二次函数(数形结合)
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。
二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。
在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。
通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。
可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。
数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。
当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。
如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。
通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。
数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。
通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。
如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。
通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。
数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。
在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。
通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。
数学人教版九年级上册数形结合求二次函数最值
数形结合求二次函数最值一、教学内容分析二次函数在中考中占有非常重要的地位，而二次函数在自变量给定区间内的最值在中考中频频出现，主要考察我们分类讨论和数形结合思想的应用。
这节课我们主要以二次函数为例，讨论影响二次函数在自变量给定区间的最值，主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴的位置。
而对称轴的位置是解决这类问题的关键。
二、教学目标设计知识与技能1、掌握运用数形结合求给定区间内的二次函数最值。
体会利用对称性比较函数值大小。
2、分类讨论思想求二次函数的最值。
过程与方法1、经历求最值、画图像，在给定区间内通过图像总结对称轴的位置与图像最值的关系，培养学生画图和推理能力。
2、结合图像与函数知识进行分类讨论求二次函数最值。
情感与价值1、渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生总结推理能力。
2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三、教学重难点重点：通过数形结合总结在区间内求二次函数最值的方法，知道对称轴的位置最为关键。
难点：运用分类讨论思想求二次函数最值。
四、教学方法：讲授发现法、分类讨论法五、教学过程（典型例题分析）1、教师以数学家华罗庚先生的话引入本节课内容。
“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体。
永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．教师以二次函数y=-2x2-4x+6为例通过让学生求顶点坐标画草图，让学生复习二次函数基本知识，接下来教师通过给定自变量范围：（1）当-4≤x≤-2时的最值情况（2）当-2≤x≤12时的最值情况y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8设计意图：学生复习求二次函数顶点坐标的方法和画草图的基本方法。
通过画草图体会准确图像的重要性。
让学生明确在自变量区间内对应的图像是抛物线的一部分从而找到对应的最值。
学生通过自变量的不同区间得出不同最值。
尝试得出结论：（1）当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。
二次函数复习(数形结合)
3、“以数助形”“以形解数”
例5：如图，已知二次函数 y ax 2 bx c(a 0)的图象过点C（0， ）， 5 x1 x2 4, x1 x2 5 与x轴交于两点A、B，且
3
求（1）A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；
y3
y B
1 x
y1 ax 2 bx c(a 0)
C A x
例2：二次函数y x (2 m) x 2m的图象与x轴 的两个交点A、B分别位于（－1，0）点 左侧，（1，0）点右侧，试求m的取值 范围。
2
y
-1
O
1
x
题型二：数促形，让感性的形多一分理性
例3：（2011广东肇庆）：已知抛物线 与 轴交于A（ x1，0）、B（ x 2，0）两点。 1 1 2 若 OB OA 3 (O是坐标原点)，求抛物线 的解析式。
5. 在同一坐标系内函数 y=ax2+bx+c 与y=ax-b（ab≠0）的图 D 象正确的是（ ）
y
a＞0 O
y
a＞0
x a＜0 O A ×
a＞0 y a＞0 b＞0 -b＞0 b＜0 x O C ×
y O x
x a＜0
B × D√
根据下面的函数图象，尽可能多的找出 结论. y （1）a＞0，b＜0， c＞0.
