圆周运动等效重力场问题
微专题-方法系列 用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
方法系列
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题 试题
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典例
解析
小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重力做 功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重 力势能类比知，等效重力势能为Ep＝mg′h，其中h为小球距 等效重力势能零势能点的高度． (1)设小球静止的位置B为零势能点，由于动能与等效重力势 能的总和不变，则小球位于和B点对应的同一直径上的A点 时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球在A 点的速度为vA，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心 力，则 v2 A mg′＝m ， l
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题 答案 试题
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典例
解析
【典例】 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正 电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时， 细线与竖直方向夹角为θ，如图所示．现给小球一个垂直于 悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问： (1)小球在做圆周运动的过程中， 在哪一位置速度最小？速度最小 值多大？ (2)小球在B点的初速度多大？
gl cos θ 5gl cos θ
(1)A 点速度最小
(2)
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用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题 试题
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如图所示，小球受到的重力、静电力 mg 均为恒力，二力的合力为 F＝ . cos θ 重力场与电场的叠加场为等效重力场， F 为等效重力，小球在叠加场中的 等效重力加速度为 g′＝ 成 θ 角． g ，其方向斜向右下，与竖直方向 cos θ
方法系列
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
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高中物理中如何寻找等效最高点
高中物理中如何寻找等效最高点福建省宁化县第六中学王莉高中物理中的等效最高点和等效最低点，又称物理最高点和物理最低点，是相对于几何最高点和最低点而言的。
几何最高点和最低点是图形中所画的，符合人眼视觉习惯的最高点和最低点。
物理中等效最高点和最低点一般和等效“重力场”联系在一起，它们有时相同有时不同。
从动力学角度看，在复合场中，电场力和重力的合力为“等效重力”，将这个力类比成重力去分析处理问题，从而找到等效最高点、最低点。
比如：在匀强电场中，带电体受到的电场力和重力皆为恒力，可将重力和电场力进行合成，则合力F等效于重力，a=F/m为等效重力加速度，F的方向等效于“竖直向下”的方向。
类比只有重力场作用的情况，F所指的方向为等效最低点，与之相对的就是等效最高点。
物体在等效最低点时：速度最大；物体在等效最高点时：速度最小。
从能量角度来看，等效最低点是指重力势能与电势能之和最小的位置或者为动能最大的位置；干脆些说，就是在没有速度的情况下可以达到平衡的那个点就是等效最低点由于最高点和最低点关于圆心对称，找到等效最低点，根据对称性就可以找到等效最高点!（一）圆周运动问题中的等效最高点在圆周运动中，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题。
小球能维持圆周运动的条件是能过最高点。
这里的最高点是等效最高点，不一定是几何最高点。
而等效最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点。
等效最高点与几何最高点有时一致，有时不一致。
1、等效最高点与几何最高点重合例1 如图1，一根长为l的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大?此题中，只有重力场，在图中几何最高点A小球速度最小，因此A点也是物理中的最高点，由圆周运动的规律可知：临界速度v若此题中，小球带正电，另加一电场方向竖直向下的匀强电场E，如图2，由功能关系可知，A点仍是最小速度，为等效最高点。
圆周运动等效重力场问题
B圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置）速度最大、拉力最大临界最高点：重力提供向心力，速度最小等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。
最高、低点：T与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。
（g=10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到达C点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？VCY例2：在水平方向的匀强电场中，用长为L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小变式2：质量为的m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O点做半径为a圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b的圆周运动，求放松时间（3）小球做半径为b的圆周运动时绳子的拉力+练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为。
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。
(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。
②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。
③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。
该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
等效重力场一个题弄清所有知识点公开课获奖课件
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等效重力场 等效重力 等效重力加速度 等效“最低点” 等效“最高点” 等效重力势能
