββα+---+=----- 三式相加易证明.例2、求值：cot104cos10-.分析：化为特殊角的三角函数值解法1：cos10cos104sin10cos10cot104cos104cos10sin10sin10--=-= ()80sin 20sin 20802sin 202cos50sin30sin 20sin10sin10sin10sin sin ---⋅-=== sin 40sin 202cos30sin103sin10sin10-⋅===. 解法2：()sin140sin 202sin 202sin80cos602sin 20cot104cos10sin10sin10+---== sin140sin 202cos80sin 603sin10sin10-⋅=== 解法3：()()sin802sin 8060sin802sin80cos60cos80sin 60cot104cos10sin10sin10---⋅+⋅-==2cos80sin 603sin10⋅== 评注：运用和角公式配凑，试问题回到基本公式上来. 例3、求证：()2223cos 4tan t 1cos 4x x co x x ++=- 分析：从等式左右角的差异考虑入手，思路为从左边的角x 化到右边的角4x 也可倒过来处理.证明：以下来讨论一些条件不恒等式的证明，变形仍注重三个变化.例4、已知()sin sin ,1,A A ααβ=+>求证：()sin tan +cos Aβαββ=-. 分析：条件中的角：,ααβ+；结论中的角：,βαβ+做联系：()=-ααββ+得到统一“名称“与结构，条件为”整式”情形，结论为“分式”情形，这与“名称”转化为正切匹配.也可从A 入手.证明1：证明2：例5、已知33cos sin 1,cos sin ααββ+=cos sin cos sin -++1cos sin cos sin ββββαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求的值. 分析：观察条件，利用2222sin cos 1sin cos 1ααββ+=+=，改写“1”，可将条件式子化为奇次式. 解析1：33223322cos sin sin cos ,cos sin cos sin sin cos cos sin ααααββααββββ⎧+=+⎪⎪⇒⎨⎪+=+⎪⎩32223333cos cos cos sin sin sin (1)cos sin cos cos sin sin (2)cos sin ααβββαββαββαββ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩ (2)(1)可得：2222222222cos cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin sin 11cos cos sin sin cos sin cos sin 0cos sin cos sin cos sin cos sin -+cos sin cos ααββαβββααββββααααββββααααββββααα++++=⎛⎫⎛⎫⇒++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭+10sin α⎛⎫= ⎪⎝⎭解析2：利用柯西不等式解，考虑取等条件，找条件的等价式.(昭奕提供)()33332cos sin cos sin 1cos cos sin cos sin αααααββββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭例6、已知()()222cos sin ,sin cos ,x y a x a y a a θθθθ-=-+-=求证：2222x y a +=.证明：例7、已知sin sin 2cos cos 2,tan tan 2x y a x y b x y c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩求证：()()222a b ac c a b +=+分析：基本思路是消去x ，y .一般的对于条件sin sin cos cos m x n y p m x n y q +=⎧⎨+=⎩，通常采用平方和求()cos x y -，若m n =，则又可用和差化积公式求tan2x y +. 证明：变题：（1998年新加坡）设A ,B ,C 同时满足sin sin sin cos cos cos 0.A B C A B C ++=++= 求证：222cos cos cos A B C ++为定值.(高中数学联赛讲义P 113-46题)以下介绍几个三角恒等变形中的技巧运用：二、技巧运用一----用好对偶式和配对原理.例8、求值：(1)cos 6cos 42cos 66cos 78;(2)sin18;(3)sin18sin 54;(4)sin 36sin 72（奥博P81）评注：在此题基础上，注意利用诱导公式与积化和差公式产生的式子，表达其灵活性. 51(1)cos 72sin18;4(2)sin18sin 54cos36cos 72sin18cos36sin 54cos 7232321sin sincos cos sin cos sin cos ;1010551051054(3)sin 36sin 72cos18cos54sin 36cos18cos54sin 722sinsin c 55ππππππππππ-===============332os cos s sin cos sin 10101051054213(4)coscos ,cos cos 5525532(5)coscos 551(6)cos52co πππππππππππππ===-=-=-==例9、求值：(1)sin1sin3sin5sin87sin89;(2)sin1sin 2sin3sin88sin89;分析：⑴利用配对原理解题; ⑵不断使用公式：sin 34sin sin sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来减少角.