巧用数形结合思想解题
巧用数形结合的方法解题
为（ 一 １， １ ） 。
４
＝
例 ３ 设厂 （ ） 、 （ ） 分别是 定义在Ｒ上 的奇 函数 和偶 函数 ， 当ｘ ＜ ０ 时， 厂 （ ） ｇ （ ｘ ） ＋ ） （ ） ＞ ０ ， 且 （ 一 ３ ） ０ ， 则不等式 ） （ ） ＜ ０ 的解集 为（ ）
①
思 路 方 法
巧 用数形 结合 的 去解 题
■ 张 爱 洁
摘 要： 本文阐述 了数形结合思想在 中学数学教 学 中的应用 ，通过实例体会数形结合在 函数 、定积 分、 复数及圆锥 曲线 中的应用 。 关键词 ： 数形结合 发散思维 解题 新课程标准指出 ： “ 教师应激 发学生学 习的积极 性， 向学 生提供充分从事数学活动的机会 ， 帮助他们 在 自主探索和合作交流的过 程中真正理解 和掌握基 本 的数学知识与技能 、 数学思想和方法 ， 获得广泛 的 数学活动经验 。 ” 不管是从新课程标准对“ 双基 ” 的要 求、 思维能力的要求及教学 内容 的特点 ， 还是从 高考 题设计背景来看 ， 数形结合 思想都是不可替代 的。 函 数这 一章 明确提 出 ： 通过观察 图像 ， 对 函数是否具有 某种性质 ， 作 出一种猜想 ， 然 后通过推理 的办法 ， 证 明这种猜想的正确性 ，并指 出这是发现和解决 问题 的一种常用数 学方法 。 以“ 形” 的直观启迪 思路 ， 导致 发现 ； 以“ 数” 的严谨表述来论证发现的正确 ， 从而使 新教材把高中数学教学 引导到一个更高的境界 。著 名数学家华罗庚说 ： “ 数 与形本是相倚依 ，怎能分做 ●， ● ■， 两边飞 数缺形时少直觉 ， 形少数 时难入微 。 ” 他还风 趣地说 ： “ 数形结合 百般好 ， 割裂分家万事非。” 并亲 切地教导我们不要 得意忘“ 形” 。 数形结合包含“ 以形 助数” 和“ 以数辅形 ” 两个方面 ， 其应用大致可 以分为 两种情形 ：或者是借助形 的生动 和直观性来 阐明数 之间 的联 系 ， 即以形作为手段 ， 数 为 目的 ， 比如应用 函数 图像来直观地说明函数的性 质 ；或者是借 助于 数 的精 确性和规范严 密性 来 阐明形 的某 些属性 ， 即 以数作为手段 ， 形作为 目的， 如应 用曲线 的方程来精 确地 阐明曲线 的几何性质。 解题经验告诉我们 ， 当寻 找解题思路发生困难的时候 ，不妨从 数形结合 的观 点去探索 ； 当解题过程 的复杂运算使人望而生畏 时， 不妨从数形结合 的观点去开辟新路 ；当需 要经验的 正确性时 ， 不妨从数形结合 的观点去验证 。 数形结合 的方法给数学 的解题带来很大的方便 ，下面通 过几 个数学实例来说 明它在教学 中的重要作用。 例１ 已知 方程 ｓ 一 ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不 等实根 ， 求ｍ的取值范围。 分析 ： 把方程 ３ — ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不等实根铮方 程 ， 一 ３ 一 １ ＝ ｍ有三个不等 实根 。令方程左边 为 ） ， 右边为ｇ （ ｘ ） ， 方程有 三个不 等实 根等价 于 函数厂 （ ） 与ｇ （ ｘ ） 的图像 有三个 不同交点 ， 先用 导数 的知识画 出 函数 ） 的近似 图像 ， 然 后平移 直线ｙ ＝ ｍ， 易求 ｍ 的取值范围为［ 一 ３ ， １ ］ 。 例２ 实 系数一元 二次方 程 ０ ＋ 似＋ ２ ６ ＝ ０ 的一根 域 中的点 （ ａ ， ｂ ） 与点（ １ ， ２ ） 的连线 的斜 率 ， 易得结 果
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
巧用数形结合解难题
（ ，） ， １ ２ 时 要使 ｙ＜ ， ２只需使 ｌ ≥ （ —１ 即 ａ ２ ｏ ＆２ ２ ） ， ≤ ．
综上可知 ， 当 １ 。 ２时 ， 等 式 （ 一 １。 １ 对 ｌ∈ （ ， ） ＜ ≤ 不 ｚ ）＜ ｏ ＆ ｚ １２
恒成立 ；
填空 中更显其优势． 下面通过举 例来说 明数形结 合思想
解题 方法 与技巧 ＨＮ ＸＥ Ｊ ＯＵ Ａ ＫＯ ＺＯ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
巧
用
数
形
结
合
解
难
题
