四色定理简要证明论文
空间四色定理
空间四色定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间四色定理是一种关于地图着色的数学定理，它指出任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理是对四色定理在三维空间的推广，是由英国数学家哈佛·约瑟夫·萨福德和其学生乔治·法莫斯于1976年首次提出的。
在平面地图着色中，我们可以将地图上的不同区域用不同的颜色进行着色，但是要求相邻的区域颜色不能相同。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不会相同，即使图形非常复杂也是如此。
而空间四色定理则是在平面图的基础上推广到了三维空间，也就是说对于任意的三维几何图形或者复杂的几何体，我们也可以用四种颜色进行着色，使得相邻的部分颜色不同。
这个定理在实际应用中具有非常广泛的意义，可以被应用于地图着色问题、计算机图形学、密码学等领域。
对于空间四色定理的证明是非常复杂和困难的，因为三维空间的几何形状比平面图形更加复杂，其结构也更为多样化。
萨福德和法莫斯在提出这个定理之后，并没有给出详细的证明方法，而是留下了一个给数学家们解决的难题。
直到1982年，美国数学家凯恩·麦克蒂基成功地证明了空间四色定理，他在证明中使用了复杂的数学方法和技巧，包括拓扑学、图论、组合数学等。
这个证明过程非常漫长和复杂，耗费了大量的时间和精力。
空间四色定理的证明对于数学领域的发展具有重要的意义，它不仅解决了一个重要的数学难题，而且对于数学的推理和证明方法也有着深远的影响。
这个定理的提出和证明，为数学家们提供了一个全新的研究方向，也激发了更多的数学思考和探索。
空间四色定理是一个非常重要的数学定理，它指出了在三维空间中对图形着色的规律，为地图着色问题、计算机图形学等领域提供了有力的理论支持。
虽然证明过程非常困难，但是通过数学家们的辛苦努力，最终成功解决了这个难题，为数学领域的发展做出了重要的贡献。
希望这个定理能够继续激发更多人对数学的兴趣和热爱，推动数学领域不断发展和进步。
“四色定理”简捷证明(完整版)
“四色定理”简捷证明王若仲（王洪）贵州省务川自治县实验学校贵州564300摘要：1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
就在1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理。
我发现“四色定理”还有一种简捷的证明方法，就是利用球面几何的知识来证明“四色定理”。
关键词：四色定理；球面几何；线段；相交中图分类号：0156引言1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
关于我对四色定理的证明
关于我对四色定理的证明
首先，什么是四色定理？
“四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
四色定理，即四色问题，又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
为证明这条定理数学家们绞尽脑汁，并刺激了拓扑学与图论的生长、发展，最终用计算机得以证明。
原题是：‘任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
’用数学语言表示，即‘将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
’”——360百科第二，我之所以研究这个问题，是因为我觉得他并不难，加上我对地理和数学这两门科目很感兴趣。
第三，讲一下过程：
明确目标：证明成功。
明确方法：转换法。
明确命题：在同一平面内，被分割出来的不重叠区若相接（即相邻），则相接的两个区的颜色不同，那么至少需要几种颜色？
证明过程：∵将一个平面进行分割，
∴对这些区进行抽象简化，取局部图如下：设有一个区为Ｒ，则
①②
R R
Ｒ与偶数个区相接。
Ｒ与奇数个区相接。
∴{1,2,3}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4}。
（一个数字代表一种颜色）
∴四色定理成立。
∴地图上至少要5种（4+1=5，外加一种表示海洋）颜色。
完善过程：若区数少于四个，则：有n个区，最多需要n种颜色。
最后，发一下牢骚：网上的证明方法好难懂，至少我看到过的。
关于我对四色定理的证明，暂时就到这了，如若有错请大家指出来。
联系：2875492475@。
“四色定理”证明
一 、 连线段 定义 １ 平面上或球 面上任 意 Ａ，Ｂ两点 之 间有 一条 连 线连接 ，我们则称这条连线 为 Ａ，Ｂ两点之 间的连线段． 比 女口，Ａ／ —，一一－、’－，—＼、曰， ——— 、、、曰，Ａ— — ．