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匀强电场水平向右，大小E= 3mg，长为
3q
L绝缘轻细绳一段固定在O点，另一端连接一
种质量为m，电量为q带正电小球。
1.小球静止时绳和竖直方向夹角？
O
2.绳伸直，将小球在最低点静止释放，能摆过最
大角度？
3.使绳在O点右侧水平伸直，静止释放小球，
求小球在最低点速度大小和此位置时绳拉力？
4.使绳在O点左侧水平伸直，静止释放小 球，求小球在最低点速度大小？
5. 在最低点给小球至少多大速度，小 球能做圆周运动？
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匀强电场水平向右，大小E= 3mg，长为
3q
L绝缘轻细绳一段固定在O点，另一端连接一
E
O
R
300
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练习3
水平放置带电两平行金属板，相距d,质量为m 微粒由板中间以某一初速平行于板方向进入， 若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向 下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q，仍以相 似初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场， 则两板电势差应为多少？
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向上，则油滴在何时速度最小且求Fra bibliotek最小速度？v
E
A
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练习2
如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为
30°斜面，AC部分为竖直平面上半径为R 圆
轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处在场强
为E、方向水平向右匀强电场中。既有一质量
为m带正电，电量为
小球，要使小球能q 安3mg
全通过圆轨道，在O点初速度应为多大？ 3E
种质量为m，电量为q带正电小球。
O
等效重力场法(静电场)
m
v2 2 R
T2 6mg
R
B
拓展一
如果加上场强为E，方向竖直向上的匀强电场，而且小球带正电，电量大 小为q，且Eq>mg,刚好能在竖直平面内做圆周运动。 （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？ Eq
分析： 等效重力场： 重力场、匀强电场叠加而成的复合场 等效重力： 重力和电场力的合力 等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值
(Eq
mg)2R
1 2
mv12
1 2
mv22
T2
(Eq
mg
)
m
v2 2 R
v2
5(Eq mg )R m
T2 6(Eq mg )
拓展二
如果将电场的方向改为水平向右，且Eq=mg,此时 （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？
B点: 等效“最低点” A点：等效“最高点”
A
T
Eq
B
G
G'
解题步骤： 等效重力 G' 2mg
解：（1）小球在A点速度最小。
2mg m v12 R
v1
2gR T1 0
（2）小球在B点速度最大。
动能定理
2mg.2R
1 2
mv12
1 2
mv22
v2
5 2gR
T2
2mg m v22 R
等效重力场法
【知识回顾】
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在竖直平面内做圆 周运动。求： （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？
“等效重力场”模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法
2024版新课标高中物理模型与方法“等效重力场”模型目录一.“等效重力场”模型解法综述二．“等效重力场”中的直线运动模型三．“等效重力场”中的抛体类运动模型四．“等效重力场”中的单摆类模型五．“等效重力场”中的圆周运动类模型一.“等效重力场”模型解法综述将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法(如几个串、并联电阻器的总电阻)；叠加等效法(如矢量的合成与分解)；整体等效法(如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动)；过程等效法(如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能)“等效重力场”建立方法--概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二．“等效重力场”中的直线运动模型【运动模型】如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．(g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8)因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30°，大小：g =gcos30°带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g 的匀加速运动S AB=2L cos30° ①S AB=12g t2 ②由①②两式解得t=3L g“等效重力场”的直线运动的几种常见情况匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动1如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该微粒在D点时的电势能比在C点时的大B.该微粒做匀变速直线运动C.在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgdD.该微粒带正电，所带电荷量大小为q=mg E【答案】 C【解析】 由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，B、D 错误；微粒从C点运动至D点，电场力做正功，电势能减小，A错误；此过程中电场力对微粒做的功为W= Fx=mg(d-0.3d-0.2d)=0.5mgd，C正确．2(2023·全国·高三专题练习)AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。
高考典型例题等效重力场
高考典型例题等效重力场Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是 A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大2、、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：（1）小球最小动能等于多少(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少3、如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。