青海黄 南 州 中学（ １ ３ ０ 包永海 ８１０ ）
数形结合 ， 实质是将抽象 的数 学语言 与直观的 图形 结合起来 ， 使抽象思维和形象思维 结合起来 ， 通过“ 以形 Nhomakorabea一
、
一
解 ：‘ 。 ． 一厂 ｚ 是定义在 Ｒ上 的奇 函数 ，‘ （ ， ） （） ． 点 ０ ｏ ． 是其对称 中心． 。 ｆ ｘ ２ 一 一厂（ ） 厂 一 ） 即 又 ． （４ ） 。 － ｚ 一－（ ，
－ １ ｚ 一厂 １ ） ．直 线 ｚ １ 厂 ＋Ｉ （ ） （一ｚ ，‘ ． 一 是 一厂 ｚ 的对 称 轴 ， （）
ｚ 一－ １ ｘ ， ） 厂 － ）当一ｌ ≤ｏ时 ，（） （ ≤ 厂 一一寺 ， （．） 则厂８６
（ 任编辑 责
金
铃）
３ ９
ｋ ｘ ３ｌ ｃ １ ¨ 。 ｌ
中学 教 学 参 考
解 题方 法与技 巧
ｘ １２时 ， Ｅ（ ，） 不等式 （ 一１ ｏｏ ｚ ）￣ｌｇ ｘ恒不成立
（ ） ． Ａ． ． ０５ Ｂ． ０ ５ 一 ． Ｃ． ． １５ Ｄ． １ ５ 一 ．
巧用“数形结合”来解题
解析式为 ｙ —ｘ ＋ ２ ， 再由一 ｘ ＋ ２ ＞０解得 Ｘ ＜２ 。 由题 意在坐标 系中画出该直线 （ 如 图所示 ） ， 观察 图象 ， 则“ 当 的 Ｘ ＜２时 Ｙ ＞０ ” 显得非常直观。 即使 我们把条件 中的 Ｂ点坐标改 为（ １ ３ ３ ， １ ３ ） ， 其中 ， Ｉ Ｔ Ｉ ＜ ２ ， ｎ＞０同样 可以得到 Ｘ ＜２ 。 而如 果利 用 上 面代 数方 法解 不 等式 的 话， 很难想象有多少 同学能求准确 ｙ ＝ — 旦 ｘ 一 — 兰 这个解析式 ，更不用谈 解对
而如果利用上面代数方法解不等式的话很难想象有多少同学能求准确ynm2x2nnm2x2n从这个例子我们可以看出若将数与形割裂开来不能有机结合渗透一味在数上埋头苦干虽有寥寥走到成功彼岸者但更多的是浅尝辄止望洋兴叹者
总第 ７ ３ ０期
教海探航
巧 用“ 数形结合 ” 来解题
缪 亚 军
（ Ｌ ＂ ｒ － 阴市暨阳中学 ， 江 苏省 ２ １ ４ ４ ０ ０ ）
ｍ － ｍ －
—
、 ／ ， 、 ／ ｉ ， 、 ／ 是 一个 三角形 的三条边 的长 ， 求 这个 三角形 面积 。（ 用含 ｍ， ｎ 的代 数式表示 ） 。我们 同样可 以 由勾股 定理联 想到利用上面 的构造方法 ， 如 图构造 ：
所以Ｅ Ｆ ＝ 、 ／ ｍ ＋ ｎ ， Ｂ Ｆ ＝ 、 ／ ４ ｍ ２ ＋ ｎ ， Ａ Ｂ ＝ 、 ／ ｍ ｎ
旦 ｘ 一 — 兰 ＿ ＞ ｎ ０ 这个不等式了。
Ｙ Ｊ ｇ ＿ ＋例子我们可以看 出， 若将 “ 数” 与“ 形” 割裂开来 ， 不能有机 结合渗透， 一味在“ 数” 上埋头苦干 ， 虽有寥寥“ 走到成功彼岸 ” 者， 但更
拓学生 的思维视野 ， 培养他们解决问题的能力 。 位 富翁买进 的湖泊 和土地共有多少亩吗？（ 如 图所示 ） 我原来是 利用海伦公式求得三角形面积 的， 因为湖泊都为正方形 ， 参考文献 ： ［ １ ］ 漫谈 一次函数 的教 学， 中学数学教 学参考 ， ２ ０ ０ ７ ． １ ２ Ａ Ｂ ＝ 、 ／ １ ８， Ｂ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ６， Ａ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ０， 所以 ＡＡＢ Ｃ周长的一半 ［ ２ ］ 中学数 学思想方法概论 ， 广州暨南大学出版社 ， ２ ０ ０ ４ ． ４ ． ｓ ： 堕 ０＿ ＿ ［ ３ ］ 数学课程标 准解读 ， 北京师范大学 出版社 ， ２ ０ ０ ２ ． ５ ｓ 一： 二 ： 、 ／ ；
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
利用数形结合思想方法巧解题
∑ ＋＋２ ＝＿Ａ 。 ＿ ｌ ／ ２ ＝Ｉ ＿ Ａ ＇ Ｂ Ｔ ．
：
三 ：
口２ｉ ＋２
１
问题是每次延长多长的距离呢？计算发现 ：
Ｑ
口２ ‘
¨
３４ ‘３ ３。 √ ‘ ３
从 ＡＡｉ 。２ 延长到 Ａｍ ， ： 只要 Ａ Ａｍ 一 ２
Ｊ
￣－． ｐＩ ｎ －
ｔ ｉ ｔ２ ＋１
２彳ｌ ｎ ＊ 一
使得 Ｂ 。 ，ｏ２ ； Ａ ＝ ＡＡ ＝１
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， 得 ＡＡ ＝ａ ； ０２ 使 ２。 ３
