量子力学复习
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学总复习
2 mv m A
A 为该金属材料的逸出功
3 光子的能量、质量与动量 光子静止质量: m 0 0
m
hν c
2
光子的能量：
h ν mc
p h
2
光子的动量：
h p n
4 光的“波粒二象性”
四
康普顿效应
hν0 n0 c
碰撞过程中能量守恒
hν n c
hν 0 m 0 c hν mc
Ψ t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
Ψ ( r , t ) U ( r , t )Ψ ( r , t ) i
2
Ψ (r , t ) t
2m
2 定态薛定谔方程 若势能 U 与 t 无关，仅是坐标的函数。
Ψ (r , t ) Φ (r )e
i
Et
2 * Ψ (r , t ) Ψ (r , t )Ψ (r , t ) Φ (r )
E mc hν
2
p mv
h
这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波 。
h p
h mV
h m 0V
1
2
德布罗意公式
h m0v
如果 v c ,
则：
七 不确定性关系
1 位置与动量的不确定性关系
x p y p z p
x
1 玻尔的三条基本假设 （1）定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的 状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射 电磁波。这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。 这些定态的能量：
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ； 2
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
量子力学复习题
量子力学复习题
量子力学是20世纪初发展起来的一种物理学理论，它主要描述微观粒子如原子、电子、光子等的行为。
量子力学的核心概念包括波函数、量子态、量子跃迁、测不准原理等。
以下是一些关于量子力学的复习题，可以帮助你更好地理解这一理论。
1. 波函数：描述一个量子系统状态的数学函数是什么？它如何与粒子的物理性质相联系？
2. 薛定谔方程：写出非相对论性量子力学中描述粒子状态随时间演化的基本方程。
3. 量子态：解释什么是量子态，以及如何通过测量来确定一个量子系统的量子态。
4. 量子跃迁：描述量子跃迁的概念，并解释它在原子光谱中的作用。
5. 测不准原理：解释海森堡测不准原理的内容，并说明它对量子力学实验的意义。
6. 量子纠缠：解释什么是量子纠缠，以及它在量子通信和量子计算中的应用。
7. 泡利不相容原理：描述泡利不相容原理，并说明它如何影响多电子原子的电子排布。
8. 量子隧道效应：解释量子隧道效应，并讨论它在扫描隧道显微镜中的应用。
9. 量子退相干：解释量子退相干的概念，并讨论它对量子计算和量子信息的影响。
10. 量子力学的解释：讨论不同的量子力学解释，如哥本哈根解释、多世界解释等，并比较它们之间的异同。
11. 量子力学与经典力学的关系：讨论量子力学与经典力学之间的联系和区别，以及量子力学如何从经典力学中发展而来。
12. 量子力学的应用：列举量子力学在现代科技中的应用实例，如半导体技术、量子点、量子传感器等。
通过解答这些问题，你可以更深入地理解量子力学的基本原理和它在现代物理学中的重要性。
记住，量子力学是一门非常抽象的学科，需要大量的练习和思考才能掌握。
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学期末复习课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
能级分布是不均匀旳，能级越高， 能级之间旳间距就越大
22n2
E n 8ma2
41
两组波函数
n
=
Asin n x
2a
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n
=
B cos n x
2a
0
N为正奇数，|x|<a |x|≥a
（1） （2）
42
第三步：波函数归一化
43
2
再由波函数旳归一化条件 n (x) dx 1
绪论
黑体辐射、光电效应和康普顿散射 揭示了光旳波粒二象性
三个试验现象经典物理旳理论无法解释
黑体辐射
光电效应 氢原子光谱
从而诞生了量子力学
1
Bohr原子轨道量子化
1、玻尔旳量子论
1923年，Bohr把Planck—Einstein旳概念利用来处理原子 构造和光谱旳问题，提出了原子旳量子论，其中极为主要旳两个 概念（假定）：定态假设与量子跃迁
6
§2.1 波函数旳统计解释
7
§2.1 波函数旳统计解释
波函数是描述微观粒子旳状态
因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同步拟定， 当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值， 这些可能值各自以一定旳概率出现，这些概率能够由一种 函数得出——波函数 只要系统旳波函数已知，系统旳其他性质也能够懂得：
1
2
y C sin qx C cos qx
1
2
y C sin(qx ) 1
三个方程是等价旳
38
第二步：利用波函数旳原则条件（单值、有限、连续） 定未知数
39
