2020年云南省高考数学一模试卷(理科)
2020年云南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合S ＝{x|2x ＝1}，T ＝{x|ax ＝1}．若S ∩T ＝T ，则常数a 的值为（ ） A.0或2 B.0或12C.2D.122. 已知i 为虚数单位，若(2+3i)z ＝1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 为得到函数y ＝6sin (2x +π3)的图象，只需要将函数y ＝6cos 2x 的图象（ ）A.向右平行移动π6个单位B.向左平行移动π6个单位C.向右平行移动π12个单位D.向左平行移动π12个单位4. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ） A.60种 B.30种 C.120种 D.24种5. 执行如图所示的程序框图．若输入的S ＝0，则输出的S ＝（ ）A.20B.40C.62D.776. 一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（ ）A.32−4πB.32−2πC.64−4πD.64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z ＝2x +y 的最大值等于（ ）A.10B.12C.16D.228. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，经过点Q(−1, 0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为（ ） A.√33B.√22C.12D.19. 已知tan (π−α)＝2，则sin 4αsin (π2+2α)=( )A.±85B.85C.−85D.−6510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3．若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为（ ） A.36π B.32πC.36√3πD.32√3π11. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3 B.√52C.√31−12D.√33−1212. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →=λAB →+56AD →，则|AF →|的最小值为（ ）A.√11B.3C.√7D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在(√x 3−√x)8的二项展开式中，x 的系数等于________（用数字作答）．已知离散型随机变量X的分布列如下：若X的数学期望等于4118，则a＝________．已知f(x)=13x3+m2x2−6x+1在(−1, 1)单调递减，则m的取值范围为________．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b(b−√3a)＝1，c＝1，则√3a−b的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]．（1）请完成下面的列联表（单位：人）：（2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝a n+1，设b n=S n(1+S n)(1+S n+1)，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n<13．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AC，M、N、D分别是A1B1、A1C1、BC的中点．（1）求证：AD⊥MN；（2）若三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，AB＝AA1，∠ABC=π6，求二面角M−AD−N的正弦值．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ax2−(a+1)x(ln x−1)，g(x)＝e x2−ax2．（1）若a＝e，求曲线y＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）若g(x)在(−1, 0)单调递增，判断函数f(x)是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为√32，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，点P在椭圆E上，以线段F1F2为直径的圆经过点P，线段F1P与y轴交于点B，且|F1P|⋅|F1B|＝6．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→⋅ON→=0．在平面直角坐标系xOy中，是否存在定圆Q，动直线l与定圆Q都相切？若存在，求出圆Q所有的方程；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos 2θ−sin2θ．（1）直接写出曲线C2的普通方程；（2）设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．（1）求m；（2）若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．参考答案与试题解析2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据S∩T＝T可得出T⊆S，并得出S={12}，从而可讨论a是否为0:a＝0时，显然满足条件；a≠0时，可得出1a =12，从而可得出a的值．【解答】∵S∩T＝T，∴T⊆S，且S={12}，T＝{x|ax＝1}，∴ ①a＝0时，T＝⌀，满足T⊆S；②a≠0时，T={1a }，则1a=12，解得a＝2，综上得，a的值为0或2．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】由(2+3i)z＝1+i，得z=1+i2+3i =(1+i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=513−113i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(513,−113)，位于第四象限．3.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由诱导公式先将y＝6cos2x转化成y＝6sin2x，然后在将y＝6sin2x平移得到y＝6sin(2x+π3)，先向右平移π4，再向左平移π6，即向右平移π12．【解答】∵y＝6cos2x，∴6cos2(x−π4)＝6cos(2x−π2)＝6cos(π2−2x)＝6sin2x∴y＝6cos2x先向由平移π4个单位得到y＝6sin2x，∵y＝6sin(2x+π3)＝6sin2(x+π6)是将y＝6sin2x向作平移π6个单位，综上所述将y＝6cos2x向右平移π12个单位得到y＝6sin(2x+π3)，4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先计算五门课程任意排列的情况数目，又由数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，据此分析可得答案．【解答】根据题意，把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，将五门课程任意排列，有A55＝120种情况，其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，则数学比历史先上的排法有1202=60种；5.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和．套公式计算即可．【解答】由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和，∴S=2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．6.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4．再由棱柱与圆柱的体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π． 7.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z ＝2x +y 可行域内的点A 时，从而得到z ＝2x +y 的最值即可． 【解答】如图：作出可行域，目标函数：z ＝2x +y ，则y ＝−2x +z ， 当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25 解得A(5, 2)Z max ＝2x +y ＝12．故z ＝2x +y 的最大值为：12； 8.【答案】 B【考点】 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系 【解析】设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可． 【解答】设AB 的斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x +1)，与抛物线y 2＝4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2＝1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4， 点F 在以AB 为直径的圆上，FA →⋅FB →=0， 可得(x 1−1, y 1)⋅(x 2−1, y 2)＝0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2＝0， 即1+2k 2−4k 2+1+4＝0，解得k ＝±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22． 9.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】由已知利用诱导公式可求tan α，进而根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解． 【解答】∵ tan (π−α)＝−tan α＝2， ∴ tan α＝−2， ∴sin 4αsin (π2+2α)=2sin 2αcos 2αcos 2α=4sin αcos α=4sin αcos αsin 2α+cos 2α=4tan α1+tan 2α=4×(−2)1+(−2)2=−85．10.【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2＝r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求． 【解答】解；设正△ABC 的外接圆半径r ， 由正弦定理可得，2√3sin 60=2r ，故r ＝2， 由球的性质可知，R 2＝r 2+d 2＝4+5＝9， 所以球的表面积S ＝4π×9＝36π． 11.【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 【解答】 双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形， 可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2， 可得：8a 2＝c 2+ac ，e 2+e −8＝0，e >1， 解得e =√33−12． 12.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理 【解析】可根据条件得出AF →=λAE →+(56−12λ)AD →，然后根据E ，F ，D 三点共线即可得出λ=13，从而得出AF →=13AB →+56AD →，然后根据条件可得出|AB →||AD →|=18，从而可得出AF →2=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5，然后根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可求出|AF →|的最小值． 【解答】如图，连接AE ，则：BE →=12AD →，AE →=AB →+12AD →，∴ AF →=λ(AB →+12AD →)+(56−12λ)AD →=λAE →+(56−12λ)AD →，且E ，F ，D 三点共线，∴ λ+56−12λ=1，解得λ=13， ∴ AF →=13AB →+56AD →，∵ 平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，∴ |AB →||AD →|sin2π3=√32|AB →||AD →|=9√3，∴ |AB →||AD →|=18， ∴ AF →2=19AB →2+2536AD →2+59|AB →||AD →|cos2π3=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5≥2⋅13⋅56⋅|AB →||AD →|−5=59×18−5=5，当且仅当13|AB →|=56|AD →|，即|AB →|=52|AD →|=3√5时取等号，∴ |AF →|的最小值为√5．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】 28【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为2求出展开式中x 2项的系数． 【解答】根据二项式定理(√x 3√x )8的通项为T r+1＝C 8r ⋅(−1)r ⋅x16−5r6，16−5r 6=1，即r ＝2时，可得T 3=∁82x ＝28x ；即x 项的系数为28，【答案】754【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据数学期望的计算方法求得b 的值，再根据分布列的性质，即概率和为1，即可求得a 的值． 【解答】由分布列的性质可知，a +13+112+b +512=1，数学期望E(X)=0×a +1×13+2×112+3×b +4×512=4118，解得，b =127,a =754，【答案】[−5, 5] 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】f′(x)＝x 2+mx −6，根据f(x)在(−1, 1)单调递减，可得f′(x)≤0在(−1, 1)上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】f′(x)＝x 2+mx −6， ∵ f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1, 1)单调递减， ∴ f′(x)＝x 2+mx −6≤0在(−1, 1)上恒成立．{m ≤01+m −6≤0 ，{m ≥01−m −6≤0 ， 解得：−5≤m ≤5，则m 的取值范围为[−5, 5]． 【答案】 (1, √3) 【考点】 余弦定理 【解析】先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把√3a −b 转化为2(√3sin A −sin B)，再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论． 【解答】因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．∵ a 2+b(b −√3a)＝1，c ＝1⇒a 2+b 2−√3ab ＝c 2⇒2cos C =√3⇒cos C =√32⇒C ＝30∘，∴ csin C =asin A =bsin B =1sin 30=2； ∴ a ＝2sin A ，b ＝2sin B ；∴√3a−b＝2(√3sin A−sin B)＝2[√3sin A−sin(150∘−A)]＝2[√3sin A−(12cos A+√32sin A)]＝2(√32sin A−12cos A)＝2sin(A−30∘)；∵0∘<A<90∘，0∘<B<90∘，A+B＝150∘；∴60∘<A<90∘；∴30∘<A−30∘<60∘⇒2sin(A−30∘)∈(1, √3)；故√3a−b∈(1, √3)；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【答案】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式可得S n＝2n，再由a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，计算可得所求通项公式；（2）求得b n=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【答案】证明：∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∵M，N分别是A1B1、A1C1的中点，∴MN // B1C1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC // B1C1，∴MN // BC，∴AD⊥MN．如图，设AA1＝2，作AH // BC，由（1）知AD⊥BC，∴AD⊥AH，由已知得AH，AD，AA1两两互相垂直，由∠ABC=π6，得∠BAH=π6，∠BAD=π3，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0, 0, 0)，A1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B1(√3, 1, 2)，C(−√3, 1, 0)，C1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)，AD→=(0, 1, 0)，AM→=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)，设平面ADM的一个法向量为n→=(x, y, z)，则{n→⋅AD→=y=0n→⋅AM→=√32x+12y+2z=0，取z=−√3，得n→=(4, 0, −√3)，设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出AD ⊥BC ，MN // B 1C 1，BC // B 1C 1，从而MN // BC ，由此能证明AD ⊥MN ．（2）设AA 1＝2，作AH // BC ，由AD ⊥BC ，得AD ⊥AH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出二面角M −AD −N 的正弦值． 【解答】证明：∵ D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴ AD ⊥BC ， ∵ M ，N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，∴ MN // B 1C 1， 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1， ∴ MN // BC ，∴ AD ⊥MN ． 如图，设AA 1＝2，作AH // BC ， 由（1）知AD ⊥BC ，∴ AD ⊥AH ， 由已知得AH ，AD ，AA 1两两互相垂直， 由∠ABC =π6，得∠BAH =π6，∠BAD =π3，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B 1(√3, 1, 2)， C(−√3, 1, 0)，C 1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)， AD →=(0, 1, 0)，AM →=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)， 设平面ADM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AD →=y =0n →⋅AM →=√32x +12y +2z =0，取z =−√3，得n →=(4, 0, −√3)， 设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【答案】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)ln a+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增． ∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）若a ＝e ，可得y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)，由x ＝1时，k ＝y′|x ＝1＝0，即可求得曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）依题意，g(x)在(−1, 0)单调递增⇒a ≥e x 2，由f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0，设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，通过求导后，对x 分0<x <a+12a，x >a+12a及x =a+12a三类讨论，可求得[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a，再进一步分析即可得到函数f(x)没有零点．【解答】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； ∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a)＝a +1−(a +1)ln a+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增．∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【答案】设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2，∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =c a=√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0， ∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =√k 2+1=√24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）作图，根据条件结合圆的性质可证得△F 1BO ∽△F 1F 2P ，则可得2c 2＝6，再结合离心率可得a 的值； （2）考虑当直线l 的斜率不存在或者为0时，Q 存在，此时Q 的方程为x 2+y 2=45，下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，利用根与系数关系已经点到直线距离证明即可． 【解答】 设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2， ∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =ca =√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1 ， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0，∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =|m|√k 2+1=|m|√5m24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．【考点】圆的极坐标方程 圆的参数方程 【解析】1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值． 【解答】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ， ∴ 1a +1b =√3， ∴ 1b =√3−1a ， ∴ 1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴1a2+2b 2≥2=m ．【考点】不等式的证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m ＝2； （2）根据题意1b =√3−1a ，进而1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，由此得证．【解答】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ，∴ 1a +1b=√3，∴ 1b=√3−1a，∴1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴ 1a 2+2b 2≥2=m ．。