电子计算机问世 以后 ，１９７６年 ６月 ，由美 国数学 家阿佩 尔（Ｋｅｎｎｅｔｈ Ａｐｐｒ１）和哈肯 （Ｗｏｌｆｇａｎｇ Ｈａｋｅｎ）在 美 国伊 利诺 斯 大学的两 台不 同的电子 计算机 上 ，用 了 １ ２００个 小 时 ，作 了 １００亿 次判断 ，结果没 有一 张地 图是需 要五 色的 ，最终证 明 了 “四色 定 理 ”．
证明 因为 Ａ，曰，Ｃ，Ｄ为 球 面上 任意 两两 互 不重 合 的 四点 ，我们按 照一 定的次序总可 以把 Ａ， ，ｃ，Ｄ设计 为一个 三棱 锥 形 的 四个 顶 点 ，这 样 的 话 ，球 面 上 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 四点 中 ， 任 意 两 点 之 间 可 以 作 一 条 连 线 段 直 接 连 接 ，那 么 球 面 上 必 定 会 出现 这 样 的 图 形 ：连 线 段 的 交 点 只 是 Ａ，曰，Ｃ，Ｄ 四 点 ． 故 定 理 ２成 立 ．
【关键 词 】四色定理 ；球 面几何 ；线段；相交
１８５２年 ，毕业于伦敦大 学的格 斯里 （Ｆｒａｎｃｉｓ Ｇｕｔｈｒｉｅ）来 到一家科研单 位搞 地 图着色 工作 时 ，发现 每 幅地 图都可 以 只用 四种颜 色着色 ．这 个现 象能 不能 从数 学上 加 以严格 证 明呢？这 就是著名的“四色猜想”．
四色定理的证明
四色定理的证明《四色定理的证明》“哇，你看这个地图好漂亮啊！”我兴奋地对同桌小明说。
那是一节平常的数学课，老师在讲台上讲着各种图形知识，我和小明却偷偷对着一张世界地图看得出神。
“嘿，你说要是给每个国家都涂上颜色，最少需要几种颜色就能让相邻的国家颜色不一样呢？”我好奇地问小明。
小明挠挠头：“这可不好说，感觉挺复杂的呢。
”就在我们讨论得热火朝天的时候，老师的声音传来：“你们俩在嘀咕什么呢！”我们赶紧坐好，假装认真听课。
但我的思绪却一直停留在那个地图和颜色的问题上。
回到家，我迫不及待地开始研究起来。
我找了好多张纸，画了各种奇奇怪怪的图形，然后试着给它们涂色。
“哎呀，怎么这么难啊！”我有点懊恼。
这时妈妈走了过来，看着我乱七八糟的纸，笑着问：“宝贝，你这是在干嘛呀？”我把我的想法告诉了妈妈，妈妈鼓励我说：“这可是个很有意思的问题呢，你别着急，慢慢想。
”我继续埋头苦干，在经过无数次尝试后，我突然发现好像四种颜色真的就够了！“哇塞，我好像有点眉目了！”我兴奋地大喊。
第二天我赶紧跑去和小明分享我的发现，小明惊讶地说：“真的吗？你太厉害了！”于是我们俩又开始一起深入研究，我们不断地讨论、验证。
“你看，这个图形这样涂色就可以只用四色。
”我得意地对小明说。
“哇，还真是，那其他的呢？”小明追问。
就这样，我们在不断地探索中越来越坚信四色定理是真的。
我不禁想，这看似简单的四色定理，背后却蕴含着这么多的思考和努力，就像我们的学习和生活一样，很多事情不经过一番努力和探索，怎么能知道其中的奥秘呢？这不就是像攀登一座高峰，只有一步步往上爬，才能看到最美的风景吗？我相信，只要我们保持这份好奇和探索的精神，就没有什么难题是解决不了的！四色定理不就是最好的证明吗？。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
高三叙事作文：四色问题_3950字
四色问题_3950字四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”。
如为正规地图，否则为非正规地图。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
证明四色猜想
证明四色猜想本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。
通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。
四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。
就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
证明将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。
这些射线都属于这个点。
首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。
第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。
这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：（1）D在ABC之内和ABC相交当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。