根据波函数旳连续性 ( ) 0 代入到下面旳方程
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
量子力学所有简答题复习资料
简答题1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下：1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
3．光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。
4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：221mv A h +=ν这就是爱因斯坦光电效应方程。
其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。
2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式：νωh E == λhk P ==3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
波函数满足归一化条件。
4．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
量子力学复习及答案(88题)
ψ ( r , = / 2)
K
2
K
2
及
∫
K d 3 r ψ ( r , − = / 2)
物
2
解： ψ (r , = / 2 )
表示电子自旋向上（ s z = = 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
18. 二电子体系中，总自旋 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。 解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 χ SM S ，则
(1) ⎢ x ,
⎡ ⎣
d ⎤ ⎥=? d x⎦
（2） 2 x 。
（2 ） ⎢
⎡ d ⎤ , x2 ⎥ =? ⎣ dx ⎦
解：(1)-1
2. 一维运动中，哈密顿量 H =
p2 + V ( x) ，求 [x , H ] = ? 2m
解：
=2 d [x , H ] = ， m dx
[ z = − = 2 ）的几率。
a 的对易关系式； a 的关系； 20. 给出一维谐振子升、 降算符 a 、 粒子数算符 N 与 a 、 哈密顿量 H 用 N
3
理 学
2
分别表示什么样的物理意义。
K
院
+
⎛1⎞ ⎛0⎞ = = ⎟ , α = χ1 2 (s z ) = ⎜ ； s z = − , β = χ −1 2 ( s z ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎟。 2 2 ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠
学
⎧V , V ( x) = ⎨ 1 ⎩V2 ,
x<a x>a
物
，
4
解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。
量子力学期末复习
相关的结论须记住！ 解题要注意 步骤！
1、在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如 果粒子的状态由函数 ψ ( x) = Ax(a − x) 描写，A为归一化常数， 求粒子能量取值的几率分布和能量的平均值。 解：粒子能量的本征函数和本征值为
2 nπ sin x, ψ n( ) a x a 0,
(0 ≤ x ≤ a )
ψ 1( 0 ) = 0
能量一级修正为
( x < 0, x > a )
E
(1) 1
= ∫ψ
(0) 1
* H ′ψ
(0) 1
dx
2 a /2 x 2π 2 a x 2 π = ∫ 2λ sin xdx + ∫ 2λ (1 + ) sin xdx a 0 a a a a /2 a a
1 E = ℏω 2
α 2 x2
H n (αx)]dx = − p = 0
• • 由不确定关系得
(∆x)2 = x2 ; (∆p)2 = p2;
(∆p)2 1 2 E= + µω (∆x)2; 2µ 2
2
ℏ2 （∆p) = ; 2 4(∆x)
• • • 将此式对 (∆x)2 求最小值，得 求最小值，
ℏ2 1 E= + µω 2 (∆x) 2 ; 8 µ ( ∆x ) 2 2
1 R 21 ( r )Y11 (θ , ϕ ) ψ = 2 3 R 21 ( r )Y10 (θ , ϕ ) − 2
解： 将波函数改写为： 1 0 1 3 ψ = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) 2 0 2 1
1 3 = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − 2 2 2 2
量子力学期末复习
由于 是任意的波函数
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ x, Px ] xPx Px x i
轨道角动量
角动量算符
ˆ rp ˆ L
及其对易关系
ˆ r p ˆ Li ijk j k
ˆ ˆ ˆ Lx , Ly iLz ˆ ˆ ˆ Ly , Lz iLx ˆ ˆ ˆ Lz , Lx iLy
(2) 光量子具有“整体性”。
爱因斯坦光电效应方程：