云南省2020届高三第一次省统测试数学(理)试卷(有答案)
云南省2020届高三第一次省统测试数学（理）试卷注童事项：.. …心.1,本医海分150分，考试时何为120分钟。
鲁巒、先域自己药展积淮考证号普荒息填塞祖试爛乘和字她卡上M井捋虐#证号条仍倒耐M在齧廳卡的据定也暨◎'2、选律題的柞答土轟小題遶曲基崇后.JA2B楣笔把答题卡上箱应題冒的答彙赫昔涂黑。
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一、选搁B:本題共12 zbS t每小題5分・扶创分+在毎小题给出的四个选度収R 有一項呈符含世目耍求的，h 设A - [x|jf > 1} > B ^^xpt2 -x-2 <0）»则（G咼Cl5 =（）.A. {x|x>-l} B, {x|-l<xi 1} C &卜1CH<1}' I）. {r|l<x<； 2）2已知Sfeztfi足（17"丽和卜其中f为虛数单位，则S»z在農平面內对应点所在的線限为I ）•…」’. ，A.第一象限氐第二象限C第三象限 D.第四象限去巳知平面同量讪満足O =1, "&叭若“+巧丄仗_坊，则实数祈等于（）去设a ^log a 0J ；■ 6=10^t ft6- c~U M» M ( )A. a<6<cB. b<c<aC. c<a<bD. b<a <c戟学(理科［试鹽患第［頁共&真3.我国古代名着《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺.重四斤, •'斩末一尺.贡二斤J意思是：“现有一金锤，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺, 重2斤” •若该金锤从头到尾.毎一尺的重楚构成等琏数列，则该金镭总St为（•）A.6 斤•：’B.7 斤C.9 斤"•D. 15 斤■・. - S .V ・・‘ ••….6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%..如果光线原来的强度为k（k>0）,通过*块这样的玻璃以后强度为『，则那么光线强度减弱到原来的+以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（參考数据：lg 2^0.301 lg3« 0.477 ）».A.12 B. 13 . C.14 D. 15 ,7.已知F为抛物线/=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交拋物线于凡3两点，・・ * ・, ■・;；£.・：¥.・•・••则||私|-|呵他值等于（）.- , 1.〔J •八•:乙；J，：；.：' 7 ・.・•［「•，°- .. ! ■..•・；：「.•：：：、.扎8血：•： B. 8 ° ,-：； C. 472. : D.4 ・/ ；?• . r'. 1J I ■ M *._ ・・.・：・••■. ，・-- .•&图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，记1号到16号同学的成绩依次为已M““，儿6,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（1011A. 16B. 10图2C.7D.6数学（理科）试题卷• ■ p • • • I✓10•如图是某个三棱锥的三视图，若在该三棱锥的外接球内任取一点.则该点在三棱锥内的概率为（1）■11 •已知双曲线M:斗-£> 0, b a 0）的渐近线均和圆N :兀口尸亠6卄5二0相切,a b且双曲线M 的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（） 人还 B. | C. V3 D.V25-212•已知函数如7-尹有两个不同极值点，则实数询取值范国是（） A. （0,e ） B,（e,+«>）C. （0,-）D.二、填空题；睿题共4小BS.毎小题5分■共20分.13 •设尊比数列仏｝的前刃项和为3,•且4知2®,①成等差数列，若d 严1, •■则S 严,/• . •」•； ''・14. _________________________________________________________________ 著二项式（❻十与的展开式中*的一次项的系数是-70,则°二 _____________________ .X・■ <• • • • " • • • * • • • •• •. 9 • • • •15. 已知函数/w=r!ma,0<x<;r 与八层（仁/?）的图像有三个不同交点，则实数[Vx,X> iT9 113兀B. 13兀屁n 9屈D.—-— 169”169加・'上的取值区间为：•・16.在四面体4BCQ中，AB=BD^AD=CD^AC=BC=4,用平行于AR,CD的平面截此四面体，得到截面四边形ETCH,则四边形面积的最大值为______________________ .数爭（理科）试趙卷第3页三、解答羸 共70分•鮮答应写出文字说明过程成演算步就17T1題为必考題, 每个试IS 考生都亳须件答.第22. 23 M 为选考题，考生根据宴求作答・17.(本小题满分12分)•： •某市在开展创建"全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著,尤其是城市 环境卫生大为改观,探得市民好评-“创文”过程中, 某网站椎出了关于环境治理和保护问题情况的问 卷调査,现从参与问卷调査的人群中随机选出200 人，并将这200人按年龄分组；第1级［1525), 第 2 组［25,35),第 3 组［35,45),第 4 组［45$), 第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出&的值;.(2)若已从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中!®机抽取3人进行何卷调査，设第2组抽到§人，求随机变就§的分布列 及数学期望 £&)・•'•••； • ； ••、：、•二•-，■-18.(本小题満分 12 分) :… ' • . ；： '•••- •••-•-："、•■. ■七•.. . ■•厶•t f.■・、• .•/•.0 . • • .. ■.*• •, ■ ■已知函数/(x) = 2 sin(jf - —) cos jt + f 的最大值为1.(1)求『的值；3. '..'. "'；(2)设锐角MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a = 2近,A/1BC的.厂:•• ■ ' ••.•••/. ‘:・・• ■ .•- > ; 面积为屁且/⑷号，求b^c的值.数学(理科)试題事（本小题满分12分）；：必•如图,.菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直，EP丄平而ABCD、EF"平面4ECD.；'〈I〉求证：平面XC万丄平面BDF：" .■'* R(2 )若ZCBA= 60° V-求二面角A-BC-F的大小20.（本小题漓分12分）I、* s• '' ；；：；■已知函数, g（x）=ln x-ln a ,其中。
云南省红河州2020届高三高考数学(理科)一模试题(wd无答案)
云南省红河州2020届高三高考数学（理科）一模试题一、单选题(★) 1. 设集合，3，5，，，则（）A．，B．，C．，D．，(★) 2. 设，则（）A．0B．1C．D．3(★) 3. 下图为某地区2007年~2019年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大(★★) 4. 若变量 x， y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．1B．-2C．-5D．-7(★★) 5. 设，则的值是（）A．1B．e C．D．(★★★) 6. 数列是等差数列，，且构成公比为 q的等比数列，则（）A．1或3B．0或2C．3D．2(★) 7. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果 n=( )A．2B．3C．4D．5(★★) 8. 已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）A．函数的周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在上有且仅有1个零点D．函数在上为减函数(★★)9. 已知双曲线的右焦点为，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（）A．1B．C．D．2(★★★) 10. 在棱长为2的正方体中，点 M是棱 AD上一动点，则下列选项中不正确的是（）A．异面直线与所成的角的大小B．直线与平面一定平行C．三棱锥的体积为定值4D．(★★★) 11. 函数 f( x)＝ x 2－ bx＋ c满足 f( x＋1)＝ f(1－ x)，且 f(0)＝3，则 f( b x)与 f( c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．与x有关，不确定(★★★) 12. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题(★★) 13. 已知的展开式中的系数为5，则________.(★★) 14. 设向量，，，且，则____________.(★★) 15. 已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为 O，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为____________．(★★★★) 16. 已知数列的前 n项和为，，，且．若对都成立，则实数的最小值为____________．三、解答题(★★★) 17. 某微商对某种产品每天的销售量( x件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应的事件发生的概率.（1）求频率分布直方图中的的值；（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.(★★★) 18. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面 ABCD，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面 PCD；（Ⅱ）求直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值．(★★★) 19. 在锐角三角形 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若．（Ⅰ）求角 A的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．(★★★★) 20. 已知 M是抛物线上一点， F是抛物线 C的焦点，．（Ⅰ）求直线 MF的斜率；（Ⅱ）已知动圆 E的圆心 E在抛物线 C上，点在圆 E上，且圆 E与 y轴交于 A， B两点，令，，求最大值．(★★★★) 21. 已知函数．（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数 n的值；（Ⅱ）若时，函数恰有两个零点，证明：．(★★★) 22. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， x轴的轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线 C的极坐标方程；（Ⅱ）设 A， B为曲线 C上两点（均不与 O重合），且满足，求的最大值．(★★★) 23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若为中的最大元素，正数，满足，证明。
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(理科)(6月份)(含答案解析)
020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合0，1，，，则A. B. 0， C. 0， D. 1，3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如图：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4.已知点在双曲线的一条渐近线上，该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 45.已知点，，则A. 1B.C.D. 26.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为A. 216B. 108C.D. 367.材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中这个公式被称为海伦秦九韶公式．材料二：阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为A. B. 3 C. D. 68.已知函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则的最小值为A. 8B. 4C. 2D. 19.如图1，已知PABC是直角梯形，，，D在线段PC上，将沿AD折起，使平面平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图对于图2，下列选项错误的是A. 平面平面PBCB. 平面PDCC. D.10.已知F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，则p的值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知函数，是的唯一极小值点，则实数k的取值范围为A. B. C. D.12.在中，，，有下述四个结论：若G为的重心，则；若P为BC边上的一个动点，则为定值2；若M，N为BC边上的两个动点，且，则的最小值为；已知P为内一点，若，且，则的最大值为2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．14.若“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．15.在ABC中，，，，D在线段AB上，若与的面积之比为3：1，则______．16.某校同时提供A、B两类线上选修课程，A类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A类、B类课程中的一类学习，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共______分．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项等比数列，为的前n项和，若，．求数列的通项公式；从三个条件：；；中任选一个作为已知条件，求数列的前n项和．18.已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为正三角形，M是PC的中点，过M的平面平行于平面PAB，且平面与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE．在图中作出四边形不必说出作法和理由；若，求平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：左焦点为，经过点的直线l与圆：相交于P，Q两点，M是线段与C的公共点，且．求椭圆C的方程．与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求的面积．20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重单位：克，其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数X的数学期望；小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格第0格开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格从第k格到第格，，若掷出2点，即从当前位置向前行进两格从第k格到第格，行进至第31格获得福袋或第32格谢谢惠顾，游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，1，2，，，．求、，并写出用、表示3，，的递推式；求，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．21.已知，，．若，证明：；对任意都有，求整数a的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线过点，倾斜角为以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程；若l与C相交于A，B两点，M为线段AB的中点，且，求．23.设函数．当时，求函数的定义域；设，当时，成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，复数z所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：D解析：解：集合0，1，，1，2，3，，1，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A，通过计算可得1至5月的利润分别为，，，，，故A错误；对于B，由A所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B错误；对于C，同理可得C错误；对于D，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D正确，故选：D．利用收入与支出单位：万元情况的折线统计图直接求解．本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.答案：C解析：解：根据点在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为，所以有，根据双曲线中a，b，c的关系，可以得，所以有，故选：C．利用已知条件推出a，b的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：B解析：解：点，，，故选：B．利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：．故选：B．首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：中，，，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，如图所示；则，，，所以椭圆的标准方程为；由图形知，当点A在椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值；此时的面积为．故选：C．由题意知点A的轨迹是椭圆，写出椭圆的标准方程，求出面积的最大值．本题考查了椭圆的定义与应用问题，也考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：函数，把的图象向左平移个单位所得的图象为，即，，，的最小值为4；故选：B．由条件利用函数的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．9.答案：A解析：解：如图，图1中，则图2中，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，则，故选项C正确；由平面ABCD，平面PDC，得平面平面ABCD，而平面平面，平面ABCD，，平面BDC，故选项B正确；，平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，则，即是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．由已知利用平面与平面垂直的性质得到平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面平面ABCD，结合判定B正确；再证明平面PAD，得到为直角三角形，判定D正确；由错误的选项存在可知A错误．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：C解析：解：由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，可得轴，可得圆的直径为2，半径为1，可得P的横坐标为2，P的纵坐标为1，即，，即，将P的坐标代入抛物线的方程可得，所以，故选：C．由题由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，可得轴，再由可得P的横坐标为2，即圆的直径为2，半径为1，所以P的纵坐标为1，将P的坐标代入抛物线的方程可得p的值．本题考查抛物线的性质及圆与x轴相切的性质，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题可知，，是的唯一极小值点，恒成立，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，即．故选：D．对函数求导可得，因为是的唯一极小值点，所以恒成立，即，令，则，易知当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以，即，故而得解．本题考查利用导数研究函数的极值，还用到了构造法，将原函数的极值问题转化为新函数的恒成立问题是解题的关键，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．则，，．，．对于，由重心坐标公式，可得，则，，，故正确；对于，设，则，则，故错误；对于，不妨设M靠近B，，则，得，则．当时，取得最小值为，故正确；对于，由，且P为内一点，，得，即，则的最大值小于2，故错误．所有正确结论的编号是．故选：A．以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断；设，把用含有t的代数式表示判断；不妨设M靠近B，，则，求得M与N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求最值判断；由向量加法的平行四边形法则结合图形求得与的范围判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．13.答案：10解析：解：因为，所以为x的系数；故；故答案为：10．转化为求x的系数，即可得到结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14.答案：解析：解：“”是真命题，；故答案为：．根据对数函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，是一道基础题．15.答案：1解析：解：因为与的面积之比为3：1，故AD：：1；故BD；；；故答案为：1．先根据面积之比求得BD，再代入余弦定理即可求解．本题考查三角形的实际应用，考查计算能力．16.答案：180 190解析：解：依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共分；设选择A类课程x次，B类课程y次，则依题意有，，目标函数为，作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示，将平移，由图可知，当移至点P时，目标函数取得最大值，联立，解得，故最大值为，即最多可以获得总积分共190分．故答案为：180，190．依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，易知此时总积分为180分；设选择A类课程x 次，B类课程y次，建立关于x，y的线性不等式租，作出可行域，进而求得最大值．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：设数列的公比为，，，故：，解得，由，解得，；若选：由题意知：，此时数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和若选：由题意知：，；若选：由题意知：，此时数列是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和．