天津外国语大学附属外国语学校八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(包含答案解析)

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天津市南开区2018年八年级下《平行四边形》单元测试卷(含参考答案)

天津市南开区2018年八年级下《平行四边形》单元测试卷(含答案)2018年八年级数学下册平行四边形单元测试卷一、选择题:1.下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.下列命题中，不正确的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形3.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A．4 B．12 C．24 D．284.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．165.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（）A．2 B．3 C．4 D．56.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF等于( )A．75°B．60°C．50°D．45°7.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )A．4 B．2.4 C．4.8 D．59.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为( )A．20m B．25m C．30m D．35m10.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．1711.如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(﹣1，﹣)，点C的坐标为(2，c)，那么a，c的值分别是( )A．a=﹣1，c=﹣B．a=﹣2，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2，c=212.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，若CD=5，则EF长为.15.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm，BC=4cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．16.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．17.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为______个18.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．三、作图题：19.如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A．B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．四、解答题：20.如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．21.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．22.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．24.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．25.如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：FB=AO；（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．26.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12,CF=5,求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.C．2.B．3.B.4.A5.C；6.C.7.C；8.B.9.C10.C.11.12.C.13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：515.答案为：3或1.516.答案为：．17.答案为： 318.答案为：1019.解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ 即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，∵S正方形ABGH=（）2=26，∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．20.解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4，由勾股定理得，AO===3，∴AC=2AO=2×3=6，∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72．21.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF22.证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．23.解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵∠1=∠5,∠2=∠F,AF=CE，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．24.25.证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．∵E是BO的中点，∴EG是△BFC的中位线，∴EG=0.5BF．同理，EG=0.5OC，∴BF=OC．又∵点O是▱ABCD的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．又∵BF∥AC，即BF∥AO，∴四边形AOBF为平行四边形，∴FB=AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO是菱形．26.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。

2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校七年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法不正确的有()①0是绝对值最小的数；②的相反数是；③的系数是5；④一个有理数不是整数就是分数；⑤是7次单项式。

A.1个B.2个C.3个D.4个2.3.已知，则的值为()A.18B.15C.D.164.一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是()A.祝B.你C.顺D.利5.下列等式变形中，结果正确的是()A.如果，那么B.由得C.如果，那么D.如果，那么6.某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为()A. B.C. D.7.某商店换季促销，将一件标价为240元的T恤打8折售出，获利，则这件T恤的成本为()A.144元B.160元C.192元D.200元8.如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站.在这段路线上往返行车，需印制种车票.()A.20B.11C.12D.139.如图，AOB是一条直线，，OD，OE分别是和的平分线，则图中互补的角有()A.5对B.6对C.7对D.8对10.如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第8个图案中有白色六边形地面砖块.()A.33B.34C.35D.36二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.若与互为相反数，则a的值为______.12.若单项式与是同类项，则______.13.钟表上2点15分时，时针与分针的夹角为______度.14.______度______分______秒.15.如果关于x的方程和方程的解相同，那么a的值为______.16.如图，OA表示北偏东方向，OB表示南偏东方向，则______.17.已知线段，直线AB上有一点C，且，点M是线段AB的中点，点N是线段BC 的中点，则______18.如图，C为直线AB上一点，为直角，CF平分，CH平分，CG平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④请写出正确结论的序号______.三、解答题：本题共6小题，共46分。

天津师范大学附属实验中学八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（）个①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（）A ．6B ．12C ．15D ．303．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（）A ．4B ．5C ．8D ．104．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①②④ 5．如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（）A ．24B ．25C ．26D ．286．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A ．3B ．2C ．23D ．47．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（）A ．2PD EC =B ．AP EF =，且AP EF ⊥C ．四边形PECF 的周长是8D ．12BD EF AB ≤< 8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A ．90D ∠=；B ．AB CD =；C ．AD BC =； D ．BC CD =． 10．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（）A ．1B ．2C ．4D ．8 11．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC ∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF =+ 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（）A ．4B ．8C ．13D ．613．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A 3B 423C ．2D 35214．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144° 15．矩形不一定具有的性质是（） A ．对角线互相平分 B ．是轴对称图形 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直参考答案二、填空题16．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．19．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）20．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．21．如图，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，（1）若18cm,24cm AC BD ==，则AO =_______，BO =_______．又若13AB =厘米，则COD △的周长为________．（2）若AOB 的周长为30cm ，12cm AB =，则对角线AC 与BD 的和是________． 22．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．23．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．24．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．25．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．26．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．三、解答题27．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．（1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．28．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．29．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 30．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12MN BC =，求证：AN EN CD =+；（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．。

天津市2020〖人教版〗八年级数学下册复习试卷第六章平行四边形

天津市2020年〖人教版〗八年级数学下册复习试卷第六章平行四边形创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题1．如图4－161所示，沿虚线EF将ABCD剪开(BF≠AE)，得到的四边形ABFE是 ( )A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形2．下列说法中正确的有 ( )①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相平分且相等；③矩形的对角线相等；④正方形的对角线互相平分且相等；⑤等腰梯形的对角线相等．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．五边形的内角和与外角和之比是 ( )A．5∶2 B．2∶3 C．3∶2 D．2∶54．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( )A．等腰三角形 B．正三角形C．等腰梯形 D．菱形5．已知菱形的周长为40,一条对角线长为12，则这个菱形的面积为( )A．190 B．96 C．47 D．406．一个多边形截去一个角(不过顶点)后，所成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是 ( )A．13 B．15 C．17 D．197．平面图形的密铺是指在一定范围的平面内，这些图形间 ( ) A．没有空隙，可以重叠 B．既有空隙，又可重叠C．可有空隙，但无重叠 D．既无空隙，也不重叠8．若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形 ( )A．一定是矩形 B．一定是菱形C．一定是正方形 D．形状不确定9．如图4－162所示，设F为正方形ABCD中AD边上一点，CE⊥CF交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE的面积为 ( )A．20 B．24 C．25 D．2610．如图4－163所示，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC 上，且CF＝DE，连接BE，AF相交于点G，则下列结论不正确的是 ( )A．∠DAF＝∠BE C B．∠AF B＋∠BE C＝90°C．BE＝AF D．AF⊥BE二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠D＝1∶2∶4，∠C＝108°，则∠A＝.12．边长为10 cm的正方形的对角线长是cm，这条对角线和正方形一边的夹角是，这个正方形的面积是cm2．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA交AB于E，且△BCE的周长为10 cm，CD＝5 cm，则梯形ABCD的周长是．14．若矩形的一条短边的长为5 cm，两条对角线的夹角为60°，则它的一条较长的边为cm．15．如图4－164所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为.16．菱形的周长为40 cm，如果把它的高增加4 cm，周长不变，那倍，则菱形的原面积是．么面积变为原来的11217．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使其变为平行四边形，需要增加的条件是．(只需填一个你认为正确的条件即可)18．如图4－165所示；折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，A对应A′，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，则AG＝.三、解答题19．如图4－166所示，在ABCD中，E，F在平行四边形的外部，且AE＝CF，BE＝DF，试指出AC和EF的关系，并说明理由．20．如图4－167所示，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，交∠BCA的平分线于点正，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)试说明OE＝OF；(2)当点O运动到何处时，四边形A ECF是矩形?说明理由．21．(1)如图4－168(1)所示，你能设法将左图的平行四边形变成与它面积相等的右边的矩形吗?画一画；(2)任意剪一张梯形纸片(如图4－168(2)所示)，与同学们交流、讨论、研究，怎样通过平移、旋转、轴对称以及折纸等方法将梯形剪拼成一个面积与它相等的矩形?并在图(2)中画出设计方案，简述设计的过程．22．矩形的长和宽如图4－169所示，当矩形周长为12时，求a的值．23．如图4－170所示，O为ABCD的对角线AC的中点，过点O 作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN 上，且OE＝OF．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)试说明∠MAE＝∠NCF．参考答案1. A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．D9．B[提示：由全等可知△CEF是等腰直角三角形，又其面积为50，则CF＝CE＝10，因为正方形ABCD的面积为64，所以边长BC＝8，由勾股定理，得BE =6，所以S △CBE ＝12BE ·BC ＝12×6×8＝24．]10．B11．36°12．102 45° 10013．20 cm14．3515．1016．80 cm 217．AB ∥CD ，或AD ＝BC (答案不唯一)18．12-5[提示：A 对应点A ′，则△A ′DG 和△A ′BG 均为直角三角形，设AG ＝x ，则A ′G ＝x ，A ′B ＝BD －A ′D ＝5－l ，BG ＝AB －AG ＝2－x ，由勾股定理，得A ′G 2＋A ′B 2＝GB 2，所以x 2＋(5－1)2＝(2－x )2，解得x ＝12-5．] 19．提示：连接AF ，EC ，可由AE ＝CF ，且AE ∥CF ，得四边形A ECF 是平行四边形，故AC 与EF 互相平分．20．提示：(1)先说明OE ＝OC ，再说明OF ＝OC ． (2)当点O 运动到AC 的中点时，四边形A ECF 是矩形(理由略)．21．解：(1)如图4－171所示。

天津市益中学校八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC AB AC AD BC ︒∠==⊥，，于点D ABC ∠，的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连DM ，下列结论：①DF DN =； ②DMN ∆为等腰三角形；③DM 平分BMN ∠；④AE NC =，其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法正确的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 3．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且另一组对边也平行4．下列命题中，错误的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 5．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（）A 2B ．2C 3D 56．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠7．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（）A ．8B ．6C ．4D ．28．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．119．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③ 10．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a 11．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（）A ．2B ．3C ．4D ．512．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A 3B 423C ．2D 352二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．14．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 15．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 16．正三角形ABC 中，已知AB =6，D 是直线AC 上的动点，CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，则AE 长的取值范围是_______________．17．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 18．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝6cm ，宽AB ＝2cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长______cm ．19．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．20．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．三、解答题21．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ．（1）求证：ABM CDN ≌；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．22．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为多少？23．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =， OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在边AB 上，点 G 是线段AD 的中点．（1）求ABD ∠的度数；（2）求证：OG 平分AOB ∠．24．已知，如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 的中点，点E ，F 分别是AC ，BC 上的动点，且始终满足CE BF =，（1）证明：DE DF =；（2）求EDF ∠的大小；（3）写出四边形ECFD 的面积与三角形ABC 的面积的关系式，并说明理由．25．如图，在中，，D 为的中点，，，连接交于点O ．（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高．26．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求出BD AD =，DBF DAN ∠=∠，BDF ADN ∠=∠，证明()FBD NAD ASA ≅即可判断①，证明()AFB CNA ASA ≅，推出CN AF AE ==即可判断④，证明()ABM NBM ASA ≅，得AM MN =，由直角三角形斜边的中线的性质推出AM DM MN ==，ADM ABM ∠=∠，即可判断③，根据三角形外角性质求出DNM ∠，证明MDN DNM ∠=∠，即可判断②．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴45ABC C ∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，∴45BAD CAD ∠=︒=∠，∵BE 平分ABC ∠， ∴122.52ABE CBE ABC ∠=∠=∠=︒， ∴9022.567.5BFD AEB ∠=∠=︒-︒=︒，∴67.5AFE BFD AEB ∠=∠=∠=︒，∴AF AE =，AM BE ⊥，∴90AMF AME ∠=∠=︒，∴9067.522.5DAN MBN ∠=︒-︒=︒=∠，在FBD 和NAD 中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FBD NAD ASA ≅，∴DF DN =，故①正确；在AFB △和CNA 中，4522.5BAF C AB ACABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴()AFB CNA ASA ≅，∴AF CN =，∵AF AE =，∴AE CN =，故④正确；在ABM 和NBM 中，90ABM NBM BM BMAMB NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()ABM NBM ASA ≅，∴AM MN =，在Rt ADN △中，AM DM MN ==，∴22.5DAN ADM ABM ∠=∠=︒=∠，∴22.522.545DMN DAN ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴DM 平分BMN ∠，故③正确；∵4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴1804567.567.5MDN DNM ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴DM MN =，∴DMN 是等腰三角形，故②正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．2．B解析：B【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．【详解】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．3．B解析：B【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【详解】A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．4．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．5．A解析：A【分析】延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出AG =，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．【详解】如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，∴222222061AG AR RG =+==+，∵H 是AG 中点，∴HG=10，∵1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅， ∴21204EN ⨯=，∴210EN =，在Rt △ENG 中，226105EG EN NG =-=， ∴105NH NG HG =-=， ∴222NH EH EN +==，故选：A ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．6．D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∠=∠时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合A、当BAD BDA题意；B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；D、当DE平分ADB故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，∴(222=+，4x x解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，⊥，∵D是AC边的中点，DE AC∴DE=1BC=4，2故选C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．8．C解析：C【分析】∠=∠，然后证明运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC DCEACB DCE∆≅∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：如图：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC CD =，90ACD ∠=︒；90ACB DCE ACB BAC ，即BAC ECD ∠=∠，在ABC ∆和CED ∆中，90ABC CED ACB CDEAC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACB CDE AAS ，AB CE ∴=，BC DE =；在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：22222221310AC AB BC AB DE ，即10b S ，则b 的面积为10，故选：C ．【点睛】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACB DCE ∆≅∆是解题的关键． 9．D解析：D【分析】①设∠EDC=x ，则∠DEF=90°-x 从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x ）-45°=45°+x ，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x ，从而可得到∠DBM=∠CDE ；③由△BDM ≌△DEF ，可知DF=BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=12AC ； ④可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明：△DNB 的面积=四边形NMFE 的面积，所以△DNB 的面积+△BNE 的面积=四边形NMFE 的面积+△BNE 的面积；【详解】解：①设∠EDC=x ，则∠DEF=90°-x ，∵BD=DE ，∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x ．∴∠DBM=∠CDE ，故①正确；②由①得∠DBM=∠CDE ，如果BN=DN ，则∠DBM=∠BDN ，∴∠BDN=∠CDE ，∴DE 为∠BDC 的平分线，∴△BDE ≌△FDE ，∴EB ⊥DB ，已知条件∠ABC=90°，∴②错误的；③在△BDM 和△DEF 中，DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDM ≌△DEF （AAS ），∴BM=DF ，∵∠ABC=90°，M 是AC 的中点，∴BM=12AC ， ∴DF=12AC ，即AC=2DF ；故③正确．④由③知△BDM ≌△DEF （AAS ）∴S △BDM =S △DEF ，∴S △BDM -S △DMN =S △DEF -S △DMN ，即S △DBN =S 四边形MNEF ．∴S △DBN +S △BNE =S 四边形MNEF +S △BNE ，∴S △BDE =S 四边形BMFE ，故④错误；故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S △BDE =S 四边形BMFE 是解题的关键．10．B解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可．【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ．故选择：B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．11．A解析：A【分析】根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1=8，∴A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键． 12．D解析：D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∴x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∴AG＝32，∴在Rt△ADG中，DG=．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题13．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线可得EA=EC再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论【详解】解：在矩形ABCD中∠B=90°根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线∴EA=EC∴EA=C解析：3 4【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴EA=CE=BC-BE=2-BE，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得222EA AB BE =+，∴22221BE BE -=+（），解得BE=34，故答案为34．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．14．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 15．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm 故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半解析：9【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm ．故答案为9．【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半． 16．≤AE≤【分析】取BC 中点O 利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE 再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC 中点O 连接OAOE ∵△ABC 正三角形且AB=6∴AO ⊥BCBO=OC=BC解析：333-≤AE ≤333+ 【分析】取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，∵△ABC 正三角形，且AB=6，∴AO ⊥BC ，BO=OC=12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ，∴333≤AE 333≤，故答案为：333≤AE 333≤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【解析：183【分析】由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得160,2BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，160,2BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥ 30ABO ∴∠=︒ 63BD =33BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，222(33)(2)x x ∴+=22274x x +=解得3x =3AO ∴=6AC ∴=∴菱形的面积6362183S =÷= 故答案为：183【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程解方程即可【详解】由折叠的性质得：BE ＝DE 设DE 长为xcm 则AE ＝（6−x ）cmBE ＝xcm ∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°根据勾股定理得：解析：103【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】由折叠的性质得：BE ＝DE ，设DE 长为xcm ，则AE ＝（6−x ）cm ，BE ＝xcm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2，即（6−x）2＋22＝x2，解得：x＝103，即DE长为103cm，故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．19．【分析】取AB的中点E则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB的中点E连接OEDE∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE中根据勾股定理得DE==解析：21+【分析】取AB的中点E，则OE=1，DE=2，利用三角形原理可确定最大值.【详解】如图，取AB的中点E，连接OE，DE，∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，在直角三角形DAE中，根据勾股定理，得DE=22DA AE+=2，∴当O，D，E三点共线时，DO最大，且最大值为2+1，故应该填21+.【点睛】本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键.20．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意解析：17 【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC=2AB ，理由见解析；（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形．【分析】（1）根据SAS 证明三角形全等即可．（2）先根据等腰三角形的性质可得∠NMA=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出MN=EM ，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABM=∠CDN ，∵点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，∴11,22==BM OB DN OD ∴BM=DN ，在△ABM 和△CDN 中， AB CD ABM CDN BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△CDN ．（2）当AC=2AB 时，四边形MECN 是矩形，理由如下：∵△ABM ≌△CDN ，∴AM=CN ，∠AMB=∠CND ，∴∠AMN=∠CNM ，∴AM ∥CN ，∵EM AM =，∴EM CN =，∴四边形EMNC 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=2OA ，∵AC=2AB ，∴AB=OA ，∵M 是OB 的中点，∴AM ⊥OB ，∴∠NMA=90°，∴∠NME=90°，∴平行四边形MECN 是矩形．（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形；理由如下：连接AN 、EN∵△ABM ≌△CDN ，∴AM=CN ，∠AMB=∠CND ，∴∠AMN=∠CNM ，∴AM ∥CN ，∵EM AM =，∴EM CN =，∴四边形EMNC 是平行四边形，∵EM AM =，∠ENA=90°∴MN=EM ，∴平行四边形EMNC 是菱形，∵AN=EN ，AM=EM∴∠NME=90°，∴四边形EMNC是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．503cm2【分析】由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD，∵S△ABF＝12AB×BF＝24cm2，∴BF＝8cm，在Rt△ABF中，AF222268AB BF+=+10（cm），∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF，∴BC＝10cm，∴FC＝BC﹣BF＝2cm，在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，∴DE2＝（6﹣DE）2＋4，∴DE＝103（cm），∴S△ADE＝12×AD×DE＝1101023⨯⨯＝503（cm2），答：折叠的△ADE的面积为503cm2．【点睛】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．23．（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．【分析】（1）只需要证明△BOD ≌△AOC ，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得ABD ∠的度数；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，可证明△OBE ≌△OBA ，得出OA=OE ，从而得出OG 为△ADE 的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，OA OB =，∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC （SAS ），∴∠OBD=∠OAB=45°，∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°，又∵OB=OB ，∠OBD=∠OBA=45°，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA ，又∵G 为AD 的中点，∴OG 为△ADE 的中位线，即OG//ED ，∴∠AOG=∠E=45°，即12AOG AOB ∠=∠ ， ∴OG 平分AOB ∠．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．24．（1）见解析；（2）90EDF ∠=︒；（3）12ABC ECFD S S =△四边形，理由见解析．【分析】（1）连接CD ，证明ECD FBD △≌△即可得到结论；（2）根据ECD FBD △≌△，得到EDC FDB ∠=∠，即可推出结论；（3）由ECD FBD △≌△，得到ECD FBD S S =△△，利用ECD FCD FBD FCD S S S S +=+△△△△得到结论12BCD ABC ECFD S S S ==△△四边形．【详解】解：（1）证明：连接CD ，如图所示：∵等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴12CD AB BD ==，45ECD B ∠=∠=︒，在ECD 和FBD 中，CE BF ECD B CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ECD FBD SAS △≌△，∴ED DF =；（2）ECD FBD △≌△，∴EDC FDB ∠=∠，∴EDC FDC FDB FDC ∠+∠=∠+∠，即90EDF CDB ∠=∠=︒；（3）结论：12ABC ECFD S S =△四边形 ∵ECD FBD △≌△，∴ECD FBD S S =△△，∴ECD FCD FBD FCD S S S S +=+△△△△，即12BCD ABC ECFD S S S ==△△四边形．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据题意选择恰当的证明方法是解题的关键．25．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD ，即可得出四边形ADCE 为菱形；（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ；先证明△BCD 是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt △CDF 中，求出DF 即可．【详解】解：（1）证明：∵AE ∥CD ，CE ∥AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∴CD=AB=AD ，∴四边形ADCE 为菱形；（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，如图所示：DF 即为菱形ADCE 的高，∵∠B=60°，CD=BD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE ∥AB ，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt △CDF 中，DF==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，AE BC =，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。