第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。
假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。
Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。
这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。
尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。
所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。
（见图3）（2）D在ABC之外和ABC相交D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。
但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。
若D将ABC一部分包围。
那么ABC至少有一点完全被D包围。
如图5若E在D外就不能和A、B同时相交。
若E在D内无论如何最多只能和三者相交。
要么和ABD、ACD、BCD，不可能和ABC相交。
组合数学四色证明
组合数学四色证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑四色问题的证明如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。
这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。
但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。
根据欧拉创立的“拓扑学”原理，平面地图上不管形状多么复杂、大小多么不等的每块区域都可看成一个点。
而相互间有接壤的可用连线来表示<从图1到图6每幅图上方的区域图都可用下面的关系图来表示）。
地图上着色时只要相互有接壤的区域用的颜色不同就能分清不同区域了，也就是关系图上每条线两端的点不同色就行了。
下面的是湖南地图！可以用四种颜色！！从最大平面图上看，每一个区域<点）都是被其它若干个区域<点）所包围。
下面我们就逐一就各种包围情况来分析需要几种颜色。
1。
一个区域完全包围另一个区域的情况：这种情况相信不用画图大家也能明了，比如梵蒂冈处在罗马的包围之中，地图上它只要用与罗马不同的任何颜色就能分别出来，而处在中间的梵蒂冈存在与否，根本不会影响罗马与周围区域的着色。
2..二个区域包围一个区域的情况：如图1所示，中间的区域只要用不同于外面二区域的任何颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围二区域与其它区域的着色。
就是说：在整个最大平面图中可把图1中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉了中心O点，把二边形左右两条边AB合并为一条。
3..三个区域包围一个区域的情况：如图2所示，中间的区域只要用不同于外面三区域的任何第四种颜色就可以了，而它的存在与否，也根本不会影响外围三区域与其它区域的着色。
就是说：在整个最大平面图中可把图2中左边的情况看成与右边的一样，下方的关系图就是去掉中心O点，只剩下外面三边形ABC。
4. 四个区域包围一个区域的情况：如图3所示，由于上与下区域不接壤可用同一种颜色、左与右区域也不接壤也可用同一种颜色，所以中间区域只要用第三种颜色就行了。
四色定理论证
变形 ,换色办法相同 ,并示于图中 。 注意 :图 5 中的 C1 和 C2 中均有着 ③色的顶点 ;
若在某些着 ③色的顶点 ( v3 除外) ,有可能既属于 C1 又属于 C2 ,换色情况将有所变化 ,详见 D) 、E) 、F) 所 述。
D) 如图 7 所示的情况 : 图的上方 vx 顶点着 ③ 色 ,它是 C1 和 C2 中距 v1 顶点 ( ①色) 和 v4 顶点 ( ④ 色) 最近的一个公共着 ③色的顶点 ; 它们是没有“交 叉”的相接关系 ,其换色同于图 5 。
(b) 换色后 图3
色 。则需再往下进行 。 B) 再设 V 3 ,1 = { v| v 在 G1 中着 ③色或 ①色} ,并
且 G3 ,1 = G[ V 3 ,1 ] 。 ……其情况完全类同于本节之 A) :当 v3 与 v1 属于 G3 ,1 的不同连通分支时 ,换色就 成功 ,如图 4 ( d) 所示 ; 但当 v3 与 v1 在 G3 ,1 的同一 连通分支中 ,则仍不能换色 。此时 ,必须另劈蹊径进 行换色 。