解析：设数列的公比为，由题设条件分别列出q与的方程，解出q与，就可求出；若选：由题设条件求得，再利用等比数列的前n项和公式求得；若选：由题设条件求得，再利用分组求和法求得；若选：由题设条件求得，再利用等差数列的前n项和公式求得．本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及数列前n项和的求法，属于基础题．18.答案：解：如图，四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，依题意，，，，，且，平面PAD，则，为正三角形，且O为AD中点，平面ABCD，，，，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，，4，，4，，0，，2，，则2，，2，，0，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面BME的一个法向量b，，则，取，得，则．平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值为．解析：四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，推导出，，平面PAD，，从而平面ABCD，，，，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．19.答案：解：由圆：可得，因为，所以，即，又，故，所以椭圆C的方程为；设，，为线段PQ的中点，则，，又，解得，，若，则，直线l的方程为，由解得，即，所以的面积，若，同理可求得的面积，综上所述，的面积为．解析：由题意可得，所以，可得a的值，又，可求出b的值，从而得出椭圆C的方程；由，结合，可求处点A的坐标，分情况讨论即可求出的面积．本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：要图可知，苹果的重量在内的频率为：，一顾客从该果园购买了30个苹果重量在内的个数为X，则，故E个；买家要行进至第1格的情况只有1种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第1格，其概率为，则，买家要行进至第2格的情况有以下两种：当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为，当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为，则，买家要行进至第i格2，3，的情况有以下两种：当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i格，其概率为，当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i格，其概率为，则，2，，由得：，即，2，，故数列2，是首项为，公比为的等比数列，，2，，，即，2，，故买家行进至第31格获得福袋的概率为，故买家行进至第32格谢谢惠顾的概率为，由于，故买家行进至第31格获得福袋的概率大于买家行进至第32格谢谢惠顾的概率，故小张推出的此款游戏活动更有利于卖家，解析：求出频率，代入公式，求出数学期望值即可；买家要行进至第1格的情况只有1种，依次写出买家要行进至第2格的情况以及买家要行进至第i格2，3，的情况，求出递推公式即可；求出数列2，是首项为，公比为的等比数列，得到，2，，计算，判断即可．本题考查了求概率，数学期望以及等比数列的性质问题，考查递推公式，是一道综合题．21.答案：解：设，则．注意到，因为，因为，则在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得则在时单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．因为对任意的，不等式，即恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，则，因此，下面证明，在区间恒成立，由知，则，故H，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以，在上恒成立，综上所述，整数a的最大值为2．解析：设，，求导得且，再求，得在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得，得在时单调递增，在上单调递减，，，进而在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即可得证．根据题意得对任意的，不等式恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，所以，得，接下来证明，在区间恒成立，即可得整数a的最大值为2．本题考查导数的综合应用，参数的取值范围，属于中档题．22.答案：解：直线过点，倾斜角为则直线的参数方程为：为参数．曲线C的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为．将直线的参数方程代入，得到：，所以，由于M为线段AB的中点，所以，整理得，整理得：解得，舍去，整理得：，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：时，要使函数有意义，则需满足，或或，或，所以函数的定义域为．当，成立，即成立，所以且，可得，而，，，所以a的取值范围是解析：代入，使真数有意义，分段解绝对值不等式即可；由题成立转化为成立，再由x的范围即可解出a的范围．本题主要考查的是绝对值不等式的解法，及求参范围，是道综合题．。
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(理科)(5月份)
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝a2+2，S n为其前n 项的和，则＝（）A．6B．9C．12D．154．（5分）若夹角为120°的向量与满足|+|＝||＝2，则||＝（）A．1B．2C．D．45．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC．D．2π6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为2的直线1与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．B．C．D．8．（5分）若直线y＝x与曲线y＝lnx+ax相切，则a＝（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝010．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，若对任意t∈[﹣1，1]不等式f （2t2﹣m）+f（t）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．C．4πD．12．（5分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD区域种荷花，在△OBD区域修建水上项目．若∠AOC＝∠COD，且使四边形OCDB面积最大，则cos∠AOC＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）能说明命题“∀x∈R且x≠0，”是假命题的x的值可以是．（写出一个即可）14．（5分）已知F是双曲线M：的右焦点，点P在M上，O为坐标原点，若，则M的离心率为．15．（5分）河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书．如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点的概率为．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；④若x1＜x2＜x3，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x3﹣x1的最小值为4．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B 交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）求AB与平面A1BD所成角的正弦值．18．（12分）2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．（结论不要求证明）19．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C ＝sin2A+sinBsinC．（1）求A；（2）从三个条件：③△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）﹣lna，若g（x）存在两个极值点x1，x2，求g（x1）+g（x2）的最小值．21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：．2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）答案与解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．2．【分析】通过分母实数化，求出z即可．【解答】解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z＝＝＝2+i故选：A．3．【分析】先由a1＝1，a3＝a2+2求出公比q，再利用前n项的和公式求出结果．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0．∵a1＝1，a3＝a2+2，∴q2＝q+2⇒q＝2．∴＝＝1+q3＝9，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的应用，把|+|＝2两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论．【解答】解：∵|+|＝2，∴2+2•+2＝4，即||2+4||cos120°+4＝4，则||＝2，或||＝0（舍），故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，则该几何体的体积为．故选：C．6．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0，T＝0，S＝1满足条件S＜15，执行循环体，T＝1，k＝2，S＝3满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝3，S＝6满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝4，S＝10满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝5，S＝15此时，不满足条件S＜15，退出循环，输出T的值为．故选：D．7．【分析】由题意画出图形，求出M的坐标，写出直线l的方程，与圆的方程联立求得N点横坐标，再由中点坐标公式求得r，进一步求出M与N的坐标，则答案可求．【解答】解：取y＝0，可得x＝1﹣r或x＝1+r，由题意可得，M（1﹣r，0），设直线l的方程为y＝2（x+r﹣1），联立，得5x2+（8r﹣10）x+3r2﹣8r+4＝0．由x M+x N＝1﹣r+x N＝，得x N＝．由MN的中点P恰好落在y轴上，得1﹣r++x N＝0，即r＝．∴M（﹣，0），N（，1），则|MN|＝＝．故选：B．8．【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合x＝lnx+ax，即可求出a的值．【解答】解：设切点为（x，y），由题意．∴，解得．故选：D．9．【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（﹣1，4），从而得到直线PF的斜率为﹣2，又PF⊥AB，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程．【解答】解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P（﹣1，4），∴直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．10．【分析】函数f（x）＝x3+3x，判断其奇偶性．不等式f（2t2﹣m）+f（t）≥0，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f（﹣t），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）＝x3+3x，f（﹣x）＝﹣x3﹣3x＝﹣f（x），∴函数f（x）为R上的奇函数．f′（x）＝3x2+3＞0，∴函数f（x）为R上的增函数．不等式f（2t2﹣m）+f（t）≥0，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f （﹣t），∴2t2﹣m≥﹣t，化为：m≤2t2+t，t∈[﹣1，1]．令g（t）＝2t2+t＝2﹣，t∈[﹣1，1]．∴t＝﹣时，函数g（t）取得最小值，g（﹣）＝﹣．则实数m的取值范围是m≤﹣．故选：D．11．【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O，在两个直角三角形△OAM，△A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求．【解答】解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，，设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，所以△PAC是等腰直角三角形．因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1．∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO ＝R．在直角三角形A 1ON中，，∴．在直角三角形APM中，OA2＝AM2+OM2，即，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π．故选：A．12．【分析】设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜），利用三角形面积公式可得S＝，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB面积最大时cos∠AOC的值．【解答】解：设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜），∵OC＝OB＝OD＝1，∴四边形OCDB面积S＝＝．则＝．由S′＝0，得4cos2θ+cosθ﹣2＝0，解得cosθ＝（舍）或cosθ＝，即θ＝arccos．又cosθ在（0，）上单调递减，∴当θ∈（0，arccos），即cosθ∈（，1）时，S＝单调递减，当θ∈（arccos，），即cosθ∈（0，）时，S＝单调递增，∴当cos∠AOC＝时，四边形OCDB的面积最大．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．【解答】解：，，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时14．【分析】设P的坐标，求出，的坐标，由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，求出P的横坐标，代入x02+y02＝4b2进而求出纵坐标，再将P坐标代入双曲线的方程可得a，b 的关系，由a，b，c之间的关系求出离心率．【解答】解：设P（x0，y0）由题意可得x0＞0，设y0＞0，＝（x0，y0），由题意|OP|＝2b，可得x02+y02＝4b2，＝（c，0），由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，可得x0＝b，y02＝3b2，y0＞0，将P点的坐标代入双曲线的方程可得：﹣3＝1，所以b2＝4a2，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故答案为：．15．【分析】共有n＝＝20种不同的路线，其中该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p点的概率．【解答】解：一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有n＝＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，该质点经过p点的概率为P＝．故答案为：．16．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知，f（x）关于点（1，0）对称，另外令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，，可以作出函数的图象，然后逐一判断每个选项即可．【解答】解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴函数f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个零点，即③正确；④取x1＝﹣1，x2＝0，x3＝1，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但x3﹣x1＝2＜4，即④错误．∴正确的是①③．故答案为：①③．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【分析】（1）取AB中点E，先利用中位线的性质可证BO∥BB1且，再由已知条件可得且CD∥BB1，进而得到，则四边形EODC为平行四边形，故OD∥EC，由此得证OD∥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量以及平面A1BD的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值．【解答】解：（1）取AB中点E，连接CE，OE，在四边形BODC 中，E为AB中点，O为AB1中点，∴BO为△ABB1的中位线，故BO∥BB1且，∵D为CC1中点，∴且CD∥BB1，∴，∴四边形EODC为平行四边形，∴OD∥EC，且BC在平面ABC内，∴OD∥平面ABC；（2）取BC中点F，根据已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则，∴，设平面A 1BD的一个法向量为，则，可取，设AB与平面A1BD所成角为θ，则，即AB与平面A1BD所成角的正弦值为．18．【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．【解答】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），∴年增加的平均数为：＝0.5万亿元．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，依题意P（A）＝1﹣＝．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．19．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理求出cosA，结合A的范围可得A的值．（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解．【解答】解：（1）∵sin2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC，∴由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cosA＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）若选择，因为A＝，a＝，由正弦定理，则△ABC的周长l＝a+b+c＝2sinB+2sinC+＝2sinB+2sin（﹣B）+＝3sinB+cosB+＝2sin（B+）+，因为B∈（0，），所以＜B+＜，sin（B+）≤1，即△ABC周长的取值范围是（2，3），，因为A＝，b＝，由正弦定理可得a＝，c＝＝＝+，可得△ABC的周长l＝a+b+c＝++＝+＝+，因为B∈（0，），所以0＜，所以0＜，即△ABC 周长的取值范围是（2，+∞），若选择③△ABC的面积为，因为A＝，S△ABC＝bcsinA＝bc＝，可得bc＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，即△ABC 的周长l＝a+b+c＝+b+c，因为b+c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以l≥+4＝6，即△ABC的周长的取值范围是[6，+∞）．20．【分析】（1）求导，令f′（x）＝0得x＝1或，接下来分0＜a＜2，a＝2及a＞2讨论即可；（2）依题意，可得，设，利用导数求h（x）的最小值即可得出答案．【解答】解：（1），因为a＞0，由f′（x）＝0得x＝1或，①若0＜a＜2，则，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得0＜x＜1或，∴若0＜a＜2，则f（x）在（0，1）递增，在递减，在递增；②若a＝2，则，f（x）在定义域（0，+∞）递增；③若a＞2，则，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得或x＞1，∴若a＞2，则f（x）在递增，在递减，在（1，+∞）递增；（2）由g（x）＝f（x）﹣lna得g′（x）＝f′（x），由（1）知，g（x）有两个极值点时，a＞0且a≠2，不妨设，，∴，设，则h′（x）＝lnx﹣ln2+1，由h′（x）＜0得，h（x）在上单调递减，由h′（x）＞0得，h（x）在上单调递增，∴x＞0时，，∴当a＞0且a≠2时，g（x1）+g（x2）的最小值为．21．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．【解答】解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）由对称性设P（6，t），其中t＞0，则直线A1P的方程为：y ＝（x+3），直线A2P的方程为：y＝（x﹣3），设Q（x1，y1），R（x2，y2），由消x可得（9+t2）y2﹣6ty＝0，由于y＝0，所以y 1＝，由消x可得（1+t2）y2+2ty＝0，由于y＝0，所以y 2＝﹣，所以四边形A1QA2R的面积为S＝|A1A2|•|y1﹣y2|＝＝＝，由于t＞0，设m＝，又y＝m+在[2，+∞），所以y＝m+，故S＝≤3，当且仅当m＝2，即t＝时，四边形A1QA2R的面积的最大值为3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（），所以，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．【解答】解：（1）f（x）＝，∴不等式f（x）≤4等价于或或，解得﹣≤x≤﹣1或﹣1＜x＜1或x＝1，∴不等式的解集为[﹣，1]；（2）由（1）可知，f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝2，∴m＝2，即a2+b2+c2＝2，根据柯西不等式得（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）＝6，故．。