天津市八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（）A ．8B ．16C ．82D ．162 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 3．平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（） A ．4cm 或6cm B ．6cm 或10cm C ．12cm 或12cm D ．12cm 或14cm 4．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（）A ．1B ．2C ．4D ．86．下列命题中，错误的是（）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤ 8．下列命题中，正确的命题是（）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形9．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（）A ．23B ．17C ．25D ．3510．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．102D ．32211．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C ．13D ．612．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A ．3B ．423C ．2D ．352二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）14．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．15．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．16．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．17．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．19．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．三、解答题21．如图所示，小明在测量旗杆AB 的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C 处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D 处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB 的高度是多少米？22．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．23．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图1中，作一个以EF 为直角边的直角三角形；（2）在图2中，作一个以EF 为边的平行四边形．24．已知：如图，在ABCD 中，4,6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和面积．25．如图，点E 在ABCD 内部，//,//AF BE DF CE ．（1）求证：BCE ADF ≅∆；（2）求证：AEDF 1S 2ABCD S =四边形26．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴2AB 2＝42，∴AB 2＝8．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB≌△ABD，由于四边形是长方形，进而可得△ABE≌△CDE，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴CD=AB，AD=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△ABD（SSS），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE≌△CDE，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．3．D解析：D【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=12AC，OB=12BD，然后利用三角形三边关系分析求解即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，OB=12BD，A、∵AC=4cm，BD=6cm，∴OA=2cm，OB=3cm，∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；B、∵AC=6cm，BD=10cm，∴OA=3cm，OB=5cm，∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；C、∵AC=12cm，BD=12cm，∴OA=6cm ，OB=6cm ，∴OA+OB=12cm=12cm ，不能组成三角形，故不符合；D 、∵AC=12cm ，BD=14cm ，∴OA=6cm ，OB=7cm ，∴OA+OB=13cm ＞12cm ，能组成三角形，故符合；故选D ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．4．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．B解析：B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝124＝2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．7．D解析：D【分析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩，∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；∴EH ⊥GH ，④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．8．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．C解析：C【分析】如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠,AFE AEF ∴∠=∠5AE AF ∴==，224AB AE BE ∴=-=，四边形ABEM 为矩形，43ME AB AM BE ∴====，， 2MF ∴=，22+2 5.EF ME MF ∴=故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．10．C解析：C【分析】连接CE ，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG 的长；【详解】连接CE ，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中EC=22221310DE CD+=+=∵点F、G分别为BC、BE的中点,∴FG是△CBE的中位线，FG=12CE=10故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键. 11．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，此时DEF周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF为矩形，得出FF′=3，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF周长的最小值．【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E．此时DE+EF最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，DF =='∴△DEF 周长的最小值故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．12．D解析：D【分析】首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，∠DA′G ＝∠A ＝90°，∴∠BA′G ＝90°，BG ＝AB-AG ＝4-x ，A′B ＝BD-A′D ＝5-3＝2，∵在Rt △A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，∴x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， ∴AG ＝32，∴在Rt △ADG 中，DG=．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题13．②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB =--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．15．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF 故四边形的周长=AD+CD+EF 根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD 中AD ∥BCAC 与BD 互相平分∴AO=OC ∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF ，故四边形EFCD 的周长=AD+CD+EF ，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 互相平分∴AO=OC ，∠DAC=∠ACB ，∠AOE=∠COF∴△AOE ≌△COF∴AE=CF ，OF=OE=2.5∴四边形EFCD 的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF =19 2.52+×2 =14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．16．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG解析：24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠EGF ，∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，∴60GEF DEF ∠=∠=︒，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF 是等边三角形，∵EF=8，∴△GEF 的周长=24，故答案为：24．【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．17．【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．18．37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°可得∠B的度数由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B即可【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠B+∠BAD解析：37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE⊥AB，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B的度数是解决问题的关键．19．【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DEDF故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．20．【分析】利用矩形和折叠的性质证明∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA ≌△DCA 那么DC=DB 设AB=DC=x 在Rt △ADE 中通过勾股定理可求出AB 的长度【详解】解： 3【分析】利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x ，在Rt △ADE 中，通过勾股定理可求出AB 的长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC ，由翻折知，△AED ≌△A'ED ，△A'BE ≌△A'B'E ，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，∴∠AED=∠A'ED ，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E ，∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=13×180°=60°， ∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS ），∴DC=DB'，在Rt △AED 中，∠ADE=30°，AD=2，∴333，设AB=DC=x ，则23 ∵AE 2+AD 2=DE 2， ∴22233233x x +=+-（（解得，x 1=−33 （负值舍去），x 2=3 ，故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．三、解答题21．旗杆AB 的高度为10.6米【分析】过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形BCDE 为长方形，∴ 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，即3.638.16x =，解得10.6x =．答：旗杆AB 的高度为10.6米．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．22．（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，进而得出AB的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB＝QB，再根据BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长．【详解】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22，AB BP∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．23．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】(1)连接CE ，CF ，先利用勾股定理计算EF ，EC ，CF 的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ，连接1G D ，取CD ，C 1G 的中点即可，过点E 作E 1H ⊥1G D ，垂足为1H ，也可以得到符合题意的平行四边形.【详解】解：（1）在图1中，连接CE ，CF ，则EFC 即为所作；理由如下：∵4AB =，6AD =，2AE =，F 是AB 的中点，∴AF=BF=2，ED=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，∴2EF =22AE AF +=8，2EC =22DE DC +=32，2CF =22BC BF +=40，∵2EF +2EC =2CF ，∴EFC 是直角三角形.（2）如图2，四边形EFGH 即为所作．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.24．25221+，45 【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积．【详解】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-=，Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=，ABCD ∴的周长2(521)25221=+=+，ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明CBE DAF ∠=∠，BCE ADF ∠=∠，然后利用ASA 证明：△BCE ≌△ADF ；（2）根据点E 在ABCD 内部，可知：S △BEC +S △AED =12S ▱ABCD ，可得结论．【详解】解：()1四边形ABCD 是平行四边形， ,//AD BC AD BC =，180,ABC BAD ∴∠+∠=//,AF BE180,EAB BAF ∴∠+∠=︒,CBE DAF ∴∠=∠同理得,BCE ADF ∠=∠()BCE ADF ASA ∴∆≅∆()2点E 在ABCD 内部，∴12BEC AED ABCD S S S ∆∆+=，由()1知： ,BCE ADF ∆≅∆BCE ADF S S ∆∆∴=∴AEDF 1S 2ADF AED BEC AED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+=+=四边形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．26．（1）55︒；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==⨯=，ABC ∆的面积为40，∴1402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线，∴11402022ABD ABC S S ，又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴11201022EBD ABD S S ，则有：1151022BD EFEF 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。

【三套打包】天津市人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元试卷及答案(1)

