概率论与数理统计之正态分布

转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400 0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
P
88
n i 1
Xi
400 0.2
80
400 0.2
8
(0.89) (8.94) 0.8133
80
35
§4.5 中心极限定理
定理2：【棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理】
转化为标准正态分布
P
0
400
0.2
n i 1
Xi
400 0.2
88
400
0.2
标准化
400 0.2
400 0.2
400 0.2
34
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于88
个的概率
解：
400
P(0 Xi 88) i 1
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
F(x)
1
e dt x
(
t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
(x)
1
x2
e 2,
x
2
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
9
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
X ~ N(, 2)
分布函数 F(x) 1
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
x2 f (x)dx x1 15
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，证明：对于任意的 h 0 ，有 P( X h) 2(h) 1
证明：
16
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数 例：设 X ~ N(0,1) ，求： 1. P(X 2.35); 2. P(X 3.03); 3. P( X 1.54);
解：1. P(X 2.35) (2.35) 0.9906 2. P(X 3.03) (3.03) 1 (3.03) 1 0.9995 0.0005 3. P( X 1.54) 2(1.54) 1 20.9382 1 0.8764
x
,
2 x
,
2 y
,
r)
则 X 与 Y 的边缘分布都是正态分布，且无论参数r( r 1)
为何值，都有
X
~
N
(x
,
2 x
),
Y
~
N (y ,
2Βιβλιοθήκη Baiduy
)
并且
y与y
,
y2与
2 y
分别是
X与Y
的数学期望与方差，
且 r 是 X 与 Y 的相关系数.
27
§4.4 二维正态分布
定理2：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
【例】已知 X ~ N(0, 1)，查表解决以下问题。
➢ 求概率 P(1 X 1) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P(2 X 2) 0.9544
转换公式
F
(x)
x
13
其它结论：X ~ N (, 2 )
1.
F
(x)
P( X
x)
x
2. P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
X ~ N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
特点（性质）： 关于 对称
7
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
如图以标准正态分布为例，分析 , 的取值对图像的影响
O
是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状
改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置
8
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
解：设随机变量 X i 表示第 i 页的印刷错误的个数，则 Xi ~ P(0.2)
则 E( Xi ) 0.2, D( Xi ) 0.2, i 1, 2, , 400
因为 X1, X 2 , , X 400 是相互独立 ，所以由“林德伯格—莱维”
中心极限定理
400
P(0 Xi 88) i 1
17
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设 X ~ N(1, 4) ，求 P(1.6 X 2.4)
解：
P(1.6
X
2.4)
2.4 1 2
1.6 2
1
0.7 1.3 0.7 1 1.3
查表 0.7580 (1 0.9032) 0.6612
18
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
概率论与数理统计
2021/4/14
1
第四章 正态分布
• 4.1 正态分布的概率密度和分布函数 • 4.2 正态分布的数字特征 • 4.3 正态随机变量的线性函数的分布 • 4.4 二维正态分布 • 4.5 中心极限定理
2
正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
正态分布，又称高斯分布
30
31
§4.5 中心极限定理
概率论中关于论证 “大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”
的一系列定理统称为中心极限定理
32
§4.5 中心极限定理
定理1：【林德伯格—莱维中心极限定理】
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立，服从相同的分布，且
E( Xi ) , D( Xi ) 2 0, i 1, 2, , n,
则对于任何实数 x ，有
n
Xi n
lim P i1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
(x)
2
此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”
33
例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布 P(0.2)
各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不 多于88个的概率.
0.975的概率供应居民用电
解：(2)若每户用电功率为100W，则 Yn 户用电功率为100Yn W 设电站供电功率为 Q W，则
P(100Yn
Q)
P
Yn
Q 100
P
Yn np np(1 p)
Q
/100 800 40
反查表 (1.96) 0.975
Q
/100 40
8000
0.975
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
0.975的概率供应居民用电
解：(1)设随机变量 Yn 表示10000户中在同一时刻用电的户数，则
Yn ~ B(10000, 0.8)，于是 np 8000, np(1 p) 40
所以由“棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理”
~
N(x
,
x
,
2 x
,
2 y
,
r)
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是相关系数 r 0
28
客，考点 8. 正态分布的性质及概率计算
29
15-16，一，3. X 与Y相互独立，且服从相同的标准正态分布，则 X与Y的协方差cov(X,Y)=________,P(X<0，Y>0)=______. 15-16，二，2. X N（4,9），Y N（2,1），X 与Y相互独立，则 X -2Y服从___________分布.