2020年高考模拟云南省昆明一中高考数学模拟测试卷(理科) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．33．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．35．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．511．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|0＜x≤e}，∴A∩B＝（0，e]．故选：D．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．3【分析】设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵，∴2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，即3a+bi＝3﹣i，解得a＝1，b＝﹣1，∴复数z＝1﹣i的模为．故选：C．3．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【分析】根据AQI指数值越小，表明空气质量越好，及其折线图即可判断出正误．解：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误，故选：C．4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据若1717+a＝（18﹣1）17+a，把（18﹣1）17按照二项式定展开，分析可得a 的值．解：若1717+a＝（18﹣1）17+a＝1817﹣•1816+•1815﹣•1814+…+•18﹣+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则﹣+a＝0，则a＝1，故选：B．5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c＝1，由离心率可得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为+＝1，故选：A．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【分析】先结合二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求解：因为f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x＝﹣cos2x+＝2sin（2x﹣），又f（）＝2sin＝2取得函数的最大值，所以函数f（x）的图象的一条对称轴为x＝，故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出a的取值是以3为周期而变化的，从而得出程序运行后输出的a值．解：n＝1，a＝；n＝2，a＝﹣1；n＝3，a＝2；n＝4，a＝；…，a的值构成3为周期的数列，因为2020＝3×673+1，所以当n＝2020时，a＝．故选：D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π【分析】由题意可得当球O1的轴截面是△SAB的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．解：设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球O1的体积最大时，球O1的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB＝＝（SA+SB+AB）•r，解得：r＝，所以球O1的体积的最大值为（）3＝，故选：A．9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．【分析】利用数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，可得n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减，证明数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，即可求出这个数列的通项公式．解：∵数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，①∴n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②①﹣②可得a n＝3a n﹣3a n﹣1，∴a n＝a n﹣1，∵n＝1，S1＝3a1﹣2，∴a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴，故选：A．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】根据圆周角定理得到AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10＝2c，由此求得c＝5；结合双曲线的定义求得a＝，所以根据双曲线离心率的公式解答．解：由已知得AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10，所以c＝5，又﹣＝2a，所以a＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故选：C．11．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】讨论a＜0和a≥0时，得出f（0）是函数f（x）的最小值时满足的不等式，求出解集即可．解：当a＜0时，函数f（x）的最小值为f（a），不满足题意；当a≥0时，要使f（0）是函数f（x）的最小值，只须≥a2+2，即4+a≥a2+2，解得﹣1≤a≤2，综上知，实数a的取值范围是[0，2]．故选：D．12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由⊥知，当满足与+同向时，|++|取得最大值，讨论||＝1、2、3时，求出|+|的值，即可得出|++|的最大值．解：因为⊥，所以当满足与+同向时，|++|取得最大值，当||＝1时，|+|＝＝2，所以|++|的最大值为1+2；当||＝2时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为2+；当||＝4时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为4+；综上知，|++|的最大值是4+．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得B（2，0），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×2+2×0＝6．故答案为：614．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝4．【分析】求出＝n2，从而（k+2）2﹣k2＝20，由此能求出k的值．解：因为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，所以＝n2，因为S k+2﹣S k＝20，所以（k+2）2﹣k2＝20，解得k＝4．故答案为：4．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为1＜a＜．【分析】画出函数的图象，利用方程根的个数，转化为直线与曲线位置关系，转化为方程，解出即可．解：要满足方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰好有三个不等的实根，则直线y＝x+a与y＝在x＞0相切以上（不含相切）和直线y＝﹣x+a过点（1，1）以下（不含过该点的直线），当直线y＝﹣x+a与y＝相切时，即＝﹣x+a，所以1＝﹣x2+ax，所以△＝0，所以a＝1（﹣1舍去），当直线y＝﹣x+a过点（1，1）时，a＝，所以1＜a＜．故答案为：1＜a＜．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．【分析】由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x．可得四棱锥O﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD．解：由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，所以＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x＝6．所以四棱锥O﹣ABCD的体积＝V P﹣ABCD＝×××62＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知可得（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，由于cos C≠2，可求cos C＝﹣，进而可求C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）由cos2C+3cos（A+B）＝1，可得2cos2C﹣3cos C﹣2＝0，（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，因为cos C≠2，所以cos C＝﹣，可得C＝．（2）由c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得a2+b2+ab＝4，4﹣ab＝a2+b2≥2ab，ab≤，所以S△ABC＝ab sin C≤×＝，当a＝b＝时，△ABC面积的最大值为．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用古典概型，求解概率，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，转化求解即可．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18.，，×，×，．因此X的分布列如下：X69121518P所以X的数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．【分析】（1）通过证明AP⊥BC，AP⊥BG，得到AP⊥平面PBC，面PAD⊥平面PBC．（2）利用V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由AP⊥PB，可得以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，再建立空间直角坐标系求解．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD＝AB，四边形ABCD为为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面APBQ，又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，因为BG⊥面APC，AP⊂平面PAC，所以AP⊥BG，因为BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因为AP⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBC．（2）解：V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由（1）知AP⊥PB，所以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，即PA＝PB＝时，（V P﹣ABC）min＝mn≤•＝．以AB中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），P（1，0，0）．设为平面APC的一个法向量，则，可取x＝1，则，因为四边形APBQ为平行四边形，△APB为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为，所以cos，＞＝＝，所以sin，＞＝，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．【分析】（1）设直线l：y＝kx+2，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件x1x2+y1y2＝0，即可求出p＝1，从而求出抛物线C的方程；（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠OMA＝∠OMB得k MA+k MB＝0，由（1）知，代入上式化简得到＝0，显然k ≠0，所以t＝﹣2，故存在M（0，﹣2）满足条件．解：（1）设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2﹣2pkx﹣4p＝0，则，所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝4，由OA⊥OB得，∴x1x2+y1y2＝0，∴﹣4p+4＝0，∴p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y．（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，若∠OMA＝∠OMB，则k MA+k MB＝0，∴＝＝＝＝＝0，显然k≠0，∴t＝﹣2，∴存在M（0，﹣2）满足条件．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可求．解：：（1），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；故f（x）≥f（1）＝1，故f（x）的最小值为1．（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣lnx≥1即lnx≤x﹣1，所以ln（1+）≤＝＝，k∈N*，n≥2，则ln（1+）+ln（1+）+＝＜ln2，即ln（1+）（1+）…（1+）＜ln2，所以（1+）（1+）…（1+）＜2．又因为（1+）（1+）…（1+）＞1，故对任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m的整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）依题意可得，抛物线C的普通方程为y2＝2x．则抛物线的准线的普通方程为x ＝﹣，化为极坐标方程即是．（2）将直线的参数方程程为（t为参数，0＜α＜π），代入抛物线的普通方程y2＝2x，化简整理得t2sin2α﹣2t cosα﹣1＝0，所以，．所以＝，当时，|AB|取得最小值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．【分析】（1）将a＝2代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）＜2即可；（2）直接利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣4|﹣|2x+8|＝．∵f（x）＜2，∴x＞2或，∴x＞2或，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）∵f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|＝12，∴f（x）的最大值为12．。
2020年云南曲靖高三一模数学试卷(理科)
(
，
)，求证：
．
【答案】 1. B
解析: 集合 ∵ 集合 ∴ 故 正确．
2. D 解析: ∵复数 满足 则
． ．
．
，
， ∴复数 在复平面内对应点所在象限为第四象限． 故选 ．
3. C 解析: ∵ ∴ 得
又
， ，
， ，
7
而
，
代入
，
得
，
∴
．
故选： ．
4. A
解析:
∵对数函数
14. 若二项式
的展开式中 的一次项的系数是 ，则
．
4
相切， ．
15. 已知函数
围为
．
与
的图象有三个不同交点，则实数 的取值范
16. 在四面体
中，
此四面体，得到截面四边形
，则四边形
，
，用平行于 ， 的平面截
面积的最大值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成绩显著，尤其是城市环境卫生大为改
由
，
，解得
，
．
，
消去 整理得 根据题设有：
， ，
且
，
，
因为
，
所以
，
将
，
代入，化简得：
，
∵
，∴
，
此时
且
，解得
．
故
，
15
又
，为定值． ∴
，
当且仅当 综上：
即
时等号成立．
的最小值为 ．
22.（ 1 ）
，
．
（2） ．
解析:
2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(理科)(6月份)(含答案解析)
020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合0，1，，，则A. B. 0， C. 0， D. 1，3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如图：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4.已知点在双曲线的一条渐近线上，该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 45.已知点，，则A. 1B.C.D. 26.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为A. 216B. 108C.D. 367.材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中这个公式被称为海伦秦九韶公式．材料二：阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为A. B. 3 C. D. 68.已知函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则的最小值为A. 8B. 4C. 2D. 19.如图1，已知PABC是直角梯形，，，D在线段PC上，将沿AD折起，使平面平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图对于图2，下列选项错误的是A. 平面平面PBCB. 平面PDCC. D.10.已知F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，则p的值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知函数，是的唯一极小值点，则实数k的取值范围为A. B. C. D.12.在中，，，有下述四个结论：若G为的重心，则；若P为BC边上的一个动点，则为定值2；若M，N为BC边上的两个动点，且，则的最小值为；已知P为内一点，若，且，则的最大值为2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．14.若“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．15.在ABC中，，，，D在线段AB上，若与的面积之比为3：1，则______．16.某校同时提供A、B两类线上选修课程，A类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A类、B类课程中的一类学习，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共______分．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项等比数列，为的前n项和，若，．求数列的通项公式；从三个条件：；；中任选一个作为已知条件，求数列的前n项和．18.已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为正三角形，M是PC的中点，过M的平面平行于平面PAB，且平面与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE．在图中作出四边形不必说出作法和理由；若，求平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：左焦点为，经过点的直线l与圆：相交于P，Q两点，M是线段与C的公共点，且．求椭圆C的方程．与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求的面积．20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重单位：克，其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数X的数学期望；小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格第0格开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格从第k格到第格，，若掷出2点，即从当前位置向前行进两格从第k格到第格，行进至第31格获得福袋或第32格谢谢惠顾，游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，1，2，，，．求、，并写出用、表示3，，的递推式；求，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．21.已知，，．若，证明：；对任意都有，求整数a的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线过点，倾斜角为以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程；若l与C相交于A，B两点，M为线段AB的中点，且，求．23.设函数．当时，求函数的定义域；设，当时，成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，复数z所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：D解析：解：集合0，1，，1，2，3，，1，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A，通过计算可得1至5月的利润分别为，，，，，故A错误；对于B，由A所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B错误；对于C，同理可得C错误；对于D，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D正确，故选：D．利用收入与支出单位：万元情况的折线统计图直接求解．本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.答案：C解析：解：根据点在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为，所以有，根据双曲线中a，b，c的关系，可以得，所以有，故选：C．利用已知条件推出a，b的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：B解析：解：点，，，故选：B．利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：．故选：B．首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：中，，，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，如图所示；则，，，所以椭圆的标准方程为；由图形知，当点A在椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值；此时的面积为．故选：C．由题意知点A的轨迹是椭圆，写出椭圆的标准方程，求出面积的最大值．本题考查了椭圆的定义与应用问题，也考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：函数，把的图象向左平移个单位所得的图象为，即，，，的最小值为4；故选：B．由条件利用函数的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．9.答案：A解析：解：如图，图1中，则图2中，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，则，故选项C正确；由平面ABCD，平面PDC，得平面平面ABCD，而平面平面，平面ABCD，，平面BDC，故选项B正确；，平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，则，即是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．由已知利用平面与平面垂直的性质得到平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面平面ABCD，结合判定B正确；再证明平面PAD，得到为直角三角形，判定D正确；由错误的选项存在可知A错误．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：C解析：解：由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，可得轴，可得圆的直径为2，半径为1，可得P的横坐标为2，P的纵坐标为1，即，，即，将P的坐标代入抛物线的方程可得，所以，故选：C．由题由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，可得轴，再由可得P的横坐标为2，即圆的直径为2，半径为1，所以P的纵坐标为1，将P的坐标代入抛物线的方程可得p的值．