大学物理(下)no.8作业解析

《大学物理》作业 量子力学基础

一、选择题

1. 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的

[ A ] (A) 动量相同。 (B) 能量相同。

(C) 速度相同。 (D) 动能相同。

解： 由德布罗意关系λh

p =可知，粒子波长相同，动量必然相同。由于粒子质量不

同，所以，粒子速度、动能和能量将不同。

2. 若 粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是

[ A ] (A)

eRB h 2 (B) eRB

h (C) eRB 21 (D) eRBh 1 解：半径eB mv qB mv R 2==，所以德布罗意波长eBR h mv h 2==λ。

3. 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图 [ A ]

解：由不确定关系 ≥∆⋅∆x p x 可知，x ∆大，x p ∆小，图(A)x ∆最大，所以x p ∆最小，确定粒子动量的精确度最高。

4. 关于不确定关系⎪⎭

⎫ ⎝⎛=≥∆⋅∆π2h p x x 有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定。

(2) 粒子的坐标不可能确定。

(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定。

(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。

其中正确的是：

[ C ] (A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、

(1)

()D x x

x ()A ()B ()C

5. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：

()()a x a a x a x ≤≤-⋅=

23cos 1πψ 那么粒子在65a x =

处出现的概率密度为 [ A ] (A) a 21 (B) a 1 (C) a 21 (D) a

1 解：概率密度()a

x a x 23cos 122πψ=，将6/5a x =代入，得 ()a

a a a x 216523cos 122=⋅=πψ

二、填空题

1. 若中子的德布罗意波长为2Å，则它的动能为J 1029.321-⨯。

(普朗克常量s J 10

63.634⋅⨯=-h ，中子质量kg 1067.127-⨯=m ) 解： λh

p =， 由经典动能公式得动能 ()()()()J 1029.31021067.121063.6222121210272

34222----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====m h m p mv E k λ

2. 低速运动的质子P 和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 αp p :p ＝ 1:1 ；动能之比αE E :p ＝ 4:1 。 解：由λh

p =，二者λ相同，所以1:1:p =αp p 。

由经典关系，动能m

p E 22

=，所以1:4::p p ==m m E E αα 3. 静质量为e m 的电子，经电势差为12U 的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝122eU m h

e 。 解：电子的动能2122

1v m eU E e k ==，动量122eU m v m p e e ==，德布罗意波长

122eU m h p h e ==λ 4. 如果电子被限制在边界x 与x x ∆+之间，5.0=∆x Å则电子动量x 分量的不确定量近似地为23103.1-⨯-1s m kg ⋅⋅。(不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆，普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h )

解：()1231034

s m kg 1033.110

5.01063.6----⋅⋅⨯=⨯⨯=∆≥∆x h p x 5. 设描述微观粒子运动的波函数为()t r , ψ，则*ψψ表示粒子在t 时刻在(x , y, z )

处出现的概率密度；()t r , ψ须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是

1d d d 2=⎰⎰⎰z y x ψ。

三、计算题

1． 如图所示，一电子以初速度-160s m 100.6⋅⨯=v 逆着场强方向飞入电场强度为E = 500V m -1的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d ，可使得电子的德布罗意波长达到1=λÅ。(飞行过程中，电子的质量认为不变，即为静止质量kg 1011.931-⨯=e m ，基本电荷C 1060.119-⨯=e ；普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h ) 解：由v m h p h e ==λ，得电子的末速度 ()16103134

s m 1028.710

1011.91063.6----⋅⨯=⨯⨯⨯==λe m h v 电子的加速度 ()2133119s m 1078.810

11.9500106.1---⋅⨯=⨯⨯⨯==e m eE a 由运动学公式ad v v 22

02=-得 ()()()m 1068.91078.82100.61028.722132

626202-⨯=⨯⨯⨯-⨯=-=a v v d 2. 同时测量能量为1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值

d

e 0

v E

在()m 10nm 19-=内，则动量的不确定值的百分比p p /∆至少为何值

(电子质量kg 1011.931-⨯=e m ，J 1060.1eV 119-⨯=普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h ) 解：电子的动能()J 106.1keV 116-⨯==k E ，又e

k m P E 22=，得电子的动量大小 ()1231631s m kg 1071.1106.11011.922----⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯==k e E m p

根据不确定关系 ≥∆⋅∆x p x ，得动量不确定量

()124924

s m kg 1006.110

1.01006.1----⋅⋅⨯=⨯⨯=∆≥∆x p 所以有 %

2.6062.01071.11006.123

24

==⨯⨯=∆--p p 3. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n <<⎪⎭⎫ ⎝⎛=0sin 2πψ

若粒子处于n ＝1的状态，在a 41~

0区间发现粒子的概率是多少 [提示：C x x x x +-=⎰2sin 4

121d sin 2] 解： ()a x a x πψ22

1sin 2=， ()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅===4024

0240

21a d sin 2d sin 2d a a a x a x a a x a x a x x P ππππψ %1.9091.042sin 414222sin 412124

==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a a a x a x a ππππππ