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， － ６ ； ０４ ６／ Ａ Ａ ＝ ［ ￣
依 次下去 ，
延 到 ２ 使 Ⅲ： ， ， 长 。 １ 得 ：： 穹 … ： ＋ ２
则 ／＋ 胁． －２ Ａ ２ １
ｔ ｎ／ Ａ２ ａ ｉ 。＝ ＝
＝ ＝ 音 ， 等＝ ， 南
＋ ＿ ２ ０ ）
延长 ＡＡ到 Ａｉ ， 厶４Ｂ ２ ＝ … ， ０２ ２ ２使得 ＋ ２ Ａ ２ …， ｆ 延长 ＡＡ 到 Ａ ２使得 厶４ Ｂ ２ ２ ２ １ ｏ ２ ， ＋ ２ Ａ ＝ ； ＋ ＋
延 长 ＡＡ ｏ 到 Ａ ： 使 得 Ａ ：＋ ：＋， ：Ａ ：＝
Ａ０ Ａ ＋ ２＝Ａ０ Ａ２ ＋ Ａ２ Ａ４ ＋ Ａ４ Ａ６＋ … ＋ ２ ２＋ ＋ … ＋ ‘ ‘２
， ｉ
Ａ２Ａ２ ＋ ２
＝ ＋ ＋ … ＋
ａ２ － ａ＋ ｌ＝
＋０ ， ３
Ｏ＇ ｎ ＋１ ２
＝９ ＋ －９ ２ 口 ２ 口 ｌ ａ ２＋．
又 Ａ ＋ ２ 是锐角 ， 则可记 Ａｆ Ｂ ２＝ … ２ ２Ａ ２ ＋ （ ＝１２， ，） ， … ，． １
数形结合巧解的有关数学问题
数形结合巧解的有关数学问题数形结合的思想方法是高中教学中最重要的思想方法之一，在每年的高考中必须要涉及的思想方法，它可使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合思想可以帮助我们迅速解决问题。
下面就几个问题巧用数形结合思想的方法来解决的问题供参考。
一、函数的零点问题在最近两年各地高考和模拟考试中，出现的频率很高，特别对于含参数函数的零点问题，转化为曲线图像问题，利用数形结合的方法来解决，显得简洁明了。
例1.（2010南京调研）设函数f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x ∈r，函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β，若对任意的x∈［α，β，］，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数的取值范围。
解：∵f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x∈r∴f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得 x=m-2或x=m+2且m-2＜m+2当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数.所以x=m-2，f（x）取极大值，x=m+2，f（x）取极小值.所以根据f（x）的单调性,可以把f（x）图像的趋势画出，有三种情况：（1）当α＜β＜0时，f（x）图像的趋势为由图像可知：f（α）=f（β）=0，f（1）=f（0）=0所以有f （1）＞f（α）＞f（β），与已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立矛盾，此情况舍去;（2）当α＜0＜β和0＜α＜β这两种情况时，对于x∈［α，β］，由图像可知，f（x）的最小值为f（m+2），已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立必有α＜1＜β，所以要想使对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立，一定有f（m+2）=f（1），即m+2=1，所以m=-1.解后反思：本题借助图像很直观地把函数本质展现出来，通过图像函数的一些特点和性质也暴露无遗，避免讨论很多问题，数形结合是高中四大数学思想方法之一，在每年的高考中必出现的内容，对小题解决起来可能更来得简洁，所以以后在解决数的问题时，不妨用形来解决，可能会带来意想不到的效果。
小学数学论文：巧用“数形结合”解决问题
“学”海无涯“画”作舟——巧用“数形结合”解决问题【内容摘要】 “数形结合”是一种重要的数学思想，在高年级数学教学中更是一种重要的解题策略。
运用“数形结合”有助于把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，几何问题明显化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不但能提高学生的数学兴趣，又能有效地利用形象化的思维延深学生抽象化的数学思维。