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元测试人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习测试题一、选择题：1.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形2.如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A.16B.14C.12D.104.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD﹣DF5.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=600，AB=2,则矩形的对角线AC的长是（）A ．2B ．4C ．D ．6.下列三个命题中，是真命题的有（） ①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7.下列说法中正确的是（）A.四边相等的四边形是菱形B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是菱形8.若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD 一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形 9.已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ；②∠ABC=90°；③AC=BD ；④AC ⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④10.如图,在正方形ABCD 中,AB=2,延长BC 到点E,使CE=1,连接DE,动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB ﹣BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动,设点P 的运动时间为t 秒,当△ABP 和△DCE 全等时,t 的值为（）A.3B.5C.7D.3或711.用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（）A. B. C. D.12.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为（）A. B. C. D.二、填空题：13.如图,平行四边形ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE折叠,使点A正好与CD上的F 点重合,若△FDE的周长为16,△FCB的周长为28,则FC的长为．人教版数学科八年级下册第十八章平行四边形（含答案）一、选择题1.▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定▱ABCD是菱形的是() A．▱A＝▱DB．AB＝ADC．AC▱BDD．CA平分▱BCD2.如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，▱A＝▱B＝▱C ＝▱D＝▱E＝▱F＝▱H＝135°，则这个八边形的面积等于()A．7B．8C．9D．143.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为()A．4B．5C．6D．74.在数学活动课上，老师让同学判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟定方案，其中正确的是()A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否为直角D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等5.下列说法错误的是()A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形6.已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为()A．40B．47C．96D．1907.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若▱A＝135°，则▱MCD的度数是()A．45°B．55°C．65°D．75°8.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．▱A＝▱B，▱C＝▱DB．AB▱CD，AD＝BCC．AB＝BC，AD＝DCD．AB▱CD，▱B＝▱D9.在Rt▱ABC中，▱ACB＝90°，若D为AB的中点，CD＝6，则AB的长为()A．24B．12C．6D．310.如图，在▱ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是▱ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是()A．5B．7C．8D．1011.下列说法正确的是()A．矩形的对角线互相平分B．平行四边形的对角线相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形12.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m▱n.则下列说法正确的是()A．AC＝BPB．▱ABC的周长等于▱BCP的周长C．▱ABC的面积等于▱ABP的面积D．▱ABC的面积等于▱PBC的面积二、填空题13.李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方．商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填是或否)．14.如图，▱ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF▱AE于F，AB＝10，AC＝6，则DF的长为________．15.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且▱EOF ＝90°，则S四边形OEBF▱S正方形ABCD＝__________.16.如图，已知四边形ABCD，从下列任取3个条件组合，使四边形ABCD为矩形，把可能情况写出来(只填写序号即可，要求至少要写二个)(1)AB▱CD(2)AC＝BD(3)AB＝CD(4)OA＝OC(5)▱ABC＝90°(6)OB＝OD________________________________________________________________________17.如图，在四边形ABCD中，AB▱DC，E是AD中点，EF▱BC于点F，BC＝5，EF＝3.(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞”或“＝”或“＜”填空)．18.如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE▱BD，EC＝4，则AB的长是________．19.如图，AB▱CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若▱1＝40°，则▱CFG 的度数等于__________．20.如图，直线AE▱BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，▱ABD的面积为16，则▱ACE的面积为________．21.已知直角坐标系内有四个点O(0,0)，A(3,0)，B(1,1)，C(x,1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__________.22.如图，Rt▱ABC中，▱BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF▱AB于F，PE▱AC于E，则DF与DE的关系为________________．23.如图，在▱ABC中，▱C＝2▱B，D是BC上的一点，且AD▱AB，点E是BD的中点，连接AE.若BD＝13，则AC＝__________.24.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD▱BC，▱BAD＝▱DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________．三、解答题25.如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且▱AEF＝70°.求▱AGB的度数．26.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6，BO＝3.求AC的长及▱BAD 的度数．27.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G.(1)如图1，求证：AE▱BF；(2)如图2，将▱BCF沿BF折叠，得到▱BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值28.如图，已知：AB▱CD，BE▱AD，垂足为点E，CF▱AD，垂足为点F，并且AE＝DF.求证：(1)BE＝CF；(2)四边形BECF是平行四边形．29.在▱ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE▱BF，连接BE、CF.(1)求证：▱BDF▱▱CDE；(2)若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．30.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF.求证：▱ACF＝▱DBE.31.如图，▱ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边▱ADE.(1)求证：▱ACD▱▱CBF；(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且▱DEF＝30°.32.一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自己在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自己的是矩形．甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形．”乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角．所以我这个四边形门就是矩形．”根据他们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形．答案解析1.【答案】A【解析】A.错误．▱▱A＝▱D，▱A＋▱D＝180°，▱▱A＝▱D＝90°，▱四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故A错误．B．正确．▱AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，▱四边形ABCD是菱形．故B正确．C．正确．▱AC▱BD，四边形ABCD是平行四边形，▱四边形ABCD是菱形．故C正确．D．正确．▱CA平分▱BCD，AB▱CD▱▱BAC＝▱ACD＝▱BCA，▱BA＝BC▱四边形ABCD是平行四边形，▱四边形ABCD是菱形．故D正确．故选A.2.【答案】A【解析】如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，▱▱A＝▱B＝▱C＝▱D＝▱E＝▱F＝▱G＝▱H＝135°，▱▱BCM、▱DEN、▱FGP、▱AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7.故选A.3.【答案】C【解析】▱AB＝DC，AD＝BC，▱四边形ABCD为平行四边形，▱AO＝OC，BO＝DO，▱AO＝BO，▱AC＝BD，▱四边形ABCD为矩形，▱AD＝3，AB＝2，▱四边形ABCD的面积为AD·AB＝2×3＝6，故选C.4.【答案】D【解析】矩形的判定定理有▱有三个角是直角的四边形是矩形，▱对角线互相平分且相等的四边形是矩形，▱有一个角是直角的平行四边形是矩形，A．根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B．根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；C．根据一组对角是否为直角不能得出四边形是矩形，故本选项错误；D．根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；故选D.5.【答案】D【解析】A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选D.6.【答案】C【解析】如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，▱菱形的周长为40，▱AB＝BC＝CD＝AD＝10，▱一条对角线的长为12，当AC＝12，▱AO＝CO＝6，在Rt▱AOB中，BO＝＝8，▱BD＝2BO＝16，▱菱形的面积＝AC·BD＝96，故选C.7.【答案】A【解析】▱四边形ABCD是平行四边形，▱▱A＝▱BCD＝135°，▱▱MCD＝180°－▱DCB＝180°－135°＝45°.故选A.8.【答案】D【解析】A.▱▱A＝▱B，▱C＝▱D，▱A＋▱B＋▱C＋▱D＝360°，▱2▱B＋2▱C＝360°，▱▱B＋▱C＝180°，▱AB▱CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B．根据AB▱CD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C．根据AB＝BC，AD＝DC，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D．由AB▱CD，▱B＝▱D可以推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；故选D.9.【答案】B【解析】▱▱ACB＝90°，D为AB的中点，▱AB＝2CD＝12，故选B.10.【答案】D【解析】▱AB＝4，BC＝6，DE、DF是▱ABC的中位线，▱DE＝AB＝2，DF＝BC＝3，DE▱BF，DF▱BE，▱四边形BEDF为平行四边形，▱四边形BEDF的周长为2×2＋3×2＝10，故选D.11.【答案】A【解析】A.矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；B．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等；故本选项错误；C．根据矩形的定义知，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故本选项错误；D．“对角线相等的平行四边形是矩形”，而非“相等的四边形是矩形”；故本选项错误；故选A.12.【答案】D【解析】▱A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m▱n，根据平行线之间的距离相等可得：▱ABC与▱PBC是同底等高的三角形，故▱ABC的面积等于▱PBC的面积．故选D.13.【答案】否【解析】根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合(图▱)．若另一组对边不能重合，那么此纱布不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱布一定是正方形．故答案为否．14.【答案】2【解析】延长CF交AB于点G，▱AE平分▱BAC，▱▱GAF＝▱CAF，▱AF垂直CG，▱▱AFG＝▱AFC，在▱AFG和▱AFC中，▱▱AFG▱▱AFC(ASA)，▱AC＝AG，GF＝CF，又▱点D是BC中点，▱DF是▱CBG的中位线，▱DF＝BG＝(AB－AG)＝(AB－AC)＝2.15.【答案】【解析】▱四边形ABCD是正方形，▱OA＝OB，▱EAO＝▱FBO＝45°，又▱▱AOE＋▱EOB＝90°，▱BOF＋▱EOB＝90°，▱▱AOE＝▱BOF，在▱AOE与▱BOF中，▱▱AEO▱▱BFO，▱AE＝BF，▱BE＝CF，▱S四边形OEBF＝S△AOB，▱S四边形OEBF▱S正方形ABCD＝，16.【答案】(1)(4)(6)或(1)(3)(5)【解析】(1)(4)(6)(对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形)(1)(3)(5)一个角为90°的平行四边形为矩形．17.【答案】15＝【解析】(1)▱AB＝DC，AB▱DC，▱四边形ABCD是平行四边形，▱四边形ABCD的面积S＝5×3＝15，(2)如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，▱E是AD中点，▱AE＝DE，又▱AB▱CD，▱▱ABE＝▱P，▱A＝▱PDE，在▱ABE和▱DPE中，▱▱▱ABE▱▱DPE(AAS)，▱S△ABE＝S△DPE，BE＝PE，▱S△BCE＝S△PCE，则S四边形ABCD＝S△ABE＋S△CDE＋S△BCE＝S△PDE＋S△CDE＋S△BCE＝S△PCE＋S△BCE＝2S△BCE＝2××BC×EF＝15，▱当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′＝S，18.【答案】2【解析】如题图，在▱ABCD中，AB▱CD，且AB＝CD.▱点E在CD的延长线上，▱AB▱ED.又▱AE▱BD，▱四边形ABDE是平行四边形，▱AB＝ED，▱AB＝ED＝DC＝EC＝2.19.【答案】130°【解析】延长HG交CD于M，如图所示：▱AB▱CD，▱▱2＝▱1＝40°，▱四边形EFGH是矩形，▱▱FGH＝90°，▱▱FGM＝90°，▱▱CFG＝▱FGM＋▱2＝90°＋40°＝130°；20.【答案】10【解析】过点A作AF▱BD于点F，▱▱ABD的面积为16，BD＝8，▱BD·AF＝×8×AF＝16，解得AF＝4，▱AE▱BD，▱AF的长是▱ACE的高，▱S△ACE＝×AE×4＝×5×4＝10.21.【答案】4或－2【解析】根据题意画图如下：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C(4,1)或(－2,1)，则x＝4或－2.22.【答案】DF＝DE且DF▱ED【解析】如图，连接AD.▱AB＝AC，▱BAC＝90°，BD＝DC，▱AD＝BD＝DC，▱C＝▱BAD＝45°，▱PF▱AB，PE▱AC，▱▱AFP＝▱AEP＝▱EAF＝90°，▱四边形AFPE是矩形，▱C＝▱EPC＝45°，▱PE＝AF，PE＝EC，▱AF＝EC，在▱ADF和▱CDE中，▱▱ADF▱▱CDE，▱DF＝DE，▱FDA＝▱EDP，▱▱FDE＝▱ADC＝90°，故答案为DF＝DE且DF▱DE.23.【答案】6.5【解析】▱AD▱AB，点E是BD的中点，▱AE＝BE＝ED＝DB＝6.5，▱▱AED＝2▱B，▱▱C＝2▱B，▱▱AEC＝▱C，▱AC＝AE＝6.5.24.【答案】AC＝BD或▱BAD＝90°(答案不唯一)【解析】因为四边形ABCD中，AB▱CD，所以▱BAC＝▱ACD，因为▱BAD＝▱DCB，所以▱DAC＝▱BCA，所以AD▱BC，所以四边形ABCD是平行四边形，要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．25.【答案】解▱四边形ABCD是平行四边形，▱AB＝CD，▱B＝▱D，又▱BG＝DE，在▱ABG和▱CDE中，▱▱ABG▱▱CDE，▱▱AGB＝▱CED，▱▱CED＝▱AEF＝70°，▱▱AGB＝70°.【解析】首先证明▱ABG▱▱CDE，进而得到▱AGB＝▱CDE，结合题干条件即可得到答案．26.【答案】解▱四边形ABCD是菱形，▱AC▱BD，AC＝2OA，AD＝AB＝6，BD＝2BO＝2×3＝6，▱▱ABD是等边三角形，▱▱BAD＝60°；▱OA＝＝3，【解析】由四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6，BO＝3，易证得▱ABD 是等边三角形，即可求得▱BAD的度数，然后由勾股定理求得OA的长，继而求得AC的长．27.【答案】(1)证明▱E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，▱CF＝BE，在▱ABE和▱BCF中，▱Rt▱ABE▱Rt▱BCF(SAS)，▱▱BAE＝▱CBF，又▱▱BAE＋▱BEA＝90°，▱▱CBF＋▱BEA＝90°，▱▱BGE＝90°，▱AE▱BF；(2)解▱将▱BCF沿BF折叠，得到▱BPF，▱FP＝FC，▱PFB＝▱BFC，▱FPB＝90°，▱CD▱AB，▱▱CFB＝▱ABF，▱▱ABF＝▱PFB，▱QF＝QB，设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，▱QB＝x，PQ＝x－2，在Rt▱BPQ中，▱x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，即QF＝5.【解析】(1)首先证明▱ABE▱▱BCF，再利用角的关系求得▱BGE＝90°，即可证明AE▱BF；(2)由▱BCF沿BF对折，得到▱BPF可得FP＝FC，▱PFB＝▱BFC，▱FPB＝90，在利用角的关系求出QF＝QB，设设QF＝x，在Rt▱BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x 的值即可．28.【答案】证明(1)▱BE▱AD，CF▱AD，▱▱AEB＝▱DFC＝90°，▱AB▱CD，▱▱A＝▱D，在▱AEB与▱DFC中，▱▱AEB▱▱DFC(ASA)，▱BE＝CF；(2)▱BE▱AD，CF▱AD，▱BE▱CF，▱BE＝CF，▱四边形BECF是平行四边形．【解析】(1)通过全等三角形(▱AEB▱▱DFC)的对应边相等证得BE＝CF；(2)由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE▱CF.易得四边形BECF是平行四边形．29.【答案】(1)证明▱CE▱BF，▱▱CED＝▱BFD，▱D是BC边的中点，▱BD＝DC，在▱BDF和▱CDE中，▱▱BDF▱▱CDE(AAS)；(2)解四边形BFCE是矩形，证明：▱▱BDF▱▱CDE，▱DE＝DF，▱BD＝DC，▱四边形BFCE是平行四边形，▱BD＝CD，DE＝BC，▱BD＝DC＝DE，▱▱BEC＝90°，▱平行四边形BFCE是矩形．【解析】(1)根据平行线得出▱CED＝▱BFD，根据AAS推出两三角形全等即可；(2)根据全等得出DE＝DF，根据BD＝DC推出四边形是平行四边形，求出▱BEC＝90°，根据矩形的判定推出即可．30.【答案】证明▱四边形ABCD是正方形，▱AB＝BC，▱EAB＝▱CBF＝▱ABO＝▱BCO＝45°，在▱ABE与▱BCF中，▱▱ABE▱▱BCF，▱▱ABE＝▱BCF，▱▱ACF＝▱DBE.【解析】根据正方形的性质得到AB＝BC，▱EAB＝▱CBF＝▱ABO＝▱BCO＝45°，根据全等三角形的性质得到▱ABE＝▱BCF，由角的和差即可得到结论．31.【答案】证明(1)由▱ABC为等边三角形，AC＝BC，▱FBC＝▱DCA，在▱ACD和▱CBF中，所以▱ACD▱▱CBF(SAS)；(2)当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度，按上述条件作图，连接BE，在▱AEB和▱ADC中，AB＝AC，▱EAB＋▱BAD＝▱DAC＋▱BAD＝60°，即▱EAB＝▱DAC，AE＝AD，▱▱AEB▱▱ADC(SAS)，又▱▱ACD▱▱CBF，▱▱AEB▱▱ADC▱▱CFB，▱EB＝FB，▱EBA＝▱ABC＝60°，▱▱EFB为正三角形，▱EF＝FB＝CD，▱EFB＝60°，又▱▱ABC＝60°，▱▱EFB＝▱ABC＝60°，▱EF▱BC，而CD在BC上，▱EF平行且相等于CD，▱四边形CDEF为平行四边形，▱D在线段BC上的中点，▱F在线段AB上的中点，▱▱FCD＝×60°＝30°则▱DEF＝▱FCD＝30°.【解析】(1)在▱ACD和▱CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．(2)当▱DEF＝30°，即为▱DCF＝30°，在▱BCF中，▱CFB＝90°，即F为AB的中点，又因为▱ACD▱▱CBF，所以点D为BC的中点．32.【答案】解甲的说法错误，因为对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形；乙的说法正确，根据三角形都是直角的四边形是矩形．【解析】根据矩形的判定有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，可得甲说法错误，乙说法正确．人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习测试题教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习测试题一、选择题1.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°2.在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分3.顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种4.如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为A ．485cm B ．245cm C ．125cm D ．105cm 5.在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种6.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，已知∠BDC =62°，则∠DFE 的度数为A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°7.如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶D ．432∶∶ 8.如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A．15°B．30°C．45°D．60°9.Y ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是A．BE=DF B．AE=CFC．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF10.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．14二、填空题11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边AB的中点，将△ABC沿着AB平移到△DEF处，那么四边形ACFB的面积等于__________．12.如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．13.如图，Y ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为__________．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．15.如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6 cm，则DE的长度是__________cm．16.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD EC．其中正确结论的序号是____________．三、解答题17.如图，Y ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AD ，BC 分别相交于点E ，F ．求证：OE =OF ．18.如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．19.如图，B ，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF ，连接AD .求证：四边形ABED 是平行四边形．20.如图，在Y ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE 是菱形．21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．22.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．23.如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N 是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．参考答案1-10 BCCBBABABA11．【答案】912．【答案】15°13．【答案】1414．【答案】30°15．【答案】316．【答案】①②④⑤17.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．18.【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°.∵M为AD的中点，∴AM=MD，∴△ABM≌△DCM. （2）1∶2，理由：∵AB∶AD=1∶2，∴A。