著名数学家华罗庚先生说：“数与形， 本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形 时少直觉，形少数时难入微，数形结合 百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几
何代数统一体，永远联系，切莫分离。”
数形结合
数形结合方法就是在解决和图形有关的问题时， 将图形信息转换成代数信息，从而转化为代数
二次函数中的数形结合
“素质杯”教学大赛教学设计学校山泉镇第二中学姓名唐荣鑫课题二次函数中的数形结合教学目标知识与技能会用数形结合思想解决二次行数问题，学生在探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系。
感悟数形结合在解题中的作用，培养学生探索、求知的浓厚兴趣。
过程与方法情感态度与价值观教学重点体会数形的关系，渗透数学思想及解题的方法和技巧教学难点应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力教学过程及实施策略师生互动一、问题导入思考：如图，已知二次函数y=x2+4x+3,请回答下列问题: （1）说出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点A、B的坐标,与y轴的交点C的坐标；（3）函数的最值和增减性；（4）x取何值时①y＜0 ；②y＞0二、新课传授例1：如图：已知：直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=- x2+bx+c 经过点B、C，点A 是抛物线与x轴的另一交点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）求A点的坐标。
（3）若抛物线顶点为D，求四边形ABDC的面积。
引入课题以问题带动知识点的回顾，引入数形结合通过画图像，应用数形结合思想解救问题：学生思考回答通过学生共同探究、研讨，合作、交流，增强学生学好数学的自信心。
D A例2：如图，已知抛物线y= a x2 +4ax+t (a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点c，抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为（-1，0）（1）求点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？并证明你的结论。
（3）当∠BCO=30 度时，求抛物线的解析式。
三、习题拓展已知二次函数图像顶点坐标为C（2，1），且经过A（1，0），图像与Y轴交于点D（1）求这个二次函数解析式（2）求与X轴的另一个交点B的坐标（3）_______________________________(学生自行设计，并给予解答)四、小结1、感悟数形结合在二次函数中的作用2、通过这节课请同学谈一谈你们有哪些收获？学生在合作探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系学生独立与合作相结合完成开放题目鼓励学生大胆说出自己体会板书设计二次函数中的数形结合教后反思。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
人教版九年级数学上册 二次函数之数形结合法 讲义
二次函数之数形结合法我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事休。
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
例题讲解：例1、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，求当y<0时，x的取值范围例2、抛物线y=x 2-2x+3过__________象限；抛物线y=-x 2-4x+9过__________象限例3、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A 、123y y y <<B 、213y y y <<C 、312y y y <<D 、132y y y <<例4、直线y=mx+n 和抛物线y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0的解集是 ．课堂练习1、函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限2、已知抛物线2y ax bx =+，当00a b ><，时，它的图象经过( )A.一、二、三象限B.一、二、四象限 C ．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限.3、不论x 为何值，函数()20y ax bx c a =++≠的值恒大于0的条件是( ) A.0a >，0∆> B.00a >∆<， C.00a <∆<， D.00a <∆>，4、二次函数()21212y x k x =--+，当1x >时，y 随着x 的增大而增大，当1x <时，y 随着x 的增大而减小，则 k 的值应取（ ）A 、12B 、11C 、10D 、95、若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )6、已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤07、已知函数y=x 2－2x －2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是 （ ） A 、－1≤x ≤3 B 、－3≤x ≤1 C 、x ≥－3 D 、x ≤－1或x ≥38、已知二次函数221,1=++>当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是______________ y x mx x9、已知二次函数2y ax x=-+与二次函数285=-+共顶点，若直线y=x+b与这两个抛物线恰好有三243y x x个公共点，则b的值为______________10、已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是12、点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=-（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1y213、对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2B．﹣4≤m≤﹣2C．m≥﹣4D．m≤﹣4或m≥﹣214、已知函数y=x2-2x-1，当0>x时，求使y≥2的x的取值范围15、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求 （1）一次函数和二次函数的解析式（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.16、二次函数y= ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
专题(八) 数形结合思想在二次函数中的应用-2021年高考数学核心素养系列专题