（g=10m/s 2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大（2）它到达C 点时对轨道压力是多大（3）小球所能获得的最大动能是多少4、水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少并说明上下板间带电性5、如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
高考典型例题等效重力场
运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。
中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比? 为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下： ? 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 ? 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 ? 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 ? 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 ? 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。
求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。
等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。
规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。
浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
解析 ： （ １ ） 小滑 块 刚 能通 过 轨 道 最高 点 的条 件 是
２ ｕ ｍｇ— ｍ － 百
，
中学 生效理化． 富二 高三 使用
动， 受重力、 静 电力 、 支 持 力 作
用， 然后在 圆弧轨 道上运 动， 受 重力、 静 电力 、 轨 道 作 用 力作 用 ，
解 得 一 、 ／ ／ Ｒｇ一 ２ ｍ／ ｓ 。小 滑 块 由释 放
滑 轨道 ＡＢ部分 为倾 角 ０ —３ Ｏ 。 的
斜面 ， ＡＣ部 分 为 竖 直 平 面 内半 径 为 Ｒ 的 圆弧轨 道 ， 斜 面 与 圆弧 图２
轨 道相 切 ， 整 个 装 置 处 于 场 强 为 Ｅ、 方 向 水 平 向 右 的
直 平 面与 电场 线平 行 ， 其 半径 Ｒ一４ ０ ｃ ｍ， 一 带 正 电荷
变， 粒 子将 做 非匀 速 圆周 运 动 ， 此 时 粒 子 的 向心 力 将
由这 些力 在 圆周 半 径 方 向 上 的 合 力 提 供 ， 通 常 利 用 牛顿 第二 定律 和 功能关 系解 决 相关 问题 。
一
圆周运 动 的等效 处 理
（ 一） 带 电粒 子 在 竖 直 面 内的 圆 周 运 动
点 到最 高 点 的 过程 中 ， 由动 能 定 理 得 ｑ ｓ Ｅ一， ｕ ｍｇ ｓ 一
１
２ ｍ ｇＲ ＝ ｉ
。
，
＿ 去 ＿ ｍｙ ＋２ ｍｇ Ｒ 解得 一 二 一２ ０ ｍ。
如 图 ３所 示 ， 类 比重 力 场 ， 将 静
图３
电力 与重 力 的 合 力 视 为 等 效 重 力 ｍｇ ， 其 大 小 为
Ｎ一 １ ．５ Ｎ 。
即ａ 一３ Ｏ 。 ， 等效 重力 的方 向与 斜 面 垂 直 指 向右 下 方 ，
等效重力场
等效重力场专题物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。
此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。
那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移练习：1. 在光滑水平面上的O 点系一长为L 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电量为q 的小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度0v ，使小球在水平面上开始运动．若0v 很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为A ．2mlqEπB ．ml qE πC ．2mlqEπD ．无法确定2. 如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，若在此过程中线始终绷紧，求（1）小球经过最低点时细线对小球的拉力． （2） 小球在什么位置时速度最大．3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强m v E /105.16⨯=，丝线长L=40cm ，上端系于O 点，下端系质量为41.010m kg -=⨯，带电量为104.910q C -=+⨯的小球，将小球从最低点A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ ⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？4. 如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。
(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。
②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。
③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。
该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
高考物理一轮复习圆周运动等效重力场问题
在 C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有： NC
qE
m VC2 R
……②
解得：VC
4qER 2gR 2m / s ………③ m
NC 5qE 2mg 3N …………………………④
（3）∵mg=qE=1N
∴合场的方向垂直于 B、C 点的连线 BC，从 B 到 D 由动能定理
3
mg 3
向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。最高点
应为等效重力方向上直径对应的点
B，则
B
点应满足“重力”当好提供向心力即： mg
mv
2 B
据动
R
能定理：
mg 2 R
1 2
mv
2 B
1 2
mv02
解得： v0
10 3gR 3
5
3
2
2
O B
300
C VC
A
VC D
Y
V D= (2 3 1)gL
变式 2：
（1）小球做半径为 a 的圆周运动，则 T= m v2 a
（2）由几何关系，S= a2 b2 vt ，得 t= a2 b2 v
（3）绳子拉紧瞬间径向速度立即消失，小球只剩切向速度 v va ，则 T ma2v2
练习 3：
E
O
R
300
图 3-1
E
N qE
R
300 mg
mg
图 3-2
B
R
O 300
图 3-3 mg