(注 :换色时 ,亦可对 v3 所在的连通分支进行两 色互换 ,不影响结论 。)
若 v1 与 v3 在 G1 ,3 的同一连通分支中 ,则不能 按此办法换色 ,见图 3 (a) 所示 。此时 ,因有 G [ V 1 ,3 ∪{ v0 } ] 含回路 C , v0 在 C 上 ,除 v0 外 ,在 C 上的 顶点涂 ①、③两种颜色是交替出现的 ; v0 无法着色 。
1) 当 d ( v0 ) ≤3 时 , v0 的着色显然没有问题 , G 是 4 - 可着色的 。
2) 当 d ( v0 ) = 4 时 ,与 v0 相邻的有四个顶点 (设为 v1 , v2 , v3 , v4 ) ,如图 1 所示 。若 v1 , v2 , v3 , v4 已着色少于 4 种颜色时 , v0 着v2 , v3 , v4 分别作了 ①、②、 ③、④四种颜色后 , v0 如何着色呢 ? 在此 ,就需要采 用换色办法 ,使 v1 , v2 , v3 , v4 只用 3 种颜色而把腾 出来的 1 种颜色给 v0 着色就成了 。换色的办法是 :
四色猜想的逻辑证明
四色猜想的逻辑证明概要：平面或球面上两个区域相邻有且只有两种方式，按照这两种方式构成相邻关系，依次由2个、3个、4个直至足够多个不同区域，可以构成任意可能的地图。
本文提出增色定理，围绕该定理，给出四色猜想的证明。
四色定理的本质，是指在平面或者球面上最多只能构造四个两两相邻的区域。
证明这一点，只须例举出全部四个区域相邻的情形即可。
四色猜想的提出四色猜想是弗伦西斯·格斯里（FrancisGuthrie1831-1899）提出的，1852年他在给弟弟的信中写到：“每幅地图都可以只用四种颜色着色，使得有公共边界的相邻国家着上不同的颜色。
”四色猜想又称四色定理、四色问题。
格斯里的话中包含两个需要明确的概念：一个是相邻；另一个是国家，即平面或球面上的一个区域。
为此给出两个定义。
单连通：一个区域内的任何两点，如果可以在其内部（即不穿过其边界）用一条曲线相邻，则称这个区域是单连通的。
四色猜想中涉及到的区域均指的是单连通区域。
相邻：平面或球面上的两个区域，如果只有一条公共边界，就说这两个区域是相邻的。
两种基本相邻关系平面或球面上，A、B两个区域相邻有且只有两种方式：一种是，A区域的部分边界与B区域的部分边界相邻；另一种是，A区域的全部边界与B区域相邻，即A区域被B区域所包围（无需考虑A区域与B区域完全重合的情形，因为这在四色问题上没有意义）。
需要指出的是，图中的红色与绿色可以互换，即，当只有两个区域相邻时，下图中的区域A 与区域B是等价的：哪一个为红色，哪一个为绿色，意义是一样的（在下文的表述中同样的情形不再说明）。
按照这两种方式构成相邻关系，能够由最初的两个区域相邻，依次到由3个、4个直至足够多个不同区域，以任意可能的方式相邻构成全部可能的地图。
同时，该构成地图的过程是可逆的，即能够以与之相反的方式，将任意地图还原为最初两个区域构成的地图。
设想有一张由m+1个区域构成的地图，它显然可以视为由m个区域与某一个区域A以任意可能的方式相邻构成的。
四色定理简易证明
四色定理简易证明Zhou Yan-hui（周彦辉）（Freelance，Beijing 100070，china）摘要：首先，证明一个多边形只需要3种颜色就可以保证相邻的边不同色。
然后，将多边形的边换成折线-边界线，结论不变。
最后，在地图上任选一个中心区域，以边界线的颜色代表相邻地区的颜色，即可证明只需要4种颜色就可以保证相邻的地区不同色。
关键词：多边形，颜色，折线，国家，地区1、引言四色定理是指在地图上只需四种颜色即可将所有的国家和地区分开，或者是相邻的两个国家或地区不能使用同一种颜色，只需要四种颜色就能保证这一点。
四色定理曾经是一个无法证明的定理，后来科学家用计算机经过上亿次验算才得以证明，但是，还有没有更简单的证明方法呢？2、任意一个多边形相邻的两条边若不同色，只需3种颜色。
证明：多边形的两条邻边须用不同的颜色，两条被隔离的边就可以使用同一种颜色。
按照这条规则，如果一个多边形的边数是偶数，只需要2种就能保证；如果一个多边形的边数是奇数，则要增加一种颜色，即需要3种颜色（见图一）。
图一所示是一个七边形ABCDEFG，唯独“FG”边的颜色是绿色。
如果去掉“FG”，就是一个六边形，只需要红、黄两种颜色。
因此，一个多边形要保证相邻两边不同色，只需要3种颜色。
3、要保证两条相邻的边界线不同色，只需3种颜色。
证明：一个国家的区域由数条边界线围成，将上述的多边形的每条边由直线段变成折线段，类似于地图上凹凸不平的边界线。
折线虽然并非直线，似乎有数不清的边，但是，由于每条折线段都有两个端点，相邻的折线同样可以用不同的颜色加以区分。
只要不涉及计算折线长度的问题，这个区域仍然可以按多边形处理。
由前面的结论推论，要保证相邻的边界线不同色，只需3种颜色（见图二）。
