概率论与数理统计之正态分布
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概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
正态分布基本知识_概率论与数理统计
正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布。其重要性我们可 以从以下两方面来理解：
(1) 一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说 来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的 作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
(2) 另一方面，正态分布具有许多良好的性质。很多分布可 以用正态分布来近似描述。另外，一些分布又可以通过正态 分布来导出。因此在理论研究中正态分布也十分重要。
02
正态分布的定义与性质
Definitions and Properties of Normal Distribution
正态分布的定义
定义
正态分布的性质
性质
正态分布的性质
性质
(6) 如果固定 ������ ,改变 ������ 的值, 则图形沿 着Ox,轴平移, 而不改变其形状,可见正 态分布的概率密度曲线 ������ = ������(������)的位置 完全由参数 ������ 所确定.������ 称为位置参数.
正态分布的重要性
例如
产品尺寸是一类典型的总体。对于成批生产的产品。如 果生产条件正常并稳定，而且不存在产生系统误差的明显因 素。那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。
测量的误差，炮弹落点的分布，人的生理特征的量：身 高、体重等，农作物的收获量等等都服从或近似服从正态分 布。
正态分布的重要性
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的 概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，抗压强度、长度等指标；同一种种 子的重量；测量同一物体的误差；以及理想气体分子的速度分量。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那 么就可以认为这个量具有正态分布(见中心极限定理)。从理论上看，正态 分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用 的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
1.正态分布的概率密度与分布函数
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1.正态分布的概率密度与分布函数
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
概率论与数理统计 7.3 正态总体中统计量的分布
Sw2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
证明1：
(n1 1)S12
2 1
~
2 (n1
1)
(n2
1)S22
2 2
~ 2 (n2 1)
F /(n1 1) /(n2 1)
S12 S22
/
2 1
/
2 2
~ F (n1 1, n2 1)
Note：当 1 2
/ 2
又 2S 2 ~ 2(2)
2
Y1 Y2
/ 2
s2 Z 2(Y1 Y2 ) ~ t(2)
2
S
五、课堂练习
数理统计
1、在总体N (12,4)中随机抽一容量为5的样本X1, , X5. （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；
（2）求概率Pmax( X1, X2 , X3 , X4 , X5 ) 15; Pmin( X1, X2 , X3 , X4 , X5 ) 10.
时，F
S12 S22
~ F (n1 1, n2 1)
统计量的分布
证明2：
X
Y
~
N (1
2
,
2
n1
2
) n2
U X Y (1 2 ) ~ N (0,1) 11
n1 n2
(n1
1)S12
2
~
2 (n1
1),
(n2
1)S22 ~
2
2 (n2
1)
V (n1 1)S12
2
(n2 1)S22
解:
(1) 由已知，X ~ N (12, 4), 5
PX 12 1 1 P{ X 12 1}
1 P{ X 12 1 } 2/ 5 2/ 5
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
对于二维正态分布的随机变量(X, Y)，X和Y的边缘分布都是一维正 态分布。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
概率论与数理统计 第四节 二维正态分布
2 2
可得 X N ( 1 , 12 ) , Y N ( 2 , 2 2 ) .
证
f X ( x)
1
f ( x , y )dy
2 1 2 1 2
x 1 y 2 y 2 2 x 1 2 1 exp ( ) 2 ( )( )( ) dy 2 1 2 2 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
令
y 2
2
t
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
XZ 0
2 3．设( X , Y ) N ( 1 , 2 , 12 , 2 , )，则X 与Y 的非零
线性组合 aX bY 仍服从正态分布，且
2 aX bY N (a 1 b2 , a 2 12 b 2 2 2ab 1 2 )
随机向量
6
( x 1 )2 x 1 2 1 1 exp ( t ) dt exp 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2(1 ) x 1 t 2 ( x 1 ) 1 2 1 exp exp 1 ( ) dt 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x 1 t 2 ( x 1 )2 1 u ）du (令 1 exp （ u) exp 2 2 2 2 1 2 1 1
可得 X N ( 1 , 12 ) , Y N ( 2 , 2 2 ) .