对 小 球 受 电 场 力 和 重 力 ， 将 电 场 力 与 重 力 合 成 视 为 等 效 重 力 mg ， 大 小
等效重力场
等效重力场等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 竖直上抛运动在电场强度为E,方向竖直向下的匀强电场中，以V 0初速度竖直向上发射一个质量为m 带电量为q 的带正电小球，求上升的最大高度。
类平抛运动例：如图所示，在方向竖直向下的匀强电场中，一绝缘轻细线一端固定于O 点，另一端系一带正电的小球在竖直平面内做圆周运动．小球的带电量为q ，质量为m ，绝缘细线长为L ，电场的场强为E ，若带电小球恰好能通过最高点A ，则在A 点时小球的速率v1为多大？小球运动到最低点B 时的速率v2为多大？运动到B 点时细线对小球的拉力为多大？例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？斜面类问题例5：如图所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。
杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角30=θ。
若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。
（2/10s m g =，60.037sin = ，80.037cos =）竖直平面内的圆周运动 例2：水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 0至少应为多大？在最低点时细绳的拉力多大？例3：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
高考典型例题：等效重力场
运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。
中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。
求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。
等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。
规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。
2024高考物理一轮复习--带电粒子在电场中的运动(三)--等效重力场、交变电场中的运动
等效重力场、交变电场、力电综合问题一、带电粒子在力电等效场中的圆周运动1．等效重力场物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”．2.3．举例二、带电粒子在交变电场中的运动1.此类题型一般有三种情况:一是粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解);二是粒子做往返运动(一般分段研究);三是粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
2.分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。
3.注重全面分析(分析受力特点和运动特点),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
4.交变电场中的直线运动（方法实操展示）5.交变电场中的偏转（带电粒子重力不计，方法实操展示）U -t 图轨迹图v y -t 图三、电场中的力、电综合问题1．带电粒子在电场中的运动(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题。
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。
一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。
2．处理带电粒子(带电体)运动的方法(1)结合牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理思路 ①利用初、末状态的能量相等(即E 1＝E 2)列方程。
①利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。
(3)常用的两个结论①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
等效法处理电场中的圆周运动
等效法处理电场中的圆周运动“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系及其规律。
具体如下：等效重力场 ⇔ 重力场、电场叠加而成的复合场等效重力 ⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔ 等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔ 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 ⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律：一、在重力场中:1、临界最高点：2mv mg l=得：v = 特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、最低点: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直，电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：二、复合场中：1、临界状态在等效“最高点”：2'mv mg l = 得：v = 等效“最高点” ：物体速度最小，绳的拉力最小。
特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、等效“最低点”: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相反 注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直例1 、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：（1）小球的最小动能是多少？（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04s 后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．。
2025高考物理总复习带电粒子在电场中运动的综合问题
0
又 t1= t2
联立解得
故在
4 5
9
t1= T= T
25
25
7
0~50 T
时间内发出的粒子均可打到 B 上,所以一个周期内发出的粒子打
7
到 B 上所占百分比约为 η=50 ×100%=14%。
归纳总结
带电粒子在交变电场中运动的研究类型和方法及注意问题
类型:通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
大小为2 =
23,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)物块第一次到达B点时的速度大小v1以及B、C两点间的距离x;
(2)小球过P点时的速度大小v以及S、C两点间的距离L;