4、地图上相邻的两个国家不能使用同一种颜色，那么，只要4种颜色就能保证这一点。
证明：在地图上任意取一块地区作为中心区域O，它和周围地区的分界线就构成一个不规则的“多边形”。
四色定理的终极证明-证明篇
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
•
在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
四色定理简便证明论文
四色定理的简便证明在每一张地图上，不论行政区域多么复杂，最多使用四种颜色，就能够给所有有公共边界的不同地区着有不同的颜色加以区别开来，这就是著名的四色定理.下面，我们给出四色定理的一种简便证法.一、没有公共边界的不同地区没有公共边界的不同地区，只需要使用同一种颜色就可以区别开来.例如，山东省与黑龙江省没有公共边界，这两个省可以使用同一种颜色；再如，海南省、台湾省以及海域中的诸岛等也可以使用同一种颜色.二、含有公共边界的不同地区含有公共边界的不同地区，着有颜色的种数多少与不同地区两两彼此有公共边界的多少有关，两两彼此有公共边界的不同地区越多，着有颜色的种数就越多.两两彼此有公共边界的含义是指每两个地区都含有公共边界.例如，甲、乙、丙三个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，乙地与丙地有公共边界；甲、乙、丙、丁四个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，甲地与丁地有公共边界，乙地与丙地有公共边界，乙地与丁地有公共边界，丙地与丁地有公共边界.地图上的不同地区，我们可以分别用点a，b，c，d，e…来表示；不同地区所着用的不同的颜色分别用a，b，c，d…来表示；相邻不同地区的公共边界，用连接两点（表示该相邻的地区）之间的一条线段来表示，并且每条线段的两个端点所表示不同的地区所使用的颜色是不同的，这样，不同地区的着色问题可以看做是不同点的着色问题.规定1：每两个有公共边界的不同地区，有且只有一条公共边界线，即不存在有三个或三个以上的不同地区共有一条边界线（共用连接点除外），也就是说，两点之间用且只用一条线段来连接.规定2：连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交.这样我们将上述四色问题可以转化为：在同一个平面上有m个不同的点，从中任取一个点pi（i=1，2，…，m）与其余（m-1）个点连接，并且连接任意两点之间的线段除端点外，既不能重合，也不能相交，则在这m个不同的点中，能够两两彼此相连接的点最多有4个.下面我们给出证明.证明：一个点或多个孤立（互不相连接）的点均可以使用同一种颜色；一条线段有两个端点，这两个端点表示不同的两个地区，该线段表示有公共边界，这样的两个地区，只需要两种不同的颜色即可区别开来.现在，我们来研究由线段组成的图形.1n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形我们知道，每一个端点（或拐点）表示不同的地区，两个相邻的不同地区的公共边界用一条线段来表示，由n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形，其所有端点（所表示的不同地区），可以需要使用a和b两种不同的颜色即可区别开来.如图1和图2所示.需要特别指出的是在同一条线段（或直线）上的点，如图3所示，当a，b，c三点在同一条线段上时，线段ac与线段ab，bc重合，这意味着它们有两条公共边界线，这与“不同地区有且只有一条公共边界线”矛盾，因此，我们说“连接ab，bc”，此时不能说“连接ac”.不能说“连接ac”的意思是说地区a和c没有公共边界，它们可以取同一种颜色.2.由n（n≥3）条线段组成的一条封闭的图形（1）当n为奇数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b，c三种不同的颜色即可区别开来，如图4所示.图4（2）当n为偶数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b两种不同的颜色即可区别开来，如图5所示.图5三、在三角形的基础上，增加一个点所构成的图形从上面的分析来看：一个点只使用一种颜色；一条线段有两个端点，该端点需要使用两种不同的颜色；一个三角形有三个顶点，该顶点需要使用三种不同的颜色.设存在有三个不同的地区两两彼此有公共边界，即存在不共线的三个点a，b，c连接成一个三角形，如图6所示，在这个平面上增加一个点d，有如下情况：图6图7由于不同的点表示不同的地区，所以点d与三角形的顶点不能重合，即点d不能在三角形的顶点处；当点d在△abc的任一条边上时，不妨假设点d在边ac上，如图7所示，由于线段ac与线段ad，cd重合，这与规定“所有线段不能重合”矛盾，所以点d不能在△abc的任一条边上.