例10、求值：44443515cos cos cos cos ππππ++++分析：此题使用配对原理例11、求值：39 cos cos cos131313πππ++分析：此题中配对式子与例6不同，也可用构造方法，实际运用中有时并不简单.三、技巧运用二：裂项技巧：例12、（第8届IMO 试题）求证对每一个n N *∈和每一个实数(0,1,2,;2kn x k n n π≠=为任意整数）有：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x xx++++=-.（奥博P 86） 分析：此题左边为n 项和，右边为2项之差，故尝试左边“裂项”，希望消去多项，实现证明.证明：,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x xx x x x x x x x -=-=-=同理x x x4cot 2cot 4sin 1-=……x x xnn n2cot 2cot 2sin 11-=-评注：“裂项相消法”运用广泛，在解题中具有普遍性，类似可证以下各题：()()()()2211tan 1tan tan 2tan 2tan 3tan 1tan tan 2tan +2tan 22tan 22tan 2cot 2cot 2122322111(4)cos 0cos1cos1cos 2n n n n n n n n n n n αααααααααααααααββααβαβαββ+++++-=-+++=-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++++++=+++（）；（）；s i n s i n （）s i n s i n s i n s i n s i n cos1cot1cos88cos89=证明：⑴ ⑵⑶ （参考专题讲座-三角函数P 5）对于求和（求积）而言，能裂项相消再好不过，看看许多平凡的式子都具有裂项相消的功能，举例说明：1、考虑递推形式的等式：s in αco s βk =21[s in (βk +α)-s in (βk -α)],k N *∈ 出发点：积化和差公式：s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)]=21[s in (β+α)-s in (β-α)]探讨：将β看做一个关于n 的函数，即有：s in αco s βn =21[s in (βn +α)-s in (βn -α)] s in αco s βn +1=21[s in (βn+1+α)-s in (βn +1-α)]再令βn +1-α=βn +α，即βn +1=βn +2α，结论：这样积化和差公式就有了裂项相消的功能了，即取βn =β1+（n -1）2α，则：()()112sin sin cos cos cos 2sin n n βαβαβββα+--+++=同理类比：s in αs in β=21[ cos (β-α)-cos (β+α)] 取βn =β1+（n -1）2α,则：()()112s s sin sin sin 2sin n n co co βαβαβββα--++++=2、考虑递推形式的等式：11cot 2cot 2,sin 2k k kx x k N x -*=-∈ 出发点：1cot cot 2sin 2x x x-=证明：2212cos cos 22cos cos 2cot cot 2sin 22sin cos 2sin cos sin 2x x x xx x x x x x x x-==-=- 探讨：11cot cot 2sin 21cot 2cot 41111cot cot 2sin 4sin 2sin 4sin 8sin 21cot 2cot 2sin 2n nn n n x x x x x x x x x x x xx x x-⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⇒++++=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩ 3、考虑递推形式的等式：1111111tan cot tan ,222222k k k k k kx x x k N *++++=-∈ 出发点：2cot cot tan 22x xx =-探讨：22221111tan cot cot 2222111tan cot cot 222222111tan cot tan ,222222n n n n n n x x x x x x k N x x x *--⎧=-⎪⎪⎪=-⎪∈⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩ 结论：223311111tan tan tan tan t cot 2222222222n n n nx x x x xco x ++++=- 4、考虑递推形式的等式：31113sin 3sin 3sin ,3433k k k k k k k N ααα+*-⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭出发点：3sin 33sin 4sin ααα=-； 探讨：()331sin 33sin 4sin sin 3sin sin 34αααααα=-⇒=- 写出递推裂项式：()3323111sin 3sin