核心素养系列（八）数形结合思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行．对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，还要进行分类讨论．【典例1】[典例] 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【素养指导】根据题意做出图像，分别讨论区间落到不同位置上.【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋ 2.综上可知，f (x )min ＝221,0,1,01,22,1t t t t t t ⎧+≤⎪<<⎨⎪-+≥⎩【素养点评】解二次函数定区间问题的两点关注(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．【素养专练】若函数g (x )＝x 2＋2mx －m 2在[1，2)上存在最小值2，求实数m 的值．【解析】g (x )＝x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )2－2m 2，此二次函数图象的对称轴为直线x ＝－m .(ⅰ)当－m ≥2，即m ≤－2时，如图①g (x )在[1，2)上单调递减，不存在最小值；(ⅱ)当1<－m <2，即－2<m <－1时，如图②g (x )在[1，－m )上单调递减，在(－m ，2)上单调递增，此时g (x )min ＝g (－m )＝－2m 2≠2；(ⅲ)当－m ≤1，即m ≥－1时，如图③g (x )在[1，2)上单调递增，此时g (x )min ＝g (1)＝1＋2m －m 2，令1＋2m－m2＝2，解得m＝1.综上，m＝1.。
二次函数数形结合
（3）点(6, )为 与 的交点坐标，求 的值．
（4）在移动过程中，若 与 有两个交点，设 的对称轴分别交线段DE和 于M、N两点，若
MN< ，直接写出 的取值范围．
例3.抛物线 ： 与 轴交于A，B两点（A在B的左侧），与 轴交于点C(0, −3)
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线 向上平移7个单位长度，再向左平移 （ >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求 的取值范围；
（3）将 轴下方的抛物线图象关于 轴对称，得到新的函数图象C，若直线 与图象C始终有3个交点，求满足条件的 的取值范围．
【知识点二】二次函数与格点
（2） 为偶数，且 经过点A(1, 0)和B(2, 0)，通过计算说明点F(0, 2)和H(0, 1)是否在该抛物线上；
（3）若 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
练4.如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线 的解析式为 ．
格点问题
二次函数与格点问题解决方法:
①寻找二次函数特征②数形结合确定二次函数位置③代数进行计算
例4.如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线 的解析式为 （ 为整数）．
（1） 为奇数,且 经过点H(0, 1)和C(2, 1)，求 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（m为常数）交 轴于点M，N两点；
（1）当 = 2时，求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；
（2）对于抛物线 （ 为常数）．
(完整版)二次函数-数形结合
课程标题学习目标复习二次函数图像知识总结二次函数的综合题重点与难点二次函数的图像二次函数的数形结合问题学习过程※学习探究二次函数单独出现时不会很难，但为了达到综合考查的目的，二次函数往往会和几何类的知识一起综合出现，常见的有：直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、菱形....等。
下面就关于各种图形结合实例进行一一例讲：一、和三角形结合1.如图，抛物线和直线kkxy4-=(0<k)与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴1-=x与x轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．2.如图1－2－24，△OAB是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线经cbxxy++-=261过点A′和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．3.已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=12SΔPAB，求点P的坐标．4.在ΔABC中，∠ABC＝90○，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示），若tan∠BAC= 12，求经过A、B、C点的抛物线的解析式5.在直角坐标系xoy中O是坐标原点，抛物线y=x2－x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图l－2－45，如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO= 23S△COB，那么点M的坐标是_______-。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。
在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。
下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。
首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。
在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。
通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。
同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。
这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。
其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。
通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。
同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。
在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。
通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。
二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。
例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。
在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。
同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。
二次函数的数形结合归纳
二次函数的数形结合一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-= 当ab x 2-=时，函数有最大(小)值为a b ac 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小 抛物线的形状相同︱a ︱相同对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号正半轴 c ＞0与y 轴的交点（0，c ）位置 原点 c=0负半轴 c ＜0与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0抛物线与x 轴有一个交点 顶点在x 轴上 抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0抛物线的顶点在y 轴上 b=0抛物线的顶点在原点3个交点 △＞0，c △＞0，c=0抛物线与坐标轴有 2个交点△=0，c ≠0 △＜01个交点b=c=0函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=aac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——关于x 轴的对称抛物线——关于原点的对称抛物线——顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称如（2,5），（-4,5）在图像上 对称轴是直线x=1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）ax 2+bx+c ＞0——————抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。