显然，如果有4个不同的点，其中有三个点a，b，d两两彼此相连接（即a，b，d三点所表示的地区两两彼此有公共边界），也就是说点b与a连接、点b与d连接、点d与a连接；第4个点c 与点b连接，与点d连接，而点c与a不连接（此时，点a，c所表示的两个不同地区没有公共边界线），且a，d，c三点共线，此时，点a与c可以取同一种颜色（我们可以看做点c在△abd的外部如图7所示），那么这样的4个点所表示的不同地区，可以使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来.这样，我们只研究点在三角形的内部和外部两种情况就可以了.1.当点d在△abc内部时，如果第4个点d与三角形的三个顶点a，b，c两两彼此相连接，如图8所示，那么所有顶点所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图8图92.当点d在△abc外部时，（1）不妨假设点d在线段ac所在的直线上，即点d，a，c三点共线，如果能够连接db，da，那么所有顶点或端点所表示的不同地区，需要使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来，如图9所示.（2）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的两侧，如果能够连接da，db，dc，且线段db与线段ac不相交，那么所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来，如图10所示；若能够连接da，dc，当连接db时，线段db与线段ac有可能“相交”，则所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c 三种不同的颜色即可区别开来，如图11所示.图10图11（3）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的同侧，如图12和图13所示，此时，结果与②类似，不必赘述.图12图13由上述所知，如果每4个点满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，只需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来.四、在如图8所示的基础上，增加一个点所构成的图形我们从上面的分析可以得到一般结论：在同一个平面上，存在3个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的3个点所表示的不同地区，需要使用三种不同的颜色；在同一个平面上，存在4个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，需要使用四种不同的颜色.我们自然要问：在同一个平面上，存在5个点或5个以上的点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的5个点或5个以上的点所表示的不同地区，就需要使用五种或更多种不同的颜色吗？回答是不可能的.这是因为，在同一个平面上，有5个点或5个以上的不同点是不可能存在两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交的，从而说明，在同一个平面上，不存在超过四种不同的颜色.我们给出如下推理：在如图8所示的基础上，再增加一个点e，共计5个点，有如下几种情况：（1）如果第5个点e落在△abc的外部，那么点e与△abc内部的点d不能够连接.假设点e与d能够连接，由于△abc是一个封闭的图形，一个点e在△abc的外部，一个点d在△abc的内部，当连接ed时，必然与△abc中的某一条边相交，这与规定（所有的线段不相交）矛盾，所以说尽管点e能够与点a，b，c两两彼此相连接，但点e与点d不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够相连接.此时，点e和点d可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来，如图14所示.图14图15（2）如果第5个点e落在△abc的内部，那么点e必然会落在△abc内部中△abd，△bcd和△acd三个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点e落在△abd的内部，如图15所示，此时，点c在△abd的外部，由（1）知点e与c不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够连接.