1 2 eV m um h A 2
0
玻尔原子模型
1913年 玻尔把量子论推广到原子系统：
(1) 定态条件：电子绕核作圆周运动，但不辐射能量
（经典轨道+定态);
(2)当原子从某一能量状态跃迁到另一能 量状态时服
从频率条件h =E2-E1； (3) 角动量量子化条件mv· =nħ r
当 A 0 B 0 ，有 cos ka 0
n kn 2a
（n为奇数）
当 A 0 B 0 ，有 sin ka 0
n kn 2a
上两式可统一写成
（n为偶数）
n kn , 2a
2mE k 2
2
n 1, 2,3,
n 2 2 2 本征能量： En 8ma 2
2 d 2 2m dx 2 ( x) E ( x) 2 2 d ( x) ( x) E ( x) 2m dx 2
-a
U(x)
0
a
无限深势阱
x a x a
(1) (2)
因 (x) 及 E 有限，由（2）
( x) 0 x a
波函数的统计解释：
（r，t）的物理意义在于： 模的平方(波的强度)代表(r, t)点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。
量子力学复习资料
量⼦⼒学复习资料第⼀章知识点：1. ⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体.2. 处于某⼀温度 T 下的腔壁，单位⾯积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与⿊体的绝对温度 T 有关⽽与⿊体的形状和材料⽆关。
4. 光电效应---光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率⼤于某⼀定值ν0时，才有光电⼦发射出来.若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有电⼦产⽣.光的这⼀频率ν0称为临界频率。
2.光电⼦的能量只是与照射光的频率有关，与光强⽆关，光强只决定电⼦数⽬的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当⼊射光的频率⼤于ν0时，不管光有多么的微弱，只要光⼀照上，⽴即观察到光电⼦（10-9s ）6. 光的波粒⼆象性：普朗克假定a.原⼦的性能和谐振⼦⼀样，以给定的频率ν振荡;b.⿊体只能以 E = h ν为能量单位不连续的发射和吸收能量，⽽不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7. 总结光⼦能量、动量关系式如下：把光⼦的波动性和粒⼦性联系了起来8.波长增量 Δλ=λ′–λ随散射⾓增⼤⽽增⼤.这⼀现象称为康普顿效应.散射波的波长λ′总是⽐⼊射波波长长（λ′ >λ）且随散射⾓θ增⼤⽽增⼤。
9.波尔假定：1.原⼦具有能量不连续的定态的概念. 2.量⼦跃迁的概念. 10.德布罗意：假定：与⼀定能量 E 和动量 p 的实物粒⼦相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = h ν ? ν= E/h ? P = h/λ ? λ= h/p ? 该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：ψde Broglie 关系：ν= E/h ?ω = 2πν= 2πE/h = E/ λ= h/p ?k = 1/ = 2π /λ = p/n k h k n n h n C h n C E p h E ==========πλπλνων22其中波长。
量子力学复习
量子力学复习思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。
答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按照波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子(r的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)ψ而完全确定。
(r由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示。
可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？22112211212 1;;ψψψψψψααi i e c e c c c +++这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。
答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=221)()(x x ψψ=221)()(x k x k ψψ221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
量子力学复习
5、 康普顿效应本质：
ms s 1 2 )
1 2
.决定电子自旋角动量 在外磁场方向的分量：
S
Sz ms .
12、 重要公式:
1 ) 光电效应方程： h E k A 2 ) 康普顿散射： 0 反冲电子动能： h m0 c E k (m m0 ) c
2
1 2
D
I
I
I
o
(C )
U
o
U
( A)
o
2
2
(B )
U
I
光 强 同 ： n1 h 1 n 2 h
2 1 n 2 n1 I s I s .
1
o
1
另外
2
1 Ek
2
Ek Ua
1
2
Ua .