天津雍阳中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．22B ．23C ．231+D ．232+ 2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（）A ．2PD EC =B ．AP EF =，且AP EF ⊥C ．四边形PECF 的周长是8D ．12BD EF AB ≤< 3．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE 4．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形5．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（）A ．72B ．62C ．7D ．736．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．1021128．下列命题中，正确的命题是（）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形 9．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．20 10．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（）A ．23B ．17C ．25D ．3511．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°12．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（）A ．5B ．8C ．11或5D ．11或14二、填空题13．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．14．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．16．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______． 17．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）18．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．19．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．20．如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，作AE l ⊥于E ，连结CE ，若4BE =，3AE =，则BCE 的面积________．三、解答题21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．22．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．23．在ABC 中，AC BC =，点E 在边AB 所在的直线上，过点E 作//DE BC 交直线AC 于点D ，//EF AC 交直线BC 于点F ，构造出平行四边形CDEF ．（1）若点E 在线段AB 上时．①求证：FE FB =．②求证：DE EF BC +=．（2）点E 在边AB 所在的直线上，若8BC =，2EF =，请作出简单示意图并直接写出DE 的长度．24．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．25．在ABC 中，23,AB CD AB =⊥于点,2D CD =．（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，①AC 的长为________；②延长AC 至点E ，使得CE AC =，此时CE 与CB 的数量关系是_______，BCE ∠与A ∠的数量关系是_______；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画BCE ∠（点E 与点D 在直线BC 的异侧），使2BCE ∠=,A CE CB ∠=，连接AE ．①按要求补全图形；②求AE 的长．26．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ．（1）证明：//DE CB ；（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GIHF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI ，则有1FIGI ， ∴31EF HF HI FI ， ∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．A解析：A【分析】由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形PECF 是矩形，得到EC PF =，再结合正方形的性质，解得2PD EC =，由此判断A ；过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，由角平分线的性质得到PN PE =，继而结合勾股定理证明AP EF =、证明四边形PEFM 是平行四边形，即可得到EF PM AP ==，设BE x =，结合勾股定理证明222PM A M P A +=，即可判断B ；根据等腰直角三角形的性质计算四边形PECF 的周长即可判断C ；设BE x =，由勾股定理解得EF 的长，再结合04x ≤≤，解得EF 与BD AB 、的数量关系即可判断D ．【详解】解：A. ,PE BC PF CD ⊥⊥90PEC PFC ∴∠=∠=︒90C ∠=︒∴四边形PECF 是矩形EC PF ∴=正方形ABCD 中45PDF ∠=︒22PD PF EC ∴==故A 错误；B.过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，BD 平分ABC ∠，PN AB ⊥，PE BC ⊥PN PE ∴=222222,AP AN PN EF EC PE =+=+且,AN EC PN PE ==AP EF ∴=//,//PM EF PE CD∴四边形PEFM 是平行四边形EF PM AP ∴==设BE x =，则,42PE FC MF x DM x ====-，4EC PF x ==-22(4)AP EF PM x x ===+-222216(42)AD MD AM x +==+-222AP PM AM +=AP PM ∴⊥AP EF ∴⊥故B 正确；C. BPE 为等腰直角三角形PE BE ∴=4PE PF BE EC BC ∴+=+==故四边形PECF 的周长为2()8PE PF +=，故C 正确；D.设BE x =EF ∴=2222(4)28+16=2(2)4x x x x x +-=-⋅-+04x ≤≤42EF ∴≥12EF BD ∴≥ 4EF <EF AB ∴<12BD EF AB ∴≤< 故D 正确，故选：A ．【点睛】本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 3．B解析：B【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证△ABE ≌△CDE ，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，∵AD ∥BC'，∴∠EDB=∠DBC'，∴∠EDB=∠EBD ，故选项C 正确；∴BE=DE ，∵AD=BC ，∴AE=CE ，故选项A 正确；在△ABE 和△CDE 中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDE （SAS ），故选项D 正确；没有条件能够证明12AE BE =，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 4．D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故本选项不符合题意；B 、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D 选项；故选：D ．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．5．A解析：A【分析】根据勾股定理求出BE ，证明四边形EFGH 为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABE 中，AE ＝5，AB ＝13，由勾股定理得，BE 12，∵△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 是四个全等的直角三角形，∴∠AEB ＝∠BFC ＝∠CGD ＝90°，BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝5，∴∠FEB ＝∠EFC ＝∠FGD ＝90°，EF ＝EH ＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH 为正方形，∴EG，故选：A ．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．6．C解析：C【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE∵OE =OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A4A5//A1A3，A3A4=A2A4，∴∠A3A5A4=90°，∠A4A3A2=∠A2=30°，∴△A1A2A3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …，所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．8．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．C解析：C【分析】如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠,AFE AEF ∴∠=∠5AE AF ∴==，4AB ∴==，四边形ABEM为矩形，，，∴====ME AB AM BE43∴=，2MF22∴==EF ME MF+2 5.故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．11．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质解决问题即可【详解】解：在平行四边形ABCD中，∵BC∥AD，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=4∠A，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．C解析：C【分析】△与AOB的周长相差3，可分情况得根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=AO ，∵AOD △与AOB 的周长相差3，∴AB-AD=3，或AD-AB=3，∵AB=8，∴AD 的长为5或11，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．二、填空题13．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴12BC =，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．14．28【分析】过点作于根据菱形的性质得到继而可证再利用含30°角的直角三角形性质解得结合勾股定理解得的长根据折叠的性质得到最后在中利用勾股定理得据此整理解题即可【详解】过点作于是菱形是中点在中折叠在中解析：2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ，根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【详解】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒221,213DH HE ∴==-=折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG解析：24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠EGF ，∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，∴60GEF DEF ∠=∠=︒，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF 是等边三角形，∵EF=8，∴△GEF 的周长=24，故答案为：24．【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．16．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是解析：23或43【分析】首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ， ∴23MA AE MC BC ==；如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ， ∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC 的值是23或43．故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．17．①③④【分析】连接EH得出平行四边形EHBG推出BG=EH求出∠CEF=∠AFC得出CE=CF证△CAE≌△HAE推出CE=EH即可得出答案【详解】解：如图连接EH∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9解析：①③④【分析】连接EH，得出平行四边形EHBG，推出BG=EH，求出∠CEF=∠AFC，得出CE=CF，证△CAE≌△HAE，推出CE=EH，即可得出答案．【详解】解：如图，连接EH，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠B+∠4=90°，∴∠3=∠B，故①正确；∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，∵AE平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AED=∠CEF，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形，故②错误；∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH=FC ，在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，AF AF CF FH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），∴AC=AH ，在△CAE 和△HAE 中，12AC AH AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△HAE （SAS ），∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，∵∠3=∠B ，∴∠AHE=∠B ，∴EH ∥BC ，∵CD ⊥AB ，FH ⊥AB ，∴CD ∥FH ，∴四边形CEHF 是平行四边形，∴CE=FH ，∴CD=CE+DE=FH+DE ，故③正确；∵EG ∥AB ，EH ∥BC ，∴四边形EHBG 是平行四边形，∴EH=BG ，∵CE=EH ，∴BG=CE ．故④正确．所以正确的是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．18．【分析】如详解图：作垂足为F 的延长线垂足为G 可证可得四边形AFOG 为正方形BF=CGAF=AG=进而可求得答案【详解】如图所示：作垂足为F 的延长线垂足为G 则四边形AFOG 为矩形四边形BCDE 是正方形解析：3【分析】如详解图：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，可证OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形，BF=CG ，AF=AG=【详解】如图所示：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，则四边形AFOG 为矩形，四边形BCDE 是正方形，∴OB=OC ，90BOC ∠=°，9090COG COF BOF COF BOF COG∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠,,OFB OGC OB OC OFB OGCOF OG∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形63233233233223AO AF AG AC CG AG AC BF CGAB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+= 故答案为：623．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质，关键是构造全等三角形证明． 19．【分析】先证明△AEC 是等腰三角形再证OE ⊥AC 然后用勾股定理求出OE 即可求【详解】解：如图1连接OE ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC=3AD ∥BC ∴∠DAC=∠ACB 又∵∴∠ACB=∠EA 解析：37【分析】先证明△AEC 是等腰三角形，再证OE ⊥AC ，然后用勾股定理求出OE ，即可求AEC S ∆．【详解】解：如图1，连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=3，AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，又∵DAC EAC ∠=∠，∴∠ACB=∠EAC ，∴AE=EC=4，∴△AEC 是等腰三角形，∴OE ⊥AC ，在Rt △AOE 中，由勾股定理得，AO 2+OE 2=AE 2，∴32+OE 2=42，∴OE=7， ∴167372AEC s =⨯⨯=，故答案是：37．【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识，证明△AEC 是等腰三角形是解本题的关键．20．8【分析】过C 作于点F 根据正方形的性质找出对应相等的边和角求证出得到即可求三角形的面积【详解】如图所示过C 作于点F 四边形ABCD 是正方形又又在和中故答案为8【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等解析：8【分析】过C 作CF l ⊥于点F ，根据正方形的性质找出对应相等的边和角，求证出ABE BCF ≅得到 4CF BE ==即可求三角形的面积．【详解】如图所示，过C 作CF l ⊥于点F ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，又AE BE ⊥，CF BF ⊥，90AEB BFC ∴∠=∠=︒，又18090ABE CBF ABC ∠+∠=︒-∠=︒，18090ABE BAE AEB ∠+∠=︒-∠=︒，CBF BAE ∴∠=∠，∴在ABE △和BCF △中， AEB BFC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE BCF ∴≅，4CF BE ∴==，12BCE S BE CF ∴=⨯⨯1442=⨯⨯8=，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等的判定，以及三角形面积的公式，难度一般．三、解答题21．（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=+︒或1452βα=-+︒，见解析【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵点D 是AB 的中点，∴AD DC BD ==，∴DCB ABC ∠=∠．∵90CDE ∠=︒，∴90E DCB ∠+∠=︒，∴A E ∠=∠；②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，∵BD 平分CDE ∠，∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．∵DB DC =，∴DCB DBC x ∠=∠=︒，∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，∴906822A ∠=︒-︒=︒；（2）①如图，当CD CE =时，∴CDE CED β∠=∠=．∵A α∠=，AD DC =，∴ACD α∠=，∴90DCB α∠=︒-，∴290180βα+︒-=︒，得1452βα=+︒；②如图，当CD CE =时∴CDE E β∠=∠=，∴290βα=︒-，得1452βα=-+︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．22．（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△ ∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG∴四边形QMRN为平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（1）①见解析；②见解析；（2）10或6【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FEB=∠A，根据等边对等角得到∠B=∠A，可得∠FEB=∠B，从而可证；②证明四边形CDEF是平行四边形，得到CF=DE，结合FE=FB可得结论；（2）点E在边AB所在的直线上，分三种情况讨论，即可得出DE的长度．【详解】解：（1）①∵EF∥AC，∴∠FEB=∠A，又∵AC=BC，∴∠B=∠A，∴∠FEB=∠B，∴FE=FB；②∵EF∥AC，DE∥BC，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CF=DE，∵EF=BF，∴DE+EF=CF+BF=BC；（2）如图，同理可得：BF=EF，∴DE=BC+BF=BC+EF=8+2=10．如图，同理可得：BF=EF，DE=CF=BF-BC=EF-BC=2-8=-6（不合题意）．如图④，DE=BC-BF=BC-EF=8-2=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 24．见解析【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（1）①5；②CE=CB；∠BCE=2∠A ；（2）①补全的图形见解析；②25．【分析】（1）①由D 是BC 的中点及CD ⊥AB ，根据勾股定理即可求解；②证明△ADC ≌△BDC ，继而得到BC=CE ，根据∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，即可得到∠BCE=2∠A ；（2）①根据题干补全图形即可；②作∠ACM=∠BCE ，在射线CM 上截取CF=CA ，连接BF 、AF ，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，利用已知条件先证△ACE ≌△FCB ，得到AE=BF ，然后再证四边形ADCG 是矩形，可求得AG=CD=2AF ，Rt △BAF 中，利用勾股定理即可求出BF ，继而可得AE 的长．【详解】解：（1）①∵D 是BC 的中点，CD ⊥AB ，∴AD=BD=3，∠ADC=∠BDC =90°，∴在Rt △ADC 中，可得：225AC AD CD =+=；②如图，延长AC 至点E ，使CE=AC ，在△ADC 和△BDC 中，DC DCAD BD ADC BDC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BDC ，∴AC=BC ，又∵AC=CE ，∴CB=CE ，∵∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，∴∠BCE=∠CAB+∠CAB=2∠CAB ，即∠BCE=2∠A ；（2）①补全的图形见下图：②如图，作∠ACM=∠BCE，在射线CM上截取CF=CA，连接BF、AF，过点C作CG⊥AF于点G，∴∠ACM+∠FCE=∠BCE+∠FCE，即∠ACE=∠FCB，∵CE=CB，∴△ACE≌△FCB，∴AE=BF，又∵CG⊥AF，∴∠CGF=90°，∵CF=CA，∴∠ACF=2∠ACG，AF=2AG，又∵∠BCE=2∠BAC，∠ACF=∠BCE，∴∠ACG=∠BAC，∴CG∥AD，∴∠AGC=∠BAF=∠ADC=90°，∴四边形ADCG 是矩形，∴，∴AF=，在Rt △BAF 中，∠BAF=90°，AB=，AF=∴BF ===又∵AE=BF ，∴AE=即AE的长为【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、矩形的判定和性质、勾股定理及尺规作图，解题的关键是综合运用这些知识．26．（1）见解析；（2）AC ＝12AB 【分析】（1）首先连接CE ，根据直角三角形的性质可得CE ＝12AB ＝AE ，再根据等边三角形的性质可得AD ＝CD ，然后证明△ADE ≌△CDE ，进而得到∠ADE ＝∠CDE ＝30°，再有∠DCB ＝150°可证明DE ∥CB ；（2）当AC ＝12AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形．根据（1）中所求得出DC ∥BE ，进而得到四边形DCBE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：连结CE ．∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE ． ∵△ACD 是等边三角形，∴AD ＝CD ．在△ADE 与△CDE 中，AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SSS ），∴∠ADE ＝∠CDE ＝30°．∵∠DCB ＝150°，∴∠EDC +∠DCB ＝180°．∴DE ∥CB ．（2）当AC＝12AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形，理由：∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠DCB＝150°，∴∠DCB+∠B＝180°，∴DC∥BE，又∵DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形．【点睛】此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．。

天津市2018年八年级数学下册《平行四边形》单元测试卷(含答案)

2018年八年级数学下册平行四边形单元测试卷一、选择题:1.下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.下列命题中，不正确的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形3.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A．4 B．12 C．24 D．284.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．165.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（）A．2 B．3 C．4 D．56.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF等于( )A．75°B．60°C．50°D．45°7.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )A．4 B．2.4 C．4.8 D．59.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为( )A．20m B．25m C．30m D．35m10.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．1711.如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(﹣1，﹣)，点C 的坐标为(2，c)，那么a，c的值分别是( )A．a=﹣1，c=﹣B．a=﹣2，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2，c=212.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，若CD=5，则EF长为.15.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm，BC=4cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．16.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．17.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为______个18.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．三、作图题：19.如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A．B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．四、解答题：20.如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．21.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．22.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．24.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE 的延长线于点F，连接BF（1）求证：FB=AO；（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．26.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12,CF=5,求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.C．2.B．3.B.4.A5.C；6.C.7.C；8.B.9.C10.C.11.12.C.13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：515.答案为：3或1.516.答案为：．17.答案为： 318.答案为：1019.解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ 即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，∵S正方形ABGH=（）2=26，∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．20.解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4，由勾股定理得，AO===3，∴AC=2AO=2×3=6，∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72．21.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF22.证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．23.解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵∠1=∠5,∠2=∠F,AF=CE，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．24.25.证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．∵E是BO的中点，∴EG是△BFC的中位线，∴EG=0.5BF．同理，EG=0.5OC，∴BF=OC．又∵点O是▱ABCD的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．又∵BF∥AC，即BF∥AO，∴四边形AOBF为平行四边形，∴FB=AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO是菱形．26.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．第11 页共11 页。

天津市南开区2018年八年级下《平行四边形》单元测试卷(含答案)

天津市南开区2018年八年级下《平行四边形》单元测试卷(含答案)2018年八年级数学下册平行四边形单元测试卷一、选择题:1.下列命题中,真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.下列命题中，不正确的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形3.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A．4 B．12 C．24 D．284.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE 的长为（）A．13 B．14 C．15 D．165.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（）A．2 B．3 C．4 D．56.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF等于( )A．75°B．60°C．50°D．45°7.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（）A．9 B．10 C．11 D．128.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )A．4 B．2.4 C．4.8 D．59.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为( )A．20m B．25m C．30m D．35m10.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．1711.如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(﹣1，﹣)，点C的坐标为(2，c)，那么a，c的值分别是( )A．a=﹣1，c=﹣B．a=﹣2，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2，c=212.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，若CD=5，则EF长为.15.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm，BC=4cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．16.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．17.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为______个18.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．三、作图题：19.如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A．B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．四、解答题：20.如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．21.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．22.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．24.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．25.如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：FB=AO；（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．26.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12,CF=5,求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.C．2.B．3.B.4.A5.C；6.C.7.C；8.B.9.C10.C.11.12.C.13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：515.答案为：3或1.516.答案为：．17.答案为： 318.答案为：1019.解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ 即为所求．理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，∵S正方形ABGH=（）2=26，∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．20.解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4，由勾股定理得，AO===3，∴AC=2AO=2×3=6，∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72．21.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF22.证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．23.解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵∠1=∠5,∠2=∠F,AF=CE，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．24.25.证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．∵E是BO的中点，∴EG是△BFC的中位线，∴EG=0.5BF．同理，EG=0.5OC，∴BF=OC．又∵点O是▱ABCD的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．又∵BF∥AC，即BF∥AO，∴四边形AOBF为平行四边形，∴FB=AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO是菱形．26.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。