此时，点e与c可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同的点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.由上述所知，5个不同的点两两彼此不能够连接，这就是说，在同一个平面上，尽管由原来不同的4个点增加到5个点，多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有一对点不能连接，该两点所表示的不同地区可以取同一种颜色，即存在有1对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.五、在如图15所示的基础上，增加一个点所构成的图形在如图15所示的基础上，再增加一个点f，共计6个点.1.如果第6个点f在△abc的外部，那么点f与△abc内部的点e或d不能够连接，也就是说，6个不同的点两两彼此不能够连接，如图16所示.新增加的点f的着色可以取与点d的颜色相同（新增加一对着色点），点e的着色可以取与点c的颜色相同（原有的一对着色点），这样共有2对相同的着色点，这说明颜色的种数并没有增加，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图16图172.如果第6个点f在△abc的内部，那么点f必然会落在△abe，△bed，△aed，△bcd，△acd这5个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点f落在△bdc的内部，如图17所示.显然，新增加的点f与a不能够连接，它们可以取相同的颜色（新增加一对着色点）；点e与c不能够连接，它们可以取相同的颜色（原有的一对着色点），这样存在2对相同的着色点，因此，6个不同的点两两彼此不能够连接.也就是说，尽管由5个不同的点增加到6个不同的点，又多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有2对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.类似地，第k（5≤k≤m）个点落在如图8所示的图形中，（1）如果第k个点落在△abc的外部，那么第k个点与△abc的内部的某一点不能够连接，因此，有k个点两两彼此不能够连接，同时可以看出，第k个点可以取与△abc的内部的某一对应点（不能连接）的着色的颜色相同，这样颜色的种数没有增加，第k个点的情形与第（k-1）个点的情形的着色相同；（2）如果第k个点落在△abc的内部，那么必然会落在且只能落在△abc被分割成（2k-5）个不重叠三角形中的某一个三角形的内部，此时，该点与该三角形的外部的点不能够连接，且有（k-4）对点（不能连接的）着有对应相同的颜色，这说明颜色的种数并没有增加.综上所述，在同一个平面上，超过4个不同的点，两两彼此不能够连接，这就是说能够两两彼此连接的点最多有4个，所以，在一张地图上的所有有公共边界的不同地区，最多使用四种不同的颜色就可以加以区别开来，四色定理成立.证毕.我们根据上述判定方法来诠释中国政区地图，为何最多使用四种不同的颜色.在《中华人民共和国地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，因为最多有4个不同地区两两彼此有公共边界，这4个省两两彼此有公共边界的地区分别是宁夏回族自治区、内蒙古自治区、甘肃省和陕西省，即甘肃省与内蒙古自治区有公共边界，甘肃省与陕西省有公共边界，甘肃省与宁夏回族自治区有公共边界；内蒙古自治区与陕西省有公共边界，内蒙古自治区与宁夏回族自治区有公共边界；陕西省与宁夏回族自治区有公共边界.换句话说，如果把这4个不同地区分别看成a，b，c，d四个不同的点，由于它们两两彼此有公共边界，也就是说这4个不同点能够两两彼此相连接.如图8所示，甘肃省相当于点b，内蒙古自治区相当于点a，陕西省相当于点c，该三点a，b，c能连接成一个三角形，宁夏回族自治区相当于△abc的内部的一个点d，根据上面得到的结论，可以判断这张《中华人民共和国地图》的着色，最多使用a，b，c，d 四种不同的颜色就可以绘制而成.见附件一：《中国政区四色地图》着色分布图.再如，在《世界地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，我们看到有公共边界的国家，最多有巴拉圭、巴西、玻利维亚及阿根廷这4个国家两两彼此有公共边界（还有坦桑尼亚、莫桑比克、赞比亚和马拉维4个国家两两彼此有公共边界），它们分别用4个不同的点来表示，则这4个点之间两两彼此相连接，根据上面得到的结论，可以判断这张《世界地图》也需要使用a，b，c，d四种不同的颜色，就能够保证相邻国家着有不同的颜色加以区别开来（图形略）.附件一：方案不唯一，仅供参考.我们如果用a，b，c，d分别表示四种不同的颜色，那么不同地区的着色可以分别记成：着有a色的地区有新疆、陕西、安徽、湖南、云南以及海洋；着有b色的地区有黑龙江、辽宁、山东、山西、浙江、广东、贵州、甘肃、西藏；着有c色的地区有宁夏、吉林、河北、福建、江苏、湖北、四川、广西；着有d色的地区有内蒙古、青海、重庆、河南、江西；没有公共边界的海南和台湾及其海洋中的诸岛均可取同一种颜色（可以取不同于a色绘制），如选d色；上海市可以取d色；北京市可以取a色；天津市可以取d色；香港或澳门可以取d或c色.。