sin 3413sin 3sin 3sin 3433,13sin 3sin 3sin 3433k n n nn n n k N ααααααααα*+-⎧=-⎪⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪∈⎝⎭⎨⎪⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩结论：33311sin3sin 3sin 3sin sin 33343n n n n ααααα+⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭5、考虑递推形式的等式：11sin 2cos 2,2sin 2k kkk N ααα+*=∈ 出发点：αααcos sin 22sin =探讨：1sin 2sin 22sin cos cos 2sin αααααα=⇒=，将之写成递推裂项式：11sin 2cos 2,2sin 2k k kk N ααα+*=∈ 结论：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n n αααααα+=.6、考虑递推形式的等式：12cos 212cos 21,2cos 21k kkk N ααα+*+-=∈+ 出发点：2cos22cos 1αα=-探讨：()()222cos21cos22cos 12cos214cos 12cos 12cos 12cos 12cos 1ααααααααα+=-⇒+=-=+-⇒-=+，将之写成递推裂项式：12cos 212cos 21,2cos 21k kkk N ααα+*+-=∈+ 结论：()()()()2cos 212cos 12cos 212cos 412cos 21.2cos 1n nαααααα+----=+7、引申：对具有裂项相消功能的式子变形，从而构造恒等式或不等式.()()()()()()()sin 1sin 1cos cos 1sin sin sin1tan 1tan cos cos 1cos 1cos cos 1cos n n n n n n n n n n n n n n++-++-=-==+++这样可以构造：()()()tan 11111088,cos0cos1cos1cos 2cos 2cos3sin1cos cos 1n n n N n n *+++++=≤≤∈+ 特别的，取n =44，88，可得：()11111s 1cos 0cos1cos1cos 2cos 2cos3cos 44cos 45c c ++++=()21111cos12cos0cos1cos1cos 2cos 2cos3cos88cos89sin 1++++=例13、已知cos tan ,cos tan ,cos tan αββγγα===,则2224442sin sin sin s s s 4sin 18co co co αβγαβα======（参考专题讲座《三角函数》70）分析：利用三角公式将三角恒等式转化为代数方程来解，有利于从复杂的公式变形中抓住代数本质，从而简化证明. 证明：例14、已知：44sin cos 1,x x a b a b +=+求证：()44212121sin cos 1,.n n n n n x x n N a b a b *---+=∈+ （参考专题讲座《三角函数》70跃虎）证明1：证明2：利用不等式的方法来证明等式，有时是迫不得已，有时是出奇制胜.§2三角形中的恒等关系（以下参考《高中数学专题讲座—三角函数》跃虎编著）以下介绍三角形的常见恒等关系.这是三角形中的一些基本的数量关系，从各方面刻画三角形中的种种不变量.牢固掌握这些恒等关系，将有益于我们看出问题本质，发现问题的源泉. 一、基本恒等式：1、(),,,0,A B C A A B C ππ++=∈且分析：这是三角形中最最基本的恒等关系，恒等变形中不断被利用.对此可进一步限定： 当ABC 为锐角三角形时，,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当ABC 为直角三角形时，,,A B C 中恰有一个角是直角； 当ABC 为钝角三角形时，,,A B C 中恰有一个角是钝角. 2、正弦定理：===2sin sin sin a b c R A B C（R 为△ABC 外接圆半径） 注：⑴从理论上正弦定理可解决两类问题：①两角和任意一边，求其它两边和一角；②两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
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sin x 1 3 2cos x 2sin x
( 0 x 2 ) 的值域是 （C）[2,0 ]
(B)[-1,0]
（D）
19 求函数 y 7 4sin x cos x 4cos2 x 4cos4 x 的最大值与最小值。
π 3 － 3cos2x＋ ，x∈R. 4 3
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π f(x)在闭区间 － 4
π ， 上的最大值和最小值． 4
15（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一 1 点,∠BPC=90°(1)若PB= ,求PA;(2)若∠APB=150°,求 2
u r
u r
r
r
2
2
若
f ( x) m递增区间；
（Ⅱ）已知 ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且
A a 3， f 3 2 12 2
（A 为锐角）， 2sin C sin B ，求 A、 c、b 的值.