§4.2 正态分布的期望和方差
X ~ N(, 2)
➢ 数学期望： E(X )
➢ 方差：
D(X ) 2
【例】正态分布的标准化：已知 X ~ N(, 2)，则有
Y X ~ N (0,1)
P(a
X
b)
P
a
X
b
§4.3 正态分布的线性性质
设随机变量 X ~ N (, 2 ) ，则有
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
f (x)
设随机变量
X
~
N
(x
,
2 x
),
Y
~
N(
y
,
2 y
)
，并且X与Y
独立，则
X
Y
~
N(x
y,
2 x
2 y
)
2. 多个正态分布情形
设随机变量 X1, X 2,
, Xn
相互独立，且
Xi
~
N
(
i
,
2 i
)
，
则
n
ci Xi
~
N
n
cii ,
n
ci2
2 i
i1
i1
i1
其中 c1, c2 , , cn 为常数。
e dt x
(t )2 2 2
2
X ~ N(0,1)
分布函数 (x) 1
x t2
e 2 dt
2
F(x) 的性质：第二章中分布函数所有性质
10
(x) 的性质：
(x)
(x0 )
O x0
(x0 ) 是曲线与 x 轴之间，从 到 x0 点的面积
11
标准正态分布的分布函数值表 见281页附录表1。我们一起学查表。 注：(x) 1 (x)
Y a bX ~ N (a b, b2 2 ) 其中a, b (b ≠ 0)为常数。
【例】已知 X ~ N(1, 4)，试确定Y = 1-2X的分布，并写出Y 的 密度函数。
Y 1 2X ~ N(1,16)
fY ( y)
4
1
2
e
( y1)2
32 ,
yR
正态分布的可加性
1. 两个正态分布情形
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称 X服从正态分布，记作 X ~ N (, 2 ) ，其中 及 0 是参数
正态分布也称为高斯分布
特别地，当 0, 1 时，得到正态分布 N (0,1) ，称为标准正态分布，
其概率密度为
(x)
1
x2
e 2,
x
2
6
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
【例】已知 X ~ N(-3, 1)，Y ~ N(2, 1)，并且X与Y独立， 试确定Z = X-2Y+7的分布，求E(Z),D(Z)，写出Z 的密度函数。
E(Z) E(X ) 2E(Y ) 7 0
D(Z) D(X ) 4D(Y ) 5
Z X 2Y 7 ~ N(0,5)
fZ (z)
例：设X ~ N(1.5, 4)，求： 1. P(X 3.5); 2. P(1.5 X 3.5); 3. P( X 3);
解：1.
P( X
3.5)
3.5 1.5 2
(1)
0.8413
2.
P(1.5
X
3.5)
3.5
1.5 2
1.5
1.5 2
1 0 0.8413 0.5 0.3413
设在独立试验序列中，事件 A的概率 P( A) p ，随机变量 Yn 表示事件 A 在 n 次试验中发生的次数，则对于任何实数 x ，有
lim
n
P
Yn np np(1 p)
x
1
2
x t2
e 2 dt (x)
36
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
19
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N(1.5, 4)，求： 1. P(X 3.5); 2. P(1.5 X 3.5); 3. P( X 3);
解：
3.
P( X
3) 1 P( X
3)
1
3
1.5 2
3
1.5 2
10.75 2.25
10.75 12.25
1 0.7734 1 0.9878 0.2388
20
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例：设X ~ N (, 2 )，求：X 落在区间 [ k , k ] 的概率，
其中 k 1, 2,3
解：
正态分布中，尽管 X 的取值范围是(, ) ，但是它落在区间 [ 3 , 3 ] 内的概率几乎可认为是100%
称为正态分布的“3 ”规则
21
F
( x2
)
F
( x1 )
x2
x1
3.
P( X
a) P(X a)
1
F
(a)
1
a
14
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定理：设 X ~ N (, 2 ) ，则 X 落在区间 (x1, x2 ] 内的概率
P( x1
X
x2 )
F
(
x2
)
F
(
x1
)
标准化
x2
x1
当然也有：