初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)

初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷一时间：90分钟满分：100分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1.四边形的内角和等于360º，外角和等于360º。

2.正方形的面积为4，它的边长为2，一条对角线长为2√2.3.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是五边形。

4.如果四边形ABCD满足条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）：AB × CD + AD × BC = AC × BD。

5.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为4√5 cm。

6.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20 cm²。

7.平行四边形ABCD，加一个条件：AB = BC，它就是菱形。

8.等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为36 cm。

9.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为10 cm。

10.如图，ABCD中，XXX于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为 4.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，则EF=2，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S₁:S₂为3:1.12.下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形B。

13.如图，XXX从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了20米。

14.如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n 个正方形的面积是（n-1）/4.二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）15.如图，ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于60°。

天津市西青区2018-2019学年八年级数学下册 18.1 平行四边形同步练习(含答案)

2019年八年级数学下册平行四边形同步练习一、选择题1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对角相等B.对角线互相平分C.一组对边相等D.对角线互相垂直2.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD=BCB.∠A=∠C，∠B=∠DC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC3.如图，在▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是( )A.16°B.22°C.32°D.68°4.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点.若OE=3cm，则AB的长为（）A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm5.如图,在平行四边形ABCD中,AD=7,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=4,则AB长为（）A.4B.3C.2.5D.26.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.（3，1）B.（﹣4，1）C.（1，﹣1）D.（﹣3，1）7.如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.58.如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=100°，则∠DAE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°9.如图，在▱ABCD中，连结AC，∠B=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是 ( )A.2B.2C.22D.410.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A 运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s 二、填空题:11.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ______ ．12.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．13.如图，若□ABCD的周长为36cm,过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，□ABCD的面积为cm2．14.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为．15.如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为cm．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD=5，则EF的长为．三、解答题:17.如图,在平行四边形ABCD中,BD是对角线,E、F是BD上的两点,DE=BF.求证：四边形AFCE是平行四边形．18.如图,□ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G，求证：AE=BG.19.如图,□ABCD的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD,BC相交于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=4,BC=7,OE=3,试求四边形EFCD的周长．20.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=.求：（1）AE的长；(2)△EFC的面积；答案1.B2.A3.C4.B.5.B6.B7.B.8.A9.C10.B11.答案为：1512.答案为：24．13.答案为：4014.答案为：2.5．15.答案为：1016.答案为：517.证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵DE=BF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠AGD=∠CDG，∠BEC=∠DCE，∵∠ΒCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，∴∠ADG=∠CDG，∠BCE=∠DCE，∴∠AGD=∠ADG，∠BEC=∠BCE，∴AG=AD，BE=BC，∴AG=BE，∴AE=BG.19.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）∵△AOE≌△COF∴AE=FC，OF=OE又∵在ABCD中，BC=A D CD=AB∴FC+DE=AE+ED=AD=BC=7 ∴S四边形EFCD=EF+FC+CD+ED=6+7+4=1720.解：。

天津市南开外国语高级中学八年级数学下册第十八章《平行四边形》基础卷(培优专题)

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒ 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．43．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．2B ．3C ．231D ．232 4．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形 5．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组． 6．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（）A ．72B ．62C ．7D ．737．下列命题中，错误的是（）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．8．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A ．26B ．29C ．2243 D ．12539．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．10211210．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 11．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC ∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF =+ 12．如图，菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边AD 上一动点，将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，则△BCF 面积的最大值是（）A ．8B ．83C ．16D ．163 13．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．14C ．20D ．2414．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．102D ．32215．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（）A ．6B ．43C ．43+D ．423+二、填空题16．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．17．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．18．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．19．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 20．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．21．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．22．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．23．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．24．如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结EG 并延长交BD 于点N ，交AD 于点M ．则线段MN 的长是__________．25．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．26．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．三、解答题27．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且3AM =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．28．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，且90EDF ∠=︒．求证：DE DF =．29．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形；（2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．30．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形．。

天津耀华滨海学校八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（）A ．4B ．5C ．8D ．102．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A ．3B ．2C ．23D ．43．下列说法正确的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A ．26B ．29C ．2243D ．12536．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．118．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．20 9．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（）A ．23B ．17C ．25D ．35 10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )A ．若∠ACP=45°，则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=24511．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（）A ．6B ．43C ．43+D ．423+ 12．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝6cm ，宽AB ＝2cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长______cm ．14．如图，正方形ABCD 中，5AD =，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且4AE FC ==，3BE DF ==，则EF 的平方为________．15．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．16．如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结EG 并延长交BD 于点N ，交AD 于点M ．则线段MN 的长是__________．17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．18．如图，将一张长方形纸片折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_____cm 2．19．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），继续沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ；整个过程共折叠了8次，问图（1）中DEF ∠的度数是_________．20．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．22．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．23．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．24．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，连结DE ，点F 在DE 上CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．（1）求证：GF GD =；（2）联结AF ，求证：AF DE ⊥．25．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF △≌△；（2）判断BEF 的形状，并说明理由．26．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据题意求出EF ，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=6， ∵DE=3DF ，∴EF=4，∵∠AFC=90°，E 是AC 的中点，∴AC=2EF=8，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线，∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．3．B解析：B【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．【详解】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．4．A解析：A【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=12 EG．【详解】解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，∴EF∥AB，EF=12AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG=12CD，∴EG=12CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EH＝HG，即EH=12EG，故③正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．5．A解析：A【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∴EF=6，又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.7．C解析：C【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC DCE ∠=∠，然后证明ACB DCE ∆≅∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：如图：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC CD =，90ACD ∠=︒；90ACB DCE ACB BAC ，即BAC ECD ∠=∠，在ABC ∆和CED ∆中，90ABC CED ACB CDEAC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACB CDE AAS ，AB CE ∴=，BC DE =；在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：22222221310AC AB BC AB DE ，即10b S ，则b 的面积为10，故选：C ．【点睛】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACB DCE ∆≅∆是解题的关键． 8．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴=5,DE BE ∴== 115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．C解析：C 【分析】如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠,AFE AEF ∴∠=∠5AE AF ∴==，224AB AE BE ∴=-=，四边形ABEM 为矩形，43ME AB AM BE ∴====，，2MF ∴=，22+2 5.EF ME MF ∴=故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．10．D解析：D【分析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．【详解】解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，∴22228610AB AC BC+=+=，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，1122ABCS AC BC AB PC =⋅=⋅△,即11861022PC⨯⨯=⨯⋅，解得245PC=,故D选项正确，C选项错误．故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．11．D解析：D【分析】只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．12．A解析：A【分析】根据翻折的性质，可得当Q与D重合时，A1B最小，根据勾股定理，可得A1C，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q与D重合时，A1B最小，A1D=AD=10，由勾股定理，得：A1=8，∴A1B=10-8=2，故选A．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q与D重合时，A1B最小是解题的关键．二、填空题13．【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程解方程即可【详解】由折叠的性质得：BE＝DE设DE长为xcm则AE＝（6−x）cmBE＝xcm∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°根据勾股定理得：解析：10 3【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（6−x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2，即（6−x）2＋22＝x2，解得：x＝103，即DE长为103cm，故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．14．2【分析】延长BE 交CF 于G 再根据全等三角形的判定得出△BCG 与△ABE 全等得出AE=BG=4由BE=3得出EG=1同理得出GF=1再根据勾股定理得出EF 的平方【详解】解：延长BE 交CF 于G 如图：∵解析：2【分析】延长BE 交CF 于G ，再根据全等三角形的判定得出△BCG 与△ABE 全等，得出AE=BG=4，由BE=3，得出EG=1，同理得出GF=1，再根据勾股定理得出EF 的平方．【详解】解：延长BE 交CF 于G ，如图：∵AB=5，AE=4，BE=3，222345+=，∴△ABE 是直角三角形，∴同理可得△DFC 是直角三角形，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，543AB CD AE CF BE DF ==⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴Rt △ABE ≅Rt △CDF ，∴∠1=∠5，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90︒，∴∠4+∠5=90︒，∠4+∠3=90︒，∠1+∠2=90︒，∴∠3=∠5，∠4=∠2，在△CBG 和△BAE 中，3524AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CBG ≌△BAE （ASA ），∴AE=BG=4，CG=BE=3，∴EG=4-3=1，同理可得：GF=1，∴EF 2=EG 2+GF 2=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定理计算．15．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形得到∠ABC=∠D=102°再AD=AE=BE 得出∠EAB=∠EBA ∠BEC=∠BCA 继而得到∠ACB=2∠BAC 再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-解析：26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．16．【分析】根据题意易证明和是等腰直角三角形再根据勾股定理即可求出MN 【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形∴∴和是等腰直角三角形∴∴在中故答案为：【点睛】本题考查正方形和平行线的性质等腰直角三角形【分析】根据题意易证明MND 和MDG 是等腰直角三角形，2DM DC GC =-=．再根据勾股定理即可求出MN ．【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，//AD BE ．∴45DMG BEM MDN DGM ∠=∠=∠=∠=︒，∴MND 和MDG 是等腰直角三角形，∴422DG DM DC GC ==-=-=． ∴在Rt MND △中，222222MN MD ==⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查正方形和平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．根据题意证明MND 是等腰直角三角形在结合勾股定理求解是解答本题的关键． 17．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF解析：2【分析】过D 作DF ⊥AC 于F ，得到AB ∥DF ，求得AF ＝CF ，根据三角形中位线定理得到DF =12AB ＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∴∠DFC ＝∠A ＝90°，∴AB ∥DF ，∵点D 是BC 边的中点，∴BD ＝DC ，∴AF ＝CF ，∴DF =12AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DE =2DF =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．18．40【分析】先由矩形的性质得AD=BC=13cm ∠A=∠D=90°AD ∥BC 再由折叠的性质得AB=AB=4cmAE=AE=3cmCD=CD=4cmDF=DF=3cm求出EF的长然后由梯形面积公式即可解析：40【分析】先由矩形的性质得AD=BC=13cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，再由折叠的性质得AB=A'B=4cm，AE=A'E=3cm，CD=CD'=4cm，DF=D'F=3cm，求出EF的长，然后由梯形面积公式即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=13cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴EF∥BC，AB⊥AD，由折叠的性质得：AB=A'B=4cm，AE=A'E=3cm，CD=CD'=4cm，DF=D'F=3cm，∴EF=AD-AE-DF=13-3-3=7（cm），∴等腰梯形BCFE的面积=12（EF+BC）×AB=12（7+13）×4=40（cm2），故答案为：40．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰梯形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．19．20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了8次可得CF与GF重合依据平行线的性质即可得到∠DEF的度数【详解】解：设∠DEF=α在图（1）中∵是长方形纸带∴AD//BC∴解析：20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了8次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．【详解】解：设∠DEF=α，在图（1）中∵是长方形纸带，∴AD//BC，∴∠EFB=∠DEF =α，∵折叠8次后CF与GF重合，∴∠CFE=8∠EFB=8α，∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE=180°，∴α+8α=180°，∴α=20°，即∠DEF=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质．在本题中应理解∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．20．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B解析：【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，=∴在Rt△HEC中，2=∴BE=CH又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6∴=故答案为：【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．三、解答题21．（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【详解】解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．22．见解析【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．证明见解析．【分析】连接AC ，证ABE ACF ≌即可【详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．∵60B ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ABE ACF ≌．∴AE AF =．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由CF CD =可证得CFD CDF ∠=∠，因为90ADC GFC ∠∠==，所以GFD GDF ∠=∠，再由等腰三角形的判定即可得证；（2）因为,CF CD GF GD ==，所以GC 是FD 的垂直平分线，再证DAE CDG △≌△由全等三角形对应边相等可得AE DG =，这样AG GD GF ==即可解决问题；【详解】证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=，FG FC ⊥，90GFC ∠∴=，CF CD =CFD CDE ∴∠=∠，GFC CFD ADC CDE ∠∠∠∠∴-=-，即GFD GDF ∠=∠，GF GD ∴=．（2）如图，连结CG ．,CF CD GF GD ==∴点G 、C 在线段FD 的中垂线上，GC DE ∴⊥，90CDF DCG ∠∠∴+=，90CDF ADE ∠∠+=，DCG ADE ∠∠∴=．四边形ABCD 是正方形，,90AD DC DAE CDG ∠∠∴===，DAE CDG ∴△≌△，AE DG ∴=，点E 是边AB 的中点，∴点G 是边AD 的中点，AG GD GF ∴==，,DAF AFG GDF GFD ∠∠∠∠∴==180DAF AFG GFD GDF ∠∠∠∠+++=，22180AFG GFD ∠∠∴+=90AFD ∠∴=，即AF DE ⊥．【点睛】本题是正方形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，侧重考查了学生的逻辑推理能力和对知识的应用能力．25．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析【分析】（1）由菱形ABCD 边长与对角线都是2，知ABD △和BCD △都是等边三角形．可得60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，可证BDE BCF △≌△；（2）由BDE BCF △≌△，得DBE CBF ∠=∠，BE BF =，利用=60DBF DBE DBF CBF ∠+∠=∠+∠︒．可证BEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =，∴ABD △和BCD △都是等边三角形．∴60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，∵2AE DE AD +==，而2AE CF +=，∴DE CF =，∴BDE BCF △≌△；（2）解：BEF 为等边三角形．理由如下：∵BDE BCF △≌△，∴DBE CBF ∠=∠，BE BF =，∵60DBC DBF CBF ∠=∠+∠=︒°，∴60DBF DBE ∠+∠=︒．即60EBF ∠=︒．∴BEF 为等边三角形．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．26．（1）55︒；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==⨯=，ABC ∆的面积为40， ∴1402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴11402022ABD ABC S S ，又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴11201022EBD ABD S S ，则有：1151022BD EFEF 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。