(3)小球的质量。
2
答案 (1)gt1 10g1 -23R
(2)
5
2
9
R
5
(3)3m
解析 (1)物块从 A 点运动到 B 点的过程,根据牛顿第二定律有
解得
d=2
0
。
=
2 0 2
T
9
(3)若
φ=4φ0,d=5
2 0
,t0=2 ,设经过 t1 时间向上加速运动、再经过 t2 时间向
上减速运动的粒子恰好能打在 B 金属板上,粒子沿垂直金属板方向的运动有
1
2
0
·
2
·1 +
0
1
·
t1·
t2
2
·
·2 2 =d
行分析与研究。这类问题中常用到的基本规律有运动学公式、牛顿定律、
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圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）
等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向
②在复合场中找出等效最低点、最高点。
最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理
例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为
mg 3
3
，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力 变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，
其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且
.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，
在轨道的内侧运动。
（g=10m/s2）求：
（1）它到达C 点时的速度是多大 （2）它到达C 点时对轨道压力是多大 （3）小球所能获得的最大动能是多少
例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300
角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小 变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v （1）求此时绳子上的拉力
（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力
练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为
37=θ。
现将小球拉至位置A
⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力 练习
2：始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道
ABC 运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的
4
3，圆环的半径为R ，小球得质量为kg m 1.0=，斜面的倾角为
45=θ，R S BC 2=，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少是多少
练习3：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装
A E
B
置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一质量为m 的带正电，电量为E
mg
q 33=
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大
圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）
等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向
②在复合场中找出等效最低点、最高点。
最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理 变式1： 解：（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是V c ，对轨道的压力大小为N C ，则对于小球由A →C 的过程中，应用动能定律列出：
02
1
2.2-=
-C mV mgR R qE …………………① 在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：R
V m qE N C C 2
=-……②
解得：s m gR m
qER
V C /224=-=
………③ N mg qE N C 325=-=…………………………④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC ，从B 到D 由动能定理
)45cos 1(.)45sin 1(min ︒-+︒+===R mg qER Ep Ep E D KM J 5
2
=
…………⑥ 例2： 解：电场力F=mgtg300
=
3
3mg,F 合=2
2)(F mg +=332mg 与T 反向
从B 到C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动, S=3L 从B 到C 由动能定理：
22
1
3332mvc l mg = V CY 在绳子拉力作用下，瞬时减小为零，只剩V CX =V C sin600
=gL 3 从C 到D 运用动能定理: ︒+︒-30sin 333)30cos 1(3l mg l mg =21m V D 2--2
1m V CX 2
V D =gL )132(+ 变式2：
（1）小球做半径为a 的圆周运动，则T=a v m 2
（2）由几何关系，S=vt b a =+22，得t=
v
b a 2
2+ （3）绳子拉紧瞬间径向速度立即消失，小球只剩切向速度b va v =
'，则2
2
2b v ma T =' 练习1：⑴等效重力F 合=
mg mg 4
5
37cos =︒，电场力mg Eq 43=方向：与竖直方向的夹角
37
A
Y
E
从A 到C ，由动能定理221
43C
mv mgl mgl =
-代入数值得4.12≈=C v m/s （2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为T ，则
由圆周运动：l
mv mg T 2
45=-，从A 到B 由动能定理：221)37sin 1(4337cos mvB mgl mgl =︒--︒
联立得25.2=T N
练习2：等效重力F 合=mg 4
5
，与竖直方向夹角4
3
tan =
θ，即︒=37θ， 设圆环上的D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内完成圆周运动，则小球通过D 点的速度的最小值为 R g v '=
' ①
小球由A 点运动到D 点，由动能定理得
22
1
)sin 2(43)cos (v m R R h mg R R h mg '=++-
--θθ ② 代入数值，由①②两式解得R R h 5.17)25.35.12(≈+=
练习3：
大小应为等效重力方向上直径对应的点B ，则B R
B
据动
能定理：2
22
1212mv mv R g m B -=
'- 解得：3
3100gR v =。