证
f X ( x)
1
f ( x , y )dy
2 1 2 1 2
x 1 y 2 y 2 2 x 1 2 1 exp ( ) 2 ( )( )( ) dy 2 1 2 2 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
令
y 2
2
t
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
1 2 1 1 2
x 1 x 1 2 2 1 exp ( ) 2 ( ) t t dt 2 1 2(1 ) 1
XZ 0
2 3．设( X , Y ) N ( 1 , 2 , 12 , 2 , )，则X 与Y 的非零
线性组合 aX bY 仍服从正态分布，且
2 aX bY N (a 1 b2 , a 2 12 b 2 2 2ab 1 2 )
随机向量
6
( x 1 )2 x 1 2 1 1 exp ( t ) dt exp 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2(1 ) x 1 t 2 ( x 1 ) 1 2 1 exp exp 1 ( ) dt 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x 1 t 2 ( x 1 )2 1 u ）du (令 1 exp （ u) exp 2 2 2 2 1 2 1 1
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
概率论与数理统计实践----正态分布
正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。
其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
概率论与数理统计--正态分布
正态分布一、正态分布设随机变量X 具有概率密度+∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμσπ其中)0(,>σσμ为常数，则称X 服从参数为2,σμ的正态分布，即),(~2σμN X 。
X 分布函数：()⎰∞---=x t dt e x F 222)(21σμσπ +∞<<∞-x二、标准正态分布 )1,0(~N X密度函数 2221)(x e x -=πϕ +∞<<∞-x 分布函数 ⎰∞--=x t dt e x 2221)(πφ +∞<<∞-x三、性质、计算1. )(1)(x x φφ-=-2. 若)1,0(~N X ，则{}()()a b b X a P φφ-=<<{}()12-=≤a a X P φ {}{}())1(21a a X P a X P φ-=<-=≥3.若),(~2σμN X ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σμφx x F {}{}()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≤<=<<σμφσμφ12122121x x x F x F x X x P x X x P四、练习1.设)1,0(~N X ，求：{}1≤X P ，{}2≤X P ，{}3≤X P ，{}96.1>X P 。
2.设)4,1(~N X ，求：{}6.10≤≤X P ，{}2.75<<X P ，{}3.2≥X P3.从南区某地乘地铁前往北区火车站搭乘火车有两条路可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：min ）服从正态分布N(50,100)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位：min ）服从正态分布N(60,16)。
若（1）有70分钟时间，（2）有65分钟时间，问在上述两种情况下应走哪一条路？（1-3题清华大学教材56-58页）五、标准正态分布的上α分位点设)1,0(~N X ，对于给定的)10<<αα（，如果αu 满足条件{}απαα==≥⎰+∞-u x dx e u X P 2221则称点αu 为标准正态分布的上α分位点。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
(课件)概率论与数理统计：正态分布
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
概率论与数理统计正态分布
(1) (1) 2(1) 1
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
概率论正太分布及其定理
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
例3 若 X ~ N , 2 ，求X 落在区间 k , k 内的概率，
其中 k 1, 2, 3, 。
解 P k X k P X k
k
k
k
k
2 k 1
查表得 P X 21 1 0.6826
概率论与数理统计
§4.2 二维正态分布
正态分布与极限定理
①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
②若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y的边缘分布都是正态分布，
X与Y相互独立 X与Y不相关.
16
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
定理2 (1) 若随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，则
证明
服从二维正态分布.
(2) 若 (X,Y) 服从二维正态分布，如果 X 与 Y 不相关
则 X 与 Y 独立.
(2)
设随机变量(X,Y)~
N
( 1 , 12
;
2
,
2 2
;
)
f (x, y)
1
e
1
2 (1
2
)
(
1
PX
80
1
80 d 0.5
0.99
80 d 0.5
0.01
(2.33) 0.9901 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.33) 0.01
80 d 2.33 0.5
d 81.165 故设定温度d至少为81.165度.
10
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计常用的统计分布
概率论与数理统计
2 X ~ N ( , ) ， X1 , X 2 ,... X n 是 定理 2 设总体
取自 X 的一个样本， X 与 S 为该样本的样 本均值与样本方差，则有
2 2 S 2 2 ( X i X )2 ~ 2 (n 1) （1） i 1
概率论与数理统计
设总体 X 的均值和方差 2 E( X ) , D( X ) 都存在. X1 , X 2 , , Xn 是来自总体 X 的样本，则 2 E ( X ) , D( X ) n , E ( S 2 ) 2
n n 1 1 E( X ) E( n X i ) n E( X i ) i 1 n i 1 n
n
X （2） T S / n ~ t (n 1)
概率论与数理统计
设 X1 , X 2 , , Xn 是总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本， X , S 2分别为样本均值和样本方差，则有 X ~ t (n 1) S/ n 由定理一、定理二有 2 ( n 1) S X 2 Y ~ N ( 0 , 1) , 2 ~ (n 1) 2 / n 2 且 Y 与 独立，由 t 分布的定义有 X X / n Y ~ t (n 1) S/ n (n 1) S 2 / 2 S 2/n n 1
3 0.1 P3 |X | 99.7%. P | X | X | 0.03} 99.7%. P{| n 100
概率论与数理统计
例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之 一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方 差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标 中心的距离服从正态分布N(μ,100), 现在进 行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹 着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求 S2超过50的概率.