本题考查抛物线的性质及圆与x轴相切的性质，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题可知，，是的唯一极小值点，恒成立，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，即．故选：D．对函数求导可得，因为是的唯一极小值点，所以恒成立，即，令，则，易知当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以，即，故而得解．本题考查利用导数研究函数的极值，还用到了构造法，将原函数的极值问题转化为新函数的恒成立问题是解题的关键，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．则，，．，．对于，由重心坐标公式，可得，则，，，故正确；对于，设，则，则，故错误；对于，不妨设M靠近B，，则，得，则．当时，取得最小值为，故正确；对于，由，且P为内一点，，得，即，则的最大值小于2，故错误．所有正确结论的编号是．故选：A．以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断；设，把用含有t的代数式表示判断；不妨设M靠近B，，则，求得M与N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求最值判断；由向量加法的平行四边形法则结合图形求得与的范围判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．13.答案：10解析：解：因为，所以为x的系数；故；故答案为：10．转化为求x的系数，即可得到结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14.答案：解析：解：“”是真命题，；故答案为：．根据对数函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，是一道基础题．15.答案：1解析：解：因为与的面积之比为3：1，故AD：：1；故BD；；；故答案为：1．先根据面积之比求得BD，再代入余弦定理即可求解．本题考查三角形的实际应用，考查计算能力．16.答案：180 190解析：解：依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共分；设选择A类课程x次，B类课程y次，则依题意有，，目标函数为，作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示，将平移，由图可知，当移至点P时，目标函数取得最大值，联立，解得，故最大值为，即最多可以获得总积分共190分．故答案为：180，190．依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，易知此时总积分为180分；设选择A类课程x 次，B类课程y次，建立关于x，y的线性不等式租，作出可行域，进而求得最大值．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：设数列的公比为，，，故：，解得，由，解得，；若选：由题意知：，此时数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和若选：由题意知：，；若选：由题意知：，此时数列是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和．解析：设数列的公比为，由题设条件分别列出q与的方程，解出q与，就可求出；若选：由题设条件求得，再利用等比数列的前n项和公式求得；若选：由题设条件求得，再利用分组求和法求得；若选：由题设条件求得，再利用等差数列的前n项和公式求得．本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及数列前n项和的求法，属于基础题．18.答案：解：如图，四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，依题意，，，，，且，平面PAD，则，为正三角形，且O为AD中点，平面ABCD，，，，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，，4，，4，，0，，2，，则2，，2，，0，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面BME的一个法向量b，，则，取，得，则．平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值为．解析：四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，推导出，，平面PAD，，从而平面ABCD，，，，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．19.答案：解：由圆：可得，因为，所以，即，又，故，所以椭圆C的方程为；设，，为线段PQ的中点，则，，又，解得，，若，则，直线l的方程为，由解得，即，所以的面积，若，同理可求得的面积，综上所述，的面积为．解析：由题意可得，所以，可得a的值，又，可求出b的值，从而得出椭圆C的方程；由，结合，可求处点A的坐标，分情况讨论即可求出的面积．本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：要图可知，苹果的重量在内的频率为：，一顾客从该果园购买了30个苹果重量在内的个数为X，则，故E个；买家要行进至第1格的情况只有1种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第1格，其概率为，则，买家要行进至第2格的情况有以下两种：当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为，当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为，则，买家要行进至第i格2，3，的情况有以下两种：当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i格，其概率为，当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i格，其概率为，则，2，，由得：，即，2，，故数列2，是首项为，公比为的等比数列，，2，，，即，2，，故买家行进至第31格获得福袋的概率为，故买家行进至第32格谢谢惠顾的概率为，由于，故买家行进至第31格获得福袋的概率大于买家行进至第32格谢谢惠顾的概率，故小张推出的此款游戏活动更有利于卖家，解析：求出频率，代入公式，求出数学期望值即可；买家要行进至第1格的情况只有1种，依次写出买家要行进至第2格的情况以及买家要行进至第i格2，3，的情况，求出递推公式即可；求出数列2，是首项为，公比为的等比数列，得到，2，，计算，判断即可．本题考查了求概率，数学期望以及等比数列的性质问题，考查递推公式，是一道综合题．21.答案：解：设，则．注意到，因为，因为，则在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得则在时单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．因为对任意的，不等式，即恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，则，因此，下面证明，在区间恒成立，由知，则，故H，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以，在上恒成立，综上所述，整数a的最大值为2．解析：设，，求导得且，再求，得在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得，得在时单调递增，在上单调递减，，，进而在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即可得证．根据题意得对任意的，不等式恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，所以，得，接下来证明，在区间恒成立，即可得整数a的最大值为2．本题考查导数的综合应用，参数的取值范围，属于中档题．22.答案：解：直线过点，倾斜角为则直线的参数方程为：为参数．曲线C的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为．将直线的参数方程代入，得到：，所以，由于M为线段AB的中点，所以，整理得，整理得：解得，舍去，整理得：，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：时，要使函数有意义，则需满足，或或，或，所以函数的定义域为．当，成立，即成立，所以且，可得，而，，，所以a的取值范围是解析：代入，使真数有意义，分段解绝对值不等式即可；由题成立转化为成立，再由x的范围即可解出a的范围．本题主要考查的是绝对值不等式的解法，及求参范围，是道综合题．。
2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x2≥9}，则A∩(∁R B)=()A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)2.复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1),c⃗=(3,−2),若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则m的值是()A. 72B. −53C. −3D. 34.若a=log21.5,b=log20.1 , c=20.2，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c5.等差数列{a n}中，若a5=6，a3=2，则公差为()A. 2B. 1C. −2D. −16.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C：大约增加了20％，则λ的值约为()(参考数据：1g2≈0.3，103.96≈9120)A. 7596B. 9119C. 11584D. 144697.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若|AB|=4，则抛物线C的方程为()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x8.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是()A. 7B. 8C. 9D. 109.函数f(x)=xlg|x−1||x|的函数图象是()A. B.C. D.10.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为()A. 4π3B. 4πC. 2π3D. 2π11.已知双曲线C1:x24−y2k=1与双曲线C2:x2k−y29=1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为()A. y=±√32x B. y=±√62x C. y=±√34x D. y=±√64x12.已知函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则实数a的取值范围为()A. (−1,1)B. [−1,1]C. [−√2,√2]D. (−√2,√2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1=2，且a 1，a 2，a 3−2成等差数列，则{a n }的前n 项和为____．14. (√x +1x )10的展开式中x 2的系数是______．15. 已知函数f(x)={2+x , −2≤x ≤0 ,12f(x −2) , 0<x ≤4.若函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，则实数a 的取值范围为______．16. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E,F 分别是AD,BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. “移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”，某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识．学习结束后，每人都进行限时答卷，得分都在[50,100]内．在这些答卷(有大量答卷)中，随机抽出200份，统计得分绘出频率分布直方图如图．(1)求出图中a 的值，并求样本中，答卷成绩在[80,90)上的人数；(2)以样本的频率为概率，从参加这次答卷的人群中，随机抽取4名，记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ，求X 的分布列和期望．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f(B)=1，a+c=1，求b的取值范2围．19.如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC．(1)求证：平面ACF⊥平面ABCD;(2)求二面角A−FC−B的余弦值．20.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)≥x −1．21. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，长轴端点与短轴端点间的距离为√5． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点D(0,4)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，O 为坐标原点，当∠EOF 为直角时，求直线l 的斜率．22. 在平面直角坐标系xOy 中，C 1:{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ=2√3cosθ，射线l ：θ=π6(ρ>0).(1)求C 1的极坐标方程；(2)若C 1与y 轴的交点为P(异于原点)，射线l 与C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．23.设函数f(x)=|2x−a|．(1)当a=3时，解不等式，f(x)<|x−2|．(2)若f(x)≤1的解集为[0,1]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，是基础题．根据复数的代数表示及其几何意义直接写出即可．解：复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为(0,1)，故选A．3.答案：C解析：解：由题意知，a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1)，∴a⃗−b⃗ =(−1−m,3)，∵(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，c⃗=(3,−2)，∴−3(1+m)−6=0，解得m=−3，故选C．根据向量的减法运算，求出a⃗−b⃗ 的坐标，再由向量垂直的等价条件求出m的值．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标等价条件，根据题意代入公式求解即可．4.答案：D解析：解：log20.1<log21.5<log22=1，20.2>20=1；∴b<a<c．故选：D．容易得出log20.1<log21.5<1,20.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．5.答案：A解析：解：∵a5=6，a3=2，则公差=a5−a32=6−22=2．故选：A．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：由题意得：Wlog2(1+λ)−Wlog2(1+1999)Wlog2(1+1999)≈20%，则log2(1+λ)log22000≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2=1.2lg2000=1.2(lg2+3)≈1.2(0.3+3)=3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．本题主要考查了函数模型的实际应用，以及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x A+x B.再利用弦长公式|AB|= x A+x B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．解：抛物线y 2=2px 的焦点F(p 2,0)，∴直线AB 的方程为y =x −p 2，代入y 2=2px 可得4x 2−12px +p 2=0∴x A +x B =3p ，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +p =4p =4∴p =1，∴此抛物线的方程为y 2=2x ．故选：B ． 8.答案：D解析：解析：本题考查了本题考查了循环结构及茎叶图的认识．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选D ．9.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠1}，当x =3时，f(3)=3lg23=lg2>0，故排除D ；当x =−3时，f(−3)=−3lg43=−lg4<0，故排除C ； 当x =12时，f(12)=12lg 1212=lg 12<0，故排除B ； 故选：A ．取特殊值验证即可．本题考查函数图象的确定，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面等腰直角三角形的底边长为2，底面三角形的高为：1，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：1．其外接球的球心是底面斜边的中点，故外接球的半径R=1，∴外接球的表面积S=4πR2=4π，故选：B．通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径(半径)是解答的关键．11.答案：B解析：解：双曲线C1：x24−y2k=1与双曲线C2：x2k−y29=1有相同的离心率，可得√4+k2=√k+9√k，解得k=6，双曲线C1：x24−y26=1的渐近线方程为：y=±√62x．故选：B．求出双曲线的离心率，得到k的方程求出k，然后求解双曲线C1的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：D解析：本题考查了函数单调性的运用求解参数问题，利用了导函数研究原函数的极值，属于中档题．利用导函数研究其单调性即可得答案．解：若函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则有根，因为e x>0，所以有根，因为，所以a∈[−√2,√2]，当a=√2时，f(x)单调递减，没有极值，当a=−√2时，f(x)单调递增，没有极值，所以实数a的取值范围为(−√2,√2)．13.答案：2n+1−2解析：本题考查等比数列求和，涉及等差中项的应用，属于基础题．由题意和等差数列的性质易得数列{a n}的公比q，然后由等比数列的求和公式可得答案．解：因为数列{a n}为等比数列，且a1=2，a1，a2，a3−2成等差数列，所以2a2=a1+a3−2=2+a3−2=a3，所以公比q=a3a2=2，所以{a n}的前n项和为2×(1−2n)1−2=2n+1−2．故答案为2n+1−2．14.答案：45解析：解：∵(√x+1x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10−3r2，令10−3r2=2，求得r=2，故展开式中x2的系数是C102=45，故答案为：45．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：(1,3]解析：本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数解析式的求解，属于中档题．求出f(x)的解析式，做出f(x)的函数图象，令y=log2(a−x)与f(x)的图象有两个交点，列出不等式组解出a的范围．解：当0<x ≤2时，−2<x −2≤0，∴f(x)=12f(x −2)=12(2+x −2)=12x ，当2<x ≤4时，0<x −2≤2，∴f(x)=12f(x −2)=14(x −2)，作出y =f(x)的函数图象如图所示：∵函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，∴y =f(x)与y =log 2(a −x)的函数图象在[−2,4]上有两个交点．又y =log 2(a −x)是减函数，且与x 轴的交点横坐标为a −1，∴{0<log 2a ≤20<a −1≤2或{0<log 2a ≤2log 2(a −2)>12<a −1<4或{log 2a >20<log 2(a −2)≤12<a −1≤4， 解得1<a ≤3．故答案为：(1,3]．16.答案：√62解析：本题考查了四面体的特征以及平面得基本性质与应用. 将四面体补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，在长方体中可解决问题．：解：补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL +KN =√5， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则，可得，，当且仅当NK =KL 时取等号，故答案为√62． 17.答案：解：(1)依题意，(2a +3a +7a +6a +2a )×10=1⇒a =0.005，故成绩在[80,90)上的频率为60a =0.3，答卷成绩的人数为200×0.3=60人，(2)由样本的频率分布直方图成绩在80分以上的频率为80a =25，由题得X ∼B (4,25)， 故P (X =0)=C 40(25)(35)4=81625,P (X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P (X =2)=C 42(25)2(35)2=216625, P (X =3)=C 43(25)3(35)=96625,P (X =4)=C 44(25)0(35)4=16625，所以X 的分布列为X 的数学期望为E (X )=4×25=85．解析：本题考查频率分布直方图及离散型随机变量的期望和分布列问题，属于一般题．(1)利用频率分布直方图求a 和人数问题； (2)离散型随机变量求分布列和期望．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)=√3sinxcosx −cos 2x =√32sin2x −12cos2x −12=sin(2x −π6)−12， ∵ω=2，∴T =π；(2)∵f(B)=12， ∴sin(2B −π6)=1，∵B 为三角形内角，∴2B −π6=π2，即B =π3，由b 2=a 2+c 2−2accosB,a +c =1,cosB =12，得b 2=3(a −12)2+14，又a +c =1，则0<a <1，∴14≤b 2<1，即b ∈[12,1)．解析：(1)根据倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据ω=2，得到函数f(x)的最小正周期．(2)由f(B)=12，可得B =π3，结合a +c =1及余弦定理，结合二次函数的图象和性质，得到b 的取值范围．本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键． 19.答案：(1)证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，∵FA =FC ，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO ⊥AC ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°， ∴FD =FB ，∴FO ⊥BD ，又AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)解：易知OA ，OB ，OF 两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，∴OB =1，OA =OF =√3，故O(0,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)，∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面BFC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +√3z =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)， 显然，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为平面ACF 的一个法向量， ∴cos <OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√155， 由图知，二面角A −FC −B 的平面角为锐角，∴二面角A −FC −B 的余弦值为√155．