量子力学复习

思考题

1、以下说法是否正确：

（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；

（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。

答：

（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？

答：

按照波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)

ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子

(r

的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)

ψ而完全确定。

(r

由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。

3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

答：

设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示。

可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由

2

22112

ψψψc c +=确定，2

ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*

21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。

4、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？

（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？22112211212

1

;;ψψψψψψααi i e c e c c c +++

这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。

答：

（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率

=22

1)()(x x ψψ=22

1)()(x k x k ψψ22

1)

()(x e x e i i ψψαα

，故ψ与ψk 、ψα

i e 均描述同一态。 （2）由于任意复数θi e c c =， 以及

2*12*

1*21*2

12

222

112

2211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=± 显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==2

1

时，

αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),(,

2122112122112121+=++=++均描述同一态。

5、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄

密的？

答：

用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。 下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。 如果体系处于)(x ψ中，则它的位置平均值为 xdx x x 2

)(⎰=ψ 类似地，它的动量的平均值也可表示为 pdx x p 2)(⎰=ψ

若要求出上述积分，必须将p 表示为x 的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系p(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。 p d p p p 2)(⎰=ϕ 利用⎰-=

dx e x p ipx /2/1)()

2(1

)(ψπϕ有 ⎰⎰⎰

''=-'dxdp x d e x p x e p ipx x ip

/*/)()(21ψψπ

作代换

//ipx ipx e x

i pe --∂∂=，并对x p ',积分得（推广到三维） τψψd r i r p )())((*

∇-=⎰

可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符∇- i 相当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。

用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。

力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。

6、力学量之间的对易关系有何物理意义？

答：

力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。

对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。

与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。 从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如γαβγβαεL i L L =],[，就可作为角动量的定义。