(D)
U
5. 以一定频率的单色光照射到某金属,测出其光电流的曲线如图 中实线所示, 然后保持频率不变，增大光强, 测出其光电流的曲线 如图中的虚线所示. 则满足题意的图是 [ ]
(2) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率的光照射时,释出的光电子的最大初动能也不同. (3) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率,但强度相等的光照射时, 单位时间释出的光电子数一定 相等.
(4) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则当入射光的频率 不变,而强度增大一倍时,该金属的饱和光电流也增大一倍.
量子力学复习题
量子力学复习题量子力学是现代物理学的重要分支，它的出现彻底改变了我们对微观世界的理解。
在学习量子力学的过程中，复习题是帮助我们巩固知识、加深理解的重要工具。
接下来，让我们一起走进量子力学的复习题世界。
一、波函数与薛定谔方程1、什么是波函数？波函数的物理意义是什么？波函数是量子力学中用来描述微观粒子状态的函数。
它不像经典物理学中的物理量那样具有直接可观测的物理意义，而是通过其模的平方来给出粒子在空间某点出现的概率密度。
这意味着波函数本身不是一个具体的物理量，而是一种概率的描述。
2、薛定谔方程的形式是什么？它在量子力学中的地位如何？薛定谔方程的形式为：＄i\hbar\frac{＼partial ＼Psi}｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼nabla^2\Psi ＋ V\Psi$ 。
其中，＄＼hbar$ 是约化普朗克常数，＄m$ 是粒子的质量，＄V$ 是势能函数，＄＼Psi$ 是波函数。
薛定谔方程在量子力学中的地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位，是描述微观粒子随时间演化的基本方程。
3、举例说明如何求解一维无限深势阱中的粒子波函数和能量本征值。
对于一维无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
通过求解薛定谔方程，并结合边界条件，可以得到粒子的波函数为：＄＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＄，能量本征值为：＄E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＄，其中＄a$ 是势阱的宽度，＄n$ 为正整数。
二、算符与力学量1、什么是算符？常见的量子力学算符有哪些？算符是对波函数进行某种运算的数学符号。
常见的量子力学算符包括动量算符、能量算符、角动量算符等。
2、力学量用算符表示的意义是什么？如何通过算符求得力学量的平均值？力学量用算符表示是量子力学的一个重要特点。
通过对波函数进行算符运算，然后对结果进行积分，可以得到力学量的平均值。
量子力学总复习
n n n Nn Nn Nn e
x y z x y z
2 r 2 2
Байду номын сангаас
H nx ( x) H n y ( y ) H nz ( z )
12、势垒贯穿 隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
需掌握知识点
1、掌握定态的概念；定态的性质。
几 个 重 要 概 念
本征函数
n N ne
n
x
H n ( x)
Nn
n!