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0.975的概率供应居民用电
解：(2)若每户用电功率为100W，则 Yn 户用电功率为100Yn W 设电站供电功率为 Q W，则
P(100Yn
Q)
P
Yn
Q 100
P
Yn np np(1 p)
Q
/100 800 40
反查表 (1.96) 0.975
Q
/100 40
8000
0.975
§4.2 正态分布的期望和方差
X ~ N(, 2)
➢ 数学期望： E(X )
➢ 方差：
D(X ) 2
【例】正态分布的标准化：已知 X ~ N(, 2)，则有
Y X ~ N (0,1)
P(a
X
b)
P
a
X
b
§4.3 正态分布的线性性质
设随机变量 X ~ N (, 2 ) ，则有
e dt x
(t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
分布函数 (x) 1
x t2
e 2 dt
2
F(x) 的性质：第二章中分布函数所有性质
10
(x) 的性质：
(x)
(x0 )
O x0
(x0 ) 是曲线与 x 轴之间，从 到 x0 点的面积
11
标准正态分布的分布函数值表 见281页附录表1。我们一起学查表。 注：(x) 1 (x)
【例】已知 X ~ N(0, 1)，查表解决以下问题。
➢ 求概率 P(1 X 1) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P(2 X 2) 0.9544
转换公式
F
(x)
x
13
其它结论：X ~ N (, 2 )
1.
F
(x)
P( X
x)
x
2. P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
x2 f (x)dx x1 15
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，证明：对于任意的 h 0 ，有 P( X h) 2(h) 1
证明：
16
概率论与数理统计
2021/4/14
1
第四章 正态分布
• 4.1 正态分布的概率密度和分布函数 • 4.2 正态分布的数字特征 • 4.3 正态随机变量的线性函数的分布 • 4.4 二维正态分布 • 4.5 中心极限定理
2
正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
正态分布，又称高斯分布
20
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N (, 2 )，求：X 落在区间 [ k , k ] 的概率，
其中 k 1, 2,3
解：
正态分布中，尽管 X 的取值范围是(, ) ，但是它落在区间 [ 3 , 3 ] 内的概率几乎可认为是100%
称为正态分布的“3 ”规则
21
转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400 0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
P
88
n i 1
Xi
400 0.2
80
400 0.2
8
(0.89) (8.94) 0.8133
80
35
§4.5 中心极限定理
定理2：【棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理】
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
特点（性质）： 关于 对称
7
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
如图以标准正态分布为例，分析 , 的取值对图像的影响
O
是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状
改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置
8
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设随机变量
X
~),
Y
~
N(
y
,
2 y
)
，并且X与Y
独立，则
X
Y
~
N(x
y,
2 x
2 y
)
2. 多个正态分布情形
设随机变量 X1, X 2,
, Xn
相互独立，且
Xi
~
N
(
i
,
2 i
)
，
则
n
ci Xi
~
N
n
cii ,
n
ci2
2 i
i1
i1
i1
其中 c1, c2 , , cn 为常数。
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
F(x)
1
e dt x
(
t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
(x)
1
x2
e 2,
x
2
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
9
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~ N(, 2)
分布函数 F(x) 1
则对于任何实数 x ，有
n
Xi n
lim P i1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
(x)
2
此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”
33
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布 P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不 多于88个的概率.
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
0.975的概率供应居民用电
解：(1)设随机变量 Yn 表示10000户中在同一时刻用电的户数，则
Yn ~ B(10000, 0.8)，于是 np 8000, np(1 p) 40
所以由“棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理”
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
30
31
§4.5 中心极限定理
概率论中关于论证 “大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”
的一系列定理统称为中心极限定理
32
§4.5 中心极限定理
定理1：【林德伯格—莱维中心极限定理】
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立，服从相同的分布，且
E( Xi ) , D( Xi ) 2 0, i 1, 2, , n,
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称 X服从正态分布，记作 X ~ N (, 2 ) ，其中 及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0, 1 时，得到正态分布 N (0,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X 2.35); 2. P(X 3.03); 3. P( X 1.54);
解：1. P(X 2.35) (2.35) 0.9906 2. P(X 3.03) (3.03) 1 (3.03) 1 0.9995 0.0005 3. P( X 1.54) 2(1.54) 1 20.9382 1 0.8764
转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400
0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
34
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于88
个的概率
解：
400
P(0 Xi 88) i 1
19
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N(1.5, 4)，求： 1. P(X 3.5); 2. P(1.5 X 3.5); 3. P( X 3);
解：
3.