【关键词】 数形结合 小学数学 形象思维 抽象思维 【正文】曾在网上看到老师们在讨论：运用下图来说明“方程和等式”的关系，是不是渗透“数形结合”的思想。
因为我同存疑惑，于是就想对这早已流行的词汇进行进一步的了解。
1、利用“集合图”理解概念之间的关系不是渗透“数形结合”的思想方法。
如上例等式与方程的关系。
数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，“画图”是学习数学概念的一种重要方法，这里老师运用“集合图”来帮助学生区分、理解概念之间的关系，类似案例还有“长方形和正方形的关系”、“质数合数及1的集合图”等等。
2、“有余数除法”教学时也不是渗透“数形结合的思想。
例如教学17÷4＝4……1， 老师经常让学生用学具先动手操作分一分理解算理，再出示左下图借助“形”来理解算式中每个数字及运算符号的意义，建立“形”与“有余数除法”算式之间的联系，但这也不是真正意义上的“数形结合”。
3、（如右图）这一教学目的渗透的是“符号思想”，也不是“数形结合”的思想。
因为这里并不关注“图形”的几何特征，这里的“小正方形、小三角形、圆形”都只是表示未知量，渗透的是“符号思想”，可以理解为是X 的前身。
以上都不是数学意义上的“数形结合”。
“数的概念”缘于“数”，“数”源于“计数”。
在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才真正脱去了“形”的束缚，从而极大地拓展了人们对“数”的认识和应用。
巧用数形结合法解题
教 学研 究
２ ０ １ ３ 年０ ３ 月
巧 用数形 结合 法解题
钟 宁
（ 广 东省兴宁市第三 中学 ，广 东 兴 宁 ５ １ ４ ５ ０ ０ ）
数形 结合 法是根据 数量与 图形之 间 的内在关系 ，认 识 研究对象 的数 学特征 ，寻找解 决问题 的一种 数学思想 。 它 的 主要 特 点 ： 数 一形 一 问题 的解 决 ，或 形 一 数 一 问题的解 决 。利用数 形结 合法可 以把复 杂 问题简单 化 ，抽 象 问题 具体化 ，实现 抽象概 念与 具体形 象 的联系和 转化 ， 它 兼有 数的严 谨与 形的直 观之长 ，是优 化解 题过程 的重 要 途 径之 一 。要 想在 数学解题 中运 用这 一数学 思想方 法 ，就 必 须 熟 练 了解 掌 握 一 些概 念 和运 算 的几 何 意义 及 常 见 直 线 、 曲线或几 何 图形隐含 的代数特 征 。数形 结合法 解题 应 用 的渠道 主要如 下几方面 。 数形结合法在二元一次方程与一次函数中的应用。 许 多条件 最值 问题 ，用 代数方 法求解 比较 困难 ，但 其 条 件与 一次 函数结 合起来 有某种 几何解 释 ，此 时可试用 直 角坐标 系转 化构造 图形，用数 形结合法 ，求其最值 。 例１ ：若５ ｘ ＋ １ ２ ｙ ＝ ６ ０ ， 则 ／ 两 最 小值 是 （ ）
・ ．
１ ｌ
，
‘ 直线ｙ ： １（ ６ Ｏ 一 ５ ｘ ） 与ｘ ｙ 轴 的交 点坐标
、
“ 数 ”的联 系 ，用直观法 求得 “ 数 ”的解答 ，从 “ 形 ”开 始到 “ 数 ”的终 结 ，形 、数 的结合和 分离 贯穿 了解题 的全 过程 ，也是 以 “ 形 ”解 “ 数 ”将 问题解决的过程 。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
“数形结合”思想在解题过程中的妙用
计算 ＋Ⅲ（ １， ＿ 图 ）学生是非常容易算的 ， １ 可以直接 通分 ， 然后求出结果 。计算 １ （ ２， 图 ）难度 也不
大 ， 分 照样 能 够 解 决 问题 。但 是 如 果 运 用 数 形 结 合思 通 想 ， 生就 会发现 ， 来可 以算得更 简单 ， １ （ 学 原 即 一 空
拿 走 剩 下 的 ＿ 最 后篮 子 里 还 有 ４个 鸡 蛋 。 你 知 道原 来 １， 这 个 篮 子里 有几 个 鸡 蛋 吗 ？三 年 级 习题 ） （ 这道题 单位“ ” 量发 生变化 ， 一 次是把 ‘ 篮 ｌ的 第 整
（