天津市育贤中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒ 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．43．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．2B ．3C ．231D ．232 4．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（）A ．40064-B ．2240064-C ．2240064-D ．40064+ 5．平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（） A ．4cm 或6cm B ．6cm 或10cm C ．12cm 或12cm D ．12cm 或14cm 6．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形7．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（）A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9 8．如图，在菱形ABCD 中，对角线BD ＝4，AC ＝3BD ，则菱形ABCD 的面积为（）A ．96B ．48C ．24D ．69．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（）A ．5B ．5C ．45D ．1010．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长不变C ．线段EF 的长逐渐减小D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 11．下列命题中，正确的命题是（）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形 12．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（）A ．5B ．8C ．11或5D ．11或14二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．14．如图，将ABCD 沿对角线AC 进行折叠，折叠后点D 落在点F 处，AF 交BC 于点E ，有下列结论：①ABF CFB ≌；②AE CE =；③//BF AC ；④BE CE =，其中正确结论的是__________．15．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．16．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．17．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．18．如图，A B 、两点分别位于山脚的两端，小明想测量A B 、两点间的距离，于是想了个主意，先在地上取一个可以直接达到A B 、两点的点C ，找到AC BC 、的中点D 、E ，并且测出DE 的长为15m ，则A B 、两点间的距离为_________m ．19．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，CF 平分ECD ∠，则BE =_________．20．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．三、解答题21．如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =．求证：（1）BE DF =；（2）//BE DF ．22．如图，在ABC 中，CD 是AB 边的中线，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ．求证：2BF CF =．23．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．24．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点．（1）求证：//EF DG ，EF DG =；（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．25．下图所示的三种拼块A ，B ，C ，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A 的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A 种拼块，2个B 种拼块，4个C 种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位；（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A 种拼块和1个B 种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A ，B ，C 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．26．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．（1）求证：BE DG =（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．C解析：C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线，∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 3．D解析：D【分析】连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GIHF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI ，则有1FIGI ， ∴31EF HF HI FI ，∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 4．A解析：A【分析】要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则2400c=，264b=，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a，即可得到答案．【详解】设M的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则2400c=，264b=，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：22240064a c b=-=-，故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．5．D解析：D【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=12AC，OB=12BD，然后利用三角形三边关系分析求解即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，OB=12BD，A、∵AC=4cm，BD=6cm，∴OA=2cm，OB=3cm，∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；B、∵AC=6cm，BD=10cm，∴OA=3cm，OB=5cm，∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；C、∵AC=12cm，BD=12cm，∴OA=6cm，OB=6cm，∴OA+OB=12cm=12cm，不能组成三角形，故不符合；D、∵AC=12cm，BD=14cm，∴OA=6cm，OB=7cm，∴OA+OB=13cm＞12cm，能组成三角形，故符合；故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．6．D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当=时，它是菱形，故本选项不符合题意；AB BC⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90∠=时，四边形ABCD是ABC矩形，故本选项不符合题意；=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．7．C解析：C【分析】分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．【详解】解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．8．C解析：C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．9．A解析：A【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴AE=CE，∴DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=12AH，∵△DFE的面积为1，∴1DE•DF=1，2∴DE•DF=2，∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，∴AB•AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=1AC，2∴AB•2AB=8，∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴BC=22222425+=+=．AB AC故选：A．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．10．B解析：B【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．【详解】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选：B．【点睛】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．11．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO ，再根据AOD △与AOB 的周长相差3，可分情况得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=AO ，∵AOD △与AOB 的周长相差3，∴AB-AD=3，或AD-AB=3，∵AB=8，∴AD 的长为5或11，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．二、填空题13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线解析：2【分析】根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，118422CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，EF ∴是BCD ∆的中位线，114222EF CD ∴==⨯=，故答案为：2．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．①②③【分析】根据SSS 即可判定△ABF ≌△CFB 根据全等三角形的性质以及等式性质即可得到EC ＝EA 根据∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA 即可得出BF ∥AC 根据E 不一定是BC 的中点可得BE ＝CE解析：①②③【分析】根据SSS 即可判定△ABF ≌△CFB ，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC ＝EA ，根据∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，即可得出BF ∥AC ．根据E 不一定是BC 的中点，可得BE ＝CE 不一定成立．【详解】解：由折叠可得，AD ＝AF ，DC ＝FC ，又∵平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AF ＝BC ，AB ＝CF ，在△ABF 和△CFB 中，AB CF AF CB BF FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CFB （SSS ），故①正确；∴∠EBF ＝∠EFB ，∴BE ＝FE ，∴BC -BE ＝FA -FE ，即EC ＝EA ，故②正确；∴∠EAC ＝∠ECA ，又∵∠AEC ＝∠BEF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，∴BF ∥AC ，故③正确；∵E 不一定是BC 的中点，∴BE ＝CE 不一定成立，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角解析：5【分析】根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】F ，G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132GH CE ==， ∵∠FGH =90°，∴由勾股定理得，5FH ===，故答案为：5．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16．【分析】取AB 的中点E 则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB 的中点E 连接OEDE ∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE 中根据勾股定理得DE==1【分析】取AB 的中点E ，则OE=1，.【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，在直角三角形DAE 中，根据勾股定理，得，∴当O ，D ，E 三点共线时，DO 最大，，1.【点睛】本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 17．【分析】画出图形证明四边形EFGH是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG得到四边形EFGH的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD是平行四边形EFGH分别是各边中点过点G作EH的垂线垂足解析：122【分析】画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC和BD夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=233222=，∴四边形EFGH的面积=MG EH⋅=62，∴平行四边形ABCD的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．18．30【分析】由DE分别是边ACAB的中点首先判定DE是三角形的中位线然后根据三角形的中位线定理求得AB的长即可【详解】解：∵DE分别是ACBC 的中点∴DE是△ABC的中位线根据三角形的中位线定理得：解析：30【分析】由D，E分别是边AC，AB的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的长即可．【详解】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=30m．故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键．19．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME 然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x，则有EC=EG=3+x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，3BG =，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+，解得：76x =， ∴76BE =；故答案为76．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．20．【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF 进而得出FG 是△DCP 的中位线得出DG=GP=PE=再利用勾股定理得出BG 的长进而得出FG 即可【详解】解：如图过点C 作CP ∥BG 交DE 于点P ∵B解析：3【分析】用全等三角形的判定AAS 得出△ADF ≌△ECF ，进而得出FG 是△DCP 的中位线，得出DG=GP=PE=1223DE =，再利用勾股定理得出BG 的长，进而得出FG 即可．【详解】解：如图，过点C 作CP ∥BG ，交DE 于点P ．∵BC=CE=2，∴CP 是△BEG 的中位线，∴P 为EG 的中点．又∵AD=CE=2，AD ∥CE ，在△ADF 和△ECF 中，AFD EFC ADC FCE AD CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴CF=DF ，又CP ∥FG ，∴FG 是△DCP 的中位线， ∴G 为DP 的中点．∵CD=CE=2，∴2，因此DG=GP=PE=1223DE =．连接BD ，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．又∵22BD = ∴2284589BG BD DG =+=+=． ∴115243FG CP BG ===， 5 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,//AD BC AD BC ∴=，DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠，AE CF =，AF EC ∴=，在ΔFAD 和ΔECB 中，AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，BE DF ∴=；（2）ΔΔFAD ECB ≅，F E ∠=∠∴，//BE DF ∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．22．见解析【分析】取AF 的中点M ，连接DM ，则DM 是△ABF 的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．【详解】证明：取AF 的中点M ，连接DM ，∵CD 是AB 边的中线，∴D 是AB 边的中点，∴2BF DM =，//DM BC ．∴MDE FCE ∠=∠，DME CFE ∠=∠．∵E 是CD 的中点，∴DE CE =，在△MDE 和△FCE 中，MDE FCE DME CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDE FCE ≌△△．∴DM CF =，∴2BF CF =．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB =∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用中位线性质可得12ED BC =，//ED BC ．12FG BC =，//FG BC ．可证四边形EFGD 是平行四边形．由平行四边形性质可得EF DG =，//EF DG ．（2）由EFGD 和OG GC =，可推得EO OG CG ==．求13462ABC S =⨯⨯=△由点D 是AC 中点，1322DEC AEC S S ==△△．由三等分可求2231332DEG DEC S S ==⨯=△△．根据平行四边形性质可得四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【详解】（1）证明：∵点E ，D 分别是AB ，AC 的中点， ∴12ED BC =，//ED BC ． ∵点F ，G 分别是OB ，OC 的中点， ∴12FG BC =，//FG BC ． ∴FG ED =，//FG ED ．∴四边形EFGD 是平行四边形．∴EF DG =，//EF DG ；（2）解：∵EFGD ，∴EO OG =．又∵OG GC =，∴EO OG CG ==． ∵3AB =，4AC =， ∵13462ABC S =⨯⨯=△， ∵点D 是AC 中点， ∴1322DEC AEC S S ==△△．∴2231332DEG DEC S S ==⨯=△△． ∴四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键． 25．（1）25；（2）补图见解析．【分析】(1)根据题意，知A 的拼块的面积为 3 个单位，B 的面积为3个单位，C 的面积为4个单位，即可得出；(2)图1用了3个A ，2个B ，1个C ，图2用了4个A ，1个B ，1个C ，和(1)不同即可．【详解】（1）13234425⨯+⨯+⨯=，∴正方形的面积为25；（2）答案不唯一，如：【点睛】本题主要考查了正方形的面积组合，读懂题意是解题的关键．26．（1）见详解；（2）AB ：BC=2：3．【分析】（1）根据平移的性质，可得：AE=CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 即可得到BE=DG ；（2）根据四边形ABFG 是菱形，得出AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 的AB 与BC 满足的数量关系即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ．∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG，AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．∴BE=DG；（2）∵四边形ABFG是菱形∴AB∥GF，AG∥BF，∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=1AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）2∵四边形ABFG是菱形，∴AB=BF．∴BE=CF，∴EF=1AB，2∴BC=3AB，2∴AB：BC=2：3．【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质．。

上海市外国语大学附属实验八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(有答案解析)

一、选择题1．下列命题是真命题的是（）A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对于所有自然数n ，237n n -+的值都是质数D ．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形3．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且另一组对边也平行4．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（）A ．72B ．62C ．7D ．735．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（）A ．5B ．5C ．45D ．106．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205 7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤ 8．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（）A ．8B ．6C ．4D ．29．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．2010．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα= 11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( ) A ．若∠ACP=45°，则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=24512．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°二、填空题13．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．14．215，2，则该三角形最长边上的中线长为____． 15．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．16．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．17．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．18．如图，将一张长方形纸片折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_____cm 2．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．20．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．三、解答题21．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．22．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥．（1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数；（2）求证：=+BA BC AD ；（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．23．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．24．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，沿EF 对折后，得到折痕EF ，把纸片展平；第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（标记为点O ），并使折痕经过点B ；第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕BR ，同时连接BO RO 、．这时就可以得到BR BO 、把直角ABC 三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是由BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，求证：25．如图，在正方形中ABCD ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE ︒∠=，判断线段GE BE GD 、、之间的数量关系，并说明理由．26．在ABC 中，23,AB CD AB =⊥于点,2D CD =．（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，①AC 的长为________；②延长AC 至点E ，使得CE AC =，此时CE 与CB 的数量关系是_______，BCE ∠与A ∠的数量关系是_______；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画BCE ∠（点E 与点D 在直线BC 的异侧），使2BCE ∠=,A CE CB ∠=，连接AE ．①按要求补全图形；②求AE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A进行判断；根据平行四边形的判定对B进行判断；取n=6可对C进行判断；根据三角形全等的知识可对D进行判断．【详解】解：A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A选项错误；B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；C、当n=6时，n2-3n+7=25，25不是质数，所以C选项错误；D、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项准确．故选：D．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．2．D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当=时，它是菱形，故本选项不符合题意；AB BC⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90∠=时，四边形ABCD是ABC矩形，故本选项不符合题意；=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．3．B解析：B【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【详解】A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．4．A解析：A【分析】根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG，故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．5．A解析：A【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD ，∵DE ∥BC ，∴AE=CE ，∴DE=12BC ， ∵DF ⊥BC ， ∴DF ∥AH ，DF ⊥DE ，∴BF=HF ，∴DF=12AH ， ∵△DFE 的面积为1， ∴12DE•DF=1， ∴DE•DF=2， ∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，∴AB•AC=8，∵AB=CE ，∴AB=AE=CE=12AC ， ∴AB•2AB=8， ∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴22222425AB AC +=+=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B由题意，以此类推，21C B =22C B =∴第3个正方形1234C C C C 25==…∴第n 个正方形的边长为1n -∴第2020个正方形的边长为2019故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．7．D解析：D【分析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩，∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；∴EH ⊥GH ，④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．8．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，利用勾股定理求出BC ，再根据三角形中位线定理求出DE ．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，设BC=x ，则AB=2x ， ∴(22243x x =+，解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥，∴DE=12BC=4，故选C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．9．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．D解析：D【分析】四个选项，A 、C 选项CP 为顶角的平分线， B 、D 选项CP 为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D 选项．【详解】解：∵∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8，∴22228610 AB AC BC+=+=，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，1122ABCS AC BC AB PC =⋅=⋅△,即11861022PC⨯⨯=⨯⋅，解得245PC=,故D选项正确，C选项错误．故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．12．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质解决问题即可【详解】解：在平行四边形ABCD中，∵BC ∥AD ，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=4∠A ，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题13．3【分析】根据菱形的轴对称性可得AC 关于BD 对称当APE 三点共线时的值最小为AE 再根据三角形的面积即可得出答案【详解】解：∵四边形菱形∴AC 关于BD 对称∵点EC 在BD 的同侧∴当APE 三点共线时的值最解析：3【分析】根据菱形的轴对称性可得A 、C 关于BD 对称，当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小为AE ，再根据三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 菱形，∴A 、C 关于BD 对称，∵点E ，C 在BD 的同侧，∴当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小，且最小值为AE ；∵以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3， 2DE =， ∴112322⨯=⨯=AE DE AE ， ∴AE=3， ∴PE PC +的最小值是3故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．14．【分析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【详解】∵∴此三角形是直角三角形斜边为5∴该三角形最长边上的中线长为：5=故答案为：【点睛】本题考查解析：5 2【分析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵2222255+==，∴此三角形是直角三角形，斜边为5，∴该三角形最长边上的中线长为：12⨯5=52．故答案为：52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理的应用，熟记性质并判断出此三角形是直角三角形是解题的关键．15．8【分析】过点A作AM⊥BC过点A作AN⊥BC交DE于N证明△AFN≌△BFE得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC∴∠B=∠C∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析：8【分析】过点A作AM⊥BC，过点A作AN⊥BC交DE于N，证明△AFN≌△BFE，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE BC⊥，∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，∵∠BFE=∠AFD，∠B=∠C，∴∠BFE=∠AED=∠CDE，∴AD=AF，过点A作AM⊥BC，在△ABC中，∵AB=AC，∴M为BC的中点，∴BM=12BC=6，在Rt△ABM中，=∵F为AB中点，FE⊥BC，∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132BM =，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，∴△AFN ≌△BFE ，∴AN=BE=3，在Rt △AND 中， DN=2222534AD AN -=-=，∵AD=AF ，AN ⊥DF ，∴DF=2DN=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．16．【分析】过点M 作于N 则可得MN 是的中位线利用三角形中位线定理可得MN=AC=3BN=CN=BC=4设CF=x 则NF=4-x 由折叠的性质可得MF=CF 在中利用勾股定理即可求解【详解】解：过点M 作于N ∵解析：258【分析】过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点M 作MN BC ⊥于N ，∵90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，∴//MN AC ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是Rt ABC △的中位线，∴MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，∵将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，∴MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，∴()22234x x +-=，解得258x =， ∴CF=258．故答案为：258．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．17．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M 交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交解析：223 【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E ，即可得出结果．【详解】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=12AD=2， ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ，∴A′E=AE ，A′B=AB=2，∴A′N=22A B BN '-=0，即A′与N 重合， ∴A′M=2= A′E ，∴AE=2；②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A′B=2PB ，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，设A′E=x ，则BE=2x ，在△A′EB 中，()22222x x =+，解得：x=23， ∴AE=A′E=233；综上所述：AE 的长为223，故答案为：223．【点睛】本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．18．40【分析】先由矩形的性质得AD=BC=13cm∠A=∠D=90°AD∥BC再由折叠的性质得AB=AB=4cmAE=AE=3cmCD=CD=4cmDF=DF=3cm求出EF的长然后由梯形面积公式即可解析：40【分析】先由矩形的性质得AD=BC=13cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，再由折叠的性质得AB=A'B=4cm，AE=A'E=3cm，CD=CD'=4cm，DF=D'F=3cm，求出EF的长，然后由梯形面积公式即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=13cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴EF∥BC，AB⊥AD，由折叠的性质得：AB=A'B=4cm，AE=A'E=3cm，CD=CD'=4cm，DF=D'F=3cm，∴EF=AD-AE-DF=13-3-3=7（cm），∴等腰梯形BCFE的面积=12（EF+BC）×AB=12（7+13）×4=40（cm2），故答案为：40．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰梯形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．19．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB＝90°∠B＝30°AC＝2D是斜边AB中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形解析：2.【分析】先由30所对的直角边是斜边的一半求解,AB再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】解：∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，24AB AC∴==，D是斜边AB中点，1 2.2CD AB ∴== 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．20．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意解析：17【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．三、解答题21．（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△ ∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG∴四边形QMRN为平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB ∥CD ，∴∠MQN=∠QND ，∴∠MQN=∠AOE ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．22．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）52a 或3910a 【分析】（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．【详解】（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥， ∴11804022BAP DAP BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒；（2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠，∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，在ABP △和AGP 中，BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠，∴ABP AGP ≌， ∴BA GA =，BP GP =，∵//BC AD ，∴CBP DGP ∠=∠，在BCP 和GDP △中，CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，∴BCP GDP △≌△，∴=BC GD ，∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；（3）分两种情况讨论，①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，∴AE BF =，∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，由（2）可知，ABP AGP ≌，∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，由（2）可知，BCP GDP △≌△，∴=CP DP ，=BC GD ，∵//BC AD ，∴BFP GEP ∠=∠，在CFP 和DEP 中，CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，∴CFP ≌DEP ，∴CF DE =，∵=BC GD ，∴BC CF GD DE +=+,∴BF EG =，又∵四边形ABFE 是平行四边形，∴BF AE =,∴BF AE EG ==,∴25AG AE a ==， ∴52AE a =；图2②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，∴CF DE =，∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，∴5BF AE BC AD AB a +=+==，在Rt ABP 中，2162ABP S BP AP a =⋅=△，由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=⨯=，解得，245BH a =，在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =-=， ∵//BC AD ，∴BH FI =，BF HI =，∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，BH FI =，AB EF =，∴Rt BHA △≌Rt FIE △， ∴75AH EI a ==， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，∴2()BF AE BF AH +=+， ∴1110BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=．图3【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．23．（1）见解析；（2）3AC =【分析】（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD ∥BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC =，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD =，1CD ∴=， ∴223AC AD CD =-=．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键． 24．点O 在折痕EF 上，BR BO 、把ABC ∠三等分，见解析【分析】如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上；连接AO ，根据折叠的性质可得△AOB 为等边三角形，然后结合矩形的性质即可求证所求问题．【详解】解：已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上．求证：BR BO 、把ABC ∠三等分证明：连接AO线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕∴EF 垂直平分AB 又点O 在对称轴EF 上AO BO ∴=BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形,12BO AB ∴=∠=∠AO BO AB ∴==ABO ∴∆是等边三角形60ABO ︒∴∠=又12ABO ∠+∠=∠1230︒∴∠=∠=又90ABC ︒∠=330ABC ABO ︒∴∠=∠-∠=123∴∠=∠=∠BR BO ∴、把ABC ∠三等分．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．25．（1）见解析；（2）GE=BE+GD ，理由见解析【分析】（1）由DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB ≌△CFD ，从而证出CE=CF ；（2）由（1）得，CE=CF ，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF ，故可证得△ECG ≌△FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠B=∠CDA ，∴∠B=∠CDF ，在△CBE 与△CDF 中，BC CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CBE ≌△CDF （SAS ），∴CE=CF ；（2）GE=BE+GD ，理由：由（1）得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ，CE=CF ．∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，在△ECG 与△FCG 中，CE CF GCE GCF GC GC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ），∴GE=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ．。