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四色定理的简要证明
摘要：文章严格遵循数学归纳法步骤，利用数学归纳法和平面图的一个定理成功证明了世界近代三大数学难题之一的四色定理，并献疑于该定理的“计算机证明”。
关键词：数学归纳法；证明；平面图；四色定理
中图分类号：g633.6文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）11-045-01
“画地图要求相邻两国不用同一色，一幅地图只需要四种颜色”（钱学森语），这就是著名的“四色定理”（或称“四色问题”）。
自1872年正式提出至1976年才被计算机证明，但这“机证”并非让所有人信服。
下面给出一种非“机证”的简洁的理论证明。
一、相关前提
前提1任何平面地图的着色问题可以转化、归纳为对平面图的结点的着色问题。
其中的结点代表地图上的国家（或地区，下同），结点间的连线即边代表国家间的相邻关系。
前提2着色规则——平面图内有连线（即边，下同，为叙述方便会交替使用）的点（即结点，下同）必须用不同种的颜色着色，而没有连线的点则肯定可以用同一种颜色着色。
前提3“正常着色”是指遵守“前提2”所称着色规则的着色。
前提4设g是有v个结点e条边的连通简单平面图，若v>=3，则e=3），都适用e=5）时，定理成立，即可用4种色对图g(k)正常
着色，亦即可用4色对k个结点正常着色。
那么，当n=k+1时，对这（k+1）个结点着色，必定可分两步进行：
第一步，首先对其中的k个结点着色；
第二步，才对剩下的“1”个结点（称为第n点，n=k+1）着色。
已知k个点可用4色正常着色，不难证明第n点也可以用这 4色中的某一色正常着色。
其理由是：
当n=k时，图g(k)共有结点个数为：v(k)=k(a)；边数据“前提4”为：
e(k)<=3v-6=3k-6(b)
当n=k+1时，有图g(k+1),此时
g(k+1)的结点个数为：v(k+1)=k+1(c);边数则为:
e(k+1)<=3v-6=3(k+1)-6=(3k-6)+3 (d)
因为：(c)-(a)=(k+1)-k=1,(d)-(b)<=(3k-6)+3-(3k-6)<=3
所以可确知：图g(k+1)比图g(k)仅增加1个结点(即第n点)及最多增加3条边，所增加的3条边是增加的第n点所引致，两者具有对应关系。
所以对图g(k+1)着色可以转化为：对g(k)着色与对新增加的1个结点（即第n点）着色。
显然，g(k)据题设(2)用4色可正常着色；而对第n点则可用g(k)正常着色时用过的4色中的某一色正常着色，因为：第n点最多对应3条边，即这点最多与原图g(k)中的3个结点（简称3色点）连线、相邻，不可能再与g(k)中的其它结点连线、相邻.根据着色规
则，“3色点”最多着3色(称为3点色)，第n点不能用这“3点色”着色；但既然g(k)用4色可正常着色，那么这4色中必有有别于“3点色”的另1色，称为“第4色”，因为第n点只与“3色点”相邻，不与g(k)中着“第4色”的任何结点相邻，所以它必定可以用“第4色”正常着色！
这样，既然g(k)可用4色正常着色，而第n点又可用图g(k)4色中的“第4色”正常着色，那么由这二者“组成”的图g(k+1)
理所当然可用4色正常着色,亦即全部（k+1）个结点可以用4色正常着色。
根据（1）、（2）可以知道，对于平面图g(n)(n为自然数)的所有n个结点进行正常着色，4色就足够，即四色定理成立！
三、对“机证”献疑
根据“e<=3v-6”可知，v个结点的平面图肯定比(v-1)个结点的平面图多1个结点[称为第v点，在g(v-1)的最外面，亦即g(v)的最外面]和3条边。
所以实际画有v个结点的平面图g(v)时，理应画出最外面的第v点，它只与3条边相连。
任何e=3v-6(取最大值)的平面图都必定如此.但很遗憾，在四色定理“机证”所依据的“构形”图中（显然构形的e也取最大值），没有发现这个特征。
所以“机证”所依据的“构形”是令人可疑的，因而所进行的一系列证明过程与结果也都是令人可疑的。
参考资料
[1] 徐俊明.图论及应用[m].中科大出版社（合
肥）,1998:305~309.
[2] 哈拉里（美）.图论第一版[m].上海科技出版
社,1980:145~166.
[3] 张忠辅.数学的陷阱——四色猜想的各种“证明”[j],上海自然杂志,1992:380~381.。