用 数 形 结 合 思 想 和 有 序 思 维 的 策 略 ，能 够 使 学 生 的 思 维 “ 形 可 依 ”解 决 此 类 问题 就 显 得 轻 松 多 了 。如 教 学 有 ， 组 合 问题 时 ，有 这 样 一道 题 ：一 个 箱 子 里 放 入 ４种 不 “ 同 颜 色 的 正 方 体 ｆ 、 、 、 ） ４种 不 同 颜 色 的 球 红 白 黄 绿 和 （ 、 、 、 ）随 意 从 盒 子 里 各 拿 出 １ 球 和 １个 正 黑 橙 紫 蓝 ， 个 方 体 ， 可 能 有 多 少 种 不 同 的 拿 法 ？ ” 生 通 常 只 能 找 其 学
教 师 应 重 视 培 养 学 生 解 决 分 数 应 用 题 的 能 力 。并 以此 为 载 体 ， 力 发 展 学 生 的 数 学 思考 能 力 。但 让 学 生 凭借 着 教 师 总 结 的解 题 技 巧 去 按 图 索 骥 ，是 难 以 达 到 预 期 效 果 的 ， 应 用 数 形 结 合 思想 ， 较 好 地解 决 这 个 问题 。 而 能 如： 一篮 鸡 蛋 ， 一 次 拿 走 整 篮 鸡 蛋 的 第 二 次 叉 第 １，
数形结合巧解题
数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。
运用数形结合的思想方法解题1
运用数形结合的思想方法解题1【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln（x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2xx e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1x y e=，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e=图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e =图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1x y e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．2142⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．20,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又 当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：21(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离d ==则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·高三专题练习）m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．2⎛-∞⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x'=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q到直线y x ==min ||PQ =所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，3)4D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1()2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a<⨯-⎧⎨-⨯--⎩ ，解得312a e <．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =-+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）222410282x x x x -+-+≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B ．42C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则3y =()()2222152x y x y -+-+≤．