二次函数复习(数形结合)
(3) 不等式ax2 bx c kx m的解为 x 1或x 1
；
B
y 4
转化
不等式问题（数）
x
函数问题（形）
A -1 o 1
图3
【例】在火箭主场与湖人的一场比赛中，科比在 距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球 运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75 解：顶点（0，3.75），故可设抛物线解析式为： 米，然后球准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面 2 的距离为3.05米. y ax 3.75
两 者 结 合 万 般 好 ， 隔 离 分 家 万 事 华 休 罗 。
庚
数 缺 形 时 少 直 观 ， 形 缺 数 时 难 入 微 ，
——y x 6x 5 Nhomakorabea2
1. 根据图像，请尽可能多说出一些结论。
y 5 1 o 1 3 -4
①a的意义：符号决定 开口方向，绝对值决 定开口大小 5
x
②轴对称性、增减性
y ( x 1) 4
2
3、结合图2回答：(1)当x取何值时，y=0？ y＞0? y＜0? 反过来，当y=0时，x取何值？ (2) 进一步，当m为何值时，方程 当y=1时呢？
2
( x 1) 4 m
①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根； m<4 m=4 ③无实数根？ m>4 直线y=m y 4
抛物线解析式为：
14 2 15 y x 45 4
把点（1.5，3.05）代入得： （1）建立如图所示的坐标 3.05 a(1.5)2 3.75 系，求抛物线的解析式； 14 a 解得： 45
2.5米 4米
y (0,3.75) (1.5,3.05)
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。
参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。
例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。
例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。
同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。
比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。
这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。
此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。
这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。
总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。
因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
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二次函数的应用（数形结合）
教学目标：
1．知识目标：理解二次函数解析式和二次函数图象的关系，通过解析式本身蕴含的信息以及函数图象的直观表示，解决有关问题。
2．能力目标：通过本课学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。
3．情感目标：通过学生的讨论，培养学生的探索精神和合作精神。
一． 数促形，让感性的形多一分理性
例1二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：① abc
＜0 ；② 2a －b=0 ；③ b 2-4ac ＞0 ；④ a －b ＋c ＞0 ，其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二．形帮数，让理性的数多一些感性
例2已知二次函数y=-x 2-2x+3
问题：（1）这个二次函数有最值吗？最大还是最小？
如果有，请求出最值。
（2）若-4≦x ≦1时函数有最大值和最小值吗? （3）若点（-2，y 1）
(21y -)( 1
-(2，y 4)在函数图象上，试判定
y 1,y 2,y 3,y 4的大小关系。
例3若已知二次函数y=x2+2x+1和一次y=x+3
（1）怎么判断两个函数是否有交点？若有交点，则求出交点坐标。
三．数形结合
例4如图Z－41－4，已知抛物线y＝ax2－2ax－b(a>0)与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(－1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D.连接AC，CD，∠ACD＝90°. 求(1)顶点坐标（用a表示）
（2）抛物线的函数解析式
小结：数形结合解决问题的基本方法。
课后训练
1.抛物线y=ax 2＋c 与y 轴相交于坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A ．c ＞0
B ．c=0
C ．c ＜0
D ．c 的符号与a 无关 2将函数y=2x 2的图象向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到的图象解析式是（ ）
A ．y=2（x －1）2－3
B ．y=2（x ＋1）2＋3
C ．y=2（x －1）2＋3
D ．y=2（x ＋1）2－3
3． 已知二次函数y=3(x-1)
2
+k 的图象上有三点
A(2,y 1),B(2,y 2),C(-5,y 3),则y 1、 y 2、y 3的大小关系为( ) A ．y 1.> y 2> y 3 B.．y 2> y 1> y 3 C ．y 3> y 1> y 2 D ．y 3> y 2> y 1
4（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示， 下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确结论的个数为（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
5.二次函数y =(3－m )x 2－2mx －m 的图象如图3所示，则m 的取值范围是（ ）
A.m >0
B.m <0
C.m <3
D.0<m <3
x
y
O
6.抛物线(1)(3)(0)
=+-≠的对称轴是直线（）
y a x x a
A．1
x=
x=-D．3
x=-C．3
x=B．1
7如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n
的图象，观察图象写出y2≥y1时，
x的取值范围______________．
8．如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°,求：
(1)直线AB的解析式；
(2)抛物线的解析式。
(3)x在什么范围直线的函数值大
于抛物线的函数值？。