天津海河中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．42．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（）A ．4﹣22B ．32﹣4C ．1D ．23．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．2B ．3C ．231D ．2324．如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（）A ．24B ．25C ．26D ．285．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A ．3B ．2C ．23D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．下列命题中，错误的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．8．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（） A ．OAB OBA ∠=∠； B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠；D ．OAB OAD ∠=∠．9．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A ．26B ．29C ．2243D ．125310．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长不变C ．线段EF 的长逐渐减小D ．线段EF 的长与点P 的位置有关11．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．10211212．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( ) A ．若∠ACP=45°，则CP=5 B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5 C ．若∠ACP=45°，则CP=245 D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245二、填空题13．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2．14．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．16．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．17．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．18．把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若38CDF ∠=︒，则EFD ∠ 的度数是_________．19．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．20．如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为__．三、解答题21．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．求证：（1）四边形ADBC 是梯形；（2）12AD BC =． 22．已知：如图，在ABCD 中，4,6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和面积．23．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 24．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AC BD =，EBC FCB ∠=∠，BE CF =．求证：四边形AFDE 是平行四边形；25．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为多少？26．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点．（1）求证：//EF DG ，EF DG =；（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】 ∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形， ∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点， ∴EF 为△CBD 的中位线，∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于2【详解】解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°， ∵∠BAE ＝22.5°，∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠DAE ＝∠AED ， ∴AD ＝DE ＝4， ∵正方形的边长为4， ∴BD ＝42，∴BE ＝BD ﹣DE ＝42﹣4， ∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°， ∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴EF ＝2BE ＝2×（42﹣4）＝4﹣22．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．3．D解析：D 【分析】连接HF ，过点G 作GIHF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI ，则有1FIGI ，31EFHFHIFI，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GIHF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ． ∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHFHEF∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI，30GHI,又∵GI HF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ， ∴31EFHFHIFI，∴正方形的对角线2231232AC EF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．4．C解析：C 【分析】延长BN 交AC 于D ，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND ，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．【详解】解：延长BN 交AC 于D ， ∵AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，∴AD=AB=6，BN=ND ，又M 是△ABC 的边BC 的中点， ∴DC=2MN=4， ∴AC=AD+DC=10，则△ABC 的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥， ∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线，∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．6．A解析：A 【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED ⊥CA ，根据三角形中位线定理可得EF =12AB ；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG =12CD ，即可得EF ＝EG ；连接EG ，可证四边形DEFG 是平行四边形，即可得EH=12EG ．【详解】解：如图，连接FG ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BD ＝2AD ， ∴OD ＝AD ， ∵点E 为OA 中点， ∴ED ⊥CA ，故①正确；∵E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点， ∴EF ∥AB ，EF=12AB ，∵∠CED＝90°，CG＝DG=12CD，∴EG=12CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EH＝HG，即EH=12EG，故③正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．7．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．8．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAB=∠ACD，∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．9．A解析：A【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∴EF=6，又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF 的长不变．【详解】解：因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF 平行与AR ，且等于AR 的一半．所以当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变．故选：B ．【点睛】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．11．B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …，所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．12．D解析：D【分析】四个选项，A 、C 选项CP 为顶角的平分线， B 、D 选项CP 为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D 选项．【详解】解：∵∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8，∴22228610AB AC BC +=+=，当CP 为AB 的中线时，152CP AB ==，若∠ACP=45°，如图1，则CP 为直角∠ACB 的平分线，∵BC≠AC ，∴CP 与中线、高线不重合，不等于5，故A 选项错误；若∠ACP=∠B ，如图2∵∠ACB =90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP 为AB 的高线，∵BC≠AC ，∴CP 与中线不重合，不等于5，故B 选项错误；当CP 为AB 的高线时，1122ABC S AC BC AB PC =⋅=⋅△, 即11861022PC ⨯⨯=⨯⋅，解得245PC =, 故D 选项正确，C 选项错误．故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．二、填空题13．24【分析】画出符合题意的图形利用菱形的对角线互相垂直平分求解另一条对角线的长再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案【详解】解：如图菱形的周长为20cm 一条对角线的长为8cm 故答案解析：24【分析】画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．【详解】解：如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，一条对角线AC 的长为8cm ，5,4,,,AD AB BC CD cm OA OC cm OB OD AC BD ∴=======⊥2222543OD AD AO ∴=-=-=，26,BD OD cm ∴==2116824.22ABCD S AC BD cm ∴==⨯⨯=菱形故答案为：24.【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．14．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB ===--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．15．【分析】如详解中图先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10DE=DA=8-m 利用勾股定理计算出OE=6则EB=4在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m2+42然后解方程求出m 即可得解析：(10,3)【分析】如详解中图，先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m ，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m 2+42．然后解方程求出m 即可得到点D 的坐标．【详解】解：如图，作△CDE ．设DB=m ．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED 与△CAD 关于直线CD 对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m ，在Rt △COE 中，22108-，∴EB=10-6=4．在Rt △DBE 中，∠DBE=90°，∴DE 2=DB 2+EB 2．即（8-m ）2=m 2+42．解得m=3，∴点D 的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．16．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的解析：2020212 【分析】由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：111121,22A B C ABC C C ==2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=， 111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222A B C A B C C C ==⨯= ······总结规律：21,2n n n A B C n C =运用规律：当2020n =时，202020202020202021.2A B C C= 故答案为：202021.2【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 17．【分析】过点P 作PG ⊥CB 交CB 的延长线于点G 过点Q 作QF ⊥CB 运用AAS 定理证明△QBF ≌△BPG 根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC 为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt△ABC中，8∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF⊥BC，∠ECB=45°∴△CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键18．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD 是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．19．【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∴∠DFC ＝∠A ＝90°，∴AB ∥DF ，∵点D 是BC 边的中点，∴BD ＝DC ，∴AF ＝CF ，∴DF =12AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DE =2DF =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．20．【分析】根据平移的性质判断AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF 再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可【详解】如图连接CF 由平移的性质知AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF ∴四边形ACFD 为平行四边形∴＝解析：28【分析】根据平移的性质，判断AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可．【详解】如图，连接CF ．由平移的性质知，AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，∴四边形ACFD 为平行四边形．∴ACFD S ＝AD •BC ＝4×8＝32，∵FO ＝2，∴S △FOC ＝12OF •BE ＝1242⨯⨯＝4， ∴AOFD S 四边形＝ACFD FOC S S -＝32-4＝28．故答案为28．【点睛】本题考查图形的平移以及平行四边形的判定．根据题意得出AOFD S 四边形＝ACFD FOC SS 是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD ，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB ，进而可以证明AD ∥BC ，可以证出四边形ADBC 是梯形；（2）延长DE 交BC 于F ，证明△BDE ≌△BFE ，从而得出四边形ACFD 是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠DAB ，∵∠DBA=∠ABC ，∴∠ABC=DAB ，∴AD ∥BC ，∵AC 与BD 不平行，∴四边形ADBC 是梯形，（2）如图，延长DE 交BC 于F ，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC =．【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．22．25221+，45【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积．【详解】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-=，Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=，ABCD ∴的周长2(521)25221=+=+，ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC．【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形，再由OC=OB′ 得到四边形OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形．（2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒． 180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2．【点睛】本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．24．见解析【分析】证明△ABE ≌△DCF ，得到AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，推出AE ∥DF ，即可证明结论．【详解】解：∵AC=BD ，即AB+BC=CD+CB ，∴AB=CD ，∵∠EBC=∠FCB ，∴∠ABE=∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD ABE DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，∴AE ∥DF ，∴四边形AFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是根据全等得到对应角和对应边相等．25．503cm 2 【分析】由面积法可求BF 的长，由勾股定理可求AF 的长，即可求CF 的长，由勾股定理可求DE 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝AD ，∵S △ABF ＝12AB×BF ＝24cm 2， ∴BF ＝8cm ，在Rt △ABF 中，AF =10（cm ），∵沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，∴AD ＝AF ＝10cm ，DE ＝EF ，∴BC ＝10cm ，∴FC ＝BC ﹣BF ＝2cm ，在Rt △EFC 中，EF 2＝EC 2＋CF 2，∴DE 2＝（6﹣DE ）2＋4，∴DE ＝103（cm ）， ∴S △ADE ＝12×AD×DE ＝1101023⨯⨯＝503（cm2），答：折叠的△ADE 的面积为503cm 2．【点睛】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用中位线性质可得12ED BC =，//ED BC ．12FG BC =，//FG BC ．可证四边形EFGD 是平行四边形．由平行四边形性质可得EF DG =，//EF DG ．（2）由EFGD 和OG GC =，可推得EO OG CG ==．求13462ABC S =⨯⨯=△由点D 是AC 中点，1322DEC AEC S S ==△△．由三等分可求2231332DEG DEC S S ==⨯=△△．根据平行四边形性质可得四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【详解】（1）证明：∵点E ，D 分别是AB ，AC 的中点， ∴12ED BC =，//ED BC ． ∵点F ，G 分别是OB ，OC 的中点， ∴12FG BC =，//FG BC ． ∴FG ED =，//FG ED ．∴四边形EFGD 是平行四边形．∴EF DG =，//EF DG ；（2）解：∵EFGD ，∴EO OG =．又∵OG GC =，∴EO OG CG ==． ∵3AB =，4AC =， ∵13462ABC S =⨯⨯=△， ∵点D 是AC 中点， ∴1322DEC AEC S S ==△△． ∴2231332DEG DEC S S ==⨯=△△． ∴四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键．。

天津汇森中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测题(答案解析)