()()2222152x y x y -+-+=．()()2222152x y x y -+-+=±()()2222152x y x y -+=-+，两边平方可得，()()()22222215454x y x y x y -+=-+±-+，整理可得，()22527x y x ±-+=-，两边平方整理可得()22313y x --=．()()2222152x y x y -+-+=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．()()2222152x y x y -+-+≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上及其内部．222410282x x x x -+-+≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k ==故选：C ．。
中考代数几何-用数形结合的思想解题
中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
数形结合巧妙用 解题思维高效率
要 ＣＢ 须 只 ｛ 得 ＜ ３ 使 Ｃ， 且 需 专叶 ， ２≤． ＿必 解 。 ．
④ 当 ａ一 ＜ ２时 ， ＝ ， Ａ ０ 此时 Ｂ Ｃ ０， ＣＢ成立 。 ＝＝ Ｃ ＿ 综上所述 ， 的取值范围是（ ，２ ｕ［ 一 ］ ａ 一 一） ， 。 １ ３
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２１ ０ １年
第３ ５期
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０教 学研究 ０
科技信息
数形结合巧妙用 Байду номын сангаас解题思维高效率
向金华
（ 桃市 沔城 高级 中学 仙
“ 与“ 作为数学 中最古老最重要的两个方 面 ， 数” 形” 一直就是一对 矛盾体 正如矛和盾 总是 同时存在一样 ． 数” 有“ 必有 “ ”有“ 必有 形 ． 形” “ 。 数” 我国著 名数学家华罗庚先生对此也有“ 数缺形 时少直观 ． 形缺数 时难入微” 的精辟论述 在解决数学问题上 ． ” 形” “ 与“ 两个基本概念常常可 以结合在一 数 起． 相辅相成 ， 相得益 彰 ， 使复杂 的问题 简单 化 ， 抽象 的问题具体化从 而提高学生思维能力 著名数学家拉格朗 日曾经说过 ：只要代数 同几 “ 何分道扬镳 ． 的进展就缓慢 。 它们 它们 的应用就狭窄 。 当这两 门科学 但 结合成伴侣时 ． 它们 就互 相吸收新鲜 的活力 ． 从而 以快捷 的步伐走 向 完美 ”
巧用数形结合思维解题的几个关键点
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巧用数形结合思维解题的几个关键点
作者：刘雨桐
来源：《学习导刊》2013年第12期
在几何方面解题过程中，数形结合一般是首选解题方式，经过解答诸多几何题，对其基本的解题思路进行总结得出，将数在结构方面表现出来的特征，绘画以及构建出与其相对应的立体或平面图形，并对图形所表现出来的规律和特征进行充分的利用，将数学问题进行解决。
或者相反表达关系，这种解题方式在应用的过程中有三个关键点，以下对数形结合开展的研究。
1.充分利用图像性质
通过应用数形结合的解题方式对诸多类型的题目进行解答得出，不管是将代数形式转变成图形形式，还是将图形形式转变成代数形式，其中必然会出现图像，而不管是哪一种表现的方式，它最终表现出来的图形中都会有相对应的特殊性质，在采用数形结合的方式进行解题时，一定要做到了解不同图形所具有的特殊性质，并对这些特殊的图像性质进行充分的利用，从而可以快速且准确的进行解题[1]。
随着练习题目数量不断增多，可以发现考试的题型也越来越多，与此同时，题目的难度也在不断的增大，对于高中数学教学内容中的诸多题目，都可以采用数形结合的方式进行有效的解决，因此，学生需要对该解题技巧进行有效的掌握，详细了解该解题方式中的关键点，解题时把握题目重心，从而真实提高自身的数学成绩。
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巧用数形结合思想解题