解析：(1)AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，证明FO ⊥AC ，FO ⊥BD ，推出FO ⊥平面ABCD ，然后证明平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BFC 的一个法向量，平面ACF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −FC −B 得余弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：(Ⅰ)解：设切线的斜率为k ，f′(x)=lnx +1，k =f′(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y −0=1⋅(x −1)，化简得：y =x −1．(Ⅱ)证明：要证：f(x)≥x −1只需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，g′(x)=lnx +1−1=lnx当x ∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x =1时g(x)min =g(1)=1⋅ln1−1+1=0g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立 所以f(x)≥x −1．解析：(Ⅰ)设切线的斜率为k ，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．(Ⅱ)要证：f(x)≥x −1，需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可本题考查切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)由已知c a =√32，a 2+b 2=5，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(4分)(2)根据题意，过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在，设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0， △=(32k)2−240(1+4k 2)=64k 2−240，令△>0，解得k 2>154.(6分) 设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−32k 1+4k 2 , x 1x 2=601+4k 2，(8分)因为∠EOF 为直角，所以OE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=0，所以(1+k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16=0，(10分)所以15×(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k =±√19.(12分)解析：(1)利用椭圆的离心率，以及长轴端点与短轴端点间的距离为√5，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0，令△>0，设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)由题意，曲线C 1：{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)， 由x =1−t 21+t 2，可得x =21+t 2−1∈(−1,1]， 又由y =(1+t)21+t 2，可得y −1=2t 1+t 2，所以y ∈[0,2]， 所以x 2+(y −1)2=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=1，即x 2+(y −1)2=1，又由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得ρ2cos 2θ+(ρsinθ−1)2=1⇒ρ=2sinθ(除外)， (2)射线l ：θ=π6(ρ>0)，C 1与y 轴的交点为，当θ=π6时，，，又点P到射线l的距离为√3，所以S△PAB=S△OPB−S△OPA=12×√3(ρA−ρB)=√3，即△PAB的面积为√3．解析：本题考查参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题．(1)消去参数求得曲线C1的直角坐标方程为x2+(y−1)2=1，x∈(−1,1]，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；(2)当θ=π6时，ρA=1，ρB=3，再由S△PAB=S△OPB−S△OPA，即可求解．23.答案：解：(1)当a=3时，不等式变形为|2x−3|<|x−2|，两边平方整理得3x2−8x+5<0，解得1<x<53，所以不等式的解集为{x|1<x<53}(2)证明：由f(x)≤1，得a−12≤x≤a+12，由f(x)≤1的解集为[0,1]，可得a−12=0，a+12=1，解得a=1，则1m +12n=1，所以m+2n=(1m +12n)(m+2n)=2+2nm +m2n≥2+2√2nm⋅m2n=4，当且仅当m=2n=2，取得等号．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用两边平方的方法；同时考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．(1)对不等式两边平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；(2)求出f(x)≤1的解集，由题意解得a=1，即1m +12n=1，再运用乘1法和基本不等式即可得证．。
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A. {x|x＞-2}B. {x|0＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|-2＜x＜1}2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. -1B. 1C. iD. -i3.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A. 8πcm2B. 12πcm2C. 16πcm2D. 20πcm24.已知，则sin2x的值为（）A. B. C. D.5.二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x3项的系数为10，则n=（）A. 8B. 6C. 5D. 106.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A. B. C. D.7.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.B.C.D.9.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 4810.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A.B.C.D.11.已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.12.已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（）A. B.C. （1，+∞）D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不共线向量、，=t-（t∈R），=2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．15.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为______．16.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为____.三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，x∈[1，5]．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1，2）的红包个数为X，求X的分布列和期望．19.如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M-AC-D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=ln x，g（x）=x-1．（1）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）≤g（x）；（3）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．22.如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．24.设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：A．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.答案：A解析：解：===-i．∴复数的虚部是-1．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算，求得=-i．由此能求出复数的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．4.答案：D解析：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选：D．解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5.答案：C解析：解：由二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式的通项T r+1=x n-r得：令n-r=3，得r=n-3，所以==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，故选：C．由二项式定理得：==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．6.答案：C解析：解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25-2×（5-2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．7.答案：D解析：解：由于函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+），当x=时，f（x）=0，故该函数图象关于点（，0）对称，故选：D．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23-×22×1=．故选：B．由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．9.答案：C解析：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选：C．首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题.模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1；不满足条件n＞5，S=1+，n=2；不满足条件n＞5，S=1++，n=3；不满足条件n＞5，S=1+++，n=4；不满足条件n＞5，S=1++++，n=5；不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6；满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．11.答案：C解析：解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，两边平方得x2＞（2x-1）2，即3x2-4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，把不等式f（x）＞f（2x-1）转化为|x|＞|2x-1|，求出解集即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．13.答案：解析：【分析】本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用向量共线定理、向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=t-（t∈R），=2+3，A、B、C三点共线，∴存在实数k使得，t-=k（2+3），化为（t-2k）+（-1-3k）=，∵向量、不共线，∴，解得t=-．故答案为：-．14.答案：9解析：解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x-y有最大值9．首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x-z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x-z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x-y中即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．15.答案：解析：解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得：9=4+c2-2c，即c2-2c-5=0，∴解得：c=1+，或1-（舍去）．故答案为：．由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2-2c-5=0，解方程即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．16.答案：A解析：【分析】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．17.答案：解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n=4n-1，n∈N*．（2）∵a n=4log2b n+3=4n-1，∴b n=2n-1．∴，n∈N*．∴，①①×2得：，②∴．故．解析：（1）根据a n=解出；（2）求出b n，使用错位相减法求和．本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．18.答案：解：（I）由频率分布直方图可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，∴X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴X的分布列为：X0123P∴E（X）=3×=．解析：（I）由频率分布直方图的性质可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得分布列，进而定点数学期望．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M-AC-D∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，∴cos∠ABM=，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．解析：（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN 是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值．本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2-12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=-1，所以•k=-1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．解析：（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx-2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）∵，∴f'（1）=1．又由f（1）=0，得所求切线l：y-f（1）=f'（1）（x-1），即所求切线为y=x-1．（2）设h（x）=f（x）-g（x）=ln x-x+1，则，令h'（x）=0，得x=1，得下表：x（0，1） 1（1，+∞）h（x）单调增函数极大值单调减函数∴h（x）≤h（x）max=h（1）=0，即f（x）≤g（x）．（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．（ⅰ）当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；（ⅱ）当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，令φ'（x）=0，得．得下表：x（0，）（，+∞）φ（x）增函数极大值减函数φ'（x）+ 0-∴．即不满足不等式．综上，a≥1．解析：（1）求出导函数，求出切线的斜率，然后求解函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）求出函数的导数，求解f（x）的最大值，函数g（x）的最小值即可；（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．通过（ⅰ）当a≥1时，（ⅱ）当a≤0时，判断是否满足题意；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，利用函数的导数的符号判断函数的单调性求解函数的极值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.答案：（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．解析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．23.答案：解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x-y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．解析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．24.答案：解：（1）函数f（x）=|2x+2|-|x-2|=，当x＜-1时，不等式f（x）＞2，即-x-4＞2，求得x＜-6，∴x＜-6;当-1≤x＜2时，不等式f（x）＞2，即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2;当x≥2时，不等式f（x）＞2，即x+4＞2，求得x＞-2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜-6}；（2）由f（x）的单调性可得f（x）的最小值为f（-1）=-3，若∀x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，只要-3≥t2-t，即2t2-7t+6≤0，∴求得≤t≤2．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）求出函数f（x）的分段函数，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（2）由f（x）的单调性求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，再根据f（-1）≥t2-t，求得实数t的取值范围．。
2020年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2020+a2020=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2020年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行向量的坐标关系便可求出x=，从而得出，这便可得出的值．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【考点】三角函数的最值．【分析】利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos （2x ﹣）的图象，故选：D ．8．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2020+a 2020=（ ） A ．B ．C ．D ．5【考点】数列递推式．【分析】a 1=，a 2=，a n a n+2=1，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2，a 4n ﹣2=，a 4n =3．即可得出． 【解答】解：∵a 1=，a 2=，a n a n+2=1， ∴a 3=2，a 5=，…，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2． 同理可得：a 4n ﹣2=，a 4n =3． ∴a 2020+a 2020=3+=．故选：C ．9．“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的等价命题“a +b=±2”，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切 则圆心（a ，b ）到直线x +y=0的距离等于半径 即=，即|a +b |=2即a +b=±2故“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的充分不必要条件 故选A10．已知变量x 、y 满足条件，则z=2x +y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．3C ．7D ．12【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得=，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【考点】函数的值．【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【考点】正弦定理．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：S n+2S n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，可得3a 1﹣2a 1=2，解得a 1．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得a n =3a n ﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I ）可得：S n =3n ﹣1．作差代入S n+2S n ﹣＜0，即可证明．＜．【解答】（I ）解：∵对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，∴3a 1﹣2a 1=2，解得a 1=2． 当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得3a n ﹣3a n ﹣1﹣2a n =0，化为a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n =2×3n ﹣1．（2）证明：由（I ）可得：S n ==3n ﹣1．∴S n+2S n ﹣=（3n+2﹣1）（3n ﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n ＜0， ∴S n+2S n ＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…随机变量X的数学期望．…19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…∴，∴BC•CD=BD•CE．…解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…2020年8月2日。