一、选择题1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组． 4．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，己知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确．．的是（）A ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形D ．若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是正方形6．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 8．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．209．如图，菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边AD 上一动点，将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，则△BCF 面积的最大值是（）A ．8B ．83C ．16D ．163 10．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C ．13D ．611．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒12．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．12aB ．25aC ．32aD ．33a 二、填空题13．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2． 14．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．15．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．16．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．17．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．19．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．20．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝12cm ，AB ＝18cm ，CD ＝23cm ，动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，以2cm/s 的速度向点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t＝3时，PB＝cm．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）四边形PBQD能否成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．22．如图所示，小明在测量旗杆AB的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB的高度是多少米？=．23．如图，ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE CF=；求证：（1）BE DFBE DF．（2）//24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且∠=∠，BE CF=．=，EBC FCBAC BD求证：四边形AFDE是平行四边形；25．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点图形．（1）在图甲中画出一个三角形，使BP平分该三角形的面积．（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使AP平分该四边形的面积．26．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB）顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有BC ），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处（即点E到AB的距离0.7m（即0.7为3m），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE）为1.7m，求宣传牌（AB）的高度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确；根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积,即可求证④．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG ＝GF ＝CG ＝3，∴②正确；∵CG ＝GF ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∵∠BGF ＝∠CFG ＋∠FCG ，又∵∠BGF ＝∠AGB ＋∠AGF ，∴∠CFG ＋∠FCG ＝∠AGB ＋∠AGF ，∵∠AGB ＝∠AGF ，∠CFG ＝∠FCG ，∴∠AGB ＝∠FCG ，∴AG ∥CF ，∴③正确；∵△CFG 和△CEG 中，分别把FG 和GE 看作底边，则这两个三角形的高相同． ∴35CFG CEG SFG S GE ==， ∵S △GCE ＝12×3×4＝6， ∴S △CFG ＝35×6＝185， ∴④不正确；正确的结论有3个，故选：C．【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．2．A解析：A【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=12 EG．【详解】解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，∴EF∥AB，EF=12AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG=12CD，∴EG=12CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EH＝HG，即EH=12EG，故③正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．3．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．【详解】解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 4．C解析：C【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形， 12AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE ，∴DB 平分∠CDE ，故②正确；∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，∵AD=DE ，∴AO ＞DE ，故③错误；∵O 是BD 的中点，∴DO=BO,∵E 是AB 的中点，∴BE=AE=DE∵OE =OE∴△DOE ≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE 垂直平分BD ，故④正确；正确的有3个，故选择：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；故选：C．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．6．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.7．A解析：A【分析】以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．【详解】解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．8．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴=5,DE BE ∴== 115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．A解析：A 【分析】由三角形底边BC 是定长，所以当△BCF 的高最大时，△BCF 的面积最大，即当FC ⊥BC 时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD 中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，∴FC=CD=4由此，△BCF 的底边BC 是定长，所以当△BCF 的高最大时，△BCF 的面积最大，即当FC ⊥BC 时，三角形有最大面积∴△BCF 面积的最大值是1144822BC FC =⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．10．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF +=+='∴△DEF 周长的最小值13故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．11．B解析：B【分析】先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．12．D解析：D【分析】首先证明△OBC 是等边三角形，在Rt △EBC 中求出CE 即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OC ，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO ，∴BC=OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：3a ，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC 是等边三角形．二、填空题13．24【分析】画出符合题意的图形利用菱形的对角线互相垂直平分求解另一条对角线的长再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案【详解】解：如图菱形的周长为20cm 一条对角线的长为8cm 故答案解析：24【分析】画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．【详解】解：如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，一条对角线AC 的长为8cm ，5,4,,,AD AB BC CD cm OA OC cm OB OD AC BD ∴=======⊥ 2222543OD AD AO ∴=-=-=，26,BD OD cm ∴==2116824.22ABCD S AC BD cm ∴==⨯⨯=菱形故答案为：24.【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．14．28【分析】过点作于根据菱形的性质得到继而可证再利用含30°角的直角三角形性质解得结合勾股定理解得的长根据折叠的性质得到最后在中利用勾股定理得据此整理解题即可【详解】过点作于是菱形是中点在中折叠在中解析：2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ，根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【详解】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．【分析】由ASA 可证△ABQ ≌△DAP 可得AP ＝BQ 列出方程可求t 的值【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP ∴∠QAD ＋∠ADP ＝90°且∠DAQ ＋∠BAQ ＝解析：83【分析】由“ASA”可证△ABQ ≌△DAP ，可得AP ＝BQ ，列出方程可求t 的值．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD ＋∠ADP ＝90°，且∠DAQ ＋∠BAQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠ADP ，且∠B ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AB∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝BQ∴2t ＝8−t∴t ＝83，故答案为：83．【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，证明△ABQ≌△DAP是本题的关键．16．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．17．2【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O当OD⊥AB时OD最小即DE最小根据直角三角形勾股定理即可求解【详解】解：如图∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O又AB=AC=4解析：【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．【详解】解：如图∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4∴OC=OA=12AC=2当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BA，∠BAC=45°，∴∠AOD=45°∴△ADO为等腰直角三角形在Rt△ADO由勾股定理可知OD=222∴2故答案为：2【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE 最小值的条件是关键．18．37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°可得∠B的度数由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD∥BC∴∠B+∠BAD解析：37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE⊥AB，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．19．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的解析：2020212 【分析】由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：111121,22A B C ABC C C ==2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=， 111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222A B C A B C C C ==⨯= ······总结规律：21,2n n n A B C n C =运用规律：当2020n =时，202020202020202021.2A B C C= 故答案为：202021.2【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 20．【分析】如详解图：作垂足为F 的延长线垂足为G 可证可得四边形AFOG 为正方形BF=CGAF=AG=进而可求得答案【详解】如图所示：作垂足为F 的延长线垂足为G 则四边形AFOG 为矩形四边形BCDE 是正方形解析：623-【分析】如详解图：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，可证OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形，BF=CG ，AF=AG=32，进而可求得答案．【详解】如图所示：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，则四边形AFOG 为矩形，四边形BCDE 是正方形，∴OB=OC ，90BOC ∠=°，9090COG COF BOF COF BOF COG∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠,,OFB OGC OB OC OFB OGCOF OG∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形63233233233223AO AF AG AC CG AG AC BF CGAB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+=故答案为：623．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质，关键是构造全等三角形证明．三、解答题21．（1）15；（2）t＝6或233；（3）能，t＝5.【分析】（1）先求出AP，即可求解；（2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；（3）由菱形的性质可求DP＝BP，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）当t＝3时，则AP＝3×1＝3cm，∴PB＝AB﹣AP＝18﹣3＝15cm，故答案为：15．（2）若四边形PBCQ是平行四边形，∴PB＝CQ，∴18﹣t＝2t，∴t＝6，若四边形PQDA是平行四边形，∴AP＝DQ，∴t＝23﹣2t，∴t＝233，综上所述：t＝6或233；（3）如图，若四边形PBQD是菱形，∴BP＝DP，∵222AP AD DP+=，∴22144(18) AP AP+=-，∴AP＝5，∴t＝51＝5，∴当t＝5时，四边形PBQD为菱形．【点睛】本题考查了平行四边形，菱形的判定，勾股定理，分类思想，熟练掌握菱形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键.22．旗杆AB的高度为10.6米【分析】过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形BCDE 为长方形，∴ 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，即3.638.16x =，解得10.6x =．答：旗杆AB 的高度为10.6米．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,//AD BC AD BC ∴=，DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠，AE CF =，AF EC ∴=，在ΔFAD 和ΔECB 中，AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，BE DF ∴=；（2）ΔΔFAD ECB ≅，F E ∠=∠∴，//BE DF ∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．24．见解析【分析】证明△ABE ≌△DCF ，得到AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，推出AE ∥DF ，即可证明结论．【详解】解：∵AC=BD ，即AB+BC=CD+CB ，∴AB=CD ，∵∠EBC=∠FCB ，∴∠ABE=∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD ABE DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴AE=DF ，∠EAB=∠FDC ，∴AE ∥DF ，∴四边形AFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是根据全等得到对应角和对应边相等．25．（1）画图见解析；（2）画图见解析．【分析】（1）连接AP 延长至D 点，使AP=DP ，再连接BD ，ABD △即为所求；（2）作EP 平行且相等于AB ，连接AE ，四边形ABPE 即为所求．【详解】（1）作图如下，连接AP 延长至D 点，使AP=DP ，再连接BD ，ABD △即为所求，AP DP =，ABP ∴和BDP △是等底同高的两个三角形，∴BP 平分ABD △三角形的面积；（2）作图如下，作EP 平行且相等于AB ，连接AE ，四边形ABPE 即为所求，AB 平行且相等于EP ，∴四边形ABPE 为平行四边形，∴AP 为ABCD 的对角线，∴AP 平分ABCD 的面积．【点睛】本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作出图像是解题的关键．26．5.7m【分析】过点E 作EF AB ⊥于点F ，构造直角三角形，设m AF x =，根据勾股定理列方程，求出AF ，再根据矩形性质，加上DE 长即可．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ．由题意，得AC AE =，0.7CB =， 1.7BF DE ==，3EF BD ==，∴ 1.70.71m CF BF BC DE BC =-=-=-=．设m AF x =，则(1)m AE AC x ==+，在Rt AEF 中，90AFE ︒∠=，由勾股定理，得222AE AF EF =+，即222(1)3x x +=+，解得4x =．∴4 1.7 5.7(m)AB AF BF =+=+=．答：宣传牌（AB ）的高度为5.7m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键．。

天津市和平区八年级数学下册 18 平行四边形测试题新

平行四边形一、选择题：1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对角相等B.对角线互相平分C.一组对边相等D.对角线互相垂直2.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°3.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD﹣DF4.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=600，AB=2,则矩形的对角线AC的长是（）A．2 B．4 C．23D．35.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④6.下列说法中正确的是（）A.四边相等的四边形是菱形B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是菱形7.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：18.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或79.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.（3，1）B.（﹣4，1）C.（1，﹣1）D.（﹣3，1）10.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形11.如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是（）A.7B.8C.7D.712.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是（）A.2B.3C.D.1+13.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则□ABCD周长是．14.如图，将矩形纸片ABCD沿BE、DF折叠后，顶点A、C恰好都落在对角线BD的中点O 处．若BD=6 cm，则四边形B EDF 的周长是cm．15.如图,BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是__________16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，E点坐标为．17.如图，面积为1的正方形ABCD中，M，N分别为AD、BC的中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．以PQ为边长的正方形的面积等于；18.如图,△ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC的中点,若AB=10,AC=8,则四边形AEDF的周长为．19.如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．20.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．21.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．22.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．23.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．24.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．参考答案1.B2.C3.B4.B5.B6.A7.B8.D9.B10.D11.C12.A13.答案为：1214.答案为：15.答案为：13；16.答案为：(1、0) ；17.答案为：1/3；18.答案为：18；19.证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．20.【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE=2DE，BC=2DE，∴BE=BC．∴▱BCFE是菱形；（2）解：①∵由（1）知，四变形BCFE是菱形，∴BC=FE，BC∥EF，∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形，∴S△FEC=S△BEC．②△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB=S△BEC．③S△ADC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△ADC=S△BEC．④S△BDC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△BDC=S△BEC．综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．21.22.23.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．24.。

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一、选择题1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣22B．32﹣4 C．1 D．2AC=，这个正方形的面积是（）2．已知正方形ABCD中，对角线4A．8 B．16 C．82D．1623．如图，在平行四边形ABCD中，100∠+∠=，则B等于（）B D︒A．50°B．65°C．100°D．130°4．已知平行四边形ABCD的一边长为5，则对角线AC，BD的长可取下列数据中的（）A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和65．下列命题中，错误的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形； B．对角线相等的菱形是正方形；C．对角线互相垂直的矩形是正方形；D．一组邻边相等的矩形是正方形．6．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96 B．48 C．24 D．67．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形⊥于点8．如图，在Rt ABC中，90C=∠，30∠=，D是AC边的中点，DE ACAD ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（）A ．8B ．6C ．4D ．2 9．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC ∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF =+ 10．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 11．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C 10D 32 二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．14．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．15．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．16．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．17．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．18．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．20．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．三、解答题21．如图，已知，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，EF BC ⊥交BC 延长线于点F ，求证：四边形ABFD 是等腰梯形．22．已知：线段,a b ，α∠（如图），用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段,a b ，且两条对角线所成的一个角等于α∠．23．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 24．如图，在正方形中ABCD ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE ︒∠=，判断线段GE BE GD 、、之间的数量关系，并说明理由．25．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．26．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．A解析：A【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于倍计算即可得解．斜边的2【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝∴BE＝BD﹣DE＝﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF×（﹣4）＝4﹣．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．2．A解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】AC ，∵正方形ABCD中，对角线4∴AB2＋BC2＝AC2，∴2AB2＝42，∴AB2＝8．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B即可得解．【详解】解：□ABCD中，∠B＝∠D，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝12×100°＝50°，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．4．D解析：D【分析】由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【详解】解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，所以12（AC-BD）＜5＜12（AC+BD），由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．5．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．6．C解析：C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．7．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，∴(2224x x=+，解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥，∴DE=12BC=4，故选C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断【详解】解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB =∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE =⎧⎨=⎩∴Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FED=∠CED又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC∴∠ADE=∠CED∴∠FED=∠ADE∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴EF=EC在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意由于AB=CD=DF ，但在Rt △ADF 中，无法证得AF=DF ，故无法证得AB=AF ，故C 选项符合题意故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 10．A解析：A【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．11．C解析：C【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案．【详解】解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．12．C解析：C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB ，∵BE 平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt △CDE 中 22221310DE CD +=+∵点F 、G 分别为BC 、BE 的中点,∴FG 是△CBE 的中位线，FG=1210 故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC 的长度是解题的关键. 二、填空题13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线解析：2【分析】根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，118422CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，EF ∴是BCD ∆的中位线，114222EF CD ∴==⨯=，故答案为：2．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴12BC =，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．15．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC ∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O （00）A （30）∴OA=3∵四边形OABC 是平行四边形∴BC ∥OABC=OA=3∵B （43）∴点解析：()1,3【分析】由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC ∥OA ，BC=OA=3，即可得出结果．【详解】解：∵O （0，0）、A （3，0），∴OA=3，∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC=OA=3，∵B （4，3），∴点C 的坐标为（4-3，3），即C （1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．16．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ，当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ======∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b + 如图，四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形，同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意．故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．17．【分析】取AB 的中点E 则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB 的中点E 连接OEDE ∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE 中根据勾股定理得DE== 21【分析】取AB 的中点E ，则OE=1，2.【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，在直角三角形DAE 中，根据勾股定理，得22DA AE +2，∴当O ，D ，E 三点共线时，DO 最大，且最大值为2+1，故应该填21+.【点睛】本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 18．【分析】由题意和图示可知将两个边长为1的正方形沿对角线剪开将所得的四个三角形拼成一个大正方形大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长根据正方形的性质利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可【详解】∵如2【分析】由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．【详解】∵如图是两个边长为1的小正方形，∴其对角线的长度22112=+=，∴22【点睛】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，熟练运用和掌握以上两个知识点是解题的关键．19．【分析】利用矩形和折叠的性质证明∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA≌△DCA那么DC=DB设AB=DC=x在Rt△ADE中通过勾股定理可求出AB的长度【详解】解：3【分析】利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC ，由翻折知，△AED ≌△A'ED ，△A'BE ≌△A'B'E ，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，∴∠AED=∠A'ED ，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E ，∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=13×180°=60°， ∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS ），∴DC=DB'，在Rt △AED 中，∠ADE=30°，AD=2，∴设AB=DC=x ，则BE=B'E=x-3 ∵AE 2+AD 2=DE 2，∴2222x x +=+-（解得，x 1=−3 （负值舍去），x 2，【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．20．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键．三、解答题21．见解析．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，即可得AB=DE，等量代换可得CD=DE，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF＝CD＝DE，进而可得AB=DF，再说明线段AB和DF不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB CD=．∴AB∥DE；又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AB DE=．∴CD DE=．∵EF BC⊥，∴DF＝CD＝DE．∴AB DF=．∵CD、FD交于点D，∴线段AB与线段FD不平行．∴四边形ABFD是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．22．见解析【分析】先作线段a、b的垂直平分线得到12a和12b，再作∠AOB=∠α，且OA=12a，OB=12b，然后在OA的反向延长线上截取OD=12a，在OB的反向延长线上截取OC=12b，则利用平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为平行四边形．【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC ．【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′M C 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形．（2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′N D=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ，∴2DD a OC a'='=2．【点睛】本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．24．（1）见解析；（2）GE=BE+GD ，理由见解析【分析】（1）由DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB ≌△CFD ，从而证出CE=CF ；（2）由（1）得，CE=CF ，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF ，故可证得△ECG ≌△FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠B=∠CDA ，∴∠B=∠CDF ，在△CBE 与△CDF 中，BC CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CBE ≌△CDF （SAS ），∴CE=CF ；（2）GE=BE+GD ，理由：由（1）得△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ，CE=CF ．∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，在△ECG 与△FCG 中，CE CF GCE GCF GC GC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ），∴GE=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等，在第二问中也考查了通过全等找出和GE 相等的线段，从而得出线段GE ，BE ，GD 之间的数量关系．25．（1）是；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为长方形的四个角都是直角，所以长方形是美妙四边形；（2）连接BD ，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，根据勾股定理可以解决；（3）连接AD ，利用等腰直角三角形的性质证明90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，于是可证ADF BDE ∠=∠，继而证明用ASA 证明BED AFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得BE AF =，据此可得AE AF AB +=．【详解】解：（1）∵长方形的四个角都是直角，∴长方形是美妙四边形；故答案是：是；（2）如图1，连接BD ，在Rt △ABD 中，222BD AB AD =+，在Rt △CBD 中，222BD BC CD =+，∴2222CD CB AD AB +=+，∴2222CD AB AD BC -=-；（3）如图2，连接AD ，∵四边形AEDF 是美妙四边形，90A ∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∵,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，∴90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴ADF BDE ∠=∠，在Rt △ADF 和Rt △BDE 中，DAF DBE AD BDADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BED AFD ASA ∆≅∆BE AF ∴=，AE AF AE BE AB ∴+=+=【点睛】本题考查了四边形综合问题，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，∠DAE ＝∠AEB ，利用AE 平分∠BAD ，推出∠BAE ＝∠AEB ，得到BE=AB ，即可得到结论；（2）根据BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，得到AF ＝EF ，证明△ADF ≌△ECF ，推出DF ＝CF ，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴BE ＝AB ，∴BE=CD ；（2）∵BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，∴AF ＝EF ，在△ADF 和△ECF 中，DAE AEB AF EFAFD EFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADF ≌△ECF ，∴DF ＝CF ，又∵AF ＝EF ，∴四边形ACED 是平行四边形．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．。