������ ������ ������ ������
6.已知函数 f（x）=Asin（wx+φ ）（A>0,w>0, 0<φ < ） 的图像关于 B（- ，0）对称，点 B 到函数 y=f(x)图像的
������ ������
对称轴的最短距离为
������ ������
，且 f( )=1.求：
������
������
(1)A,w,φ 的值；（2）若 0<θ <π ,且 f（θ ）= cos2θ 的值。
������ ������
，求
7.（数列与三角函数）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数， 使得这 n+2 个数 构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘 积记作������������ ,再令������������ = ������������������������ ,n≥1.求：（1）数列{������������ }的通 项公式；（2）设������������ = ������������������ ������������ ·tan ������������+������ 。 8.（向量与三角函数）已知函数
三角函数思维方法篇 在三角函数类型问题中，我们对各类公式的运用和所 给条件的观察、变换能力有较高的要求。三角函数问题多 和不等式、其他函数等问题结合。各位同学在平时训练三 角函数竞赛题时，要注意多方面，多角度思考，尝试多种 解法，一题多做，多解，除了常规解法（配凑法，换元法， 放缩法等），还要锻炼思维如利用数形结合，分类讨论， 方程函数不等式转换和利用坐标运算等简化解题过程。 1.（不等式与三角函数问题） 求值������������������ （ ������ − ������ ������ + ������������ + ������ + ������ ������ + ������������ + ������)=_______. 2.(换元法的考察) 已知（1+sint）(1+cost)= ,则（1-sint）(1-cost)=____.
（1）当 x ,
f ( x) 3 1 sin 2 x cos 2 x x R 2 2
5 12 12
时，求函数 f x 取得最大值和最小值；
（2）设锐角 ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别是 a, b, c ，且
a 1, c N * ，若向量 m 1,sin A 与向量 n 2,sin B 平行，求 c 的
值.
10．设函数 （Ⅰ）求
， 的最大值，并写出使 取最大值时 x 的集合；
（Ⅱ）已知 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 ， a 1 ，求 ABC 的面积的最大值．
1 1 11．已知向量 m m cos x n x m 3 sinx x cos x,1 ,， n ,n cos , cos 3 sin ,1 x,
12 ∆ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求 sin B ;
sin C
(Ⅱ) 若 AD =1， DC =
2 2
求 BD 和 AC 的长.
13 已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝ a· b，且
tan∠PBA
16 将函数 y 3sin( x ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F ,
3
若 F 的一条对称轴是直线 x ,则 的一个可能取值是 A
4
A. D.
11 12
5 12
B.
5 12
C.
11 12
18 函数 f(x)= （A）[[3,0 ]
π y＝f(x)的图像过点 ， 12 2π 3和点 ，－2. 3
(1)求 m，n 的值； (2)将 y＝ f(x)的图像向左平移 φ(0＜φ＜π )个单位后得 到函数 y＝g(x)的图像，若 y＝g(x)图像上各最高点到点(0， 3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递增区间． 14 已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋
������ ������
3.（正余弦定理与三角函数结合,边化角） 在三角形 ABC 中，������������ + ������ ������ = ������������ + ������������,且 =
������ ������ ������+������ ������
,则
sinC=____. 4.（构造相似三角形） 在三角形 ABC 中，已知 2b=a+c，且 a<b<c,C-A=90°,求 sinA:sinB:sinC 的值。 5. （几何引入三角函数助解题，此题方法较多解法不唯一） 在三角形 ABC 中，∠C=90°，M 是 BC 的中点，若 sin∠ BAM= ，则 sin∠BAM=_____.