2020年云南省高考数学一模试卷(理科)-普通用卷
高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则P的真子集共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知i为虚数单位，则=（）3.A. B. C. D.设向量=（x-1，x），=（-1，2），若，则x=（）A. B.-1 C. D.4.在（x-）的二项展开式中，x的系数等于（）A.-180B.C.D.1805.执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）6.A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm）为（）1063A.108+24πB.72+16πC.96+48πD.96+24π7.为得到函数 y =sin3x - x 的图象，只需要将函数 y =2cos3x 的图象（）A.C.向左平行移动 个单位向左平行移动 个单位B.D.向右平行移动 个单位向右平行移动 个单位8.9.已知 α，β 都为锐角，若 tanβ= ，cos （α+β）=0，则 cos2α 的值是（）A.B. C. D.已知 M 是抛物线 C ：y =2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经 过点 N （1，0），设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P ，Q 两点，则线段 PQ 的中 点的纵坐标为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810. 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC = ，BD 平分∠ABC 交AC 于点 D ，BD =2， △则ABC 的面积的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 双曲线 M 的焦点是 F，F ，若双曲线 M 上存在点 P ， △使PF F 是有一个内角为的等腰三角形，则 M 的离心率是（）A. B. C.D.12. 已知 e 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 x ，y 满足 log y +log x = ，若 log y ＞l ，xyx则 x ln y 的最小值为（ ）A.-1B. C. D.-二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）2 1 2 1 213. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______．14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）=______15. 已知函数f（x）=，若f（m）=-6，则f（m-61）=______．16. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{an }中，a=2，（n+1）（a-a）=2（a+n+1）．1n+1nn（1）求a，a的值；23（2）已知数列{a }的通项公式是a=n+1，a=n+1，a=n+n中的一个，设数列{}n n n n的前n项和为S，{a-a }的前n项和为T，若＞360，求n的取值范围．n n+1n n18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；A型节排器B型节排器总计优质品非优质品总计500500100022（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为 A 、B 两种不同型号的节排器 性能质量有差异？附：K =．其中 n =a +b +c +d ．P （K 2≥k ） 00.100.0100.001 k 02.7066.63510.82819. 在四棱锥 P -ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且∠ABC = ，M ，N 分别为棱 AP ，CD 的中点．（1）求证：MN ∥平面 PBC ；（2）若 P D ⊥平面 ABCD ，PB =2AB ，求平面 PBC 与平 面 PAD 所成二面角的正弦值．20. 已知椭圆 E 的中心在原点，左焦点 F、右焦点 F 都在 x 轴上，点 M 是椭圆 E 上的 1 2动点 △，F MF 的面积的最大值为 ，在 x 轴上方使个．（1）求椭圆 E 的方程；=2 成立的点 M 只有一（2）过点（-1，0）的两直线 l ，l 1 2 分别与椭圆 E 交于点 A ，B 和点 C ，D ，且 l ⊥l 1 2， 比较 12（|AB |+|CD |）与 7|AB ||CD |的大小．2 1 221. 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）用min{m，n}表示m，n的最小值，设x＞0，g（x）=min{f（x），x- }，若函数h（x）=g（x）-cx在（0，+∞）上为增函数，求实数c的取值范围．222. 已知常数a是实数，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为1极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2（1）写出C的普通方程与C的直角坐标方程；12（2）设曲线C与C相交于A，B两点，求|AB|的最小值．1223. 已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵S ={0，1，2}，T ={0，3}； ∴P =S ∩T ={0}；∴P 的真子集为：∅，共 1 个．故选：B ．根据集合 S ，T ，即可求出 P ={0}，从而得出集合 P 的真子集为∅，共 1 个． 考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义．2.【答案】C【解析】解：====故选：C ．分子分母同乘以分母的共轭复数 1-i ，化简即可． 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题．根据即可得出 2（x -1）+x =0，解出 x 即可．【解答】解：∵， ∴2（x -1）+x =0，．∴故选 C ．4.【答案】D【解析】解：（x - ） 的二项展开式的通项公式为 T = r +1•（-2） •x ，令 10-2r =6，求得 r =2，可得 x 的系数为•（-2） =180，故选：D ．在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 6，求出 r 的值，即可求得 x 的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题．5.【答案】C第 6 页，共 16 页10 r 10-2r 6 2 6【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4…第2019次运行，S=，a=2020刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件a ＞2019，则退出循环，输出S的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体．∴该零件的体积V=π×22×6+6×6×3=108+24π．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：函数y=sin3x-x，转换为y=2sin（3x-）的图象．将y=2cos3x的图象转换为y=2sin（3x+），该图象向右平移个单位，即可得到y=2sin（3x-）的图象．故选：D．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由 β 为锐角，且 tan β= ，联立，可得 sin β= ，cos再由 α，β 都为锐角，可得 0＜α+β＜π，又 cos （α+β）=0，得 α+β= ，则 cos α=sin β= ．．∴cos2α=2cosα-1=．故选：B ．由已知求得 sin β，进一步求得 cos α，利用二倍角的余弦求解 cos2α 的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基 础题．9.【答案】A【解析】解：设 M （x ，y ），0 0∵以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经过点 N （1，0），∴x 0+1=，又 y =2px ．∴p =2． 即可得抛物线方程为 y =4x ．由y +y =4，12⇒y -4y -4b =0．∴线段 PQ 的中点的纵坐标为 故选：A ．=2设 M （x ，y ），可得 x +1=，又 y =2px ．求得 p =2．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得答案．本题考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：设∠A =α，则0＜α＜ ，∠C =π- -α= -α，∵∠ABC = ，BD 平分∠ABC交 AC 于点 D ，BD =2，∴∠ABD =∠CBD =在三角形 ABD 中，∠ADB =π- -α= -α，由正弦定理可得=，2 20 0 22 2∴AB==，在三角形CBD中，∠CDB=π--（-α）=+α，由正弦定理可得，∴BC=∴△ABC面积=，S=AB•BCsin=××=•=•，=（2+）=（2+），∵0＜α＜，∴＜2α+＜，∴＜sin（2α+）≤1，∴当sin（2α+）=1时，即α=时，△ABC面积S最小，最小值为•（2+6）=4，故选：B．设∠A=α，则0＜α＜，根据正弦定理表示出AB，BC，即可表示出三角形的ABC的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出本题考查了正弦定理的应用，三角形函数的化简，三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．11.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，∠PF F=120°，且|PF|=|F F |=2c，12121可得|PF|=2=2c，则|PF|-|PF|=2a，即为221c-2c=2a，可得e= = =．故选：C．可设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，运用余弦定理和双曲线的定义，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：log y+log x=，可得log y+x y x解得log=2或log=，x x=，∵logx y＞l，y y∴log xy =2，∴ =2，即 ln y =2lnx ， ∴x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞）， ∴f ′（x ）=2（1+ln x ），当 0＜x ＜ 时，f ′（x ）＜0，函数 f （x ）单调递减，当 x ＞ 时，f ′（x ）＞0，函数 f （x ）单调递增，∴f （x ） =f （ ）=- ，min故 x ln y 的最小值为- ，故选：D ．由题意可得 log =2，即可得到 x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞），求导，根 据导数和函数最值得关系即可求出本题考查了导数和函数的最值得关系，考查了运算求解能力，属于中档题． 13.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图：由 z =y -x 得 y =x+z ，平移直线 y =x +z ，由图象可知当直线 y =x +z 经过 点 A 时，直线 y =x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得 A （1，3），此时 z =3-1=2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.【答案】8【解析】解：∵随机变量 ξ 服从正态分布 N （1，2），∴D （ξ）=2，则 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）=8． 故答案为：8．由已知求得 D （ξ），再由 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）得答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题． 15.【答案】-4【解析】【分析】当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，由此能求2出 m 的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】y x2 2 m -2解：∵函数 f （x ）=，f （m ）=-6，∴当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，2解得 m =63，∴f （m -61）=f （2）=3 -5=-4．故答案为：-4． 16.【答案】16π【解析】解：如图，∵PA ⊥PD ，∴△APD 为 △R t ，∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，取 AD 中点 G ，在平面 ABCD 内，过 G 作 AD 的垂线，则四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在该垂线上， 又 AD=DC =AB =2，BC =4，求得∠ADC =120°， 过 D 作 AC 的垂线，两垂线相交于 O ，则O △为ADC 外接圆的圆心，也是四棱锥 P -ABCD 的外接球的球 心，△则ADC 外接圆的半径即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的半径，设为 R ，由，得 R =2．∴球 O 的表面积为 S =4π×2 =16π．故答案为：16π．由题意画出图形，可 △知ADC 外接圆的圆心即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的球心，由正 弦定理求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 17.【答案】解：（1）数列{a }中，a =2，（n +1）（a -a ）=2（a +n +1）．n1n +1 nn则：，．（2）由数列{a }的通项公式是 a =n +1，a =n +1，a =n +n 中的一个和 a =6， n n n n 2得到数列{a }的通项公式为：n=n （n +1）．所以：则：所以：，=（1- ）+（ ．）+…+（ ）=1-．由于（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=a -a ，a =n （n +1）， 213 2 n +1 nn+1 1n所以：（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=n （n +3）．2 13 2 n +1 n即：，由：，m -2 2-2 2 2 2 2解得：n＞17或n＜-21故n的取值范围是：n＞17且为正整数．【解析】（1）首先利用数列的通项公式求出第二项和第三项．（2）利用裂项求和和叠加法，求出前n项和，进一步建立不等式求出n的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法和裂项求和在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）M所在的分组区间为[70，80）．（2）列联表如下：优质品非优质品总计A型节排器180320500B型节排器140360500总计3206801000（3）由于K==≈7.352＞6.635，故有99%的把握认为A，B两种不同型号的节排器性能质量有差异．【解析】（1）根据中位数的定义进行判断即可（2）根据条件完成列联表（3）根据表中数据得到K的值，结合独立性检验的性质进行判断即可本题主要考查独立性检验的应用，根据列联表中的数据进行计算是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】（1）证明：设PB的中点为G，连接MG，GC，∵M，G分别为AP，PB的中点，∴MG∥AB，且MG=，由已知得CN=，且CN∥AB，∴MG∥CN，且MG=CN．∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN∥GC．∵MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN∥平面PBC；（2）解：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0），∴设，），A（，0，0），D（0，-，0），B（0，，0），C（，0，，，是平面PBC的一个法向量，22则，令x=1，得．同理可求得平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．则平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为=．【解析】（1）设PB的中点为G，连接MG，GC，由三角形中位线定理可得MG∥AB，且MG=，结合已知得到MG∥CN，且MG=CN，则四边形MGCN是平行四边形，求得MN∥GC，再由线面平行的判定可得MN∥平面PBC；（2）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：（1）根据已知设椭圆的E的方程为+=1，（a＞b＞0），c=，∵在x轴上方使∴在x轴上方使=2成立的点M只有一个，=2成立的点M是椭圆E的短轴的端点，当点M是短轴的端点时，由已知可得，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为+=1，（2）12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若直线AB的斜率为0或不存在时，|A B|=2a=4，且|C D|==3，或|C D|=2a=4，且|A B|==3，由12（|AB|+|CD|）=12（3+4）=84，7|AB||CD|=7×3×4=84，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若AB的斜率存在且不为0时，设AB=k（x+1），k≠0，由可得（4k+3）x+8k x+4k-12=0，设A（x，y），C（x，y），则x+x=-1 12212•∴|AB|=|x-x|=12，x x=12=，，2222同理可得|CD|==，∴+= =，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．综上所述12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．【解析】（1）由题意可知：由已知可得，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（1）=，又f（1）=，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=；（2）证明：∵F（x）=f（x）-x+，f（x）=，∴F（1）=＞0，F（2）=＜0，∴F（1）•F（2）＜0，则在（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，00∵F′（x）=，∴当x≥2时，F′（x）＜0，当0＜x＜2时，由x（2-x）≤，得F′（x）≤∴F（x）在（0，+∞）上是减函数，＜0．∴若x1＞0，x＞0，x≠x，则F（x）≠F（x），21212∴函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）解：g（x）=∵函数F（x）只有一个零点x，，∴F（x）=0，即．∴，故h（x）=．∴h（x）在（0，+∞）上为增函数⇔h′（x）≥0在（0，x0），（x，+∞）上恒成立．0当x＞x时，h′（x）=0，即在（x，+∞）上恒成立．0设u（x）=（x＞x），只需c≤[u（x）]，minu′（x）=，u（x）在（x，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，u（x）的最小值，则c．当0＜x＜x时，h′（x）=1+恒成立．，由上述得，c＜0，则h′（x）＞0在（0，x）上综上所述，实数c的取值范围是（-∞，]．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）由F（x），得F（1）=＞0，F（2）=＜0，可得（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，然后利用导数证明F（x）在（0，+∞）上是减函数，可得函数F（x）0只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）由题意写出h（x）=，由函数F（x）只有一个零点x，可得．把h（x）在（0，+∞）上为增函数转化为h′（x）≥0在（0，x），0（x，+∞）上恒成立．然后分类求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为1（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y-8x-16=0．曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay，y）B（ay，y），1122由于得到：y-8ay-16=0，所以：y+y=8a，y y =-16，1212，所以：：|AB|=．=当a=0时，|AB|=8，所，22第15 页，共16 页【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|，由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3，解得：-2≤x≤4，故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}；（2）①当a＞2时，＜2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= -3，min由题设得-3≥4，解得：a≥；②当a＜2时，＞2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= +3，min由题设得-+3≥4，解得：a≤-综上，a的范围是（-∞，-]∪[，，+∞）．【解析】（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷
2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．（5分）若复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算．【解答】解：z＝＝．所以|z|＝．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，集合，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{1}D．{2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，集合，∴B＝{x|1≤x＜2}，∴A∩B＝{1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β【分析】由题设条件，平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件，并能灵活组织这些材料作出证明，故也考查了推理论证的能力．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝a n+a（n∈N*，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量，，满足＝，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A．1005B．1006C．2010D．2012【分析】先可判断数列{a n}为等差数列，而根据＝，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010＝1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值．【解答】解：由a n+1＝a n+a得，a n+1﹣a n＝a；∴{a n}为等差数列；由＝，所以A，B，C三点共线；∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1，∴S2010＝×2010＝1005．故选：A．【点评】考查等差数列的定义，三点A，B，C共线的充要条件：＝x+y，且x+y ＝1，等差数列的通项公式，及等差数列的前n项和公式．5．（5分）执行如图所示的程序框图，令y＝f（x），若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，5]B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，5]【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数f（x），讨论a的取值情况，求出f（a）＞1时的解集即可．【解答】解：执行该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）＝，当a≤2时，由f（a）＝a2＞1，解得：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，当2＜a≤5时，由f（a）＝2a﹣3＞1，解得a∈（2，5]；当a＞5时，由f（a）＝＞1，解得a∈∅；综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，5]．故选：D．【点评】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了不等式与分类讨论的应用问题，是综合题．6．（5分）已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．7．（5分）已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：＝0.4x+．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（）A．66B．68C．70D．72【分析】由题意求出、，代入线性回归方程求得，再计算x＝105时的值．【解答】解：由题意知，＝x i＝×475＝95，＝y i＝×320＝64，代入线性回归方程＝0.4x+中，得64＝0.4×95+，解＝26；所以线性回归方程为＝0.4x+26，当x＝105时，＝0.4×105+26＝68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．8．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（）A．18B．10C．﹣14D．﹣22【分析】运用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程解方程可解决此问题．【解答】解：根据题意得，q≠1∴a+a2＝2 ①a3＝﹣8 ②又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8∴q2＝﹣4﹣4q解得q＝﹣2，a1＝﹣2∴S5＝﹣22故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用及二元一次方程的解法．9．（5分）函数f（x）＝2x﹣4sin x，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）＝﹣2x﹣4sin（﹣x）＝﹣（2x﹣4sin x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．【解答】解：∵函数f（x）＝2x﹣4sin x，∴f（﹣x）＝﹣2x﹣4sin（﹣x）＝﹣（2x﹣4sin x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）＝2x﹣4sin x的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）＝2﹣4cos x，由f′（x）＝0得cos x＝，故x＝2k（k∈Z），所以x＝±时函数取极值，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．10．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【分析】根据|+|＝|﹣|，可知∠AOB＝90°，故原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，可求得a的值．【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决此问题的关键．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF2|＝|F1F2|，且e sin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可得sin∠MF1F2＝＝，运用双曲线的定义可得4b﹣2c＝2a，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，可得e的方程，解方程可得e．【解答】解：依题设，|MF2|＝|F1F2|＝2c，∵e sin∠MF1F2＝1，∴sin∠MF1F2＝＝，∴等腰三角形MF1F2底边上的高为2a，∴底边MF1的长为2＝4b，由双曲线的定义可得4b﹣2c＝2a，∴2b＝a+c，∴4b2＝（a+c）2，即4b2＝a2+2ac+c2，∴3e2﹣2e﹣5＝0，解得e＝（﹣1舍去）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法和转化思想，以及运算能力，属于中档题．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）＝1，且2f'（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g （1）＝0，进而根据f（2cos x）＞﹣2sin2可得2cos x＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣，则g′（x）＝f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）＝f（1）＝0，∴g（2cos x）＝f（2cos x）﹣cos x＝f（2cos x）﹣cos x，令2cos x＞1，则g（2cos x）＞0，即f（2cos x）＞+cos x，又∵x∈[﹣，]，且2cos x＞1∴x∈（﹣，），故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，难度中档．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（5分）已知二项式展开式所有项的系数和为﹣1，则展开式中x的系数为﹣80．【分析】根据所有项的系数之和为（1+a）5＝﹣1，求得a＝﹣2，可得展开式中x的系数【解答】解：在的展开式中，令x＝1，可得所有项的系数之和为（1+a）5＝﹣1，∴a＝﹣2，∴展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C5r x10﹣3r，令10﹣3r＝1，解得r＝3，∴展开式中x的系数为（﹣2）3C53＝﹣80，故答案为：﹣80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，若x+2y＞m2+2m恒成立，则xy的最小值为8，实数m的取值范围为（﹣4，2）．【分析】x+2y＝xy等价于+＝1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝xy，∴+＝1，∴1＝+≥，∴xy≤8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x+2y≥2≥8（当x＝2y时，等号成立），∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2故答案为：8；（﹣4，2）【点评】考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换．应注意基本不等式中等号成立的条件．15．（5分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是．【分析】需从剩余的5个人中再选出2个，所有的选法有种，女生乙被选中的选法有种，由此求得要求事件的概率．【解答】解：由于甲已经选中，故需从剩余的5个人中再选出2个，问题转化为古典概率来求．所有的选法有＝10种，则女生乙被选中的选法有•＝4种，故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于＝，故答案为．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．16．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】由题意可知，四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．【解答】解：平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：；所以球的体积为：＝；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.，若f（A）＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f （x）＝sin（2x+）+，利用正弦函数的单调性即可计算得解．（2）由题意可得sin（2A+）＝，结合范围0＜A＜π，可求A的值，设角A，B，C 的对边分别为a，b，c，由正弦定理利用sin B＝3sin C，可得b＝3c，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b的值，从而可求三角形的周长．【解答】解：（1）因为＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•＝sin x cos x+cos2x ＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，可得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，（2）由题意可得：sin（2A+）＝，又0＜A＜π，所以＜2A+＜，所以2A+＝，解得A＝，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以a＝BC＝，又sin B＝3sin C，可得b＝3c，故7＝9c2+c2﹣3c2，解得c＝1，所以b＝3，可得△ABC的周长为4+．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，经计算得σ＝≈11.95，求Z落在（14.55，38.45）内的概率．（3）将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．附：若Z～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）通过正态分布，求出标准差，然后求解P（14.55＜Z＜38.45）＝0.6826，（3）根据题意得X～B（3，），求出概率得到分布列，然后求解期望值．【解答】解：（1）所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ＝≈11.95，∴P（14.55＜Z＜38.55）＝P（26.55﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率为0.6826．（3）根据题意得：X～B（3，），P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．∴X的分布列为：X0123PE（X）＝＝．【点评】本题考查了统计的基础知识，正态分布，以及分布列和期望的求法，属于中档题．19．（12分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1＝2，AB＝BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明BC⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定，证明AD⊥BC，AA1⊥BC 即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB1A1的法向量＝，平面ACE的法向量，利用平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，结合向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC∴AD⊥BC．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AD∩AA1＝A，AD⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．（2）解：∵BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1∴BC⊥AB．又BB1⊥AB，BB1⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，∴．从而，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2）由（1）知平面ABB1A1的法向量＝，令平面ACE的法向量，由，可得令得．∵平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°∴，解得a＝1所以当E为棱BB1中点时平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°．【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确掌握线面垂直的判定定理，合理建立空间直角坐标系是关键．20．（12分）已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用定义法可求得曲线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ty﹣与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．【解答】解：（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，则2a＝4且2c＝2，所以a＝2，c＝1，则b2＝3，所以曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为x＝ty﹣与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，则S△AOB＝|OM|•|y1﹣y2|＝•＝•＝，令3t2+2＝u，则u≥1，上式可化为＝≤＝，当且仅当u＝，即±时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x＝±y﹣．【点评】本小题考查圆锥曲线中的问题等知识．考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．【点评】本小题考查函数与导数的相关知识．函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，是难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2＝|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ＝．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．【解答】解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．【点评】本题考查了绝对值不等式有解问题和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题．。
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21. 已知 e 是自然对数的底数，函数 f（x）= 与 F（x）=f（x）-x+ 的定义域都是（0，
+∞）． （1）求函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：函数 F（x）只有一个零点 x0，且 x0∈（1，2）；
（3）用 min{m，n}表示 m，n 的最小值，设 x＞0，g（x）=min{f（x），x- }，若
高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则 P 的真子集共有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
2. 已知 i 为虚数单位，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 设向量 =（x-1，x）， =（-1，2），若 ，则 x=（ ）
于点 D，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11. 双曲线 M 的焦点是 F1，F2，若双曲线 M 上存在点 P，使△PF1F2 是有一个内角为
的等腰三角形，则 M 的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知 e 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 x，y 满足 logxy+logyx= ，若 logxy＞l，
附：K2=
．其中 n=a+b+c+d．
P（K2≥k0） k0
0.10 2.706
0.010 6.635
0.001 10.828
19. 在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且∠ABC=
，M，N 分别为棱 AP，CD 的中点．
（1）求证：MN∥平面 PBC； （2）若 PD⊥平面 ABCD，PB=2AB，求平面 PBC 与平 面 PAD 所成二面角的正弦值．
20. 已知椭圆 E 的中心在原点，左焦点 F1、右焦点 F2 都在 x 轴上，点 M 是椭圆 E 上的
动点，△F1MF2 的面积的最大值为 ，在 x 轴上方使
=2 成立的点 M 只有一
个． （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点（-1，0）的两直线 l1，l2 分别与椭圆 E 交于点 A，B 和点 C，D，且 l1⊥l2 ，比较 12（|AB|+|CD|）与 7|AB||CD|的大小．
（1）求 a2，a3 的值；
（2）已知数列{an}的通项公式是 an=n+1，an=n2+1，an=n2+n 中的一个，设数列{ }
的前 n 项和为 Sn，{an+1-an}的前 n 项和为 Tn，若 ＞360，求 n 的取值范围．
18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 A、B 两种不同型号的节排器，规定性 能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的 A、B 两种型号的节排器中， 分别随机抽取 500 件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40， 50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所 示的频率分布直方图：
则 xlny 的最小值为（ ）
A. -1
B.
C.
D. -
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
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13. 若 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z=y-x 的最大值等于______．
14. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，2），则 D（2ξ+3）=______
函数 h（x）=g（x）-cx2 在（0，+∞）上为增函数，求实数 c 的取值范围．
22. 已知常数 a 是实数，曲线 C1 的参数方程为
（t 为参数），以原点 O 为
极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cosθ=asinθ． （1）写出 C1 的普通方程与 C2 的直角坐标方程； （2）设曲线 C1 与 C2 相交于 A，B 两点，求|AB|的最小值．
A.
B. -1
C.
D.
4. 在（x- ）10 的二项展开式中，x6 的系数等于（ ）
A. -180
B.
C.
5. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值等于（ ）
D. 180
A.
B.
C.
D.
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1（单位 mm），粗实线画出的是某种零件的三 视图，则该零件的体积（单位：mm3）为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知 M 是抛物线 C：y2=2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x=-1 相切且经 过点 N（1，0），设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的中
点的纵坐标为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10. 在△ABC 中，内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，∠ABC= ，BD 平分∠ABC 交 AC
15. 已知函数 f（x）=
，若 f（m）=-6，则 f（m-61）=______．
16. 已知 P，A，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC， AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面 PAD⊥平面 ABCD，则球 O 的表面积为______
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 数列{an}中，a1=2，（n+1）（an+1-an）=2（an+n+1）．
（1）设 500 件 A 型产品性能质量评分的中位数为 M，直接写出 M 所在的分组区间
；
（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；
A 型节排器
B 型节排器
总计
优质品
非优质品
总计
500
500
1000
第 3 页，共 16 页
（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为 A、B 两种不同型号的节排器 性能质量有差异？
第 1 页，共 16 页
A. 108+24π
B. 72+16π
C. 96+48π
D. 96+24π
7. 为得到函数 y=sin3x-
x 的图象，只需要将函数 y=2cos3x 的图象（ ）
A. 向左平行移动 个单位
B. 向右平行移动 个单位
C. 向左平行移动 个单位
D. 向右平行移动 个单位
8. 已知 α，β 都为锐角，若 tanβ= ，cos（α+β）=0，则 cos2α 的值是（ ）