,
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
3 Enx ny nz nx n y nz 2
nx , n y , nz 0,1,2,
H mn
2 0
E n Em
m,m n
0
H mn
0
1, m n
0 m
En En H nn
0
m,m n
0 ˆ 0 m H mn H n
En Em 0 * ˆ 0 m (r )H n (r )d
( A) ( S ) 1M s A ( S ) ( A) 00
5、角动量（轨道和自旋）
ˆL ˆ i L ˆ L ˆS ˆ i S ˆ S
2 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z 4
对两个Fermi子体系:
M s 0, 1
2 n x n ( x) sin ,0 x a a a
es4 es2 En 2 2 2 2 2 n 2n a0
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)h p n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ 和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2w*=ψψ=ψ代表几率密度.2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂(4)定态薛定谔方程()()ˆH r E r ψ=ψ (5)其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.5. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.第三章 量子力学中的力学量1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()nnc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+ , ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)不考虑电子的自旋是2n 度简并的;考虑电子的自旋是22n 度简并的.7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E n μ=-,()21l l + , m .(2) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆFˆG -ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF ∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中 ()()________________________2222222F F F F FF F F F ∆=-=-+=-()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,,...,...n u x u x u x构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开:()()(),n n nx t a t u x ψ=∑()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各基矢量的分量.(5) ()2n a t 是在(),x t ψ所描写的态中,测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示(i)算符ˆF在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm nm F u x F x u x dx i x *∂⎛⎫≡ ⎪∂⎝⎭⎰(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:†F F =ψψ (21)(2) 本征值方程 → 久期方程()()()()()()1111121222122212 ... ... ... ... : : : ... ... : : :m m n n nm mm a t a t F F F a t a t F F F F F F a t a t λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→ 111212122212 ... ... ... ... 0... ... ..............................n n n n nn F F F F F F F F F λλλ--=-(3) 薛定谔方程的矩阵形式 di H dtψ=ψ(22) 4. 么正变换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ββααψϕψϕ***⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰(3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式1b S a -= (23)(4) 力学量ˆF由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -'= (24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. ()0ˆˆˆHH H '=+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()n E 和零级近似波函数()0nψ;(2) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (25)(3) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑(26) (4) 计算能量的二级修正:()()()22'0nln ln l H E E E '=-∑ (27)(II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. (2) 确定微扰算符的矩阵元:ˆliH '=ˆl i H d φφτ*'⎰(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正()()()111121121222112.........................................................n k n k kkkkn H E H H H H E H H H H E '''-'''-='''- (29)(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤设0ˆH 的本征函数为n φ为已知:0ˆn n nH φεφ=(30)将ψ按照0ˆH 的定态波函数n it n n e εφ-Φ=展开:()n nna t ψ=Φ∑(31)展开系数的表达式:()01mk ti t m mka t H e dt i ω'''=⎰(32)其中ˆmn m n H H d φφτ*''=⎰(33)是微扰矩阵元,()1m nmnωεε=-(34)为体系由n ε能级跃迁到m ε能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m Φ态的几率是()2m a t , 体系在微扰的作用下,由初态k Φ跃迁到终态m Φ的几率为()2k m m W a t →= (35)(2) 用于周期微扰()()ˆˆi t i t H t F e e ωω-'=+得到()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t ωωωωωωωω''+-⎡⎤--=-+⎢⎥+-⎣⎦(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mkωω=±或m k m k εεω=± (37)(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk ω时,体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态,这时体系吸收和发射的能量是mk ω ;(ii)跃迁是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义E t ∆∆ (38)(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:mk A , mkB 和km B 及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0, 1.l l l m m m '∆=-=±⎫⎬'∆=-=±⎭(39) 第六章 散射只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取 2z S =± (40) 2. 自旋算符的矩阵形式 01ˆ210x S ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ , 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ , 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(41) 3.泡利矩阵 01ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (42)(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.†G G =ψψ (43)()11121†1222122G G G G G G **⎛⎫ψ⎛⎫=ψψ=ψψ ⎪ ⎪ ⎪ψ⎝⎭⎝⎭ (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的;(II) 玻色子: 波函数是对称的.7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.。
量子力学期末复习
e 1 2 [ n n | n 1 n 1 n | n 1 ]
0
x 1 2 [aˆ aˆ ]
aˆ | n n | n 1
aˆ | n n 1 | n 1
6、表象变换
1
7、近似方法的应用（微扰、变分）
8、电子体系考虑自旋时的态函数、泡利算符