P( X
3) 1 P( X
解：(2)若每户用电功率为100W，则 Yn 户用电功率为100Yn W 设电站供电功率为 Q W，则
P(100Yn
Q)
P
Yn
Q 100
P
Yn np np(1 p)
Q
/100 800 40
反查表 (1.96) 0.975
Q
/100 40
8000
0.975
§4.2 正态分布的期望和方差
X ~ N(, 2)
➢ 数学期望： E(X )
➢ 方差：
D(X ) 2
【例】正态分布的标准化：已知 X ~ N(, 2)，则有
Y X ~ N (0,1)
P(a
X
b)
P
a
X
b
§4.3 正态分布的线性性质
设随机变量 X ~ N (, 2 ) ，则有
e dt x
(t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
分布函数 (x) 1
x t2
e 2 dt
2
F(x) 的性质：第二章中分布函数所有性质
10
(x) 的性质：
(x)
(x0 )
O x0
(x0 ) 是曲线与 x 轴之间，从 到 x0 点的面积
11
标准正态分布的分布函数值表 见281页附录表1。我们一起学查表。 注：(x) 1 (x)
【例】已知 X ~ N(0, 1)，查表解决以下问题。
➢ 求概率 P(1 X 1) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P(2 X 2) 0.9544
转换公式
F
(x)
x
13
其它结论：X ~ N (, 2 )
1.
F
(x)
P( X
x)
x
2. P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
x2 f (x)dx x1 15
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，证明：对于任意的 h 0 ，有 P( X h) 2(h) 1
证明：
16
概率论与数理统计
2021/4/14
1
第四章 正态分布
• 4.1 正态分布的概率密度和分布函数 • 4.2 正态分布的数字特征 • 4.3 正态随机变量的线性函数的分布 • 4.4 二维正态分布 • 4.5 中心极限定理
2
正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
正态分布，又称高斯分布
20
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N (, 2 )，求：X 落在区间 [ k , k ] 的概率，
其中 k 1, 2,3
解：
正态分布中，尽管 X 的取值范围是(, ) ，但是它落在区间 [ 3 , 3 ] 内的概率几乎可认为是100%
称为正态分布的“3 ”规则
21
转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400 0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
P
88
n i 1
Xi
400 0.2
80
400 0.2
8
(0.89) (8.94) 0.8133
80
35
§4.5 中心极限定理
定理2：【棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理】
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
特点（性质）： 关于 对称
7
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
如图以标准正态分布为例，分析 , 的取值对图像的影响
O
是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状
改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置
8
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设随机变量
X
~),
Y
~
N(
y
,
2 y
)
，并且X与Y
独立，则
X
Y
~
N(x
y,
2 x
2 y
)
2. 多个正态分布情形
设随机变量 X1, X 2,
, Xn
相互独立，且
Xi
~
N
(
i
,
2 i
)
，
则
n
ci Xi
~
N
n
cii ,
n
ci2
2 i
i1
i1
i1
其中 c1, c2 , , cn 为常数。
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
F(x)
1
e dt x
(
t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
(x)
1
x2
e 2,
x
2
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
9
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~ N(, 2)
分布函数 F(x) 1
则对于任何实数 x ，有
n
Xi n
lim P i1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
(x)
2
此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”
33
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布 P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不 多于88个的概率.
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
0.975的概率供应居民用电
解：(1)设随机变量 Yn 表示10000户中在同一时刻用电的户数，则
Yn ~ B(10000, 0.8)，于是 np 8000, np(1 p) 40
所以由“棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理”
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
30
31
§4.5 中心极限定理
概率论中关于论证 “大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”
的一系列定理统称为中心极限定理
32
§4.5 中心极限定理
定理1：【林德伯格—莱维中心极限定理】
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立，服从相同的分布，且
E( Xi ) , D( Xi ) 2 0, i 1, 2, , n,
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称 X服从正态分布，记作 X ~ N (, 2 ) ，其中 及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0, 1 时，得到正态分布 N (0,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X 2.35); 2. P(X 3.03); 3. P( X 1.54);
解：1. P(X 2.35) (2.35) 0.9906 2. P(X 3.03) (3.03) 1 (3.03) 1 0.9995 0.0005 3. P( X 1.54) 2(1.54) 1 20.9382 1 0.8764
转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400
0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
34
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于88
个的概率
解：
400
P(0 Xi 88) i 1
19
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N(1.5, 4)，求： 1. P(X 3.5); 2. P(1.5 X 3.5); 3. P( X 3);
解：
3.
P( X
3) 1 P( X