环的同态基本定理

环的同态基本定理

(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环S

R 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到S

R 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '

同构．

证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．

故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又

()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，

即η是满同态．

(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则

()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射

R S

R '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．

又

()()K b K a +++ψψ

＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ

＝()()()K b K a +++ψ，

()()K b K a ++ψψ

＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ

＝()()()K b K a ++ψ，

()()R R R K '==+111ϕψ，

故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结

构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，

ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．

例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．

证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式

()()()()x r x m x q x f +=，

这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故

()()()()N x m x q x f x r ∈-=．

这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．

例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．

证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质

⎪⎩

⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当

F 上任意n n ⨯方阵()

ij a A =，可写成 ∑==

n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是

∑=∈==

n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a e

e e a Ae e 1,．

对任i ，j ，作()ij kj lk lk il

lk e e e a e a =-1

，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．

这就证明了()F M N n =．

模同态基本定理

设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定

()x N x ηη +：

()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是

()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上

R a N M N y N x ∈∈++∀，，

有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη

()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+

()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即

()M

≅

Mη

N

其中()η

N为η的核．

ker

=

参考文献

[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．