9、含时微扰（跃迁概率）
三、几个重要模型
1、一维无限深势阱（宽为 a、2a；对称、非对称）
2、线性谐振子
3、氢原子
相关的结论须记住！
4、双电子体系（不考虑自旋间的相互作用）
四、常见题型
1、薛定谔方程
2、算符理论
3、表象理论
(0)
(0)
En En 1
En En 1
e 2 2
2 2
由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没
有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn
时再加上沿x方向的较弱的磁场 = ( , , )，从而
= + = ( , , )，求 > 时粒子的自旋态，以
及测得自旋“向上”（ =1）的几率。
解： （1）在 表象中，H的矩阵表示为：
ˆ
ˆ
ˆ
H m B
mˆ mB (ˆ x ex ˆ y ey ˆ z ez )
2
21
能量二级修正：
E n( 2 )
mn
2
1
2
|
e
[
n
n
1
]
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思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按照波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子(r的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)ψ而完全确定。
(r由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示。
可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψααi i e c e c c c +++这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。
答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=221)()(x x ψψ=221)()(x k x k ψψ221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
（2）由于任意复数θi e c c =， 以及2*12*1*21*2122221122211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=± 显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==21时，αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),(,2122112122112121+=++=++均描述同一态。
5、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。
我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。
下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。
如果体系处于)(x ψ中，则它的位置平均值为 xdx x x 2)(⎰=ψ 类似地，它的动量的平均值也可表示为 pdx x p 2)(⎰=ψ若要求出上述积分，必须将p 表示为x 的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系p(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。
我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。
p d p p p 2)(⎰=ϕ 利用⎰-=dx e x p ipx /2/1)()2(1)(ψπϕ有 ⎰⎰⎰''=-'dxdp x d e x p x e p ipx x ip/*/)()(21ψψπ作代换//ipx ipx e xi pe --∂∂=，并对x p ',积分得（推广到三维） τψψd r i r p )())((*∇-=⎰可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符∇- i 相当。
实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。
用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。
我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。
6、力学量之间的对易关系有何物理意义？答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。
它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。
对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。
与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。
从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。
此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如γαβγβαεL i L L =],[，就可作为角动量的定义。
7、什么是力学量的完全集？它有何特征？答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（ ,,21F F ），它们的共同本征函数系为),,(21 n n ϕϕ，如果给定一组量子数),,(21 n n 就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（ ,,21F F ）为体系的一个力学量完全集。
它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组),,(21 n n 所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。
8、何谓定态? 它有何特征？答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。
若势场恒定0=∂∂tV ，则体系可以处于定态。
定态具有以下特征:（1）定态波函数时空坐标可以分离， /)(),(iEt e r t r -=ψψ，其中)(r ψ是哈密顿量H 的本征函数，而E 为相应的本征值；（2）不显含时间t 的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。
注意，通常用)(r ψ表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。
9、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。
我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如2≥∆⋅∆p x 给出了用粒子图像描述物质的局限性。
10、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。
具体说，如果力学量A 的本征函数为n ϕϕϕ ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。
任意态矢ψ可展开为∑=nn n a ψψ态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a 21ψ其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A212222111211 ),(j i ij A A ϕϕ= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。
设)()(x A x ψϕ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21 简记为Aa b =； （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
11、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A A A A 00000021本征矢为单一元素列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 ϕ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102 ϕ ………12、狄拉克符号中，引入了右矢>，为什么又引入左矢<，右矢和左矢能够相加吗？答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数ϕ和ψ的内积⎰=τψϕψϕd *),(，>ϕ|和>ψ|的内积记为><ψϕ|，|ϕ<是对应于>ϕ|的左矢，属于伴随空间的一个矢量。
由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。
13、（1）∧+∧++∧∧=<>A B B A |)|(ψψ（2）>>=ψλλψ||（3）如>ψ是∧F 的本征矢，则||ψψ<'=<∧F F（4）算符||n n P n ><=的物理意义是什么？公式∑=<nn n 1|.|成立的条件是什么？答：算符||n n P n ><=的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢>n |方向的投影矢量，>>=><>=n A A n n A P n n ||||；且n n P n n n n n n P =><=><><=|||||2，故||n n P n ><=称为投影算符，>=<A n A n |是投影数值。
公式∑=<nn n 1|.|成立的条件是基矢集{}>n |组成正交、归一、完备系，任意态矢均可按{}>n |唯一展开><>>=>=∑∑A n n n A A nn n||||，由于>A |为任意态矢，故得到∑∑=><=nnn n n P 1||，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性关系。