发表时间：2016-11-07T16:03:11.857Z 来源：《教育学》2016年9月总第105期作者：陈永才[导读] 或运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。
内蒙古包头市六中014000
摘要：数与形巧妙结合，即根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义。
可运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；或运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。
关键词：数形结合题设数量关系
数形结合是数学学科的一大基本思想，它与函数思想、方程思想紧密相连，是富有数学特色的信息转换。
它不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法。
所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路。
一是运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；二是运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。
下面通过具体的例子揭示数形结合的运用：例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列结论中：（1）a+b+c<0，（2）a-b+c>0，（3）abc<0，（4）b=2a。
正确的个数是：（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
解：从图形上看，抛物线开口向下，所以得出a<0；由抛物线与y轴的交点在正半轴，所以得出c>0；由抛物线的顶点的横坐标为-1，即-b/2a=-1，得b=2a，所以得出abc>0。
当x=-1时，y>0，即a-b+c>0；当x=1时，y>0，即a+b+c<0。
例2：点A（a，b）、B（a-1，c）均在函数y=1/x的图象上，若a<0，则b____c。
（添“>”或“=”或“<”）解：如图，函数y=1/x的图象在每一象限内y随x的增大而减小。
∵a-1<a<0，∴b<c。
例3：a为何值时，不等式a≤x2+ax+5≥4恰好有一个解？
分析：此题若采用解一元二次不等式的常规解法相当麻烦，但如果能从y=x2+ax+5的图象入手考虑，问题就简单多了。
解：如图，y=x2+ax+5是开口向上的抛物线，如果抛物线的顶点在直线y=4 的下方，则原不等式有无穷多个解；如果此抛物线的顶点在直线y=4的上方，则原不等式无解；当且仅当抛物线的顶点落在直线y=4上时，则原不等式恰好有一个解。
抛物线的顶点为（- ,5- ）,故当5- =4，即a=2或a=-2时，有一解。
例4：不等式log2(-x)<x+1的解集是____。
分析：此不等式没有常规解法，只有把不等式两边看成两个函数，通过图象的比较求解。
解：令y=log2(-x)、y=x+1在同一直角坐标系中，作出这两个函数的图象，我们发现两个图象的交点是（-1，0），在（-1，0）的右侧y=log2(-x)的图象在y=x+1的图象的下方，即log2(-x)<x+1的解是x>-1。
例5：若方程1g（-x2+3x-m，=1g（3-x）在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
解：原方程变形为，即：。
设曲线y1=（x-2）2，x∈(0,3)和直线y2=1-m，图像如图所示。
由图可知：①当1-m=0时，有唯一解，m-1。
②当1≤1-m<4时，有唯一解，即-3<m≤0。
∴m=1或-3<m≤0。
此题也可设曲线y1=-（x-2）2+1，x∈(0,3)和直线y2=m后画出图像求解。
一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。
此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
在上面的例子中，我们不难发现，“数”与“形”这两块数学领域的基石巧妙地结合在一起，在解题的同时，又有一种创造性的美感。
在选择题、填空题中运用数形结合往往事半功倍。
当然，在我们的学习中也用这种思想去分析、讨论，会更好地理解、掌握数学教材的知识点，建立形象的知识体系，达到融会贯通的意境。